线性代数习题第三章矩阵的初等变换与线性方程组

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线性代数答案第四版(高等教育出版社)

−ab ac ae (3) bd −cd de ;
bf cf −ef
a 1 00 (4) −1 b 1 0 .
0 −1 c 1 0 0 −1 d
解: (1)
4 124
1 202
1202
1 2 0 2 ==r1=↔=r=2= − 4 1 2 4 ==r=2−=4=r=1= − 0 −7 2 −4
10 5 2 0
(2) ay + bz az + bx ax + by = (a3 + b3) y z x ;
az + bx ax + by ay + bz
zxy
4
第一章行列式
证明: ax + by ay + bz az + bx
x ay + bz az + bx
y ay + bz az + bx
ay + bz az + bx ax + by ==按=第==1=列== a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
xyz
yzx
=再==次=a3 y z x + b3 z x y
裂开
zxy
xyz
xyz
xyz
xyz
=a3 y z x + b3(−1)2 y z x = (a3 + b3) y z x .
zxyzxyzxy源自此题有一个 “经典” 的解法:
ax + by ay + bz az + bx
ax ay az
by bz bx
ay + bz az + bx ax + by = ay az ax + bz bx by

第三章矩阵的初等变换与线性方程组.

显然把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
方程组的同解变换与增广矩阵的关系
在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换.
同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上.
为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵初等变换举例
~ ~ 21
1 1
1 2
1 1
42
43
6 6
2 9
2 7
94
r
01
1 1
2 1
1 1
04
00
0 0
0 0
1 0
03
r
0001
0 1 0 0
1 1 0 0
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
方程组的同解变换与增广矩阵的关系
在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同
解的方程这种变换过程称为同解变换.
线性方程组与其增广矩阵相互对应对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换.
把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上就得到矩阵的三种初等变换.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换
下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去.

线性代数(同济六版)ch3

x1 x2 2 x3 3x1 x2 8 x3
0 0
x1 3 x2 9 x3 0
是否有非零解？
解由
1 1 5
A
1 3 1
1 1 3
2
8 9
1 1 5
r2 - r1 r3 - 3r1 r4 - r1
～
0
0 0
2 2 4
7
7 14
1 1 5
r3 - r2 r4 - 2r2
其中
Ax = b
x1
x
xxn2 ,
b1
b
bbm2 .
定理 3 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(B) , 其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组 Ax = b 的增广矩阵.
证明必要性设非齐次线性方程组 Ax = b 有解，要证R(A) = R(B) . 用反证法, 假设R(A) < R(B) ，则 B可化成行阶梯形矩阵
～
0
0 0
2 0 0
7
0 0
可知R(A)=2. 因为R(A)=2＜3
所以此齐次线性方程组有非
零解.
例2. 当取何值时，齐次线性方程组
3
3x1 x1 2
x2 x2
x3 0 3x3 0
x2 x3 0
有非零解.
解用初等行变换化系数矩阵
3 A3
1 2
1 3
r2～ r1
3 0
1 0 0
1 0 0
1 3 0
2 3,
2 0
0 0
3 1 0
1 0 1
1 1, 3
0
0
0 0
2 0 0 0

第三章矩阵的初等变换与线性方程组参考答案

第三章矩阵的初等变换与线性方程组参考答案习题A1. 3)(,1800002010013201~=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--A R A 2.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-10001000100011a a a A 3. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−000007579751076717101r B ，故原方程通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛007576107971017571214321c c x x x x ),(21R c c ∈注：还有其他解的形式，不一一赘述。

习题B一、1.141-；2.0；3.0；R(A)<n,0≠,n b A R A R ==)()( ；4. R t t x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,14525002321 5.非零解二、ABCAA三、1. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=000000400014030012111003014030000000121110030116030242201211A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→000000100031001031020100000010003134010*********00001000313401001211R(A)=32. 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−2000000003621011111x y x x A r，及2)(=A r 故2,0==y x 。

3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=32000110010101111111111111112k k k k k k k k k k kA 因为3)(=A r ，所以01,0322≠-=+--k k k ，所以3-=k4. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-4613513411A5. 方程组可写为b AX =，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-0013212141813413231511b A x 6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=521004101021001301131111462011~A43)~()(<==A r A r ，所以方程组有无穷多解。

线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组

线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组(总6页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆 (2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344 A⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212nnn n n na b a b a ba b a b a bBa b a b a b⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,2,,i ia bi n≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦2.设12312323kA kk-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k为何值,可使(1)()1R A=; (2)()2R A=; (3)()3R A=.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . ; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则是该方程组的解. 121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组:(1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x (1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a ,且在有解的情形,求出它的一般解.。

线性代数课后习题答案第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201. 2.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1))⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010********* 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B ,求X 使AX =B ;解因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X .5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A ,求X .解原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100101010110001~,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211,矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431,矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B . 11.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r .(1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x xx x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x xx x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331,于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000021101201,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数). (4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x .解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=ww z z w z y w z x 757975767171,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数). 14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x为通解的齐次线性方程组. 解根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x xx x ,与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x cx c c x c c x ,或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x ,或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解? 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr. (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ.要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2. 当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001101101,方程组解为⎩⎨⎧=+=32311xx x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x , 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数).当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021102101,方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 解B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ.要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须 (1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0, 所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221, 方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=33223211x x x x x x x , 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数). 18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T .证明必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为)0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A .令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T .充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1, 所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ; 证明由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R(A)=R(A,E m),而| E m|是矩阵(A,E m)的最高阶非零子式,故R(A)=R(A,E m)=m.因此,方程AX=E m有解的充分必要条件是R(A)=m.(2)方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=n.证明注意,方程YA=E n有解的充分必要条件是A T Y T=E n有解.由(1)A T Y T=E n有解的充分必要条件是R(A T)=n.因此，方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=R(A T)=n.20.设A为m⨯n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y.证明由AX=AY,得A(X-Y)=O.因为R(A)=n,由定理9,方程A(X-Y)=O只有零解,即X-Y=O,也就是X=Y.。

线性代数习题册(第三章矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)

(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X）（X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0

1≤i< j≤n
1
xn

x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；

1
1 0
0
0

a11 a21
a12 a22
a13 a23

=

a21 a11
a22 a12
a23 a13

0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答

⎯r⎯→
⎢⎢0
−1
2
6 −4⎥⎥ ⎯r⎯→
⎢⎣−1 0 2 5 −3⎥⎦
⎢⎣0 0 1 7 −3⎥⎦
⎡1 0 0 9 −3⎤ ⎢⎢0 1 0 8 −2⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 7 −3⎥⎦
5
⎡9 −3⎤ 所以 X = (E − A)−1 B = ⎢⎢8 −2⎥⎥
⎢⎣7 −3⎥⎦
例
3.9
方程组
⎪⎨⎧ax1x1++axx22
⎢⎣1 0 1⎥⎦ 可得 R( A) = 2 .故 R( A2 + 2A) = R( A( A + E)) = R( A) = 2 .
例 3.6 设 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，证明
(1) A* = A n−1 ，
⎧n, R( A) = n; (2) R( A*) = ⎨⎪1, R( A) = n −1;
⎢ ⎢
M
M
M
M
⎥ ⎥
⎢⎣a a a L a⎥⎦
(A) 1
1
(B)
1− n
(C) -1
1
(D)
n −1
解因为 R( A) = n −1 ，所以 A = 0 . 又 A = (1− a)n−1[(n −1)a +1] ，故 a = 1 或
a = 1 .当 a = 1 时，易知 R( A) = 1 ，当 a = 1 时， R( A) = n −1.
⎡ x1 ⎤ ⎡− 2c1 + c2 − 1⎤
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
4c1 − 2c2
⎥ ⎥
⎡− 2⎤
⎢ ⎢
4
⎥ ⎥
⎡ 1 ⎤ ⎡− 1⎤
⎢⎢− 2⎥⎥

矩阵的初等变换及线性方程组习题

对 A 施行一次相应的
.
分析本题是考查初等方阵的性质．解初等行变换；初等列变换．
【例2】 E(i, j)2 ，E(i, j(k))2 ， E(i(k))2 .
分析本题是考查初等方阵的定义及性质．
解 E ； E[i, j(2k)] ； E[i(k 2 )] ．
【例3】设矩阵
A

3 1
0 4
0 0
，E

1 0
0 1
0 0
,则逆矩阵 ( A
2E) 1

.
0 0 3
0 0 1
分析本题可利用初等行变换法求逆矩阵．
解
1 1 2
0 12
0 0
．
0 0 1
【例4】设 4 阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵 A*的秩为 .
的秩为
.
分析本题是考查列乘行形式的矩阵秩的性质．因 R(A) 1，
R(Q) 1，故 A与 Q 均至少有一个非零元，所以 AQ 也至少有
一个非零元，从而R(AQ) 1 ；又 AQ 的各行元素对应成比例，所以 AQ 的任何阶 2子式均为 0，故 R(AQ) 1.可见 R(AQ) 1. 解 1．注一般结论：设，均为非零列矩阵，则 A T R(A) 1 .
（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作 ri krj ）.
注（1）将定义中“行”改为“列”，称为矩阵的初等列变
换；
（“记”号：）“r ”换为c
（2）初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
定义2 若矩阵 A经过有限次初等行变换变成矩阵 B ，则称
r
矩阵 A与 B 行等价；记作 A ~ B；
互为逆矩阵，所以 E(1, 2(6))E(1, 2(6))A EA A，故应选 (B) .

线性代数习题矩阵的初等变换与线性方程组讲课讲稿

线性代数习题［第三章］矩阵的初等变换与线性方程组习题3-1矩阵的初等变换及初等矩阵3 2 13 1 5的逆矩阵.3 2 34.设A 是n 阶可逆矩阵将A 的第i 行与第j 行对换后得矩阵B . (1)证明B 可逆 ⑵求AB 1.1•用初等行变换化矩阵A 1 0 2 1 2 0 3 1 为仃取简形 3 0 4 34 12 13 2 21 ,B=2 2 ,求X 使AX B3 1 1 3 13.设A 2•用初等变换求方阵A习题3-2矩阵的秩1•求矩阵的秩:(1)A1 2 3k2.设A 1 2k 3问k为何值，可使k 2 3(1)R(A)1；⑵R(A) 2; ⑶ R(A) 3qb oi 1,2, |||,n&1 b| &1 b?a? b| a?b?Ill III a n E a nb2 a2b n III a n b n3.从矩阵A中划去一行，得矩阵B,则R(A)与R(B)的关系是_______a. R(A) R(B)b. R(A) R(B);c. R(B) R(A) 1 ;d. R(A) R(B) R(A) 1.3 2 1 3 14.矩阵2 1 3 1 3 的秩R=7 0 5 1 8a.1;b. 2;c.: 3;d. 4.1 a a a5.设n(n 3)阶方阵 aA 1 a a的秩R(A)=n-1,则 aa a a 1a. 1;b. 1 ;c.—; d. 11 n n 1 6.设A为n阶方阵，且A2A,试证：R(A) R(A E) n习题3-3线性方程组的解1. 选择题⑴设A是m n矩阵,Ax 0是非齐次线性方程组Ax b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是().A. 若Ax 0仅有零解，则Ax b有唯一解B. 若Ax 0有非零解，则Ax b有无穷多个解C. 若Ax b有无穷多个解，则Ax 0仅有零解D. 若Ax b有无穷多个解，则Ax 0有非零解,(2)对非齐次线性方程组/Am M b,设R(A) r,则(A. r m时,方程组Ax b有解B. r n时方程组Ax b有唯懈C.m n时方程组Ax b有唯一解D. r n时方程组Ax b有无穷多解X1 x 2 2 X3 0(3)设齐次线性方程组X1 x 2 x 3 0X1 x 2 x 3 0的系数矩阵为A,且存在三阶方阵B 0,使AB=0,则________ .a. 2且B 0；b. 2且B 0；C. 1 且B 0; d. 1 且B 0.(4)设非齐次线性方程组AX=b的两个互异的解是X!,X2，则__________ 是该方程组的解.1 X Xa. X1 X2;b. X1 X2;c. (X1 X2);d. 1 2.2 22. 解下列方程组：x-i 2x2 x3 x40(1) 3x-| 6x2 x3 3x4 05x1 10x2 x3 5x4 02x y z w 1(2) 4x 2y 2z w 22x y z w 1(2 )x-| 2x2 2x3 13. 设2x! (5 )x2 4x3 22x! 4x2 (5 )x3 1问为何值时,此方程组有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解4.设线性方程组x y z 0ax by cz 0a xb yc z 0⑴a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？(2) a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多解？求出其解.5.设x i X2 a i, X2 X3 a2,X3 X4 a3, X4 X5 a「X5 x i a s,证明这个方程组有解的充分必要5条件为a j 0,且在有解的情形，求出它的一般解.j 1。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案

第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.4.1 基础练习1．已知121011251-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭A，求()R A.2．已知32101032100000200000-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭B，求()R B.3．若矩阵,,A B C满足=A BC，则（）. (A)()()R R=A B (B) ()()R R=A C(C)()()R R≤A B (D) ()max{(),()}R R R≥A B C4．设矩阵X满足关系2=+AX A X，其中423110123⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭A，求X.5．设矩阵101210325⎛⎫⎪= ⎪⎪--⎝⎭A，求1()--E A.6．A是m n⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组=Ax b中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =Ax b必有无穷多解； (B) 0=Ax必有非零解；(C) 0=Ax仅有零解； (D) 0=Ax一定无解.8．求解线性方程组（1）12312312312333332x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩，（2）72315532151011536x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩（3）12341234123420 20 2220 x x x xx x x xx x x x++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩9．若方程组 12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ= .10．若12(1,0,2),(0,1,1)T T ==-αα都是线性方程组0=Ax 的解，则=A ( ).(A)()2,1,1- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ (D)011422010-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.4.2 提高练习1．设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则*()R A = .2．设矩阵12332354445037a a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，以下结论正确的是( ). (A)5a =时，()2R =A (B) 0a =时，()4R =A (C)1a =时，()5R =A (D) 2a =时，()1R =A3．设A 是43⨯矩阵，且()2R =A ，而102020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则()R =AB .4．设12243311t-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，且0=AB ，则t = . 5．设12312323k k k -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A , 问k 为何值，可使（1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A .6．设矩阵111111111111kk k k ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭A ，且()3R =A ，则k = .7．设133143134⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，试将A 表示为初等矩阵的乘积. 8．设n 阶方阵A 的个行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组0=Ax 的通解为 .9．设11121314212121213132333441424344a a a a a a a a a a a a aa a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，14131211242322213433323144434241a a a a aa a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B ，10001010000101000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭P21000001001000001⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭P ，其中A 可逆，则1-=B .10．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（）.（A ）当(0)a a =≠A 时，a =B （B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B （C ）当0≠A 时，0=B （D ）当0=A 时，0=B11．设a b b b a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，若*()1R =A ，则必有（）.（A ）a b =或20a b += （B ）a b =或20a b +≠ （C ）a b ≠或20a b += （D ）a b ≠或20a b +≠12．齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵0≠B ，使得0=AB ，则（）.（A ）2λ=-且0=B （B ）2λ=-且0≠B （C ）1λ=且0=B （D ）1λ=且0≠B13．设A 是三阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得到B ，再把B 的第二列加到第三列得到C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（）.（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14．已知12324369t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q ，P 为三阶非零矩阵，且0=PQ ，则（）.（A ）6t =时，()1R =P （B ）6t =时，()2R =P （C ）6t ≠时，()1R =P （D ）6t ≠时，()2R =P15．若线性方程组121232343414x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解，则常数1234,,,a a a a 应满足条件 .16．设方程组123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = .17．设n 阶矩阵A 与n 维列向量α，若()0TR ⎛⎫= ⎪⎝⎭AA αα，则线性方程组（）. （A ）=Ax α必有无穷多解（B ）=Ax α必有唯一解（C ）00T⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A x y αα仅有零解（D ）00T ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Ax y αα必有非零解.18．设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则线性方程组()0=AB x （）. （A ）当n m >时仅有零解（B ）当n m >时必有非零解（C ）当m n >时仅有零解（D ）当m n >时必有非零解19．求λ的值，使齐次线性方程组 123123123(3)20(1)03(1)(3)0x x x x x x x x x λλλλλλ+++=⎧⎪+-+=⎨⎪++++=⎩有非零解，并求出通解.20．设 123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时，此方程组有唯一解，无解或无穷多解并在有无穷多解时，求其通解.21．问,a b 为何值时，线性方程组 123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解并求出有无穷多解时的通解.22．问λ为何值时，线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ⎧+=⎪++=+⎨⎪++=+⎩有解，并求通解.23．已知3阶矩阵A 的第一行为(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，k 为常数.若0=AB ，求线性方程组0=Ax 的通解.24．设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . （1）证明B 可逆；（2）求1-AB .第三章参考答案3.4.1 基础练习1．()2R =A ． 2．()3R =B ． 3．因为()min{(),()}R R R ≤A B C 故选C ．4．由已知(2)-=A E X A ，因为100386(2,)0102960012129r--⎛⎫ ⎪-−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭A E A 故1386(2)2962129---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A ．5．100231342100⎛⎫- ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭． 6．()R n <A ． 7．B ． 8．（1）无解；（2）211x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）12349,43x x c c R x ⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭． 9．有无穷多解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数得3λ=。

线性代数课件第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题课

例如
数20课20件/10/25
５行最简形矩阵
经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．
例如
数20课20件/10/25
６矩阵的标准形
对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．
由此可知
，而方程组(1)中未知
量的个数是，故有一个自由未知量.
数20课20件/10/25
例３当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．
解法一系数矩阵的行列式为
数20课20件/10/25
数20课20件/10/25
从而得到方程组的通解
数20课20件/10/25
数20课20件/10/25
数20课20件/10/25
四、解矩阵方程的初等变换法
或者
数20课20件/10/25
例５解
数20课20件/1章测试题
一、填空题(每小题4分，共24分)． 1．若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为
，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解． 2．齐次线性方程组
（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（
列），得初等矩阵
．
数20课20件/10/25
（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另
一行（列）上去，得初等矩阵
．
数20课20件/10/25
４行阶梯形矩阵
经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．

同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)-章节题库-第3章矩阵的初等变换与线性方程组【圣才出

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第 3 章矩阵的初等变换与线性方程组
一、选择题
a1 1
1．设
A
a2 1
a3 1
a1 2 a2 2 a32
a1 3
a21
a 2，3
B
a11
a 3 3
a31 2a11
a22 a12 a32 2a12
a23
a13
a 2 1 a 2 1
2 4 2 2 4 2 4a 12 0
1 2 a a 1 0 a 1
知 r（A）＝3。
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由于 AB＝0，A 是 3×4 矩阵，有 r（A）＋r（B）≤4。那么当 a＝1 时，r（A）＝1， 1≤r（B）≤3，B 是 4×2 矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2；当 a≠1 时，r（A）＝3，所以必有 r（B）＝1。
6．设 A 为四阶方阵，且满足 A2＝A，则秩 r（A）＋秩 r（A－E）＝（）。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由于 A（A－E）＝A2－A＝0，故 r（A）＋r（A－E）≤4，又 E＝（E－A）＋ A，故 4＝r（E）＝r（E－A＋A）≤r（E－A）＋r（A）＝r（A－E）＋r（A），从而 r（A）＋r（A－E）＝4。
7 8 9
1 2013 3 D． 4 8049 6
7 14085 9
【答案】B
【解析】P、Q 均为初等矩阵，因为 P－1＝P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的 1，3
两行，那么 P2012A 表示将 A 的 1，3 两行互换 2012 次，从而 (P1)2012 A P2012 A A 。

同济大学《工程数学—线性代数》笔记和课后习题(含真题)详解(矩阵的初等变换与线性方程组)

第3章矩阵的初等变换与线性方程组3.1 复习笔记一、矩阵的初等变换1．初等变换（1）定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：①对调两行（对调i，j两行，记作r i↔r j）；②以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）；③把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）．把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．（2）矩阵等价①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．（3）矩阵之间的等价关系的性质①反身性A～A；②对称性若A～B，则B～A；③传递性若A～B，B～C，则A～C．（4）矩阵的类型①两个矩阵，矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．②标准形矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵．2．初等变换的性质（1）定理设A与B为m×n矩阵，则：①的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA＝B；②的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ＝B；③A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ＝B．（2）初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（3）性质①设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵．②方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…P l，使A＝P1P2…P l．③方阵A可逆的充分必要条件是.二、矩阵的秩1．秩的定义（1）k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有个．（2）矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．（3）最高阶非零子式由行列式的性质可知，在A 中当所有r ＋1阶子式全等于0时，所有高于r ＋1阶的子式也全等于0，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式，而A 的秩R （A ）就是A 的非零子式的最高阶数．（4）满秩矩阵与降秩矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．（5）等价矩阵的秩①若A ～B ，则()()R A R B =.②若可逆矩阵P ，Q 使PAQ ＝B ，则R （A ）＝R （B ）． 2．秩的性质（1）0R ≤(){}min ,;m n A m n ⨯≤ （2）()()T R A R A =；（3）若A ～B,则()()R A R B =；（4）若P 、Q 可逆，则()()R PAQ R A =；（5）()(){}()()()max ,,,R A R B R A B R A R B ≤≤+特别地，当B ＝b 为非零列向量时，有()()(),1R A R A b R A ≤≤+；（6）()()()R A B R A R B +≤+；（7）()()(){}min ,R AB R A R B ≤；（8）若m n n l A B ⨯⨯＝0，则()()R A R B n +≤. 3．满秩矩阵矩阵A 的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A 为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．4.结论（1）设A 为n 阶矩阵，则()()R A E R A E n ++-≥. （2）若,m n n l A B C ⨯⨯=且()R A n =,则()()R B R C =. （3）设AB ＝0，若A 为列满秩矩阵，则B ＝0．三、线性方程组的解 1．解的定义设有n 个未知数m 个方程的线性方程组（3-1-1）该式可以写成以向量x 为未知元的向量方程：Ax ＝b ，其中，A 为系数矩阵，B ＝（A ，b ）称为增广矩阵，线性方程组（3-1-1）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容．2．解的判断（1）n 元线性方程组Ax ＝b①无解的充分必要条件是()(),R A R A b <； ②有唯一解的充分必要条件是()(),R A R A b n ==； ③有无限多解的充分必要条件是()(),R A R A b n =<.（2）n 元齐次线性方程组Ax ＝0有非零解的充分必要条件是()R A n <. （3）线性方程组Ax ＝b 有解的充分必要条件是()(),R A R A b =.（4）矩阵方程Ax ＝B 有解的充分必要条件是()(),R A R A B =. （5）设AB ＝C,则()()(){}min ,R C R A R B ≤．3.2 课后习题详解1．用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：解：（1）（2）（3）。

第3章-72矩阵初等变换与线性方程组作业解答

第3章矩阵初等变换与线性方程组 (作业1)一. 填空题：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=532111363A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=532010363B , 则由A 变换为B 的一个初等变换为( r 2–31r 1 ); 由B 变换为A 的一个初等变换为( r 2+31r 1 ). 二. 选择题：设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----441221442, B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000221, 其中矩阵B 是矩阵A 的行最简形, 以下5组初等变换及其次序: ① r 1↔r 2, r 2–2r 1, r 3+2r 1; ② r 3+r 1, r 1⨯1/2, r 2–r 1; ③ r 1–2r 2, r 3+2r 2, r 1↔r 2; ④ r 3+r 1, r 1–2r 2, r 1↔r 2; ⑤ r 3+r 1, r 1–r 2, r 2–r 1. 其中有( D )是由A 变换为B 的初等变换.(A) 2组; (B) 3组; (C) 4组; (D) 5组.三. 把矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=12433023221453334311A 化为行最简形矩阵.解:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=12433023221453334311A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210034311 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011 四. 利用矩阵的初等变换求方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--113122214的逆阵. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100113010122001214 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100113010122101101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----403210212320101101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----614100403210101101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----614100825010513001, 所以，A –1＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----614825513.r 1+r 2⨯(–1) r 2+r 1⨯(–3) r 3+r 1⨯(–2) r 4+r 1⨯(–3) r 2÷(–4) r 2÷(–3)r 2÷(–5)r 3+r 2⨯(–1) r 4+r 2⨯(–1) r 1+r 3⨯(–1) r 2+r 1⨯(–2) r 3+r 1⨯(–3) r 2+r 3⨯(–2) r 2↔r 3r 2+r 3⨯(2)r 1+r 3⨯(–1) r 3÷(–1)五. 已知AX + 2E = X +B , 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221001323A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=112221015B ，求矩阵X . 解: 由AX + 2E = X +B 得, (A –E ) X = B –2E , X =(A –E )–1(B –2E ),⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100121010011001322 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110110010011021340 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021340110110010011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--461100110110010011 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461100351010341001所以, X =(A –E )–1(B –2E ) =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---312201013=⎪⎪⎭⎫⎝⎛----051142141.六. k 取何值时矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11100001k 可逆, 并在A 可逆的条件下求A –1.解: 显然|A |=k , 故A 可逆当且仅当k ≠0. 以下求A –1.方法一: (A :E )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10011101000001001k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1011100/10010001001k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/111000/10010001001k k , 所以A –1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/110/10001k k . 方法二: 将矩阵A 分块, A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11100001k =⎪⎭⎫⎝⎛231A A O A由分块矩阵逆矩阵的有关结论有: A –1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----121131211A A A A O A ,易得⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k A /100111, )1(12=-A , ())1,1(10011,1)1(11312k k A A A -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---, 所以A –1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/110/10001k k .r 1+r 2⨯(–2) r 3+r 2⨯(1) r 1↔r 2 r 2↔r 3 r 3+r 2⨯(–4) r 3÷(–1) r 2+r 3⨯(–2) r 2↔r 3 r 3+r 1⨯(–1) r 2÷(k ) r 3+r 2⨯(1)第3章矩阵初等变换与线性方程组 (作业2)一. 填空：1. 设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a A 212221212111，其中a i ≠ 0, b i ≠ 0( i = 1, 2, …, n )，则R (A ) = 1 .解: A =(a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T (b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n ), R (A )≤R ((a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T )R ((b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n ))=1⨯1=1,而a i ≠ 0, b i ≠ 0( i = 1, 2, …, n ), 故A ≠ O , R (A )≥1, 所以R (A )=1.2. 当齐次线性方程组Ax = 0的方程个数大于未知量个数时, 则方程组不一定有非零解. 解: 由条件知, 系数矩阵A 的行数m 大于列数n , 因此R (A )=n 可能成立.3. 设B 为非齐次线性方程组Ax = b 的增广矩阵, 则Ax = b 有解的充分必要条件是 R (A )与R (B ) 相等 .解: 根据非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 二. 选择题：1. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则矩阵A , B 的秩的关系为( C ).(A)R (A ) = R (B ) +1; (B) R (A ) > R (B ); (C) R (A ) ≥ R (B ) ≥ R (A ) –1; (D) R (B ) > R (A ) –1. 解: 结论(A)(B)(D)都是不能确定的(可以举反例), 而(C)结论是正确的. 2. 矩阵A 的秩为r , 则下列结论正确的是（ A ）.(A) A 的所有阶数大于r 的子式全等于零; (B) A 没有r – 1阶的非零子式; (C) A 的所有r 阶子式都不为零; (D) A 的所有r – 1阶子式都不为零. 解: 由矩阵秩和最高阶非零子式的概念可得.3. 设非齐次线性方程组Ax = b 有n 个未知量, m 个方程, 且R (A ) = r , 则此方程组( A )。

矩阵的初等变换及线性方程组习题(2024版)

【例3】设矩阵
3 A 1
00
4，0
0 0 3
E
1 0
,则10逆00矩阵
0 0 1
分析本题可利用初等行变换法求逆矩阵．
解
1 1 2
0 12
0 0
．
0 0 1
第10页，共31页。
( A 2.E) 1
【例4】设 4 阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵的秩A*为 .
分析本题是考查矩阵和伴随矩阵秩之间的关系．由
1 1 1 1 1 1 0 2 2 4 B ~ 0 1 1 1 3 ~ 0 1 1 1 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
同解方程组为
x1
x
2
2 x3 x3
2 x 4， x4
4
通解为
3
x1 2 2 4
x2 x3 x4
k1
1 1 0
k
2 0
2 3 1
3
1
0
.
(C)
0
4
2
3 4 0
2 1 . 3
1 2 6
(D) 0 1 8 【】
2 3 0 .
第13页，共31页。
分析本题是考查初等方阵的性质．由于
E为3用(2)F乘 2
矩阵 F的第三行，故应选 . (A)
解选 (A).
【例3】设线性方程组
A55 x5有1 唯b一解，则必有
初等矩阵．
2．三种初等矩阵 E(i，, j) E[，i(k)] E[i,. j(k)] 作用：“左乘变行，右乘变列．”
行列式： | E(i, j) | ，1 | E[i(k)]，| k | E[i, j(.k)]| 1

(完整版)线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆(2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦L2.设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则是该方程组的解.121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组: (1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a,且在有解的情形,求出它的一般解.。

线性代数课后习题解答第三章习题解答

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

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习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵
1、用初等行变换化矩阵
1021
2031
3043
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
为行最简形、
2、用初等变换求方阵
321
315
323
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵、
3、设
412
221
311
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
,
3
22
31
-
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
1
B=,求X使AX B
=、
4、设A就是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B、
(1) 证明B可逆(2)求1
AB-、
习题 3-2 矩阵的秩
1、求矩阵的秩:
(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦
L 2、设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =、
3、从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系就是、
.()()a R A R B = .()()b R A R B <;
.()()1c R B R A >-; .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-
4、矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= 、 a 、1; b 、 2; c 、 3; d 、 4、
5、设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = 、 a 、 1; b 、 n -11; c 、 –1; d 、 1
1-n 、 6、设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:
()()R A R A E n +-=
习题 3-3线性方程组的解
1. 选择题
(1)设A 就是m n ⨯矩阵,0Ax =就是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的就是( )、
A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解
B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解
C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解
D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,
(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( )、
A 、r m =时,方程组Ax b =有解
B 、r n =时,方程组Ax b =有唯一解
C 、m n =时,方程组Ax b =有唯一解
D 、r n <时,方程组Ax b =有无穷多解
(3)设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321
3213221x x x x x x x x x λλλλ
的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则、
2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;
C 、 1=λ且0=B ; d 、 1=λ且0≠B 、
(4)设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解就是21,X X ,则就是该方程组的解、 121212121.;.;.
();..22
X X a X X b X X c X X d -+-+ 2、解下列方程组: (1)123412341
23420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩
(2) 21422221x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩
3、设 123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩
问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解、
4、设线性方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x
(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?
(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解、
5、设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为05
1
=∑=j j a ,且在有解的情形,求出它的一般解、。