(完整版)高中数学等差数列教案(可编辑修改word版)

n n

n -1 n

等差数列

教学目的：

1. 明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；

2. 会解决知道a n , a 1 , d , n 中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质 教学过程：

引入：① 5，15，25，35，…

和 ② 3000，2995，2990，2985，…

请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相 等 ----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课：

1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的

差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{ a },若 a － a =d (与 n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +

，则此数列是等差数列，d 为

公差

2. 等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n - 1)d 【或a n = a m + (n - m )d 】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{a }的首项是 a 1 ，公差是 d ，则据其定义可得： a 2 - a 1 = d 即： a 2 = a 1 + d

a 3 - a 2 = d 即 ： a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d

a 4 - a 3 = d 即 ： a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d ……

由此归纳等差数列的通项公式可得： a n = a 1 + (n - 1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 a 1 和公差 d ，便可求得其通项 a n 如数列①1，2，3，4，5，6； 数列②10，8，6，4，2，…； a n = 1 + (n - 1) ⨯1 = n （1≤n ≤6）

a n

= 10 + (n - 1) ⨯ (-2) = 12 - 2n （n ≥1）

1 数 列 ③ ; 5

2 ,

3 ; 5 5 4

,1, ; 5

a n =

1

+ (n - 1) ⨯ 1

= 5 5 n （n ≥1） 5

由上述关系还可得： a m = a 1 + (m - 1)d

即： a 1 = a m - (m -1)d

则： a n = a 1 + (n - 1)d = a m - (m - 1)d + (n - 1)d = a m + (n - m )d

即的第二通项公式

a n = a m + (n - m )d

∴ d= a m - a n

m - n

如 ： a 5 = a 4 + d = a 3 + 2d = a 2 + 3d = a 1 + 4d 三、例题讲解

例 1 ⑴求等差数列 8，5，2…的第 20 项

⑵ -401 是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

⎩1⎩

⎨ a

解：⑴由a

1

= 8, d = 5 - 8 = 2 - 5 =-3

⑵由a

1 =-5, d =-9 - (-5) =-4

n=20，得a

20

= 8 + (20 - 1) ⨯ (-3) =-49

得数列通项公式为：a

n

=-5 - 4(n - 1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得- 401 =-5 - 4(n -1) 成立解之得n=100，即-401 是这个数列的第100 项

例2 在等差数列{a n}中，已知a5= 10 ，a12=31，求a1 , d, a20 , a n

解法一：∵ a

5= 10 ，a12= 31，则⎧a1+ 4d = 10

⎨

a +11d = 31

⇒⎧a1=-2

⎨

d = 3

∴

n

=a1+ (n -1)d = 3n - 5

a 20 =a

1

+19d = 55

解法二：∵ a

12 =a

5

+ 7d ⇒ 31 = 10 + 7d ⇒d = 3

∴ a

20 =a

12

+ 8d = 55 a n=a12+ (n -12)d = 3n -5

小结：第二通项公式a

n =a

m

+ (n -m)d

例3 将一个等差数列的通项公式输入计算器数列u

n 中，设数列的第s 项和第t 项分别为u s 和u t ，计算u s -u t

s -t

的值，你能发现什么结论？并证明你的结论解：通过计算发现u s -u t 的值恒等于公差

s -t

证明：设等差数列{ u

n }的首项为u

1

，末项为u n ，公差为d，⎧u s =u1 + (s -1)d

⎩u t =u1 + (t - 1)d

(1)

(2)

⑴-⑵得u s -u t = (s -t)d ∴u s -u t =d

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度

解：设{a n }表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，

由已知条件，可知：a

1 =33, a

12

=110，n=12

∴ a

12 =a

1

+ (12 - 1)d ,即10=33+11 d解得：d = 7

因此，a

2 = 3

3 + 7 = 40, a

3

= 40 + 7 = 47, a

4

= 54, a

5

= 61,

a 6 = 68, a

7

= 75, a

8

= 82, a

9

= 89, a

10

= 96, a

11

= 103,

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知数列{ a

n }的通项公式a

n

=pn +q ，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首

项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定{a

n

}是不是等差数列，只要看a n -a n-1 （n≥2）是不是一个与n 无关的常数

解：当n≥2 时, （取数列{a n }中的任意相邻两项a n-1 与a n （n≥2）

a n -a

n-1

= ( pn +q) -[ p(n - 1) +q] =pn +q - ( pn -p +q) =p 为常数

∴{ a

n }是等差数列，首项a

1

=p +q ，公差为p

注：①若p=0，则{ a

n

}是公差为0 的等差数列，即为常数列q，q，q，…