第八章相关与回归分析统计学

• 判断真实相关与虚假相关，必须依靠有关的实 质性科学提供的知识做定性分析，而不能靠数 学公式或简单的数学图表来作出判断。
二、相关关系的分析
• 相关分析就是对变量之间相关关系的描述与度量。 • 其基本内容包括： • 1、直观地判断变量之间是否存在相关关系及其相关关
系的具体形式。一般是通过绘制统计图表来实现，这 也是相关分析的出发点。
• 相关表和相关图是研究相关关系的简单、直观 工具。利用它们可对现象之间存在的相关关系 的方向、表现形式和密切程度做出大致的判断。
• 相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表， 根据资料是否分组，相关表有简单相关表和分 组相关表两种。
• 简单相关表就是先将自变量的数值按从小到大 的顺序排列出来，然后将因变量数值对应列上 而形成的表格。
式中： sx2y 表示 x，y 两个变量数列的样本协方差（Covariance），
显示 x，y 之间相关程度的大小； sx , sy 分别表示 x，y 变量数列的样 本标准差。
为了简化计算，可由上式推导出下面的计算公式：
r
n xy x y
（8.3）
[n x2 ( x)2 ][n y2 ( y)2 ]
例如上述的圆的周长 L 决定于它的半径 R ，即 L 2 R ， 又如，某产品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系，即 y px ， 其中 p 为价格，这就是说，在销售价格不变的情况下，对于
该商品的某一销售量，总有一个销售额与之对应，即销售额 完全由销售量所决定，二者之间为线性函数关系。再如，企 业的原材料消耗额（ y ）与产量（ x1 ）、单位产品原材料消 耗量（ x2 ）、单位原材料价格（ x3 ）之间的关系可表示为 y x1x2 x3 ，这也是一种确定的函数关系，但它们不是线性函 数关系。
13786
9997
2008
15781
11243
资料来源：《中国统计摘要——2009》，中国统计出版社，2009 年。
从表中数据可以看出，人均消费支出随着人均可支配收入的增加
有增加的趋势，是一种典型的正相关。
分组相关表具体又分为单变量分组相关表和双变量分组相关表两种。其中
单变量分组相关表只对自变量进行分组，列出每组变量值出现的次数；双变量
（2）现象之间数量上的依存关系是非确定性 的，即其中一个变量取某一值时，另一个变量可能 有多个数值与之对应。
例如身高 170 ㎝的人，其体重会有许多个值与 之对应；收入水平相同的家庭，它们的消费水平往 往并不相同。之所以如此，就在于影响因变量的因 素有许多，除了我们所举的因素外，其它因素也对 因变量有影响。
将表中数据代入式（8.3）即得：
图8.1 收入与消费的相关图
人均消费性支出
12000 10000 8000 6000 4000 2000
0 0
5000
10000
15000
人均可支配收入
20000
（二）相关系数（Coefficient of correlation）
• 1．相关系数的意义 • 在各种相关中，单相关是基本的相关关系，它是复相
• 而当一个变量发生变动时，另一个变量也随之 发生变动（增加或减少），但这种变动不是均 等的，从图形上看，其相应观测点的分布近似 地表现为各种不同的曲线形式，这种相关关系 称为非线性相关。
4．按变量多少划分，相关关系可分为单 相关、复相关和偏相关
• 单相关又称一元相关，是指两个现象之间的相关，即 一个变量对另一个变量之间的相关关系。
55161192 67668804 83345899 102276720 137818642 177425783 623697040
71774784 88774084 110103049 138297600 190053796 249039961 848043274
42393121 51581124 63091249 75637809 99940009 126405049 459048361
业额随着营业员的增加有增加的趋势，也是一种正相关。
表 8-3
双变量分组表
营业额
营业员 x
合计
y(万元) 1—3 3—5 5—7 7—9 9—11
6—7 -
-
-1
6
7
5—6 -
-
24
4 10
4—5 -
2
4
5
-
11
3—4 2
1
4
-
-
7
2—3 1
2
-
-
-
3
1—2 2
-
-
-
-
2
合计
5
5 10 10 10 40
成的单变量分组相关表，分组后各耕作深度对应着一定的次数（即亩数），而
产量为相应亩数上的平均产量。从表中可以看出，平均亩产量随着耕作深度的
增加有增加的趋势，是一种正相关。
表 8-3 则是将 40 家便民店按营业人员数（自变量）和营业额（因变
量）同时进行分组而形成的双变量分组相关表。从表中数据可以看出，营
2．按相关方向划分，相关关系可分为正 相关和负相关。
• 两个相关变量间，当一个变量的数值增加（或 减少）时，另一个变量的数值也随之增加（或 减少），这种相关称为正相关。
• 例如家庭消费与收入、身高与体重。
• 当一个变量的数值增加（或减少）时，另一个 变量的数值反而表现出减少（或增加）的趋势 变化，称这种相关为负相关。
制作双变量分组相关表，须注意将自变量放在纵栏标题处，按变量值从小
到大自左向右排列，将因变量放在横行标题处，按变量值从大到小自上而
下排列。这样做的目的是将相关表与相关图一致起来，便于判断相关关系
的性质。
相关图又称散点图，它是以直角坐标系的横轴代表变量 x，纵轴代表变量 y，将两个变量间对应的变量值用坐标点的 形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。根据 表 8-1 的资料绘制的相关图如图 8-1 所示，从图 8-1 可以看 出，人均消费性支出与人均可支配收入之间呈现出正的线性 相关关系。
关系数是反映两变量之间线性相关程度的统计指标，表
现为一个常数。
若相关系数是根据样本数据计算的，称为样本相关系数，记为 r 。 样本相关系数的定义式是：
r sx2y sx sy
n
1
1
(x
x
)(
y
y
)
n
1 1
(
x
x )2
1 n 1
(
y
y)2
（8.2）
(x x)( y y) (x x)2 (y y)2
• 2、定量地刻画变量之间相关关系的程度或强度。线性 相关关系一般是通过相关系数来说明，非线性相关关 系可以通过相关指数来说明，这是相关分析的中心内 容。
• 3、相关系数的显著性检验。在实际进行相关分析时， 相关系数都是利用样本数据计算的，因而带有一定的 随机性。因此，也需要进行显著性检验。
（一）相关表和相关图
解：在计算相关系数时，通常要设计一张计算表（见表 8-4），
将有关数据的计算过程放在表格中。
表 8-4
相关系数计算表
年份 收入 x 消费 y
xy
x2
y2
2003 2004 2005 2006 2007 2008 合计
8472 9422 10493 11760 13786 15781 69714
6511 7182 7943 8697 9997 11243 51573
第八章相关与回归分析统计学
当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值 与之相对应，我们称这种确定性的一一对应关系为函数关
系。如圆的周长与其半径之间的关系即为函数关系。 在函数关系中，一般把作为影响因素的变量称为自变
量，把发生对应变化的变量称为因变量，通常用公式记为： y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量。
• 例如价格与需求量、劳动生产率与单位产品成本等。 或者说，正相关是变量数值之间表现出的同方向变化， 而负相关是变量数值之间的反向变化。
3．按相关形式划分，相关关系可分为线 性相关与非线性相关。
• 当一个变量发生变动，另一个变量随之发生大 致均等的变动（增加或减少），从图形上看， 其相应观测点的分布近似地表现为直线形式， 就是线性关系。
变量之间的函数关系和相关关系，在一定条件 下是可以相互转化的。
本来具有函数关系的变量，当存在观测误差 时，其函数关系往往以相关关系的形式表现出来。 而对于具有相关关系的变量之间的联系，如果我们 对它们有了深刻的规律性认识，并且能把影响因变 量变动的因素全部纳入方程，这时的相关关系也可 能转化为函数关系。客观现象的函数关系可以用数 学分析的方法去研究，而研究客观现象的相关关系 则要借助于统计学中的相关与回归分析方法。
分组相关表则是对两个相关变量都进行分组，交叉排列，并列出两种变量各组
间的共同次数。具体见表 8-2 和表 8-3。
表 8-2
单变量分组相关表
按耕作深度分组 亩数 平均亩产量
（厘米）
（亩） （公斤）
12
4
320
14
6
343Biblioteka 1615353
18
10
378
20
4
400
22
1
420
合计
40
361
表 8-2 是将 40 亩地的耕作深度与亩产量数据按耕作深度进行分组后所形
将式（8.3）的分子、分母同除以 n2 ，还可得到如下的计算公式：
r
xy x y
[x2 (x)2 ][ y2 ( y)2 ]
（8.4）
样本相关系数是根据样本观测值计算的，抽取的样本不同，其具体 的数值便会有所差异。数理统计已经证明，样本相关系数是总体相关系 数的一致估计量。