角平分线和全等三角形证明分类

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号：年级：初二课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

授课类型T 角平分线C专题精讲

授课日期时段

教学内容

1. 角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

2. 角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2）， PA⊥OM， PB⊥ON，∴PA＝PB。

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）

如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

3. 角平分线性质及判定的应用

①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；

②实际生活中的应用．

例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．

【例题讲解】

1．在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。

2．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；

求证：CF=EB

3.如图，P为∠AOB内一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证∠AOP=∠BOP.

E

D

C B

A

E

A

B

C

D

F

4.如图，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分∠BAC.

【同步练习】

1.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：

⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？

⑵哪条线段与DE相等？为什么？

⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长

2．已知，如图DABC中，AB=AC，D是BC的中点。求证：D到AB、AC的距离相等。

3.△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD∶DC=9∶7,求D到AB的距离.

A

B C

D

E

4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A是角平分线．求证：AC+CD=AB．

角平分线性质的应用

（一）证明线段相等

例1 已知：如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB。求证：MB=MC

（二）证明角的平分线

例2已知，如图AF、CF是DABC的外角DAC、ACE的平分线

求证：点F必在B的平分线上。

（三）证明角相等

例3.如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF．

◆基础知识扫描

1.点O是△ABC内一点,且点O到三边的距离相等,∠A=60°,则∠BOC的度数为( )

A.60°

B.90°

C.120°

D.150°

2.如图1,AB=AD,CB=CD,AC、BD相交于点O,则下列结论正确的是( )

A. OA=OC

B. 点O到AB、CD的距离相等

C. 点O到CB、CD的距离相等

D. ∠BDA=∠BDC

3.△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC三条角平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,且

AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,则点O到三边AB、AC、BC的距离为( )

A.2cm 2cm 2cm;

B. 3cm 3cm 3cm;

C. 4cm 4cm 4cm;

D. 2cm 3cm 5cm

4.到一个角的两边距离相等的点在 ;角平分线上的点到这个角的两边的距离 .

5.如图2,△ABC中,∠B=90°, ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 .

◆能力训练升级

6.如图3,P是∠AOB的平分线上的一点,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,OP与EF的位置关系是

7.如图4，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB

的周长为__ cm.

一、专题精讲

【题型一】公共边类型的全等三角形

图形1 图形2 图形3

注意隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CA

【例1】在ABC

∆中，AB=AC,AD平分∠BAC，求证：ABD

∆≌ACD

∆

【例2】如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证：AC=DB.

【例3】已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．

A

B C

D

A

B C

D

B C

A D

D C

B

A

A

B C

D