动量算符角动量算符

这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm ( ,) ： Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2, l (21) Pl m (cos ) 是缔合勒让德多项式，Nlm 是归一化常数。
Nlm由Ylm ( ,) 的归一化条件定出：
0
2 0
Ylm ( ,)Ylm ( ,) sin d d
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
§3.2 动量算符和角动量 算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
函p 是数。动分量量算式符：的本征i 值，xpp((rr))是属px于 p此(r本) 征值的本征
i
y
p (r )
py
p (r )
i
z
p (r )
pz
p (r )
它们的解是 p (r ) C exp( i p r ) (2)
二、角动量算符
１、定义：角动量算符 L rˆ pˆ (12)
分量式为
Lˆx ypˆ z zpˆ y
( y z ) i i z y
(y z ) z y
Lˆy zpˆ x xpˆ z
(z x ) i i x z
(z x ) (13) x z
Lˆz xpˆ y ypˆ x
y r sin sin cos z / r (15)
z r cos tan y / x z
可得
Lˆx i
(sin
ctg cos )
Lˆy
i
(cos
ctg sin ) (16)
y
Lˆz i
x
和
Lˆ2z
2 2 (17)
2
Lˆ2
函
即
p
(r
)
p (r )d
(p
p) (3)
其中 p (r ) 1 3 exp( i p r ) (4) (2 ) 2
为什么 p (r ) 不能归一化为1，而是归一化为 函数：
这是由于动量本征值可以取连续值， p 的各分量可取任
意实数，动量本征值构成连续谱。
３、动量本征值的分立化：箱归一化
设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中，取 箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数 在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即
( L , y, z) ( L , y, z)
2
2
C
exp
i
(
1 2
px L
py y
pz z)
C
exp
i
(1 2
px L
py
y
pz z) (5)
或 exp i ( pxL) 1 pxL 2nx , nx 0, 1, 2, 3 (6)
这样p x 只能取分立值：
px
nx
2
L
nx 0, 1, 2,
(7)
同理，根据周期性条件 (x, L , z) (x, L , z) 和
(x,
y,
L)
(x,
y,
L)
2
可得到
2
2
2
py
ny
2
L
, ny 0, 1, 2,
(8)
pz
nz
2
L
, nz 0, 1, 2,
(9)
2
2
Y
(
,
)
Y
(
,
)
(19)
其中，Y ( ,)是 Lˆ2 算符属于本征值 2的本征函数。
５、角动量平方本征值方程的解
方程(19)是缔合勒让德方程，波函数标准条件要
求 Y ( ,)
在
，
变化的范围都能取有限值。
: (0, ) : (0, 2 )
必须取限制条件确定本征值 ，才可以使无穷级
数中断成为多项式： l(l 1) l 0,1, 2, (20)
)d
1 L3
L
L
L
2 dx 2 dy 2 dz 1
L 2
L 2
L 2
这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件
归一化方法，称为箱归一化。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。
(r , t)
1
(2
)3 2
e i ( pr Et) (11)
测量粒子的动量 p ，有确定值 p ，即动量算符的本征值。
1 (22)
得 Nlm
(l m )! 2l 1 (23)
(l m )! 4
所以，角动量平方算符的本征值是l(l 1) 2， 本征
函数是式(20)所属的球谐函数 Ylm ( ,) ： Lˆ2Ylm(,) l(l 1) 2Ylm(,) (24)
本征方程(24)是式(18)的简化表示。
本征值 ( px , py , pz ) p 可取所有实数，构成连续谱。
２、动量本征函数的归一化
p (r ) C exp( i p r ) 求归一化常数 C ？
计 算 积 分 ：
p
(r
)
p
(r
)d
C2
exp
i
( px
px ) x
( py
py) y
( pz
pz
)
z
dxdydz
(x y ) i i y x
(x y ) y x
２、角动量平方算符定义：
Lˆ2 Lˆ2 Lˆx2 Lˆy2 Lˆz2
2
(
y
z
z
y
)2
(
z
x
x
z
)2
(
x
y
y
x
)2
(14)
利用直角坐标和球坐标变量之间的关系 (x, y, z) (r,,)
x r sin cos r2 x2 y2 z2
＋ exp
－
i
( px px), 其中 ( px px)
是以px px为宗量的函数。
p
(r
)
p
(r
)d
(2 )3C2 ( px px) ( py py) ( pz pz)
C2 (2 )3 ( p p)
如果取 数。
C2
1
(2
)3
，则动量本征函数归一化到
相邻两个分立值的差：
px
2
L
,
py
2
L
,
pz
2
L
当 L 时， px dpx , py dpy , pz dpz , 分立
值 连续谱。
引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化
为１，归一化常数 C
1
3
，即
L2
p
1
3
exp i p r (10)
L2
证：
p
(r
)
p
(r
６、角动量 z 分量算符 Lˆz的本征值方程
LˆzYlm (,) m Ylm (,) (25) Lˆz 算符的本征值为 m ，本征函数为Ylm ( ,) 。