本科高数题库

第一章
一、选择题
1． 下面四个函数中，与x y =不同的是（ ）
A ． x e y ln =
B ． 2x y =
C ． 44x y =
D ． x x y sgn =
2．下列函数中是偶函数的是 （ ）
A ． 1x
y e =+ B ． 3y x = C ． x x y cos 3
= D ． x y ln =
3． 设,12)11(
-=-x x x f 则=)(x f （ ） A ． x +11 B ． x -11 C ． x
1
- D ． x 1
4．设()sin f x x x =, 则函数()f x 在(,)-∞+∞内为（ ）
A ． 周期函数
B ． 偶函数
C ． 单调函数
D ． 有界函数 5． 下列计算正确的的是（ ）
A ．
e x x
x =+→1
0)1(lim B ． 01
lim(1)x x e x
→+= C ． 0
1lim sin
1x x x →= D ． sin lim 1x x x
→∞=
6． 设232)(-+=x
x
x f , 则当0→x 时, 有 （ ）
A ． )(x f 与x 是等价无穷小
B ． )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小
C ． )(x f 是比x 高阶的无穷小
D ． )(x f 是比x 低阶的无穷小 7． 数列有界是数列收敛的（ ）
A ． 充分条件
B ． 必要条件
C ． 充要条件
D ． 无关条件 8． 当0→x 时
,
1是x 的（ ）
A ． 高阶无穷小
B ． 低阶无穷小
C ． 同阶但非等价无穷小
D ． 等价无穷小 9． 下列函数中是偶函数的是 （ ）
A ． 1x
y e =+ B ． x y 2cos 4= C ． x x y cos 3
= D ． x x y cos sin -=
10． 下列计算正确的是（ ）
A ． e x x
x =+∞
→1)1(lim B ． 0
1lim(1)x x e x
→+= C ． 01sin
lim 20
=→x x x D ． sin lim 1x x x
→∞=
11． 设2
()f x x =2,(())2x
f x ϕ=, 则函数()x ϕ是（ ）
A ． x 2log 2
B ． 2x
C ． 2
2log x D ． 2x
12． 设函数111()1
x
x
e f x e -=
+, 则0x =是()f x 的（ ）
A ． 可去间断点
B ． 跳跃间断点
C ． 第二类间断点
D ． 连续点
13． 设1
()1f x x
=+，则(())f f x =( )． A ． 12x x ++ B ． 1
1x
+ C ．
12x + D ． 1x
x
+ 14． 下列各式计算正确的是( )． A ． sin lim
1x x x →∞= B ． 01
lim sin 1x x x
→=
C ． 1lim sin
1x x x →∞
= D ． 011
lim sin 1x x x
→=
15． 设函数11()1x
x
f x e
-=-，则1x =是()f x 的( )．
A ． 可去间断点
B ． 跳跃间断点
C ． 无穷间断点
D ． 连续点
16． 设函数极限0
lim ()x x f x →存在，而0
lim ()x x g x →不存在，则 ( ) (A) 0
lim[()()]x x f x g x →+可能存在 (B) 0
lim[()()]x x f x g x →-可能存在
(C) 0
lim[()()]x x f x g x →⋅必不存在 (D) 0
lim[()()]x x f x g x →⋅可能存在
17． 当0x →时，以下不是无穷小量的是 ( )
(A) 2
sin x x
(B) ln(1)x + (C) 1
2(1)1x +- (D) 2(1)x x +
18． n
n n A n
n 1
)1(+
-+=，则当∞→n 时，n A 是（ ）． A ．无穷小量 B ．无穷大量 C ．有界数列 D ．无界数列 19． =--∞
→x
x x
)
11(lim （ ）
．A ． e B ．
1
e
C ． 不存在
D ． 1 20． 下列四个极限中不存在的是 （ ） A ．x 1xsin
lim 0
x → B ． x
1xsin lim x ∞→ C ． x 1sin x 1lim 0x → D ． x 1
lim x ∞→sinx
21． 设)x (f lim 0
x x →及)x (g lim 0
x x →均存在，则)
x ()
x (f lim
x x g → （ ） A ．存在 B ． 不存在 C ． 不一定存在 Ｄ． 存在但不等于 22． 设[x]表示不超过x 的最大整数，则[]y x x =- 是（ ）
A ． 无界函数
B ．周期为1的周期函数
C ． 单调函数
D ． 偶函数
23． 当0→x 时，x
x 1
sin
是 （ ） A ．无穷大量 B ．无穷小量 C ．有界变量 D ．无界变量
24． 设x x g x x f -==
1)(,1
)(，则=)]([x g f ( ) A ． x 11- B ． x 11+ C ． x
-11
D ． x
25． ()f x =-x
1（1-）
x
,则当x →∞时，()f x 的极限是（ ）． A ．e B ．1
e
C ．不存在
D ．1
26． 下列函数中是偶函数的是 ( )．
(A) 1.x
y e =+ (B)x y 2cos 4=． (C)x x y cos 3
=． (D)x x y cos sin -=． 27． 设232)(-+=x
x x f , 则当0→x 时, 有 ( )．
(A))(x f 与x 是等价无穷小． (B))(x f 与x 是同阶但非等价无穷小． (C))(x f 是比x 高阶的无穷小． (D))(x f 是比x 低阶的无穷小． 二、判断题 1． 30
10
-是无穷小量。

（ ）
2． 若数列{n x }和{n y }的极限都不存在，则数列{n n x y ⋅}的极限一定不存在。

（ ） 3． 一切初等函数在其定义区间内都有原函数。

（ ）
4． 若数列{n x }和{n y }的极限都不存在，则数列{n n x y ⋅}的极限一定不存在。

（ ） 5． 无穷小量是一个非常小的数． （ ）
6． 若2
()f x 在点0x 处连续，则)(x f 也在0x 处连续． （ ） 7 ． 若()f x 在点0x 处连续，则)(x f 也在0x 处连续． （ ） 8． sin x 和x 是等价的无穷小量． （ ） 9 ． 数列收敛是数列有界的必要非充分条件． （ ） 10．若数列{}n x 的极限存在，且每一项都是正数，则其极限也为正数． ( ) 11．初等函数在它们的定义域内都是连续的． ( ) 12． 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． ( )
13． 定义在闭区间上的连续函数的值域是一个单点集或者是一个闭区间． ( ) 三．填空题
1． 已知函数2
(cos ),
0,(),
x x x f x a x -⎧≠⎪=⎨
=⎪⎩在0=x 连续,则=a _____．
2． 函数
y =
的定义域是 ___________________．
3． lim
x = _____________________________
4． 已知函数,0,(),
x e x f x a x x ⎧<=⎨
+≥⎩ 在0=x 连续, 则=a ___________．
5． 当∞→n 时，若n 1sin 2
与k n
1
是等价无穷小，则=k ． 6 ． 要使函数1,
0(),
x e x f x a x x ⎧+<=⎨
+≥⎩连续, 则=a _____ ______．
7 ． 1+x 2-2
x e 当x →0时是x 的 阶无穷小量．(填数字) 8．()f x 在点a 连续是()f x 在点a 处连续的 条件．
9．x=1是y=22
1
x x +-的 间断点．
10．数列n x 与n y 的极限都不存在，则n n x y +的极限 存在． 11．当x →0时，x-sinx 是x 2的 (同．等．高) 阶无穷小量．
12． x=1是1
-x 2
x y 2+=的 间断点．
13．设)(f x 处处连续，且3)2(f =，则)x
x
2sin (f x x 3sin lim
0x →= ．
14．当x →0时，x-sinx 是x 2的 (同．等．高) 阶无穷小量． 15．x
x x 1
)21(lim -→＝ ．
16．若 21
lim(
)01
x x ax b x →∞+--=+，则a = , b = ． 17
．lim )n n n →∞
= ．
18．0x =是,0
()0,0x
x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
的第 类间断点．
19．函数2
2
111arcsin x
x y -+
-=的定义域
20．设⎩⎨
⎧>-≤-=1
,3;
1,1)(x x x x x f ，则1=x 是)(x f 的 间断点．
21
．lim )n n n →∞
= ．
22．设函数,0
(),0
x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在(,)-∞+∞内连续，则a = ．
23． 已知2
(cos ),
0,(),
x x x f x a x -⎧≠⎪=⎨
=⎪⎩ 在0=x 连续, 则=a ．
24．已知函数2
1cos ,0,(),
x
x f x x a x -⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩ 在0=x 连续, 则=a
25． 0x =是函数11
1()1
x
x e f x e -=
+的 间断点．
26． 0x =是函数sin ()=x
f x x
的 间断点． 四．计算题
1． 求111
lim(
)1335
(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-⋅+． 2 求)21(lim 222n
n n n n +++∞→ ． 3． 求x x x x x -+∞→22cos sin lim ． 4 求30arcsin lim sin x x x x
→- 5． 求x
x x x 2sin lim ++∞→
6． 求1
14
11
lim()22n n →∞++
+． 7． 求sin lim cos x x x x x →∞-+
． 8．()20lim 1
n n n →+ 9．1
lim 1tan
2
x x x π
→-（） 10．0
3
1cos lim sin x
x t x →-⎰（）dt 11．x
sin x
sin x tan lim
30x -→ 12．1x x )1x 23x 2(
lim +∞
→++ 13．)x x sin x (lim 3
0x -→ 14．lim()x
x x a x a →∞+-
15． lim x b
x b a a x b →-- 16．求极限2
123(1)lim .n n n →∞++++-
17．求极限2
1
cos 2
d lim
.t x
x e t
x
-→⎰
18．求极限x
dt t x
x ⎰
→0
20
cos lim
．
19． 求极限 111lim[]1223
(1)n n n →∞++
+⋅⋅-⋅ 20． 求极限 0
4
0(sin )d lim
x
x t t t x →-⎰ 第二章
一、选择题
1． 下列说法正确的是 （ ）
A ． 若函数)(x f 在0x x =连续, 则)(x f 在0x x =可导
B ． 若函数)(x f 在0x x =不可导, 则)(x f 在0x x =不连续
C ． 若函数)(x f 在0x x =不可微, 则)(x f 在0x x =极限不存在
D ． 若函数)(x f 在0x x =不连续, 则)(x f 在0x x =不可导 2． 设)(u f 二阶可导, ()x f y ln =, 则=''y （ ）
A ． ()x f ln ''
B ． ()
x
x f 2
1ln ''
C ．
()()[]x f x f x
ln ln 12
'+'' D ． ()()[]x f x f x
ln ln 12
'-''
3． 已知函数)(x f 在0x 的导数为a ，则000
()()
lim
2h f x h f x h h
→+--=（ ）
A ． a
B ． a -
C ． a 2-
D ． 2a 4． 下列说法正确的是 （ ）
A ． 若)(x f 在0x x =连续, 则)(x f 在0x x =可导
B ． 若)(x f 在0x x =不可导, 则)(x f 在0x x =不连续
C ． 若)(x f 在0x x =不可微, 则)(x f 在0x x =极限不存在
D ． 若)(x f 在0x x =不连续, 则)(x f 在0x x =不可导 5． 若)(u f 可导, 且)(x
e f y =, 则有=dy （ ）
A ． ()
dx e f x ' B ． ()
x
x
de e f '
C ． ()[]x x de e f '
D ． ()[]
dx e e f x x ' 6．设函数()f x 在点1x =的某个邻域内有定义，且0(1)(12)
lim
1,h f f h h
→--=则有(1)f ' ( )
(A) 未必存在 (B) 存在且等于12- (C) 存在且等于1
2
(D) 存在且等于2
7．若函数()f x 的导数是x
e -，则以下函数不是()
f x 的原函数的是 ( ) (A) x
e
x -+ (B) x e x -- (C) 21x e x -+- (D) x e --
8．设)(x f 在x a =的某个邻域内有定义, 则)(x f 在x a =处可导的一个充分条件是 ( )．
(A)+1
lim ()()h h f a f a h →∞⎡
⎤
+-⎢⎥⎣⎦存在． (B)0(2)()
lim
h f a h f a h h
→+-+存在．
(C)0
()()lim
2h f a h f a h h →+--存在． (D)0()()
lim h f a f a h h
→--存在．
9． 若函数()f x 的导数是x
e -，则以下函数不是()
f x 的原函数的是 ( ) (A) x
e
x -+ (B) x e x -- (C) 21x e x -+- (D) x e --
10．若()0f '=1，则极限()()0
0lim
3h f h f h
→--等于
A ．1
B ．0
C ．1
3
- D ．2 11．设f(x)是可导函数，且1x
2)
x 1(f )1(f lim
0x -=--→, 则 曲 线)x (f y =在 点（1，)1(f ）处的切 线 斜 率 为 （ ）
A ． -1
B ． -2
C ． 0 Ｄ．1
12．函数f(x)在点x 0可导是f(x)在点x 0可微的 条件．
A ． 充分条件
B ． 必要条件
C ． 充分必要条件
D ． 既不充分也不必要 13．设函数f(u)可导，且)e (f y x
=则有（ ）
A ．dx )e (f dy x '=
B ． x
x de )e (f dy '= C ． x
x
de ])e (f [dy '= D ． dx e ])e (f [dy x
x
'=
14．⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-=-0x ,00
x ,x 1)x (f 2
x e ，则)0('f 为 （ ）
A ． 0
B ．
2
1 C ． -1 Ｄ． 1
15．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
x ,00
x ,x
1
sin x )x (f 2, f(x) 在x=0处 （ ）． A ．不连续也不可导 B ．连续但不可导 C ． 连续且可导， D ．可导但导函数不连续
16．若函数()y f x =满足01
()2
f x '=
，则当0x ∆→时，0x x dy =是（ ） A ． 与x ∆等价的无穷小 B ． 与x ∆同阶的无穷小 C ． 比x ∆低阶的无穷小 D ． 比x ∆高阶的无穷小
17．2
1,0
()0,0x e x f x x x -⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩
，则(0)f '为 （ ）
A ． 0
B ．
2
1 C ． -1 Ｄ． 1
18．设()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是（ ）
A ． 1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在
B ． 0(2)()
lim
h f a h f a h h
→+-+存在
C ． 0()()lim h f a h f a h h →+--存在
D ． 0()()
lim h f a f a h h
→--存在
19．设函数21
sin ,0
()0,0
x x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, ()f x 在0x =处 （ ）． A ．不连续也不可导 B ．连续但不可导 C ． 连续且可导， D ．可导但导函数不连续
二．判断题
1．)(x f 在点
0x 的左导数及右导数都存在是)(x f 在点0x 可导的充分必要条件． ( )
2．若函数()f x 在某点处不连续，则()f x 在该点处不可微． ( ) 3． 若函数在点0x 连续，则该函数在点0x 可导． ( ) 4． 可导的周期函数的导函数仍为具有相同周期的周期函数． （ ） 5． 可导的奇函数的导数仍为奇函数． （ ）
6． 若函数)(x f 在某点处不连续, 则)(x f 在该点处不可微． （ ） 7． 若函数)(x f 在某点处不连续, 则)(x f 在该点处可能可导． （ ） 三．选择题
8． 曲线3
4y x =-在(1,5)--处的切线方程为 ____．
9．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=3
2
1t
y t
x 在2=t 处的切线方程为 __ ．
10曲线13
+=x y 在点)2,1(处的切线方程为 ____． 11 函数()y y x =由方程1y
y xe =+确定，则dy
dx
= ．
12 已知3
3
30x y axy +-=，则隐函数y 的导数为 ． 13．曲线4
2y x =-在(1,1)--处的法线方程为 ___． 14．．函数()f x 在点x 0可导是()f x 在在点x 0可微的 条件． 15．曲线ln y x =在点（e ，1）处的切线方程为 ．
16．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=3
2t
y t
1x ，在t=2的切线方程为 ．
17．d( )=
dx x
1
18．过点)2,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为____________．
19．当=a ，=b 时，函数⎩⎨⎧>+≤++=0,
;
0,32)(2x b ax x x x x f 在),(+∞-∞内连续．可导．
20．曲线ln y x =在点（e ，1）处的切线方程为 ．
21． 曲线51y x x =++在点(1,3)处的切线方程为 22．设()(1)(2)
()(2),f x x x x x n n =+++≥则(0)f '= ．
23．设()y y x =由方程1y
y xe =+所确定，则d y = ． 24． )(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 可微的 条件．
25． 曲线x y e =在点(0,1)处的切线方程为 ．
四、计算题 26． 设x x y +=
, 求y '．
27 ． 讨论函数1sin ,0,
0,
0x x y x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩在x =0处的连续性和可导性． 28． 讨论函数21sin ,0,0,
0x x y x
x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩在x =0处的连续性和可导性． 29． 求y=tan(x+y)的导数dx dy
30． 设)cos(ln y x
e =，求dx
dy
31． )bx (sin y ax
-=e
求dy
32．设参数方程⎩
⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 确定函数)(x y y =，其中)(t f 具有二阶连续导数，且0)(''≠t f ，求22dx y
d
33．求由方程0sin 21
=+-y y x 所确定的隐函数的二阶导数22dx
y d ．
34．设ln cos()x
y e =，求dy
dx
35． 设()lim (
)x
x x t f t t x t
→∞
+=- 求()f t ' 36．设 21
2t
t
x e y e
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，求22dx y d 37． 求方程1y y xe =+所确定的隐函数的微分d .y
第三章
一、判断题
1． 若函数)(x f 在某点处的二阶导数为零，则该点是拐点。

（ ） 2． 函数的极大值一定比极小值大。

（ ） 3． 若函数)(x f 在某点处的二阶导数为零，则该点是拐点。

（ ） 4． 函数的极值点一定是驻点。

（ ） 5．连续函数的拐点一定是二阶导数为零的点． ( )
6． 可微函数的极值点都是驻点． ( ) 二、选择题
1． 若点（0，1）是曲线c bx ax y ++=2
3的拐点，则有（ ）
A ． 1,3,1=-==c b a
B ． c b a ,0,1==为任意值
C ． a 为任意值,1,0==c b
D ． b a ,为任意值, 1=c
2． 若在开区间),(b a 内恒有,0)(<'x f ,0)(>''x f 则),(b a 内曲线弧)(x f y =为 （ ） A ． 上升的上凸弧 B ． 上升的上凹弧 C ． 下降的上凸弧 D ． 下降的上凹弧
3． 若在开区间),(b a 内恒有,0)(<'x f ,0)(>''x f 则),(b a 内曲线弧)(x f y =为 （ ） A ． 上升的上凸弧 B ． 上升的上凹弧 C ． 下降的上凸弧 D ． 下降的上凹弧
4． 若在区间),(b a 内恒有()0,f x '> ()0,f x ''< 则曲线弧)(x f y =为 （ ） A ． 递增的凸弧 B ． 递增的凹弧 C ． 递减的凸弧 D ． 递减的凹弧 5． 设2
()()
lim
1()
x a
f x f a x a →-=--, 则()f x 在x a =处有（ ） A ． 不可导 B ． 可导, 但()0f a '≠ C ． 取得极大值 D ． 取得极小值
6． 若()f x =()f x -，在（0，+∞）内()f x '＞0，()f x ''＞0，则()f x 在（-∞，0）内（ ）． A ． ()f x '＜0，()f x ''＜0 B ． ()f x '＜0，()f x ''＞0 C ． ()f x '＞0，()f x ''＜0 D ．不定 7． ．函数在点0x 处取得极大值，则必有 （ ） A ． 0)x (f 0=' B ． 0)x (f 0<'' C ． 0)x (f 0='且0)x (f 0<'' D ． 0)x (f 0='或者不存在
8． 若在区间(a,b)内恒有)x (f '＜0， 0)x (f >''则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为 （ ） Ａ．上升的凸弧 B ．下降的凸弧 C ． 上升的凹弧 D ．下降的凹弧
9． 若f(x)=f(-x)，在（0，+∞）内)x (f '＞0，0)x (f >''，则f(x)在（-∞，0）内（ ）．
A ．)x (f '＜0，)x (f ''＜0
B ． ．)x (f '＜0， 0)x (f >''
C ． )x (f '＞0，)x (f ''＜0
D ．不定
10． 曲线2
2
11x x e y e
--+=
- （ ）
A ． 没有渐近线
B ．仅有水平 渐近线
C ． 仅有铅直渐近线
D ．既有水平渐近线又有铅直渐近线 11． 设()y f x =定义在(,)-∞+∞内，00x ≠是函数()f x 的极大值点，则（ ） A ． 0x -必是()f x --的极小值点 B ．对于一切的x 都有 0()()f x f x ≤ C ． 0x 是()f x 的驻点 D ．当0x x < 时，()0f x '≥ ；当0x x > 时()0f x '≤． 12． 设在闭区间[]0,1上()0f x ''>, 则(0)f '．(1)f '及(1)(0)f f -三个数的大小顺序为( )．
(A)(1)(0)(1)(0).f f f f ''>>- (B)(1)(1)(0)(0).f f f f ''>->
(C)
(1)(0)(1)(0).f f f f ''->> (D)(0)(1)(1)(0).f f f f ''>>-
13． 若在开区间),(b a 内恒有()0,f x '< ()0,f x ''< 则),(b a 内曲线弧)(x f y = 为( )．
A ． 向上凸的上升弧
B ． 向上凹的上升弧
C ． 向上凸的下降弧
D ． 向上凹的下降弧 三、填空题
1． 曲线x x y +=2
在坐标原点处的曲率半径为 ． 2． 曲线()
2
21
1x y x -=
-的水平渐近线是 __ ．
3． 曲线x
x y +=12
的斜渐近线为 __ ．
4 函数2()x
f x e =的带有拉格朗日型余项的2阶麦克劳林公式为 ． 5． 2
x y e -=的渐近线是 ．
6． 曲线x
1x y 2
+=的斜渐近线方程为 ．
7． 函数14x 12x 3x 2)x (f 2
3
+-+=的拐点是______________．
8． 函数y=x2x 的极小值点是 9． 曲线y=lnx 的上凸区间
10． 函数x ln x 2)x (f 2
-=的单调增加区间是 ． 11． 函数()2cos f x x x =+在区间[0,
]2
π
最大值是___________．
12． 曲线3
y x =的上凸区间
13． 函数x x x f ln 2)(2
-=的单调增加区间是 14． 函数()2cos f x x x =+在区间[0,
]2π
最大值是___________．
15． 设常数0k >, 函数()ln x
f x x k e
=-+在(0,)+∞内零点的个数为 ．
16． 函数ln(1)y x =+的带皮亚诺余项的3阶麦克劳林公式为
四、计算题
1． 设()f x 在开区间),(b a 内可导, 且存在有限的极限:
⎩
⎨
⎧=<<=b a x A b
x a x f x F ,,),()( ()()lim lim x a x b f x f x A +-→→== 试证: 至少存在一点(),a b ξ∈, 使得 ()0f ξ'=
2．要造一有盖圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 各等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径
与高的比是多少？ 3．设0h >, 证明
2
arctan 1h
h h h <<+．
4． 设0b a >>, 证明
ln b a b b a
b a a
--<<
． 5． 试决定曲线3
2
y ax bx cx d =+++中的a ．b ．c ．d , 使得在2x =-处曲线有水平切线, (1,10)-为拐点, 且点(2,44)-在曲线上． 6． 证明方程
015=-+x x 只有一个正实根．
7．试问a 为何值时，函数1
()sin sin 33
f x a x x =+在3
x π
=处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此
极值．
8．设函数()f x 在闭区间[0,2]上二阶可导，且1
(0)1,(1)1,(2),2
f f f ==-= 试证：存在(0,2),ξ∈使得()0.f ξ''>
9．设函数()f x 在区间[0,2]上可导，且(0)1,(1)1,(2)2f f f ==-=，试证：存在(0,2)ξ∈使得()0f ξ'=．
10．设f(x) 在[a,+∞)上连续，)x (f ''在(a ,+∞)内存在且大于零，记)a x (,a
x )
a (f )x (f )x (F >--=．证明F(x)
在 (a,+∞)内单调增加． 11．证明 当2
0π
<
<x 时，x x x 2tan sin >+
12．设()f x 在[0,]a 可导，(0)0f =．且()f x '在(0,)a 内单调增加，证明函数()
f x x
在(0,)a 内单调增加．
第四章
一、选择题
1．下列式子中正确的是（ ）． A ．()()
f x dx '
⎰
= ()f x +c B ．()d f x dx ⎰= ()f x
C ．
()f x dx '⎰
= ()f x D ．
()()d f x dx dx
⎰=
()f x
2．设f(x)满足足够的连续或可微条件，则下列结论正确的是（ ） A ．
⎰=')x (f dx )x (f B ．
⎰=)x (f dx )x (f dx
d
C ．
⎰=)x (f )x (df D ． ⎰=)x (f dx )x (f d
3．设函数f(u)可导，且)e (f y x
=则有（ ） A ．dx )e (f dy x
'= B ． x
x
de )e (f dy '= C ． x
x
de ])e (f [dy '= D ． dx e ])e (f [dy x
x
'= 4．若f(x)的导函数是sinx ，则f(x)有一个原函数为（ ）．
A ． 1-sinx
B ． 1+sinx
C ． 1+cosx Ｄ． １-cosx 5．设)(x F ．)(x G 是)(x f 的两个不同的原函数，且0)(≠x f ,则有（ ）
Ａ．0)()(=+x G x F Ｂ．C x G x F =)()( Ｃ．C x G x F =-)()( Ｄ．)()(x CG x F = 二、填空题
1．函数在[a ，b]上连续是()f x 在[a ，b]可积的 条件． 2．设()f x 连续可微，则
arcsin f x dx
'= ．
3．='⎰
dx )x (f e
)
x (f
4．设2sin x 为()f x 的一个原函数，则()xdf x =⎰
三、计算题
5． 求不定积分dx x x ⎰+2
)1ln(． 6． 求不定积分dx e x
⎰-． 7． 求不定积分dx x x x ⎰
++123224． 8．1cos dx x -⎰ 9．⎰x
cos sinx dx 3 10．已知f(x)的一个原函数是2
x e -，求dx )x (f x ⎰' 11．求不定积分dx cosx x 2⎰ 12． 1sin 1cos x
dx x
++⎰
13．求不定积分dx cosx x 2⎰ 14．
⎰
--dx x x 2
5114 15．求不定积分2
ln(1)
d .x x x
+⎰
16． 求不定积分
2cos d .x x ⎰ 17． 求不定积分ln(1)d x x x -⎰．
18．求不定积分2
ln(1)d .x x x
+⎰ 19． 求不定积分2cos d .x x ⎰ 20． 求不定积分ln(1)d x x x -⎰．
第五章
一、选择题 1． 使积分
32)1(2
22=+⎰
-dx x kx 的常数=k （ ）
A ． 40
B ． 40-
C ． 80
D ． 80- 2．设()f x 连续，()()2
2
x F x f t dt =
⎰，则()F x '等于（ ）
． Ａ．()
4f x Ｂ．()24x f x Ｃ．２ｘ()4f x Ｄ．()
22xf x 3．下列不等式成立的是 ( )
(A) 1
1(tan )d 0x x x -+>⎰ (B) 1
1()d 0x x e x -+>⎰
(C)
1
1
(tan )d 0x x x -->⎰
(D)
1
1
(cos )d 0x x x -->⎰
二、填空题
1． 函数()f x 在[]b a ,上可积是()f x 在[]b a ,上连续的 条件． 2． 设⎰
+=1
0)(2)(dt t f x x f , 则()=x f ． 3． 设⎰
+=2
)(2)(dt t f x x f , 则()=x f ．
三、判断题
1． 闭区间上的连续函数一定可积。

（ ） 2． 若)(x f 在闭区间[]b a ,上可积，则)(x f 在[]b a ,上必定有界． （ ） 3． 若)(x f 在闭区间[]b a ,上无界，则)(x f 在[]b a ,上必定不可积． （ ） 4． 若)(x f 在闭区间[]b a ,上可积，则)(x f 在[]b a ,上必定有界． ( ) 四、计算题
1．1
x
xe dx -⎰
2．设()f x 在[a ，b]上有连续二阶导数，且()()f a f b ==0．证明：
()()1
2b
b
a
a
f x dx x a x b f x dx ''=--⎰
⎰（）（）
3． 求极限x
dt t x x ⎰+→0
0)1ln(lim
4． 求极限x
dt t x
x ⎰→0
20
cos lim
．5．
求定积分
1
220
⎰
．
6．()lim
x
a
x a
x f t dt
x a
→-⎰ 7． 求定积分⎰20
cos π
xdx x ． 8．4
x
sin 0
x
t)dt ln(1 lim
2⎰
+→x
9．0
2
1cos lim
sin x
x t x →-⎰
（）dt 10
．
11
．求定积分4
.x ⎰
12．求定积分2
1
ln d .x x x ⎰
13．求极限x
dt t x
x ⎰→0
20
cos lim ． 14．
求定积分1
x x ⎰．
15． 设()f x 是连续的周期函数, 周期为T , 证明:
()d ()d .a T
T
a
f x x f x x +=⎰
⎰
第六章
1．设1D 是由抛物线2
2x y =和直线2,==x a x 及x 轴所围成的平面区域; 2D 是由抛物线2
2x y =和直线
a x =及x 轴所围成的平面区域, 其中20<<a ．
（1）试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V 及2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ; （2）问当a 为何值时, 21V V +取的最值？试求此最值． 2.直线2=x ，x 轴及抛物线2
2x y =围成一平面图形，试求： （1）此平面图形的面积．
（2）此平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积．
3．过点A （1，1）作曲线y=x 2（x ≥0）的切线．求： （1）该切线方程；
（2）由曲线y=x 2．x 轴与该切线围成的平面图形的面积； （3）由上述图形饶x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

（10分） 4．直线x=2，x=4,x 轴及抛物线y=2x 2围成一平面图形，试求： （1）此平面图形的面积
（2）此平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积．
5．直线x=2，x 轴及抛物线y=2x 2围成一平面图形，试求： （1）此平面图形的面积．
（2）此平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积．
6．设星形线的方程为：3
3
cos (0)sin x a t
a y a t
⎧=⎪>⎨=⎪⎩，试求： （1）它所围的图形的面积
（2）它绕x 轴旋转所得的旋转体的体积．
7．设平面图形D 由2
1,0,1,0y x x x y =+===所围成，求
(1) 图形D 的面积S ；
(2) 图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V ． 8．直线2=x ，x 轴及抛物线2
2x y =围成一平面图形，试求： （1）此平面图形的面积S ．
（2）此平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积V ． 9 曲线sin (0)y x x π=≤≤与直线0y =围成一平面图形，试求 (1) 此平面图形的面积；
(2) 求此平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积．
设函数()f x 在区间[0,2]上可导，且(0)1,(1)1,(2)2f f f ==-=，试证：存在(0,2)ξ∈使得()0f ξ'=．
第七章
1．求方程43y y y '''-+=1的通解．
2．已知(1)1f =，若()f x 满足方程()()0xf x f x '+≡，求(2)f 3．求方程32x
y y y xe '''-+=的通解。

4．求方程(0)x
xy y e x '+=>的通解。

5．设有一通过坐标的原点的曲线,,该曲线方程
为．。