高等数学讲义 一元函数微分学

第二章一元函数微分学

S.1导数与微分

(甲)内容要点

一、导数与微分概念

1、导数的定义

设函数y f(x)在点x o的某领域内有定义，自变量x在x o处有增量x，相应地函数增量y f(x o x) f(x o)。如果极限

|im f(X o X) f(X o)

x 0x

存在，则称此极限值为函数 f (x)在X o处的导数(也称微商)，记作f(X。)，或y x冷，d^|xx0，X X。等，并称函数y f(X)在点X o处可导。如果上面的极限不存在，则dx dx

称函数y f (x)在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x x0X ，X X x0，则

f (X0) lim f(X) f(X0)

x X0x x0

我们也引进单侧导数概念。

右导数： f (X0) lim f(x) f(X0)lim 仏x) f(x0)

x

^0 XX)x 0x

左导数：

f (x) f(X°) f (X0 x) f(x°) f (X)) lim lim

x 冷x x0x 0X

则有

f (X)在点X。处可导f (X)在点X。处左、右导数皆存在且相等。

2.导数的几何意义与物理意义

如果函数y f (X)在点X0处导数f(X0)存在，则在几何上f(X0)表示曲线y f (x)在点(X0, f(x°))处的切线的斜率

切线方程：y f (x0) f (X0)(X X0)

法线方程：y f(X0) (X X0) (f(X0) 0)

f (X o)

设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S f (t)，如果f (t0)存在，则f (t0)

表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3•函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数y f (x)在点X0处可导，则f(x)在点X0处一定连续，反之不然，即函数

f (X)在点X。处连续，却不一定在点X。处可导。例如, f (X) | X |,在X0 0 处连续，却不可导。

4.微分的定义

设函数y f (X)在点X0处有增量X时，如果函数的增量y f(X0 X) f (X0)有下面的表达式

y A(x°) x o( x) ( x 0)

其中A(x°)为X为无关，0( X)是X 0时比X高阶的无穷小，则称f (X)在X0处可微,

并把y中的主要线性部分A(x0) X称为f (X)在x0处的微分，记以dy X x°或df (x) x x 我们定义自变量的微分dx就是x。

5 •微分的几何意义

y f (X0 x) f (X0)是曲线y f (x)在点X0处相应

于自变量增量X的纵坐标f (x0)的增量，微分dy xx。是曲线

y f (x)在点M°(x°, f (X0))处切线的纵坐标相应的增量(见

图)。

6•可微与可导的关系

f (x)在x0处可微 f (x)在x0处可导。

且dy x X0 A(X°) x f (X0)dx

般地，y f(x)则dy f (x)dx

dy

所以导数f(x) d y 也称为微商，就是微分之商的含义。 7 •高阶导数的概念

如果函数y f (x)的导数y f (x)在点x 0处仍是可导的，则把y f (x)在点x 0处

广I \/

的导数称为y f (x)在点X 。处的二阶导数，记以y x x 0

，或f (X 。)，或一y x x 0

等，也 dx

称f (x)在点X 0处二阶可导。

如果y f(x)的n 1阶导数的导数存在，称为

y f (x)的n 阶导数，记以 y (n),

、导数与微分计算 1 •导数与微分表(略) 2 •导数与微分的运算法则

(1) 四则运算求导和微分公式 (2) 反函数求导公式 (3) 复合函数求导和微分公式 (4) 隐函数求导法则 (5) 对数求导法

(6) 用参数表示函数的求导公式 (乙)典型例题 -、用导数定义求导数

例 设f (x) (x a)g(x)，其中g(x)在x a 处连续，求f (a)

二、分段函数在分段点处的可导性 例1设函数

X 2, x 1 ax b, x 1

试确定a 、b 的值，使f (x)在点x 1处可导。

解：•••可导一定连续，••• f(x)在x 1处也是连续的。 由

f(1 0) lim f(x) lim x 2

1

x 1

x 1

(n)

y (x),

护等这时也称

f (x)是n 阶可导。

« X f

ma

H

a)

ma H X

g a)

a)

f (1 0) lim f (x) lim (ax b) a b

x 1

x 1

要使f (x)在点x

1处连续，必须有a b 1或b 1 a

又

f f (x)

f(1) x 2 1

(1)呵

1

x 1

lim x 1

x 1

lim( x 1)

2

f (1) lim f (x)

f(1) ax b

lim

1 「 a(x 1) lim a

x 1

x 1

x 1

x 1

1 x 1

x 1

要使f (x)在点x

1处可导，必须 f (1)

f (1)，即 2 a . 故当a 2,b 1 a 1

2 1

时,

f (x)在点 x 1处可导•

2 n(x 1) x e

ax b

例2 设 f(x)

n

im

n(x

1) /

，冋a 和b 为何值时，f (x)可导，且求f (x)

n

e (

1

1

解：

••

x 1时， n(x 1)

lim e

n

x 1

时，

lim e n(x 1} n

x 2

J

x 1 ,

a b 1

f(x)

2 x J 1 ,

ax b

J

x 1 ,

再由

x

1

处

可

导性,

f (1)

lim

2

x

f(1) 存在

x 1

x 1

f (1)

lim (ax b) f(1) 存在 x 1

x 1

且 f (1)

f (1)

根据洛必达法则

f (1) lim 2x 2

x 1 1

f (1) lim a a ，二 a 2

x 1

1

于是b 1 a

1

由x 1处连续性，lim f (x)

x 1

2

lim x 1, f ⑴

1，可知a b 1