高中数学必修五《基本不等式》培优专题

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高中数学必修5(北师版)第三章不等式3.3 基本不等式(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

，即 x =
1 1 时，f (x) 取得最大值． 6 12
设 a, b, c ∈ R，求证：a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ．证明：因为 a2 + b 2 ⩾ 2ab ，b 2 + c 2 ⩾ 2bc，c 2 + a2 ⩾ 2ca ，所以
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：设使用 x 年时，年平均费用 y 最少．由于“年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元”，可知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列．因此汽车使用 x 年的总维修费用为
(a2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a2 ) ⩾ 2ab + 2bc + 2ca,
2
+
2
+
2
⩾
+
+
当且仅当 a = b = c 时，等号成立，所以 a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ．
3.均值不等式的实际应用描述：利用基本不等式解决实际问题的一般步骤： ①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大值或最小值； ④正确写出答案．例题：建造一个容积为 8 m 3 ，深为 2 m 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 120 元，池壁的造价是每平方米 80 元，求这个水池的最低造价．解：设水池的造价为 y 元，池底的长为 x m ，则宽为

基本不等式方法培优专题(精校版word)

基本不等式培优专题目录：培优点一：常规配凑法培优点二：常量代换培优点三：换元法培优点四：和、积、平方和三量减元培优点五：轮换对称和万能k 法培优点六：消元法（必要构造函数求导）培优点七：不等式算两次培优点八：齐次化培优点九：待定与技巧性强的配凑培优点十：多元变量的不等式最值问题培优点十一：不等式综合问题一、常规配凑法1.已知242(,)aba b R +=∈，则2a b +的最大值为__________,02.已知实数,x y ,满足22116y x +=，则__________,943.已知不等式11()()9x my x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数m 的最小值______,44.已知实数,x y ,满足1x ≠，则11x y y x ++-+的最小值为__________,15.已知实数0,0x y >>,满足23x y+=xy 的最小值为__________,6.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则412x y y+-的最小值为__________,97.已知实数0,0x y >>,满足11111x y +=++，则2x y +的最小值为__________, 二、“1”的代换8.已知实数0,0>>y x ,满足1x y +=，则1y x y+的最小值为__________3,此时_____x =129.已知实数0x y >>,满足121x y +=，则2y x+的最小值为__________，9 10.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则413x y x y ++-的最小值为__________,9411.记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大数，若0,0x y >>，则13max{,,}x y x y+的最小值为______,212.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则22221x y x y ++-+的最小值为13.已知正实数,x y ,满足121(2)(2)x y y x y x+=++，则xy 的最大值为__________,2三、换元法14.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11112x y+++的最小值为15.已知22log (2)log (1)1a b -+-≥，则2a b +取到最小值时________ab =916.已知实数20x y >>,满足11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为17.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11x y x y +++的最大值为__________,2318.已知实数0,0x y >>,满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值为__________,4519.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则1911x y +--的最小值为__________,6 20.已知实数,x y ,满足3x y xy +=-，且1x >，则(8)y x +的最小值为__________,2521.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则4911x y x y +--的最小值为__________,2522.已知实数,x y ，满足491xy+=，则1123x y +++的取值范围为__________,23.已知实数,x y ，满足114422x y x y +++=+，则22xyS =+的取值范围为__________,(2,4] 四、和、积、平方和三量减元24.已知实数,x y ,满足4x y +=，则xy 的最大值为__________4,22(1)(1)x y ++的最小值为__________,1625.已知实数0,0x y >>,满足()4xy x y +=，则xy 的最大值为_,2x y +的最小值为__________,226.已知实数,x y ,满足2x y +=，则221111x y +++的最大值为27.已知正实数,x y ,满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为28.已知实数,x y ,满足412x y y x xy +=-，则221xyx y +-的最大值为__________,13+ 29.已知非负实数,x y ,满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为2)2x y xy ++的最大值为__________,16 30.已知正实数,x y ,满足42y x xy ++=，则221217xy x y xy +++的取值范围为______,13(,]172531.已知正实数,x y ,满足2342x y xy ++=，则54xy x y ++的最小值为__________,55 32.已知正实数,x y ,满足2(2)16x y xy +=+，则21xy x y ++的最大值为__________,16五、轮换对称与万能k 法33.已知实数,x y ,满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为__________,534.已知正实数,x y ,满足22x y +=，则x __________,8535.已知正实数,x y ,满足2291x y +=，则3xyx y+的最大值为__________,1236.已知实数,,x y z ,满足0x y z ++=，2221x y z ++=则x 的最大值为__________,337.已知实数,x y ,满足229461x y xy ++=，则96x y +的最大值为__________,六、消元法（必要构造函数求导） 38.若存在正实数y ,使得154xy y x x y =-+，则x 的最大值为__________,1539.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则12x y +的最小值为_________3_,2212x y+的最小值为_________3,40. 已知正实数,x y ,满足1x y +=，则222x yx y x y+++的最大值为1+ 41. 已知正实数,x y ,满足240x y -+≤，则23x y u x y +=+有最_小__值为________,14542. 已知正实数,x y ,满足113x y +=，则xy 的最小值为_________49_,1y xy +的最大值为__________,4七、不等式算两次43.已知实数0x y >>，则21()x y x y +-的最小值为__________,444.已知实数20x y >>，则29()(2)x y y x y -+-的最小值为__________,1245.已知实数0x y >>，则4441x y xy++的最小值为__________,446.已知实数0,0x y >>，则2211()()22x y y x+++的最小值为__________,4 47.已知正实数,,x y z ，则2222()52x y z yz xz++++的最小值为__________,448.已知实数0x y >>，则322x x y x y+++-的最小值为__________,49.已知实数2,0,0>>>z y x ，且2x y +=，则2xz z z y xy +-的最小值为_______,+八、齐次化50.若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为____________.451.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则23x y xy+的最小值为__________,152.已知正实数,x y ,若23x y +=，则2222629xy xyy x y x+++的最大值为53.已知实数,x y ,满足22222x xy y -+=，则222x y +的最小值为__________,73九、待定和技巧性强的配凑54.已知正实数,,x y z ，满足3456x y z ++=，则1422y z y z x z ++++的最小值为_______,7355.已知正实数,x y ,满足111x y+=，则2210x xy y -+的最小值为__________,-3656.已知正实数,x y ,满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为__________,2 57.已知实数,,x y z ，满足222144x y z ++=，则22xy yz xz ++的取值范围为_____,[2,4]-58.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则3xy yz +的最大值为__________,259.已知实数,,x y z ，满足2224x y z ++=+的最大值为__________,十、多元变量的不等式最值问题60.已知正实数,,,a b c d ，满足1a b +=，1c d +=则11abc d+的最小值为__________,961.已知实数,,x y z ，满足222215xy z x y z +=⎧⎨++=⎩，则xyz 的最小值为____32______,此时___z =262.已知正实数,,x y z ，满足()x x y z yz ++=，则xy z+的最大值为__________,1263.已知实数,,x y z ，满足0,x y z x y z ++=>>，则的取值范围为______,(55-64.已知实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则xy z +的最小值为__________,-165.已知实数,,x y z ，满足222231x y z ++=，则2x y +的最大值为66.已知正实数,,x y z ，满足2xy x y =+，2xyz x y z =++则z 的最大值为__________,8767.已知正实数,,x y z ，满足x y z +≥，则y x x y z ++的最小值为1268.已知正实数,,x y z ，满足111x y +=，111x y z +=+，则z 的取值范围为__________,4(1,]369.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z xy yz ++--=，则z 的最大值为70.已知非负实数,,x y z ，满足1x y z ++=，则()()z x z y --的取值范围为___,1[,1]8- 十一、不等式综合应用71.已知正实数,x y ,满足4146x y x y ++=+，则41x y+的最小值为__________,8 72.已知正实数,x y ,满足148x y x y+=++，则x y +的最小值为__________,9 73.已知正实数,x y ,满足111924x y x y +++=，则3716x y -的最小值为__________,14- 74.已知实数,,(0,1)a b c ∈，设212121,,,111a b b c c a+++---这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为_______3+75.已知实数,x y ，满足1,0x y >>，且114111x y x y +++=-则111x y+-的最大值为__,976.已知正实数,x y ，满足2(1)(32)(2)xy y y -=+-，则1x y+的最大值为______,1 77.已知正实数,x y ，满足2811x y+=，则x y +的最小值为__________,6。

专题复习高中数学必修5基本不等式经典例题(word文档良心出品)

基本不等式知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式(培优)-学案

授课主题第12讲---基本不等式授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 掌握基本不等式的证明及应用；② 会用基本不等式求函数的最大值或最小值； ③ 掌握基本不等式的实际应用。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂1、算术平均值与几何平均值（1）算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值（2）几何平均值：对任意两个正实数,a b ，数ab 叫做,a b 的几何平均值 2、均值定理如果,a b R +∈，那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 3、均值不等式的常见变形（1）()2,a b ab a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0）（4）()2,11ab a b R a b+≤∈+4、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，x ＋y 有最最小值是p 2。

(简记：积定和最小)知识梳理（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，xy 有最大值是42s 。

(简记：和定积最大)考点一：基本不等式的理解例1、下列不等式一定成立的是（）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+例2、已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．4m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4m -≤ C ．24m -<< D ．42m -<<考点二：基本不等式与最值例1、已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30⋅=∠=︒AB AC BAC ，若,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值为（）A ．20B ．18C ．16D ．9例2、设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值．例3、设b a 、为正实数，且2211=+ba . （1）求22b a +的最小值；（2）若32)(4)(ab b a ≥-，求ab 的值.典例分析考点四：基本不等式的实际问题例1、如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.（1）要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？（2）M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．4800m，深为3m．如果池底每平方米的造价为150例2、某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为3元，池底每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？例3、图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．222、若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．23、若,0>>b a 则下列不等式成立的是（）A.ab b a b a >+>>2 B.b ab ba a >>+>2C.ab b b a a >>+>2 D.b b a ab a >+>>24、函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且点P 在直线()100,0mx ny m n +-=>>上，则14m n+的最小值是（） A.12 B.13 C.24 D.255、已知为正实数，且，则的最小值为__ _．实战演练10、已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C11、某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：（1）仓库面积S 的取值范围是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？1、【优质试题·四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（）A ．16B ．18C ．25D ．8122、【优质试题·福建，13】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是直击高考每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）。

基本不等式培优专练参考答案(1)

基本不等式培优专练参考答案培优点一常规配凑法1.答案：0 提示：242a b +=≥20a b ⇒+≤;2.答案：94 提示：2229121682y x ++=≥=3.答案：B 提示：柯西不等式知：211()()(194x my m xy ++≥≥⇒≥4.答案：1 提示：1111111a b b a a a ++-≥++-≥++ 5.答案：6223a b =+≥62≥⇒ab 6.答案：9 提示：241()(2)(21)92a b b a b b+-+≥+=-7.答案：B 提示：2112[+12(1)]()3(1311a b a b a b +=+++-≥-=++培优点二 “1”的代换8.答案：3，21 提示：311≥++=+b a a b b a b ，当且仅当21==b a 时取等号 9.答案：D 提示：9)12()2)(12(22=+≥++=+b ab a b a10.答案：49 提示：49)12(41)134)(3(411342=+≥-++-++=-++y x y x y x y x y x y x 11.答案：C 提示：（1）当2≥≥b a 时，由2431≤≤+b b a 知，231,,max ≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+a b a b a（2）当b a ≥≥2时，231,,max ≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+a b a b a （3）当b a ≥≥2时，23131,,max ≥+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+ba b a b a 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧+b a b a 31,,max 的最小值为2 12. 答案：322 提示：111221)11(2212222-++=-+-+++=-+++b a b b a a b b a a32213)12(1)112)(13111122=-+≥-++++=-++b a b a b a （Θ 13. 答案：3222-提示：ba ab a b b b a a a a b b b a ab ab +++=+++=+++=2221222))2(2)2(1(令abt =，则252112521621222112221222++-+=++++=+++=+++=t t t t t t t t t t tt ab 再令1-=t m ,3222926119921199212-=++≤+++=+++=mm m m m ab （补充题）答案：3 提示：109)3(810248296224224332222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=+++x y y x yxy x y y x x xy y x y x xy y x xy )323(3338848484)3()3822≥+==≤+=+=+++=x y y x t t t t t x y y x xyy x （培优点三换元法14.答案：C 提示：令25221,1=+⇒=+=+n m n y m x ，则n m y x 1121111+=+++5223)211(52)11)(252112+=+≥++=+n m n m n m （ 15.答案：9 提示：由已知可知：2)1)(2≥--b a （，9545)1()2(22=+≥+-+-=+b a b a 16.答案：B 提示：令52,522,2m n y m n x n y x m y x -=+=⇒=+=-，)3(51n m y x +=+5324)31(51)11)3(512+=+≥++=+n m n m y x （17.答案：32 提示：)1111)(11(312)1111(211++++++-=+++-=+++b a b a b a b b a a32342=-≤（当且仅当21==b a 时取等号） 18.答案：54提示：54)2(51)2214)(32(51221422222=+≥+++++=+++y x x y y x y x x y y x19.答案：B 提示：1)1)(1(111=--⇒=+b a b a，61911≥-+-b a （当且仅当4,34==b a 取等号） 20.答案：C 提示：由y x xy +=-3得13-+=x x y ，则251313611)8)(3()8(≥+-+-=-++=+x x x x x x y （当且仅当35,7==y x 时取等号）21.答案：25 提示：1)1)(1(111=--⇒=+y x y x ，251914131914≥-+-+=-+-y x y y x x （当且仅当25,35==y x 时取等号）22.答案：]13,2( 提示：θθsin 3,cos 2194==∴=+yx y x Θ（20πθ<<）)32tan )(sin(13sin 3cos 23211=+=+=+++ϕϕθθθ其中y x)2,(ϕπϕϕθ+∈+Θ1)sin(≤+∴ϕθ，最小值为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)2sin(,sin min ϕπϕ132133cos )2sin(133cos ,132sin >==+∴==ϕϕπϕϕΘ]1,132()(sin ∈+∴ϕθ，因此1132+++y x 的取值范围是]132，（ 23.答案：]4,2( 提示：2)12()12(224411=-+-∴+=+++y x y x yxΘ，令)43,4(,sin 212,cos 212ππθθθ-∈=-=-y x因此]4,2()4sin(2222∈++=+=πθyxS培优点四和、积、平方和三量减元24.答案：4 提示：4)2(,42=+≤∴=+b a ab b a Θ（当且仅当2==b a 时取等号）1616)1(12)()(1)()1)(1(22222222≥+-=+-++=+++=++ab ab b a ab b a ab b a25. 答案：34、32 提示：342)(4≤⇒≥+=xy xy xy y x xy （当且仅当y x =时取等号）32)(333333332≥+-+++=+y x y x y x 分析：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+===+=+⇒+++=+33333333)(12)(2t n m y x t ny mx t n t m y x t ny mx y x 26.答案：C 提示：1)(2)(22)(1)(211112222222222++-++-+=+++++=+++ab ab b a ab b a b a ab b a b a 4)1(262+--=ab ab0)1(1)2(12≤--=+-=-=a a a ab t 令4241111222+-=+++∴t tb a ，令22≥-=t m21248284242411112222+≤-+=+-=+-=+++∴mm m m m t t b a 27.答案：432- 提示：42642242122-≤⇒+≥+++=xy xy xy y x y x 432-≤xy 28.答案：C 提示：xy y x xy y x xyx y y x 21)2(14214222+=+⇒-=+⇒-=+ 121222)12)(12++=-+⇒=++-+y x y x xyxy y x y x （又 22)2(411)22(121y x y x xy ++=++≤+ 3322)2(411)222≤+⇒++≤+⇒y x y x y x （29.答案：4 16 提示：422222)2(161)2(44432y x y x y x xy y x +++≤+++=42≥+⇒y x 由已知可知：324)2(222=++y x y x ，因此2222]2)2(7[)17](4)2[(xy y x y x y x ++≥+++，即162)2(7≤++xy y x30.答案：]253,171(提示：20224≤<⇒+≥++=xy xy xy xy yx1161116)1(11721222+++=+++=+++xy xy xy xy xy y x xy ]253,171（∈ 31.答案：55 提示：210032424232<<⇒>+-=⇒=++x x xy y x xy 55148)1(3313168493452≥++++=+++=++x x x x x y x xy （当且仅当x=3时取等号）32.答案：61 提示：)12(6112)12)(12(6-+=++⇒-+++=b a b a ab b a b a ab 又22)22(3161)2(b a ab b a ++≤+=+22≤+⇒b a 61)12(6112≤-+=++∴b a b a ab培优点五轮换对称与万能k 法33. 答案：5102 提示：方法1：222222)2(85)2(83)2(3)2(41y x y x y x xy y x y xy x +=+-+≤-+=++=51022≤+∴y x （当且仅当1010,510==y x 时取等号）方法2：51051)2(2≤⇒≥-=-xy xy y x ，5831)2(2≤+=+xy y x 51022≤+⇒∴y x（当且仅当1010,510==y x 时取等号）方法3：1415)2(22=++y y x ，222)2()531](415)2[(y x y y x +≥+++51022≤+⇒∴y x（当且仅当1010,510==y x 时取等号）方法4：令y t x y x t 22-=⇒+=代入转化成关于y 的一元二次方程有解，判别式0≥∆可求；方法5：2222222)4()24()1()()2()2(y n xy mn x m ny mx y x y x ++-++=-++≤+512,53442412222==⇒+=-=+n m n mn m58)4()24()1()()2()2(2222222≤++-++=-++≤+y n xy mn x m ny mx y x y x34.答案：58提示：方法1：数形结合，可以理解为22=+y x 上的动点到原点的距离与到y 轴距离之和；)0,0(关于直线22=+y x 的对称点为)54,58(Q ，Q 到y 的距离为所求，即58方法2：令04)4(242222=-+-+⇒++=t x t x y x x t ， 580≥⇒≥∆t 35.答案：122 提示：令)2,0(,cos ,sin 3πθθθ∈==b a ，)cos (sin 3cos sin 3θθθθ+=+b a ab令2)4sin(2cos sin ≤+=+=πθθθt ，122)1(61)cos (sin 3cos sin 3≤-=+=+t t b a ab θθθθ 36.答案：36 提示：,1,222a c b a c b -=+-=+又222)2(2c b c b +≥+322≤⇒a 36≤⇒a37.答案：32 提示：33223)23(41161)23(22≤+⇒++≤+=+y x y x xy y x 因此3269≤+y x 参考33题培优点六消元法38.答案：51提示：414511145351≥+=-⇒-=+⇒+=-y y x x y x y x y x x y xy 5101452≤⇒≤-+⇒x x x39.答案：3,3 提示：3)21)(2(3121≥++=+ba b a b a ；133232≤⇒≥++=ab ab b b a )(b a =3131112134222222≥≥++=+b a b b a b a (当且仅当1==b a 时取等号） 40.答案：C 提示：a b -=1，3321331331122222+≤-+=+-=+-+=+++tt t t t a a a b a b b a a （令11>+=a t ）41.答案：B 提示：5141413433322≥++-=++-≥+-=++=aa a a ab a a b a b a μ（当且仅当2=a ）42.答案:494、提示：由已知可知9423≥⇒≥+=ab ab b a ab （当且仅当32==b a 时取等号）又4112114≤+⇒+≥++=ab b ab b b b a （当且仅当1,21==b a 时取等号）培优点七不等式算两次 43.答案：C 提示：44)(1222≥+≥-+aa b a b a （当且仅当22,2==b a 时取等号）44.答案：12 提示：12)(36)()2(9)(222≥-+-≥-+-b a b a b a b b a （当且仅当3,9==b a 时取等号） 45.答案：4 提示：41414142244≥+≥+≥++abab ab b a ab b a （当且仅当42,2222==b a 取等号） 46.答案：4 提示：方法1. 4)22(21)2121(21)21()21(2222=+≥+++≥+++y y x x x y y x（当且仅当22==y x 时取等号）方法2：4)11(2)411(2)21)(21(2)21()21(22=+≥++=++≥+++xyxy x y y x x y y x（当且仅当22==y x 时取等号）方法3：42114141)21()21(222222=++≥+++++=+++yxx y y y x x x y y x（当且仅当22==y x 时取等号）47.答案：4 提示：)2(52)54()51(2222222bc ac c b c a c b a +≥+++=++ 即22222)2(54)(bc ac c b a +≥++425)2(5425)2(5425)(22222≥+++=+++≥++++acbc ac bc ac bc ac bc ac bc c b a分析：bc n ac m nc b mc a c b a 22)()(2222222+≥+++=++54,511,2212==⇒=+=n m n m n m 48.答案：2232+ 提示：22322)(3)(232+≥-+-++++=-+++∴ba b a b a b a b a b a a49.答案：B 提示：41题50.答案：510+ 提示：25452)(21222221122222≥+=-++=-+=-+ab b a ab ab b a a ab ab a ab b a2525252-+≥-+-+c c c c ab c b ac 510525)2(25+≥+-+-=c c 培优点八齐次化51.答案：422- 提示：))1,0((112121)(22222∈=--=--=--≤xyt t t t t x y x y x c422411)1(21122-≥--+-=--tt t t （当且仅当221-=t 时取等号）52.答案：B 提示：12212)2(3322222+≥++=++=+∴=+xyy x xy y x y x xy y x y x Θ 53.答案：]30,350[3、提示：4)3()3(8109)3(829624224332222+++=+++=+++ab b a a bb a a b a b ab b a a b ab a b ab令323≥+=a b b a t 3324328484)3()3(829622222≤+≤+=+++=+++t t a b b a a b b a a b ab a b ab 方法1.令223y x t +=，θθsin ,cos 3t y t x ==代入已知条件可得]30,350[)2sin(626725∈--=ϕθt 方法2.由已知可得：25415)2(22=+-x x y ，令θθcos 3152,sin 52==-x x y θθcos 315sin 5+=y]30350[)2sin(320370322∈-+=+ϕθy x 54.答案：224- 提示：可以用三角换元，参考53题也可以使用判别式；222222222)2(22)1()(22y n xy mn x m ny mx y x y x -+--=+-+≥+)12(2,122212222-=-=⇒-==-n m n mn m2)22()2(22)1(2222222⨯-=-+--≥+y n xy mn x m y x培优点九待定与技巧性强的凑配55.答案：37提示：6543=++z y x Θ 36212421-+++=++++∴z x z y z x z y z y 316)232(61)3318242)(3324616212=+≥++++++=+++z x z y z x z y z x z y （37331636212421=-≥-+++=++++∴z x z y z x z y z y56.答案：36- 提示：由已知可知xy y x =+，36)6(12)(102222--=-+=+-xy xy y x y xy x57.答案：222- 提示：1321222111211111122++++=+++=+++≥∴≤y y y y y y y y yM xy Θ2222231131********-=+-=++-=++-=yy y y y（当且仅当22=y 时取等号） 58.答案：C 提示：)22(4121214141411222bc ac ab bc ac ab c b a ++=++≥++=Θ 422≤++∴bc ac ab又2220211)2121(2-≥++∴≥+++=++bc ac ab bc ac ab c b a Θ 59.答案：210 提示：yz m xy m z y m my x z y x -+≥+-++=++=122)1(1222222210111232=⇒-=m m m 即)3102122yz xy yz m xy m +=-+（2103≤+yz xy 60.答案：212+ 提示：)()1()1()(12222222222w nz z n y m my x w z y x ++-+-++=+++=zw n yz n m xy m 2)1)(1(22+--+≥2)12(223122)1)(1(212-=-==⇒=--=m n nn m m )2)(1222)1)(1(221zw yz xy zw n yz n m xy m +-=+--+≥（212)12(212+=-≤++∴zw yz xy 61.答案：A 提示：依题意T y x ≥+2)(，T y z ≥+2)(，T z x ≥+2)(≤T 3++2)(y x ++2)(y z zx yz xy xz yz xy z x 222222)(2+++++=+8)4=++≤xz yz xy （，38≤T62.答案：25提示：参考47题 63.答案：72 提示：bc m ab m c b m mb a c b a -+≥+-++=++=122)1(422222227521252=⇒-=m m m)25721224222bc ab bc m ab m c b a +=-+≥++=（7225≤+∴bc ab64.答案：36222、提示：)(2212142222222bc ab c b b a c b a +≥+++=++=22≤+∴bc ab,,222c b a c b a -=+-=+由36238)2(22222≤⇒≤⇒+≥+c c b a b a 培优点十多元变量的不等式最值问题 65.答案：B 提示：414121≥⇒≤⇒≥+=abab ab b a Θ 9)12()14)((14112=+≥++=+≥+∴dc d c d c d abc66.答案：21132119-=-z 、提示：81)21(21212+--=-=xy xy xyxyz ，又2222)1(412)1(415xy xy xy y x -+≥-++=37200196)(,02-≤≤⇒≤-+≥xy xy xy xy ，,0<xy 0112501910)(2<≤-⇒≤--xy xy xy3211981)21(212-≥+--=xy xyz ，此时211-=z67.答案：212- 提示：21241)()(41)(222-≤+⇒≤+++⇒+≤=++c b a c b a c b a c b bc c b a a68.答案：A提示：21211-<<-⇒>-->⇒>-->a c a c a c c c a a 222222222)(12121)(a c a c c a ac c a c a c a b ++=++=++=+Θ 令a c t = )51,0[121)(12121)(222222222∈++=++=++=++=+∴tt a c a c c a ac c a c a c a b 69.答案：C 提示：ab ab b a c 221222-=≥+=-（当0,0<<c ab 时最小）11)1(212122-≥-+=+-≥+∴c c c c ab 70.答案：A 提示：132222=++c b a Θ，12022≤+≤∴b a ，令θθsin 22,cos t b t a ==33)sin(3sin 2cos 2≤≤+=+=+t t t t b a ϕθθθ71.答案：78提示：8222≥⇒≥+=ab ab b a ab 7811112≤-=-=⇒+=++=abab ab c c ab c b a abc72.答案：212- 提示：)()21(211212a bt t t t t b a a a b c b a a b =++=++=++≥++21221)21(2121)21(21-≥-+++=++≥++t t t t c b a a b（当且仅当212-==a b t 时取等号） 73.答案：]34,1( 提示：42111≥⇒≥+=∴=+ab ab b a ab b a Θ，411≤ab34111,4311111≤<∴<≥-=+-=c c ab b a c 又 74.答案：26 提示：依题意01222=--++-bc c b ab a 有解，04443022≤-+-⇒≥∆c bc b有解，则262302≤⇒≤⇒≥∆c c75.答案：]1,81[- 提示：1)31(49)21()1()())((2222≤-=-+--≤++-=--c c c c c ab c b a c b c a c 8181)41(2)1()())((222-≥--=--≥++-=--c c c c ab c b a c b c a c76.答案：91-提示：222914,312z y x z y x -=+-=+Θ，319101627)231(291222≤≤-⇒≤--⇒-≥-∴z z z z z 91min -=∴z培优点十一不等式综合应用 77.答案：C 提示：)14(6)14)(4()14(14642yx y x y x y x y x y x ++++=+∴+=++Θ2)14(y x +∴)146222y x +++≥（）（814≥+⇒yx78.答案：B 提示：9)(8)41)(()(8)(2++≥++++=+y x yx y x y x y x （当且仅当y=2x 取等号）9≥+∴y x79.答案：41-提示：在已知等式两边加y x 1673-可2921416141613419=+≥+++=-+y y x x y x （当且仅当41,2==y x 时取等号）411673-≥-∴y x 80.答案：B 提示：依题意可知：b a M -+≥112，c b M -+≥112，ac M -+≥112 a a M -+≥∴1123b b -++112cc -++112 Θ223)12()112)(1(1122+=+≥-+-+=-+aa a a a a223+≥∴M81.答案：9 提示：101114)1(111114=+-++-∴=+-++y x y x y x y x Θ，两边同承yx 111+-)111](4)1[()111()111102y x y x y x y x +-+-++-=+-（9)111(2++-≥yx91111≤+-≤⇒yx 82.答案：122- 提示：2222)2(4443)2)(23)1(+-=--=-+=-y y y y y y xy （Θ 4)21()1(22=++-∴y y x 1221)11(21)2112122-≤+⇒++=++-≥yx y x y y x （83.答案6 提示：6838)18(118322=≥++=++=+∴=+y yx x y y x x y x y x Θ。

金版高考数学第十章第三节基本不等式优化训练(文) 北师大版必修5

金版高考数学第十章第三节基本不等式优化训练（文）北师大版必修5(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＞b ＞0时，显然能得出a 2＋b 2＞2ab ，即ab ＜a 2＋b 22，但由ab ＜a 2＋b 22，不一定能推出a ＞b ＞0，因为a ，b 可异号等，选A. 【答案】 A2．已知f(x)＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f(x)有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4【解析】 ∵x ＜0，∴－x ＞0，∴x ＋1x －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x －2≤－2－x·1－x －2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x，即x ＝－1.【答案】 C3．若0＜x ＜1，则f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为( )A.13B.12C.34D.23 【解析】 ∵0＜x ＜1，∴4－3x ＞0，∴x(4－3x)＝13·3x(4－3x) ≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取得等号．【答案】 D4．有一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理(够用且最省)的是( )A ．4.7 mB ．4.8 mC ．4.9 mD ．5 m【解析】设两个直角边为a ，b ，则ab ＝2，周长p ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝22＋2≈4.828，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立．【答案】 C5．已知不等式(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9，对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 取最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 ∵(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋x y a ＋y x＋a ≥1＋a ＋2a ，且(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9，∴9≤1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2， ∴a ＋1≥3，即a ≥4.∴a 的最小值为4.【答案】 B6．已知函数f(x)＝2x ＋2x，设函数y ＝－|f(x)|的最大值为m ，函数y ＝f(|x|)的最小值为n ，则m －n 的值为( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4【解析】 y ＝－|f(x)|＝－⎪⎪⎪⎪2x ＋2x ≤－4，当且仅当2x ＝2x，即x ＝±1时取得等号，y ＝f(|x|)＝|2x|＋2|x|≥4当且仅当|2x|＝2|x|，即x ＝±1时取等号，所以m ＝－4，n ＝4，则m －n ＝－8.【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．设正数a ，b 满足条件a ＋b ＝3，则直线(a ＋b)x ＋aby ＝0的斜率的取值范围是________．【解析】由k ＝－a ＋b ab ＝－3ab，3＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎫322，∴k ＝－3ab ≤－43. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，－43 8．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值为________，此时x 的值为________．【解析】 y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x 2≤129＝16，当且仅当x 2＝9x 2，即x ＝±3时取等号．【答案】 16±3 9．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn>0，则1m ＋2n的最小值为______．【解析】 A(－2，－1)，A 在直线mx ＋ny －1＝0，－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，mn>0，∴m>0，n>0. 1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n＋2 ≥4＋2·n m ·4m n＝8.当且仅当1m ＝2n 即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n的最小值为8. 【答案】 8三、解答题(共46分)10．(15分)(1)求函数y ＝x ＋12x(x ＜0)的最大值； (2)求f(x)＝3＋lg x ＋4lg x的最值(0＜x ＜1)．【解析】 (1)∵x ＜0，∴y ＝x ＋12x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x)＋1(－2x)≤－2(－x)·1(－2x)＝－ 2.当且仅当x ＝－22时取等号，∴y max ＝－ 2. (2)∵0＜x ＜1，∴lg x ＜0，4x ＜0，∴－lg x ＞0，－4lg x＞0. ∴(－lg x)＋⎝⎛⎭⎫－4lg x ≥2(－lg x)⎝⎛⎭⎫－4lg x ＝4. 即(－lg x)＋⎝⎛⎭⎫－4lg x ≥4，∴lg x ＋4lg x≤－4. ∴f(x)＝3＋lg x ＋4lg x ≤3－4＝－1. 当且仅当lg x ＝4lg x 即x ＝1100时，取等号．则有f(x)＝3＋lg x ＋4lg x(0＜x ＜1)的最大值为－1，无最小值． 11．(15分)(1)求函数y ＝x(a －2x)(x ＞0，a 为大于2x 的常数)的最大值；(2)设x ＞－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最值．【解析】 (1)∵x ＞0，a ＞2x∴y ＝x(a －2x)＝12×2x(a －2x)≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(a －2x)22 ＝a 28 当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28. (2)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0设x ＋1＝z ＞0，则x ＝z －1∴y ＝(z ＋4)(z ＋1)z ＝z 2＋5z ＋4z ＝z ＋4z＋5 ≥2z·4z＋5＝9 当且仅当z ＝2即x ＝1时上式取等号∴x ＝1时，函数y 有最小值9，无最大值．12．(16分)西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算年销售量S(万双)与广告费x(万元)之间的函数关系为S ＝3－1x(x ＞0)．已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元．(年销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费的50%)(1)试将羊皮手套的年利润L(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？(年利润＝年销售收入－年广告费)【解析】(1)由题意知，羊皮手套的年成本为(16S＋3)万元，年销售收入为(16S＋3)×150%＋x·50%，年利润L＝(16S＋3)×150%＋x·50%－(16S＋3)－x，即L＝12(16S＋3－x)，得L＝－x2＋51x－162x(x＞0)．(2)由L＝－x2＋51x－162x＝512－⎝⎛⎭⎪⎫x2＋8x≤512－2x2·8x＝21.5.当且仅当x2＝8x，即x＝4时，L有最大值21.5，因此，当年广告费投入为4万元时，此公司的年利润最大，最大利润为21.5万元．。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

基本不等式培优专题(推荐)

基本不等式培优专题(推荐) 高中数学——基本不等式培优专题目录1.常规配凑法2.“1”的代换3.换元法4.和、积、平方和三量减元5.轮换对称与万能k法6.消元法（必要构造函数求异）7.不等式算两次8.齐次化9.待定与技巧性强的配凑10.多元变量的不等式最值问题11.不等式综合应用1.常规配凑法1.（2018届温州9月模拟）已知 $2a+4b=2$（$a,b\in R$），则 $a+2b$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$。

2.已知实数 $x,y$ 满足 $x+\frac{1}{6}y=2$，且$\frac{(x+y)^2}{2xy-3}=1$，则 $x^2+y^2$ 的最大值为$\frac{27}{4}$。

3.（2018春湖州模拟）已知不等式$(x+my)(y+\frac{1}{x})\geq 9$ 对任意正实数 $x,y$ 恒成立，则正实数 $m$ 的最小值是 $6$。

4.（2017浙江模拟）已知 $a,b\in R$，且 $a\neq 1$，则$a+b+\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}\geq 4$。

5.（2018江苏一模）已知 $a>0,b>0$，且$\frac{2}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=ab$，则 $ab$ 的最小值是 $\frac{3}{4}$，$\frac{a-1}{b}+\frac{b-1}{a}$ 的最小值是$2$。

6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知 $a>b>0$，$a+b=1$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}\geq 6$。

7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知$a>0,b>0$，且 $\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{a+1}=1$，则$a+2b$ 的最小值是 $2$。

2.“1”的代换8.（2019届温州5月模拟13）已知正数 $a,b$ 满足$a+b=1$，则 $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}$ 的最小值是 $4$。

2020年高中数学人教A版必修5 不等式《基本不等式》培优练习(含答案解析)

2020年高中数学必修5 不等式基本不等式培优练习一、选择题1.下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 32.已知f(x)=x ＋1x-2(x<0)，则f(x)有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为-4 D ．最小值为-43.已知m=a ＋1a＋1(a>0)，n=3x (x<1)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m>n B ．m<n C ．m=n D ．m≤n4.下列不等式正确的是( )A ．a ＋1a ≥2B ．(-a)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤-2C ．a 2＋1a 2≥2D ．(-a)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2≤-25.若x ＞0，则函数y=－x －1x( ) A ．有最大值－2 B ．有最小值－2 C ．有最大值2 D ．有最小值26.若2x ＋2y =1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[-2，0]C ．[-2，＋∞)D ．(-∞，-2]7.函数y=x 2＋2x ＋2x ＋1(x>-1)的图象的最低点的坐标是( ) A ．(1，2) B ．(1，-2) C ．(1，1) D ．(0，2)8.设0<x<2，则函数y=x (4－2x )的最大值为( )A ．2 B.22C. 3D. 29.若函数f(x)=x ＋1x －2(x>2)在x=a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．410.若实数a ，b 满足1a ＋2b =ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．411.已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y=xy ，则x ＋y 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．1612.若2x ＋2y =1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]二、填空题13.若x ，y 均为正实数，且x ＋4y=1，则x·y 的最大值为________．14.当x>12时，函数y=x ＋82x －1的最小值为________．15.若正数a ，b 满足ab=a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．16.设x>－1，则函数y=（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值是________．三、解答题17.已知x ，y>0，且x ＋2y ＋xy=30，求xy 的范围．18.已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2=x ＋y.(1)求1x ＋1y的最小值； (2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)=5？并说明理由．19.已知lg(3x)＋lg y=lg(x ＋y ＋1)．(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．20.某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？答案解析1.答案为：D ；解析：a<0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a=1，b=1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a=4，b=16，则ab<a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2.答案为：C ；解析：∵x<0，∴f(x)=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x -2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1－x ，即x=-1时取等号．3.答案为：A ；解析：因为a>0，所以m=a ＋1a ＋1≥2a ·1a＋1=3，当且仅当a=1时等号成立．又因为x<1，所以n=3x <31=3，所以m>n.4.答案为：C ；解析：因为a 2＋1a 2中a 2>0，所以a 2＋1a 22≥a 2·1a 2，即12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥1，所以a 2＋1a 2≥2.5.答案为：A ；解析：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2. 所以－x －1x ≤－2.当且仅当x=1时，等号成立，故函数y=－x －1x有最大值－2.6.答案为：D ；解析：∵1=2x ＋2y ≥22x ·2y =22x ＋y 当且仅当2x =2y =12，即x=y=-1时等号成立， ∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y≤-2.7.答案为：D ；解析：y=(x ＋1)2＋1x ＋1=(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当x=0时取最小值．8.答案为：D ；解析：∵0<x<2，∴2-x>0，∴y=x (4－2x )=2·x (2－x )≤2·x ＋2－x 2=2，当且仅当x=2-x ，即x=1时取等号．9.答案为：C ；解析：∵x ＞2，∴x-2＞0，∴f(x)=x ＋1x －2=(x-2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2=2＋2=4，当且仅当x-2=1x －2，即(x-2)2=1时等号成立，解得x=1或3.又∵x ＞2，∴x=3，即a 等于3时，函数f(x)在x=3 处取得最小值，故选C.10.答案为：C.解析：由1a ＋2b =ab 知a ＞0，b ＞0，所以ab=1a ＋2b ≥22ab，即ab≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a=42，b=242时取“=”，所以ab 的最小值为2 2.11.答案为：B.解析：由题意可得4y ＋1x =1，则x ＋y=(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x =5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×y x =9，当且仅当4x y =y x，即x=3，y=6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.12.答案为：D.解析：因为1=2x ＋2y ≥22x ·2y ，所以2x ＋y ≤14，即x ＋y≤－2，当且仅当x=y 时取等号. 13.答案为：116；解析：1=x ＋4y≥24xy=4xy ，∴xy≤116，当且仅当x=4y 时等号成立．14.答案为：92；解析：设t=2x-1，∵x>12，∴2x-1>0，即t>0，∴y=t ＋12＋8t =t 2＋8t ＋12≥2t 2·8t ＋12=92. 当且仅当t 2=8t ，即t=4， x=52时，取等号．15.答案为：[9，＋∞)；解析：ab=a ＋b ＋3≥2ab ＋3，所以(ab －3)(ab ＋1)≥0，所以ab ≥3，所以ab≥9.16.答案为：9；解析：因为x>－1，所以x ＋1>0，设x ＋1=t>0，则x=t －1，于是有y=（t ＋4）（t ＋1）t =t 2＋5t ＋4t =t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5=9，当且仅当t=4t，即t=2时取“=”，此时x=1. 所以当x=1时，函数y=（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值9.17.解：因为x ，y 是正实数，故30=x ＋2y ＋xy≥22xy ＋xy ，当且仅当x=2y ，即x=6，y=3时，等号成立．所以xy ＋22xy －30≤0.令xy=t ，则t>0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t>0，知0<xy ≤32，即xy 的范围是(0，18]．18.解：(1)因为1x ＋1y =x ＋y xy =x 2＋y 2xy ≥2xy xy=2，当且仅当x=y=1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2. (2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy，所以(x ＋y)2≤2(x 2＋y 2)=2(x ＋y)．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y≤2. 从而有(x ＋1)(y ＋1)≤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)=5.19.解：由lg(3x)＋lg y=lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy=x ＋y ＋1≥2xy ＋1.所以3xy －2xy －1≥0，即3(xy)2－2xy －1≥0.所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0.所以xy ≥1.所以xy≥1.当且仅当x=y=1时，等号成立．所以xy 的最小值为1.(2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1=3xy≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. 所以3(x ＋y)2－4(x ＋y)－4≥0.所以[3(x ＋y)＋2][(x ＋y)－2]≥0.所以x ＋y≥2.当且仅当x=y=1时取等号．所以x ＋y 的最小值为2.20.解：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x=240，即k=240x-1. 所以y=400k ＋(k ＋1)(x 2＋x)=400⎝ ⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x()x 2＋x =96000x ＋240x-160. 因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x<240.故y 与x 的函数关系是y=96000x＋240x-160(0<x<240)． (2)y=96000x ＋240x-160≥296000x·240x -160=2×4800-160=9440，当且仅当96000x =240x ，即x=20时等号成立，此时k=240x -1=24020-1=11. 故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．。

专题05基本不等式(PPT)-2025年新高考数学一轮考点题型精准复习(新高考专用)

解：显然， a2 1 0 ，
则， a2 2 a2 1 1 2 a2 1 1 2 ，
a2 1
a2 1
a2 1
当且仅当
a2 1
1
a2 1 ，即 a 0 时，等号成立.
所以， a2 2 的最小值是 2，此时 a 0 .
a2 1
例 14 ．（ 2022 秋 ·云南楚雄 ·高三云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数
A．有最大值 4 B．有最小值 4 C．有最大值 4 D．有最小值 4 解： x 0，x 0，
y
x
4 x
(x)
4 x
2
(
x)
4 x
4
，当且仅当
x
2
时等号成立，
故选：A
考点二拼凑法求最值
例 6．（2023·陕西榆林·统考三模）若 a 1，则 a 9 的最小值为________． a 1
a
2
b
2
a
b2
4a
b
4
0
a
b
2
2
2，
当且仅当 a b 时成立，A 正确；
对于 B， ab 1 a b 2 ab ，即
故答案为：3
例 20．（2023 春·湖南·高一校联考期中）已知正实数 a，b 满足 a 2b 4 ，则 1 1 的最 a b1
小值是（）
A．1 B． 33 C． 3 2 2 D．1 3
28
6
3
解：由已知可得，
a
2b
1
6
，所以
1 6
a
2
b
1
1.
又 a,b 0 ，
所

专题7 线性规划与基本不等式(培优)

专题7-1线性规划归类【题型一】三大基础题型：截距，斜率与距离（圆系）【典例分析】若实数x ，y 满足{x ≤4y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是___【提分秘籍】基本规律1.线性，注意Z 与截距之间的正反比例关系，如变式22.斜率型，要写层标准的斜率公式形式，如变式13.距离型，注意圆与直线（线段）的位置关系：点到线的垂直关系还是点到点的关系，如典例分析【变式演练】1.设,x y 满足约束条件20{230 0x y x y x y --≤-+≥+≤，则46y x ++的取值范围是 ( ) A. []4,1- B. 33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (][),31,-∞-⋃+∞D. []3,1-2.若实数x ，y 满足约束条件{x ≥2,x +y ≤6,x −y ≤0,则目标函数z =2x −3y 的最大值是__________．3.设点(),Px y 是平面区域0{10 220x x y x y ≤++≤++≥内的任意一点，则224x y x +-的最小值为 A. 12 B. 1 C. 92D. 5【题型二】由参数确定图像形状【典例分析】若不等式组0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（）A.43a ≥B.01a <≤C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥【提分秘籍】基本规律分类讨论，动图研究【变式演练】1.设不等式组4,0,10,x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是A ．22,25⎡⎣B ．(22,32]C ．(22,25]D ．(0,22)(25,)+∞2.不等式组表示的是一个对称四边形围成的区域，则 .3.已知圆的方程为224x y +=，P 是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平面区域||||x y a +≥覆盖，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．01a <≤D ．0a ≤【题型三】含参线性规划【典例分析】给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是A ．B ．1C ．4D ．【提分秘籍】基本规律含参型，注意区分参数所在位置而采取的不同处理方法。

基本不等式培优拓展资料

故选：BC.
练透核心考点
1．（2023· 全国· 高三专题练习）当 0 x 2 时， x(2 x) 的最大值为（
）
A． 0
B．1
C． 2
D． 4
【答案】B
【详解】 0 x 2 ，2 x 0 ，又 x (2 x) 2
x(2 x) x (2 x)2 1 ，当且仅当 x 2 x ，即 x 1时等号成立，
f (x) x a 在 (, a ) ， x
( a, ) 上单调递增；在 ( a, 0) ， (0, a ) 单调递减
类型一：直接法
典型例题
例题 1．（2023· 高一课时练习）下列不等式中正确
x2
3 x2
2
3
C．
ab a b 2
D． a2 b2 4ab
【答案】B 【详解】A. 当 a<0 时， a 4 0 ，故错误；
ab
a
成立，故 C 正确；
对于 D， y x 1 x 2 1 2 2 (x 2) 1 2 4 ，故 D 错误．
x2
x2
x2
故选;C.
3．（2022 秋· 安徽· 高三蚌埠二中校联考阶段练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（
）
A．
x 1 2x 0
x
B．
x
2 x
2
2 x 0
对于 B，要 y
x2 2
1 x2 2 取到最小值 2，需满足
x2 2
1 x2 2 ，此时 x2 1，不可能成立，故
B 错误；
对于 C， ab 0, b 0 ， y b a [( b ) ( a)] 2 ( b ) ( a) 2 ，当且仅当 b 1 时，等号
a

必修五复习培优班第10讲不等式综合 (P)

不等式综合【知识要点】1.你会求一元二次不等式吗?1．说说22b a +≥2ab 和b a +≥ab 2这两个不等式有什么不同和相同之处。

2．应用上述不等式可以解决哪些问题？3．应用均值不等式求最值时要注意什么？【典型例题】例1．求下列函数的最大值（1）已知)31(),31,0(x x y x -=∈ （2）已知[]21,1,0x x y x -=∈例2．已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a b x y+=，求x y +的最小值．例3.已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.例4.已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.例5.求下列函数的最小值(1)已知x ＞4，41-+=x x y （2）91322++=x x y例6．某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留了3m 的空地，当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【课堂练习及作业】1．设,x y R +∈，且()1xy x y -+=，则（）()A 1)x y +≥ ()B 1xy ≤()C 21)x y +≤ ()D 1)xy ≥2．下列函数中，y 的最小值为4的是（） ()A 4y xx =+ ()B 2y =()C 4x x y e e -=+((0,))x e ∈+∞ ()D 4sin (0)sin y x x xπ=+<< 3．若实数x 、y 满足条件)1)(1(,122xy xy y x -+=+则的（）A ．最小值为21，最大值为1 B ．最小值为43，最大值为1 C ．最小值为43，无最大值 D ．最小值为1，无最大值 4．若实数a 、b 满足a+b=2，则b a 22+的最小值是（）A ．8B ．4C ．22D ．2245．若实数x 、y 、m 、n 满足ny mx n m y x +=+=+则,3,12222的最大值为（）A ．3B ．2C ．5D ．210 6．已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），10a b +=，1a b x y+=，求x y +的最小值为18，求,a b 的值．。

高考数学一轮复习基本不等式培优课件

第21页
高考总复习讲义 ·数学
(2)设
0<x<32，则函数
9
y＝4x(3－2x)的最大值为___2_____．
【解析】 y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋（32－2x）2＝92，当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时等号成立．因为34∈0，32，所以函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.
第23页
高考总复习讲义 ·数学
思考题 1 (1)若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝( C )
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
【解析】 ∵x>2，∴f(x)＝x＋x－1 2＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2 （x－2）·x－1 2＋ 2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成立．故 a＝3.
∵x≤45，∴t≤－95.∴y＝t2＋3tt＋1＝t＋1t ＋3.
设 g(t)＝t＋1t ，∴g′(t)＝1－t12＞0.
∴g(t)在－∞，－95上为增函数．∴ymax＝－95－59＋3＝2495.
【答案】
29 45
第29页
高考总复习讲义 ·数学
(2)若将例 2 中的条件变为 x≠54，求 y 的值域．【解析】设 4x－5＝t，∵x≠54，∴t≠0. ∴y＝t＋1t ＋3. 当 t＞0 时，y≥2＋3＝5，当且仅当 t＝1 时取等；当 t＜0 时，y≤－2＋3＝1，当且仅当 t＝－1 时取等． ∴函数的值域为(－∞，1]∪[5，＋∞)．【答案】 (－∞，1]∪[5，＋∞)
第25页
高考总复习讲义 ·数学
(3)(2022·重庆一中模拟)已知 a>0，b>0，则ba＋a4＋ab的最小值为____3____．

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高中数学——基本不等式培优专题目录培优（1）常规配凑法培优（2）“1”的代换培优（3）换元法培优（4）和、积、平方和三量减元培优（5）轮换对称与万能k法培优（6）消元法（必要构造函数求异）培优（7）不等式算两次培优（8）齐次化培优（9）待定与技巧性强的配凑培优（10）多元变量的不等式最值问题培优（11）不等式综合应用培优（1）常规配凑法1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________2. 已知实数x,y 满足11622=+y x ，则22y x +的最大值为_____________3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)11)((≥++yx my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值是（）A.2B.4C.6D.84.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -+++11的最小值是_____________5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab ba =+32，则ab 的最小值是_____________6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则bb a 214+-的最小值是_____________7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11111=+++b a ，则a+2b 的最小值是（）A.23B.22C.3D.2培优（2） “1”的代换8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则ba b 1+的最小值为_____________此时a=______9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+b a 则b a+2的最小值为（） A.24 B.28 C.8 D.910.（2017西湖区校级期末）已知实数x,y 满足x ﹥y ﹥0,且x+y=2，则3yx 4y -x 1++的最小值是_____________11.（18届金华十校高一下期末）记max ｛x,y,z ｝表示x,y,z 中的最大数，若a ﹥0,b ﹥0,则max ｛a,b,ba 31+｝的最小值为（）A.2B.3C.2D.312. 已知a,b 为正实数,且a+b=2，则21222-+++b b a a 的最小值为_____________13. 已知正实数a,b 满足1)2(221=+++aa b b b a ）（，则ab 的最大值为_____________（补充题）已知x,y ﹥0,则2222296yx xyy x xy +++的最大值是_____________培优（3）换元法14.（2019届超级全能生2月）已知正数x,y 满足x+y=1,则yx 21111+++的最小值是（） A. 2833 B.67 C.5223+ D.5615.（2019届模拟7）已知㏒2(a-2)+ ㏒2(b-1)≥1，则2a+b 取到最下值时ab=（）A.3B.4C.6D.916.（2018温州期中）已知实数x,y 满足2x ﹥y ﹥0,且12121=++-yx y x ，则x+y 的最小值为（） A.5323+ B.5324+ C.5342+ D.5343+17.（2018杭州期末）若正数a,b 满足a+b=1,则bba a +++11的最大值是_____________18.（2017湖州期末）若正实数x,y 满足2x+y=2,则221422+++x y y x 的最小值是_____________19.（2018河北区二模）若正数a,b 满足111=+b a ，则1911-+-b a 的最小值为（） A.1 B.6 C.9 D.1620.（温岭市2016届高三5月高考模拟）已知实数x,y 满足xy-3=x+y,且x ﹥1，则y(x+8)的最小值是（）A.33B.26C.25D.2121. 若正数x,y 满足111=+y x ，则1914-+-y yx x 的最小值为_____________22.（2018届嘉兴期末）已知实数x,y 满足194=+y x ，则1132+++y x 的取值范围是_____________23.（2018上海二模）若实数x,y 满足112244+++=+y x y x ，则S=y x 22+的取值范围是_____________培优（4）和、积、平方和三量减元24.（2019届台州4月模拟）实数a,b 满足a+b=4,则ab 的最大值为_____________，则)1)(1(22++b a 的最小值是_____________25. (2019届镇海中学考前练习14)已知正数x,y 满足xy(x+y)=4,则xy 的最大值为_____________，2x+y 的最小值为_____________26.（2018春台州期末）已知a,b ∈R ，a+b=2,则的最大值为（）A.1B.56C.212+D.227.（2016宁2波期末14）若正数x,y 满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值是_____________28.（2018届诸暨市期中）已知实数x,y 满足214-=+xy x y y x ，则122-+y x xy的最大值为（） A.332 B.23 C.1332+ D. 213+29.（2018台州一模）非负实数x,y 满足324442222=+++y x xy y x ,则x+2y 的最小值为_____________，xy y x 2)2(7++的最大值是_____________30.（2018春南京）若x,y ∈(0,+∞),,42=++xy yx 则172122+++xy y x xy 的取值范围是_____________31.（2017武进区模拟）已知正实数x,y 满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y 的最小值为_____________32.（2017宁波期末）若正实数a,b 满足ab b a 61)2(2+=+,则12++b a ab的最大值为_____________培优（5）轮换对称与万能k 法33.（2019嘉兴9月基础测试17）已知实数x,y 满足1422=++y xy x ，则x+2y 的最大值为_____________34.（2016暨阳联谊）已知正实数x,y 满足2x+y=2,则22y x x ++的最小值为_____________35. 已知正实数a,b 满足1922=+b a ，则ba ab+3的最大值为_____________36. 已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, 1222=++c b a 则a 的最大值为_____________37.（2018届杭二高三下开学）若164922=++xy y x ，x ∈R ，y ∈R ，则9x+6y 的最大值为_____________培优（6）消元法（必要构造函数求异）38.（2016十二校联考13）若存在正实数y,使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_____________39.（2019届镇海中学5月模拟13）已知a,b ∈+R ，且a+2b=3,则ba 21+的最小值是_____________，2221b a +的最小值是_____________40.（2019届金华一中5月模拟9）已知正实数a,b 满足a+b=1,则的最大值是（）A.2B.21+C. 1332+D. 2223+41.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32（） A.有最大值为514 B. 有最小值为514C.没有最小值D.有最大值为342.（2018湖州期末）已知a,b 都为正实数，且311=+ba ，则ab 的最小值是_____________ abb+1的最大值是_____________培优（7）不等式算两次43. 设a ＞b ＞0,那么)(12b a b a -+的最小值为（）A.2B.3C.4D.544. 设a ＞2b ＞0，则)2(9)(2b a b b a -+-的最小值为_____________45.（2017天津）若a,b ∈R,ab ＞0，则abb a 1444++的最小值为_____________46. 若x,y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是_____________47. 已知a,b,c ∈(0,+∞),则acbc c b a ++++25)(2222的最小值为_____________48.（2018天津一模）已知a ＞b ＞0，则ba b a a -+++232的最小值为_____________49.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32（） A.有最大值为514 B. 有最小值为514C.没有最小值D.有最大值为350. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0且a+b=2,则252-+-+c c ab c b ac 的最小值是_____________培优（8）齐次化51.（2019届杭高高三下开学考T17）若不等式)(222x y cx y x -≤-对满足x ＞y ＞0的任意实数x,y 恒成立，则实数c 的最大值为_____________52.（2019届绍兴一中4月模拟）已知x ＞0，y ＞0，x+2y=3，则xyy x 32+的最小值为（） A.223- B.122+ C.12- D.12+53.（2018浙江模拟）已知a ＞0,b ＞0，则2222296b a ab b a ab +++的最大值为_____________ 若25422=+-y xy x ，则223y x +的取值范围是_____________54.（2016新高考研究联盟二模）实数x,y 满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是_____________培优（9）待定与技巧性强的配凑55.（2016大联考）若正数x,y,z 满足3x+4y+5z=6，则zx z ++++2y 4z y 21的最小值为_____________56.（2016杭二最后一卷）若正数x,y 满足11x 1=+y，则2210y xy x +-的最小值为_____________57.（2016宁波二模）已知正数x,y 满足xy ≤1，则M=1211x 1+++y 的最小值为_____________58.（2016浙江模拟）已知实数a,b,c 满足14141222=++c b a ，则ab+2bc+2ca 的取值范围是（） A.(]4，∞- B. []44，- C. []42，- D. []41，-59.（2019江苏模拟）已知x,y,z ∈(0,+∞)且1222=++c b a ，则3xy+yz 的最大值为_____________60.（2016大联考）已知12222=+++d c b a ，则ab+2bc+cd 的最大值为_____________61.（2017学年杭二高三第三次月考）已知{}222)()()(min T z x y z y x +++=，，，且x+y+z=2，则T 的最大值是（） A.38 B.8 C. 34 D. 32 62. 已知a,b,c ∈+R ,则bc ab c b a 2222+++的最小值是_____________63. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则bc ab 25+的最大值是_____________64. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则ac+bc 的最大值为_____________,又若a+b+c=0,则c 的最大值是_____________培优（10）多元变量的不等式最值问题65.（2019届浙江名校新高考研究联盟第9题）已知正实数abcd 满足a+b=1,c+d=1，则d1abc 1+的最小值是（） A.10 B.9 C.24 D.3366.（2019届杭四仿真卷）已知实数x,y,z 满足⎩⎨⎧=++=+512222z y x z xy ，则xyz 的最小值为_____________ 67.（2019届慈溪中学5月模拟）若正实数a,b,c 满足a(a+b+c)=bc ，则c b +a 的最大值为_____________ 68.（2017浙江期末）已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,a ﹥b ﹥c,则22c a b+的取值范围是（） A.)55,55(- B. )51,51(- C.)2,2(- D. )55,2(- 69.（2018浦江县模拟）已知实数a,b,c 满足1222=++c b a ，则ab+c 的最小值为（） A.-2 B.23- C.-1 D.-21 70.（2016秋湖州期末）已知实数a,b,c 满足132222=++c b a ，则a+2b 的最大值为（） A.3 B.2 C.5 D.371.（2019江苏一模）若正实数a,b,c 满足ab=a+2b ，abc=a+2b+c ，则c 的最大值为_____________72.（2018秋辽宁期末）设a,b,c 是正实数且满足a+b ≥c ，则cb a a b ++的最小值为_____________73.（2017秋苏州期末）已知正实数a,b,c 满足11a 1=+b ，11b a 1=++c ，则c 的取值范围是_____________74.（2019届浙江名校协作体高三下开学考17）若正数a,b,c 满足1222=--++bc ab c b a ，则c 的最大值为_____________75.（2018届衢州二中5月模拟12）已知非负实数a,b,c 满足a+b+c=1,则(c-a)(c-b)的取值范围是_____________76.（2018届上虞5月模拟16）若实数x,y,z 满足x+2y+3z=1, 194222=++z y x ,则z 的最小值为_____________培优（11）不等式综合应用77.（2018春衢州期末）已知x,y ＞0，若,1464x y x y +=++ 则yx 14+的最小值是（） A.6 B.7 C.8 D.978.（2018嘉兴模拟）已知,0x ,841x ）＞（y yx y ++=+则x+y 的最小值为（） A.35 B.9 C.2624+ D.1079.（2018越城区校级）已知x,y ＞0，且,419211x =+++y x y 则y 167x 3-的最小值是_____________ 80.（2016台州期末）已知a,b,c ∈(0,1),设ac c b b a -+-+-+112,112,112这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为（） A.5 B.223+ C. 223- D.不存在81.（2019乐山模拟）已知实数x,y 满足x ＞1，y ＞0, ,111114x =+-++y x y 则y 11-x 1+的最大值为_____________82.（2019乐山模拟）已知x,y 为正实数，且满足)2)(23(12-+=-y y xy ）（，则y1+x 的最大值为_____________83.（2019届镇海中学最后一卷）已知x,y ＞0，且1y 1x82=+，则x+y 的最小值为_____________。