宏观经济学分析方法系列：变分法、欧拉方程、极值路径与动态经济模型分析

附录：

宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化

(08、09 、10、11 硕已讲，精细订正版)

一、动态最优化

在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数y y(x)，最优点x 的一阶条件是y(x)0.

在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线x (t).这个最大化的积分定义为独立变量t、函数x(t)及它的导数dx/dt的函数F下的面积。

简言之，假设时间区域从t0 0到t1 T，且用x表示dx/dt，我们

寻找最大化或最小化

T

0 F[t,x(t), x(t)]dt (20.1 ) 这里假定F对t、x(t)、x(t)是连续的，且具有对x和x的连续偏导数.

将形如(20.1)，对每一个函数x(t)对应着一个数值的积分称为“泛函”．一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“ 极值曲线”．

极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满

足一些固定端点条件的函数类x(t) ．

(讲！)

例1 一家公司当希望获得从时间t 0到t T的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p ，而且也依赖于价格关于时间的变化率如dp/dt。假设成本是固定的，并且每个p和dp/dt是时间的函数，p 代表dp/dt ，公司的目标可以作如下数学表示

T

Max 0 [t, p(t), p(t)] dt

另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平x(t) 和生产的变化率dx/dt x .假设这个公司希望最小化成本，且x和x是时间t的函数，公司的目标可以写成

t

1

min C[t, x(t), x(t)]dt

t

满足

x(t o) X o,且X(tJ X i

这些初始和终值约束称为端点条件．

例2 Ramsey经济：消费最优化问题

从家庭终生效用函数的集约形式u u(c)出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“ Ramsey问题”一找出一条消费路径c(t)，使家庭终生效用函数U U(c)最大化：

1

max B e t [c(t)] dt

c 0 1

k0 o ( (t) c(t))e(n g)t R(t)dt 0

二、欧拉方程：动态最优化的必要条件(三种形式)

定理(泛函极值曲线即最优化)的必要条件)：对于一个泛函

t i

t F[t,x(t),x(t)]dt

t

连接点(t o, X o)和(t i, X i)的曲线x x (t)是一个极值曲线(即最优化)的必

要条件是

F F

(20 . 2a)

x dt x

称之为欧拉方程.

尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程.

用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函

数.（20 . 2a）的欧拉方程表示为

F x（t,x,x）辛［F x（t,x,x）］（20 .

2b）

dt

然后，用链式法则求F x关于t的导数，并且省略自变“量”，得

F x F xt F xx（x） F xx（x）（20 . 2c）这里，x d2x/dt2

F面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明

图20-2

证明：（重点！09、10、11硕，已讲）

设x x （t）是图20-2中连接点（t°,x°）和（t i,xj的曲线，并且它使

F面泛函取得最大值

；F[t,x(t),x(t)]dt

(20 . 3)

T

即x x (t)为极值曲线，欧拉方程(20 . 2a)是x x (t)为极值曲线的 一个必要条件.

取X x (t) mh(t)是x x (t)的相邻曲线，这里m 是任意常数，h(t) 是一个任意函数.为了使曲线刃也通过点(t o ,x o )和(切禺)，则卞也满 足端点条件：

h(t o ) 0

h(t i ) 0

(20 . 4)

一旦取定x (t)和h(t)之后，因x (t)和h(t)固定，则积分值

^F[t,x(t), x(t)]dt 仅为m 的函数，不妨改写成

t

t l

g(m) t F[t,x (t) mh(t) ,x (t) mh(t)]dt

(20 . 5)

t

由于x (t)使(20 . 3)中的泛函fl F[t,x(t), x(t)]dt 实现最优化，所以

t

(20 .

5)中的函数g(m)仅当m 0时 g(m) 1F[t,x (t) mh(t) ,x (t) mh(t)]dt 才能还原为

t

最优化，即有

dg dm

对(20 . 5)即 g(m) :F[t,x(t) mh(t),x(t) mh(t)]dt 用链式法则 求

F / m .由于F 是x 和x 的函数，依次又是m 的函数，代入(20 . 7)得

dg t

1

上(x mh) F (x mh) dt

dm

t0

x m

x m

(因为m 0时的

：F[t,x(t), x(t)]dt )实现

t

(20 . 6)

由于旦』h 且旦上h ，用条件(20 . 6)即岂|m0 0,有

m

m

dm

—m o t

h(t) h (t) dt 0

(20 . 8)

dm t0

x

x

(注:

u h(t)

所以,

去掉，合并其余两项，有

由于h(t)是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条 件为方括号中式子为零，即

这就是欧拉方程 ．定理证毕

方括号中的第一项不动，第二项的积分用

分部积分，

分部积分公式即

vdu vu udv u u(t),v v(t)

dv dv dt dt

du dF x

dt

火 dt h(t) dt

dt dg dm

t i t

F

h(t)dt x

t

t

dt

-h(t)dt 0 x

由(20 . 4)知，h(t 。) h(t i )

从而h(t 。) h(tj

0,于是上式中第二项

dg dm

t i

t

F d F x dt x

h(t)dt 0

(20 . 9)

x dt x x dt x