线性代数习题第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
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习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵
1、用初等行变换化矩阵
1021
2031
3043
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
为行最简形、
2、用初等变换求方阵
321
315
323
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵、
3、设
412
221
311
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
,
3
22
31
-
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
1
B=,求X使AX B
=、
4、设A就是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B、
(1) 证明B可逆(2)求1
AB-、
习题 3-2 矩阵的秩
1、求矩阵的秩:
(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦
L 2、设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =、
3、 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系就是 、
.()()a R A R B = .()()b R A R B <;
.()()1c R B R A >-; .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-
4、 矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= 、 a 、1; b 、 2; c 、 3; d 、 4、
5、 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = 、 a 、 1; b 、 n -11; c 、 –1; d 、 1
1-n 、 6、设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:
()()R A R A E n +-=
习题 3-3线性方程组的解
1. 选择题
(1)设A 就是m n ⨯矩阵,0Ax =就是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的就是( )、
A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解
B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解
C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解
D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,
(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( )、
A 、r m =时,方程组Ax b =有解
B 、r n =时,方程组Ax b =有唯一解
C 、m n =时,方程组Ax b =有唯一解
D 、r n <时,方程组Ax b =有无穷多解
(3)设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321
3213221x x x x x x x x x λλλλ
的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 、
2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;
C 、 1=λ且0=B ; d 、 1=λ且0≠B 、
(4)设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解就是21,X X ,则 就是该方程组的解、 121212121.;.;.
();..22
X X a X X b X X c X X d -+-+ 2、解下列方程组: (1)123412341
23420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩
(2) 21422221x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩
3、设 123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩
问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解、
4、 设线性方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x
(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?
(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解、
5、设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为05
1
=∑=j j a ,且在有解的情形,求出它的一般解、