第八章相关与回归分析统计学
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 而当一个变量发生变动时，另一个变量也随之 发生变动（增加或减少），但这种变动不是均 等的，从图形上看，其相应观测点的分布近似 地表现为各种不同的曲线形式，这种相关关系 称为非线性相关。
4．按变量多少划分，相关关系可分为单 相关、复相关和偏相关
• 单相关又称一元相关，是指两个现象之间的相关，即 一个变量对另一个变量之间的相关关系。
• 复相关又称多元相关，是指三个或三个以上变量之间 的相关关系。
• 例如家庭的消费水平与家庭收入、家庭财产及市场价 格水平之间的关系便是一种复相关。
• 在某一变量与多个变量相关时，当假定其他变量不变， 仅研究两个变量的相关关系时，称为偏相关。
• 例如在假定家庭收入、家庭财产不变的条件下，市场 价格水平与家庭消费支出的关系就是一种偏相关，同 样，在假定家庭收入和市场价格水平不变的条件下， 家庭财产与家庭消费支出的关系也是一种偏相关。
成的单变量分组相关表，分组后各耕作深度对应着一定的次数（即亩数），而
产量为相应亩数上的平均产量。从表中可以看出，平均亩产量随着耕作深度的
增加有增加的趋势，是一种正相关。
表 8-3 则是将 40 家便民店按营业人员数（自变量）和营业额（因变
量）同时进行分组而形成的双变量分组相关表。从表中数据可以看出，营
解：在计算相关系数时，通常要设计一张计算表（见表 8-4），
将有关数据的计算过程放在表格中。
表 8-4
相关系数计算表
年份 收入 x 消费 y
xy
x2
y2
2003 2004 2005 2006 2007 2008 合计
Leabharlann Baidu
8472 9422 10493 11760 13786 15781 69714
6511 7182 7943 8697 9997 11243 51573
• 判断真实相关与虚假相关，必须依靠有关的实 质性科学提供的知识做定性分析，而不能靠数 学公式或简单的数学图表来作出判断。
二、相关关系的分析
• 相关分析就是对变量之间相关关系的描述与度量。 • 其基本内容包括： • 1、直观地判断变量之间是否存在相关关系及其相关关
系的具体形式。一般是通过绘制统计图表来实现，这 也是相关分析的出发点。
（2）现象之间数量上的依存关系是非确定性 的，即其中一个变量取某一值时，另一个变量可能 有多个数值与之对应。
例如身高 170 ㎝的人，其体重会有许多个值与 之对应；收入水平相同的家庭，它们的消费水平往 往并不相同。之所以如此，就在于影响因变量的因 素有许多，除了我们所举的因素外，其它因素也对 因变量有影响。
将式（8.3）的分子、分母同除以 n2 ，还可得到如下的计算公式：
r
xy x y
[x2 (x)2 ][ y2 ( y)2 ]
（8.4）
样本相关系数是根据样本观测值计算的，抽取的样本不同，其具体 的数值便会有所差异。数理统计已经证明，样本相关系数是总体相关系 数的一致估计量。
【例8-2】
要求根据表 8-1 的资料计算相关系数，说明相关程度。
55161192 67668804 83345899 102276720 137818642 177425783 623697040
71774784 88774084 110103049 138297600 190053796 249039961 848043274
42393121 51581124 63091249 75637809 99940009 126405049 459048361
例如上述的圆的周长 L 决定于它的半径 R ，即 L 2 R ， 又如，某产品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系，即 y px ， 其中 p 为价格，这就是说，在销售价格不变的情况下，对于
该商品的某一销售量，总有一个销售额与之对应，即销售额 完全由销售量所决定，二者之间为线性函数关系。再如，企 业的原材料消耗额（ y ）与产量（ x1 ）、单位产品原材料消 耗量（ x2 ）、单位原材料价格（ x3 ）之间的关系可表示为 y x1x2 x3 ，这也是一种确定的函数关系，但它们不是线性函 数关系。
2．按相关方向划分，相关关系可分为正 相关和负相关。
• 两个相关变量间，当一个变量的数值增加（或 减少）时，另一个变量的数值也随之增加（或 减少），这种相关称为正相关。
• 例如家庭消费与收入、身高与体重。
• 当一个变量的数值增加（或减少）时，另一个 变量的数值反而表现出减少（或增加）的趋势 变化，称这种相关为负相关。
• 当两个现象彼此互不影响，其数量各自独立时，称这 两个现象之间的关系为不相关或零相关。
• 例如，学生的学习成绩与其身高、体重之间一般认是 不相关的，同样，一个人的收入与其血压之间也是不 相关的。
• 若两个现象之间的关系介于完全相关和不相关之间， 就称为不完全相关。一般的相关关系就是指这种不完 全相关，它是相关分析的研究对象。
5．按相关的性质分，相关关系可分为真 实相关和虚假相关。
• 当两个现象之间的相关确实具有内在联系时， 称之为真实相关。
• 例如上述的消费与收入、价格与需求量等的相关，都 可以说是真实相关。
• 当两个现象之间的相关只是表面存在，实质上 并没有内在联系时，称其为虚假相关。
• 一个国家的国内生产总值与其精神病患者人数之间、 一个股票市场的股票价格水平与气温之间的关系就是 典型的虚假相关。
第八章相关与回归分析统计学
当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值 与之相对应，我们称这种确定性的一一对应关系为函数关
系。如圆的周长与其半径之间的关系即为函数关系。 在函数关系中，一般把作为影响因素的变量称为自变
量，把发生对应变化的变量称为因变量，通常用公式记为： y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量。
业额随着营业员的增加有增加的趋势，也是一种正相关。
表 8-3
双变量分组表
营业额
营业员 x
合计
y(万元) 1—3 3—5 5—7 7—9 9—11
6—7 -
-
-1
6
7
5—6 -
-
24
4 10
4—5 -
2
4
5
-
11
3—4 2
1
4
-
-
7
2—3 1
2
-
-
-
3
1—2 2
-
-
-
-
2
合计
5
5 10 10 10 40
制作双变量分组相关表，须注意将自变量放在纵栏标题处，按变量值从小
到大自左向右排列，将因变量放在横行标题处，按变量值从大到小自上而
下排列。这样做的目的是将相关表与相关图一致起来，便于判断相关关系
的性质。
相关图又称散点图，它是以直角坐标系的横轴代表变量 x，纵轴代表变量 y，将两个变量间对应的变量值用坐标点的 形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。根据 表 8-1 的资料绘制的相关图如图 8-1 所示，从图 8-1 可以看 出，人均消费性支出与人均可支配收入之间呈现出正的线性 相关关系。
• 相关表和相关图是研究相关关系的简单、直观 工具。利用它们可对现象之间存在的相关关系 的方向、表现形式和密切程度做出大致的判断。
• 相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表， 根据资料是否分组，相关表有简单相关表和分 组相关表两种。
• 简单相关表就是先将自变量的数值按从小到大 的顺序排列出来，然后将因变量数值对应列上 而形成的表格。
图8.1 收入与消费的相关图
人均消费性支出
12000 10000 8000 6000 4000 2000
0 0
5000
10000
15000
人均可支配收入
20000
（二）相关系数（Coefficient of correlation）
• 1．相关系数的意义 • 在各种相关中，单相关是基本的相关关系，它是复相
关系数是反映两变量之间线性相关程度的统计指标，表
现为一个常数。
若相关系数是根据样本数据计算的，称为样本相关系数，记为 r 。 样本相关系数的定义式是：
r sx2y sx sy
n
1
1
(x
x
)(
y
y
)
n
1 1
(
x
x )2
1 n 1
(
y
y)2
（8.2）
(x x)( y y) (x x)2 (y y)2
分组相关表则是对两个相关变量都进行分组，交叉排列，并列出两种变量各组
间的共同次数。具体见表 8-2 和表 8-3。
表 8-2
单变量分组相关表
按耕作深度分组 亩数 平均亩产量
（厘米）
（亩） （公斤）
12
4
320
14
6
343
16
15
353
18
10
378
20
4
400
22
1
420
合计
40
361
表 8-2 是将 40 亩地的耕作深度与亩产量数据按耕作深度进行分组后所形
2．相关系数的计算
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体 相关系数，记为 。总体相关系数的定义式是：
Cov(X ,Y )
Var(X ) Var(Y )
（8.1）
式中， Cov(X ,Y ) 是变量 X 与 Y 的协方差，是衡量
两个变量朝什么方向以及在什么程度上共同变动的指
标；Var(X ) 与 Var(Y ) 分别为变量 X 与 Y 的方差。总体相
变量之间的函数关系和相关关系，在一定条件 下是可以相互转化的。
本来具有函数关系的变量，当存在观测误差 时，其函数关系往往以相关关系的形式表现出来。 而对于具有相关关系的变量之间的联系，如果我们 对它们有了深刻的规律性认识，并且能把影响因变 量变动的因素全部纳入方程，这时的相关关系也可 能转化为函数关系。客观现象的函数关系可以用数 学分析的方法去研究，而研究客观现象的相关关系 则要借助于统计学中的相关与回归分析方法。
13786
9997
2008
15781
11243
资料来源：《中国统计摘要——2009》，中国统计出版社，2009 年。
从表中数据可以看出，人均消费支出随着人均可支配收入的增加
有增加的趋势，是一种典型的正相关。
分组相关表具体又分为单变量分组相关表和双变量分组相关表两种。其中
单变量分组相关表只对自变量进行分组，列出每组变量值出现的次数；双变量
式中： sx2y 表示 x，y 两个变量数列的样本协方差（Covariance），
显示 x，y 之间相关程度的大小； sx , sy 分别表示 x，y 变量数列的样 本标准差。
为了简化计算，可由上式推导出下面的计算公式：
r
n xy x y
（8.3）
[n x2 ( x)2 ][n y2 ( y)2 ]
关和偏相关的基础。单相关有线性相关和非线性相关 两种表现形式。测定线性相关系数的方法是最基本的 相关分析，是测定其他相关系数方法的基础。 • 单相关系数或简单相关系数可简称相关系数。
• 相关系数是在直线相关条件下，对变量之间相关关系 密切程度的度量。把若干个相关系数加以比较，可以 发现现象发展中具有决定意义的因素，因而相关系数 在多个因素的作用判断中亦有重要作用。
• 例如价格与需求量、劳动生产率与单位产品成本等。 或者说，正相关是变量数值之间表现出的同方向变化， 而负相关是变量数值之间的反向变化。
3．按相关形式划分，相关关系可分为线 性相关与非线性相关。
• 当一个变量发生变动，另一个变量随之发生大 致均等的变动（增加或减少），从图形上看， 其相应观测点的分布近似地表现为直线形式， 就是线性关系。
【例8-1】
表 8-1 是我国近几年来城镇居民的人均可支配收入与人均消费性
支出的简单相关表。
表 8-1
我国近几年来城镇居民收入与消费的简单相关表
年份 人均可支配收入(元) 人均消费性支出(元)
2003
8472
6511
2004
9422
7182
2005
10493
7943
2006
11760
8697
2007
• 2、定量地刻画变量之间相关关系的程度或强度。线性 相关关系一般是通过相关系数来说明，非线性相关关 系可以通过相关指数来说明，这是相关分析的中心内 容。
• 3、相关系数的显著性检验。在实际进行相关分析时， 相关系数都是利用样本数据计算的，因而带有一定的 随机性。因此，也需要进行显著性检验。
（一）相关表和相关图
（二）相关关系的分类
• 客观现象间的相关关系相当复杂，表现为各种 形态，可以按不同的标志加以分类。
• 1．按相关程度划分，相关关系可分为完全相 关、不完全相关和不相关。
• 当一种现象的数量变化完全由另一种现象的数量变化 所决定时，称这两种现象之间的关系为完全相关(即函 数关系)。
• 例如上述的圆的周长与圆的半径之间的关系等。在这 种情况下，相关关系即为函数关系，也可以说函数关 系是相关关系的一种特例。
将表中数据代入式（8.3）即得：
4．按变量多少划分，相关关系可分为单 相关、复相关和偏相关
• 单相关又称一元相关，是指两个现象之间的相关，即 一个变量对另一个变量之间的相关关系。
• 复相关又称多元相关，是指三个或三个以上变量之间 的相关关系。
• 例如家庭的消费水平与家庭收入、家庭财产及市场价 格水平之间的关系便是一种复相关。
• 在某一变量与多个变量相关时，当假定其他变量不变， 仅研究两个变量的相关关系时，称为偏相关。
• 例如在假定家庭收入、家庭财产不变的条件下，市场 价格水平与家庭消费支出的关系就是一种偏相关，同 样，在假定家庭收入和市场价格水平不变的条件下， 家庭财产与家庭消费支出的关系也是一种偏相关。
成的单变量分组相关表，分组后各耕作深度对应着一定的次数（即亩数），而
产量为相应亩数上的平均产量。从表中可以看出，平均亩产量随着耕作深度的
增加有增加的趋势，是一种正相关。
表 8-3 则是将 40 家便民店按营业人员数（自变量）和营业额（因变
量）同时进行分组而形成的双变量分组相关表。从表中数据可以看出，营
解：在计算相关系数时，通常要设计一张计算表（见表 8-4），
将有关数据的计算过程放在表格中。
表 8-4
相关系数计算表
年份 收入 x 消费 y
xy
x2
y2
2003 2004 2005 2006 2007 2008 合计
Leabharlann Baidu
8472 9422 10493 11760 13786 15781 69714
6511 7182 7943 8697 9997 11243 51573
• 判断真实相关与虚假相关，必须依靠有关的实 质性科学提供的知识做定性分析，而不能靠数 学公式或简单的数学图表来作出判断。
二、相关关系的分析
• 相关分析就是对变量之间相关关系的描述与度量。 • 其基本内容包括： • 1、直观地判断变量之间是否存在相关关系及其相关关
系的具体形式。一般是通过绘制统计图表来实现，这 也是相关分析的出发点。
（2）现象之间数量上的依存关系是非确定性 的，即其中一个变量取某一值时，另一个变量可能 有多个数值与之对应。
例如身高 170 ㎝的人，其体重会有许多个值与 之对应；收入水平相同的家庭，它们的消费水平往 往并不相同。之所以如此，就在于影响因变量的因 素有许多，除了我们所举的因素外，其它因素也对 因变量有影响。
将式（8.3）的分子、分母同除以 n2 ，还可得到如下的计算公式：
r
xy x y
[x2 (x)2 ][ y2 ( y)2 ]
（8.4）
样本相关系数是根据样本观测值计算的，抽取的样本不同，其具体 的数值便会有所差异。数理统计已经证明，样本相关系数是总体相关系 数的一致估计量。
【例8-2】
要求根据表 8-1 的资料计算相关系数，说明相关程度。
55161192 67668804 83345899 102276720 137818642 177425783 623697040
71774784 88774084 110103049 138297600 190053796 249039961 848043274
42393121 51581124 63091249 75637809 99940009 126405049 459048361
例如上述的圆的周长 L 决定于它的半径 R ，即 L 2 R ， 又如，某产品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系，即 y px ， 其中 p 为价格，这就是说，在销售价格不变的情况下，对于
该商品的某一销售量，总有一个销售额与之对应，即销售额 完全由销售量所决定，二者之间为线性函数关系。再如，企 业的原材料消耗额（ y ）与产量（ x1 ）、单位产品原材料消 耗量（ x2 ）、单位原材料价格（ x3 ）之间的关系可表示为 y x1x2 x3 ，这也是一种确定的函数关系，但它们不是线性函 数关系。
2．按相关方向划分，相关关系可分为正 相关和负相关。
• 两个相关变量间，当一个变量的数值增加（或 减少）时，另一个变量的数值也随之增加（或 减少），这种相关称为正相关。
• 例如家庭消费与收入、身高与体重。
• 当一个变量的数值增加（或减少）时，另一个 变量的数值反而表现出减少（或增加）的趋势 变化，称这种相关为负相关。
• 当两个现象彼此互不影响，其数量各自独立时，称这 两个现象之间的关系为不相关或零相关。
• 例如，学生的学习成绩与其身高、体重之间一般认是 不相关的，同样，一个人的收入与其血压之间也是不 相关的。
• 若两个现象之间的关系介于完全相关和不相关之间， 就称为不完全相关。一般的相关关系就是指这种不完 全相关，它是相关分析的研究对象。
5．按相关的性质分，相关关系可分为真 实相关和虚假相关。
• 当两个现象之间的相关确实具有内在联系时， 称之为真实相关。
• 例如上述的消费与收入、价格与需求量等的相关，都 可以说是真实相关。
• 当两个现象之间的相关只是表面存在，实质上 并没有内在联系时，称其为虚假相关。
• 一个国家的国内生产总值与其精神病患者人数之间、 一个股票市场的股票价格水平与气温之间的关系就是 典型的虚假相关。
第八章相关与回归分析统计学
当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值 与之相对应，我们称这种确定性的一一对应关系为函数关
系。如圆的周长与其半径之间的关系即为函数关系。 在函数关系中，一般把作为影响因素的变量称为自变
量，把发生对应变化的变量称为因变量，通常用公式记为： y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量。
业额随着营业员的增加有增加的趋势，也是一种正相关。
表 8-3
双变量分组表
营业额
营业员 x
合计
y(万元) 1—3 3—5 5—7 7—9 9—11
6—7 -
-
-1
6
7
5—6 -
-
24
4 10
4—5 -
2
4
5
-
11
3—4 2
1
4
-
-
7
2—3 1
2
-
-
-
3
1—2 2
-
-
-
-
2
合计
5
5 10 10 10 40
制作双变量分组相关表，须注意将自变量放在纵栏标题处，按变量值从小
到大自左向右排列，将因变量放在横行标题处，按变量值从大到小自上而
下排列。这样做的目的是将相关表与相关图一致起来，便于判断相关关系
的性质。
相关图又称散点图，它是以直角坐标系的横轴代表变量 x，纵轴代表变量 y，将两个变量间对应的变量值用坐标点的 形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。根据 表 8-1 的资料绘制的相关图如图 8-1 所示，从图 8-1 可以看 出，人均消费性支出与人均可支配收入之间呈现出正的线性 相关关系。
• 相关表和相关图是研究相关关系的简单、直观 工具。利用它们可对现象之间存在的相关关系 的方向、表现形式和密切程度做出大致的判断。
• 相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表， 根据资料是否分组，相关表有简单相关表和分 组相关表两种。
• 简单相关表就是先将自变量的数值按从小到大 的顺序排列出来，然后将因变量数值对应列上 而形成的表格。
图8.1 收入与消费的相关图
人均消费性支出
12000 10000 8000 6000 4000 2000
0 0
5000
10000
15000
人均可支配收入
20000
（二）相关系数（Coefficient of correlation）
• 1．相关系数的意义 • 在各种相关中，单相关是基本的相关关系，它是复相
关系数是反映两变量之间线性相关程度的统计指标，表
现为一个常数。
若相关系数是根据样本数据计算的，称为样本相关系数，记为 r 。 样本相关系数的定义式是：
r sx2y sx sy
n
1
1
(x
x
)(
y
y
)
n
1 1
(
x
x )2
1 n 1
(
y
y)2
（8.2）
(x x)( y y) (x x)2 (y y)2
分组相关表则是对两个相关变量都进行分组，交叉排列，并列出两种变量各组
间的共同次数。具体见表 8-2 和表 8-3。
表 8-2
单变量分组相关表
按耕作深度分组 亩数 平均亩产量
（厘米）
（亩） （公斤）
12
4
320
14
6
343
16
15
353
18
10
378
20
4
400
22
1
420
合计
40
361
表 8-2 是将 40 亩地的耕作深度与亩产量数据按耕作深度进行分组后所形
2．相关系数的计算
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体 相关系数，记为 。总体相关系数的定义式是：
Cov(X ,Y )
Var(X ) Var(Y )
（8.1）
式中， Cov(X ,Y ) 是变量 X 与 Y 的协方差，是衡量
两个变量朝什么方向以及在什么程度上共同变动的指
标；Var(X ) 与 Var(Y ) 分别为变量 X 与 Y 的方差。总体相
变量之间的函数关系和相关关系，在一定条件 下是可以相互转化的。
本来具有函数关系的变量，当存在观测误差 时，其函数关系往往以相关关系的形式表现出来。 而对于具有相关关系的变量之间的联系，如果我们 对它们有了深刻的规律性认识，并且能把影响因变 量变动的因素全部纳入方程，这时的相关关系也可 能转化为函数关系。客观现象的函数关系可以用数 学分析的方法去研究，而研究客观现象的相关关系 则要借助于统计学中的相关与回归分析方法。
13786
9997
2008
15781
11243
资料来源：《中国统计摘要——2009》，中国统计出版社，2009 年。
从表中数据可以看出，人均消费支出随着人均可支配收入的增加
有增加的趋势，是一种典型的正相关。
分组相关表具体又分为单变量分组相关表和双变量分组相关表两种。其中
单变量分组相关表只对自变量进行分组，列出每组变量值出现的次数；双变量
式中： sx2y 表示 x，y 两个变量数列的样本协方差（Covariance），
显示 x，y 之间相关程度的大小； sx , sy 分别表示 x，y 变量数列的样 本标准差。
为了简化计算，可由上式推导出下面的计算公式：
r
n xy x y
（8.3）
[n x2 ( x)2 ][n y2 ( y)2 ]
关和偏相关的基础。单相关有线性相关和非线性相关 两种表现形式。测定线性相关系数的方法是最基本的 相关分析，是测定其他相关系数方法的基础。 • 单相关系数或简单相关系数可简称相关系数。
• 相关系数是在直线相关条件下，对变量之间相关关系 密切程度的度量。把若干个相关系数加以比较，可以 发现现象发展中具有决定意义的因素，因而相关系数 在多个因素的作用判断中亦有重要作用。
• 例如价格与需求量、劳动生产率与单位产品成本等。 或者说，正相关是变量数值之间表现出的同方向变化， 而负相关是变量数值之间的反向变化。
3．按相关形式划分，相关关系可分为线 性相关与非线性相关。
• 当一个变量发生变动，另一个变量随之发生大 致均等的变动（增加或减少），从图形上看， 其相应观测点的分布近似地表现为直线形式， 就是线性关系。
【例8-1】
表 8-1 是我国近几年来城镇居民的人均可支配收入与人均消费性
支出的简单相关表。
表 8-1
我国近几年来城镇居民收入与消费的简单相关表
年份 人均可支配收入(元) 人均消费性支出(元)
2003
8472
6511
2004
9422
7182
2005
10493
7943
2006
11760
8697
2007
• 2、定量地刻画变量之间相关关系的程度或强度。线性 相关关系一般是通过相关系数来说明，非线性相关关 系可以通过相关指数来说明，这是相关分析的中心内 容。
• 3、相关系数的显著性检验。在实际进行相关分析时， 相关系数都是利用样本数据计算的，因而带有一定的 随机性。因此，也需要进行显著性检验。
（一）相关表和相关图
（二）相关关系的分类
• 客观现象间的相关关系相当复杂，表现为各种 形态，可以按不同的标志加以分类。
• 1．按相关程度划分，相关关系可分为完全相 关、不完全相关和不相关。
• 当一种现象的数量变化完全由另一种现象的数量变化 所决定时，称这两种现象之间的关系为完全相关(即函 数关系)。
• 例如上述的圆的周长与圆的半径之间的关系等。在这 种情况下，相关关系即为函数关系，也可以说函数关 系是相关关系的一种特例。
将表中数据代入式（8.3）即得：