(完整版)《社会统计学》期中试题参考答案

《社会统计学》期中试题

一、某工厂所生产的灯泡，其寿命服从正态分布，标准差为8小时，今随机抽取样本大小n ＝16，得样本平均寿命为1000小时，在置信度95%下，求该厂产品的： 样本总量未知，方差已知。 1.平均寿命的估计值

1000小时（中心极限定理）

2.平均寿命之95%的置信区间及置信区间长度

解：总体μ未知，标准差=8；样本容量n=16（小样本），样本均值=1000，置信度0.95. 利用总体标准差已知公式，得标准正态分布的置信区间为

X X ⎡-+⎢⎣

=[1000-1.96*8/4,1000+1.96*8/4]=[996.08,1003.92]

长度为7.84.

二、某超市，从其顾客中随机抽取，现随机抽取64位，衡量其结帐所需要时间X ，设X 近似正态分布，得

,32064

1

=∑=i i

x

,260864

1

2=∑=i i x 则

N 为样本容量，n.>=50，方差未知情况之下用样本方差约等于已知方差 1. 顾客平均结帐时间之估计值

2. 求顾客平均结帐时间之95%的置信区间及置信区间长度 解：X

=320/64=5，S 2=

2211()1n

i i X nX n =--∑=1(26086425)641

-⨯-=16，故S=4 置信度为0.95，应用大样本总体均值区间估计公式，得

X X ⎡

-+⎢⎣=[5-1.96*4/8,5+1.96*4/8]=[4.02, 5.98]，长度为1.96

三、有６个人接受心理测验，得到分数如下表：(设测验分数呈正态分布)

则１.平均分数之的估计值。 ２.求平均分数之95%的置信区间及置信区间长度。

解：小样本区间估计，应该用t 检验的区间估计公式 n=6，X

=7，S 2=

221

1

()1n

i i X nX n =--∑=1/5*[364-6*49]=14，t 临界值为2.5706

则区间估计为2

27X t X t α

α⎡⎡-+=-+⎢⎢⎣

⎣= [3.08，10.92]，长度为7.84

四、设()

2,1,,~2

=N X i i σμ，则以下哪一个为μ的无偏估计量。

2,1087,43,2

142132121X +X =

X +X =X +X =X =∧∧∧

∧

θθθθ

4θ为无偏估计量

五、若10021...X X X 来自于同一总体的随机样本，其总体的平均数为μ，方差为2σ，则

()()9621110021 (96)

1, (1001)

X ++X X =X X ++X X =

X 是否为μ的无偏估计量？

六、设A 、B 二市去年每人平均所得分配为近似正态分布，其120.5σσ==万元，随机分别从A 、B 二市各抽出人，人，102021==n n 得出()()

4.3 3.2X A Y B ==万元市，万元市，试在置信度95%下，求A 、B 两市平均所得差额21μμ-的置信区间。

解：小样本、总体标准差已知，二总体均值差的区间估计，采用Z 检验区间估计公式

120.5σσ==万元，人，人，102021==n n ()()4.3 3.2X A Y B ==万元市，万元市

置信度0.95，则

(

)(

)(

)(

)12124.3 3.2 4.3 3.2X X X X ⎡---+⎢⎢⎣⎡=---+⎢⎢⎣

=[1.1-0.38,1.1+0.38]=[0.72,1.48]

七、自两正态总体，平均数己知，分别随机抽10,821==n n ，其样本平均数为

72,72=Y =X ，样本方差为180,24022

21

==S S ，在置信度95%下，求22

2

1σσ的估计值及

2

221σσ，2

1

σσ的置信区间？

解：小样本二总体方差比区间估计，且总体平均值为已知，以样本方差比为总体方差比的估计值，即240/180=4/3，置信度为0.95时的方差比置信区间为

()()()()[]22

11222212120.050.0511********,,0.345,5.132,,8,108,10s s s s F n n F n n F F αα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎢⎥⎣⎦

标准差比的区间估计则在上述基础上开根号，即[]0.587,2.265=

八、某城市购买A 公司牛奶的家庭比例被认为是P=0.6，若一随机样本n=10个家庭中至多有3个家庭购买A 公司，则我们抛弃原假设0H ：P=0.6而赞成P ＜0.6。 ○

1若真正比例是P=0.6，求α＝？ ○

2若真正比例P=0.5，假定α=0.05，求β＝？ 解：第1小题。抛弃原假设，意味着算出的z 值落在拒绝域；上述检验为单边检验，由此，先算出临界值，再查表计算得到对应的α值。而样本成数小于等于0.3时即导致拒绝原假设、支持备择假设，就说明0.3对应的Z 值就是临界值。根据公式

1 1.94z α-=

==

查表，对应的1-α=0.974，由此，α=0.026

第2小题。在真实比例为0.5的情况下，求接受错误的原假设p=0.6，即犯第二类错误的概率大小。此时，先在错误的原假设中求出接受域，得出接受域上下界值后，放在真实的比例中标准化，即得到第二类错误的大小。S 2=0.3*0.7/10=0.021，S=0.1449 [0.6-1.96*……]=[0.51,0.69]

标准化：Z 1

，Z 2

β=ϕ(Z 2)-ϕ(Z 1)=1-0.5793=0.4207

九、据统计，某小学一年级学生以往的身高平均数120厘米，今于新生中，抽取64名得平均数为123，方差为36，试问，该小学一年级小学生身高是否己增加？05.0=α

解：单边检验，大样本单总体假设检验。列出原假设H0：μ=120，H1：μ>120 算出Z 值=4，临界值（单边）=1.65，Z>临界值，拒绝原假设，即有增加。

十、某公司招聘人才，在所抽36位女生及64位男生应试中，女生的平均成绩为76分，标准差为6分，男生的平均成绩为82分，标准差8分，05.0=α下，检验男生成绩是否优于女生？

解：大样本二总体均值差检验，算出Z 值为4.242>临界值=1.65，故拒绝原假设，即优于女生。

十一、某城市有某项公共政策问题，访问100人，赞成者有80人，在显著水平5%下，检验全体赞成的比例是否为60%？

解：大样本总体成数假设检验。双边检验。得出Z 值为4.08>临界值1.96，拒绝原假设，即认为全体赞成的比例不是60%。