第4讲-多元函数概念与极限

第4讲 平面点集与多元函数极限

讲授内容

一、平面点集

平面点集

()()

(){}

22

02

|,δ<-+-y y x x y x 与(){

}δδ<-<-00,|,y y x x y x 分

()00,y x A 为中心的δ圆领域与δ方领域，并以记号U(A ；δ)或U(A)来表示．

空心邻域是指 ()()

(){}

22

02

0|,δ<-+-

}0000,,,,|,y x y x y y x x y x ≠<-<-δδ，并用记号()()A U A U

;或δ来表示．

任意一点2

R A ∈与任意一个点集2

R E ⊂之间必有以下三种关系之一：

（i ）内点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)E ⊂，则称点A 是点E 的内点；E 的全体内点构成

的集合称为E 的内部，记作intE ．

(ii)外点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)φ=⋂E ，则称A 是点集E 的外点．

(iii)边界点——若在点A 的任何邻域内既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点．则称A 是集合E 的边界点．即对任何正数δ，恒有()(),;;φδφδ≠≠cE A U E A U 且 E 的全体边界点构成E 的边界，记作E ∂．

点A 与点集E 的上述关系是按“点A 在E 内或在E 外”来区分的．此外，还可按在点A 的近旁是否密集着E 中无穷多个点而构成另一类关系：

(i)聚点——若在点A 的任何空心邻域0

U (A)内都含有E 中的点，则称A 是E 的聚点，聚点本身可能属于E ，也可能不属于E ．

(ii)孤立点——若点A E ∈，但不是E 的聚点，即存在某一正数δ，使得()φδ=E A U

;0

，则称点A

是正的孤立点．

显然，孤立点一定是边界点；内点和非孤立的边界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点．

例如 设平面点集(){}

41|,22<+≤=y x y x D ，满足4122<+

122=+y x 的一切点是D 的边界点，它们都属于D ；满足422=+y x 的一切点也是D 的边界点，但它们都

不属于D ；点集D 连同它外圆边界上的一切点都是D 的聚点．

根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．

开集——若平面点集所属的每一点都是正的内点(即intE=E)，则称E 为开集．

闭集——若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集．若点集E 没有聚点，这时也称E 为闭集． 开域——若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称正为开域(或称连通开集)． 闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域．

区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分边界点所成的点集，统称为区域．

又例如(){}0|,>=xy y x E ，虽然是开集，但因Ⅰ、 Ⅲ象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域．

有界点集——对于平面点集E ，若存在某一正数，使得(),;r O U E ⊂其中O 是坐标原点. 点集E 的直径)(E d . 就是()(),,sup 21,21p p E d E

p p ρ∈=

其中()21,p p ρ表示1P 与2P 两点之间的距离，当1P 和2P 的坐标分别为()11,y x 和()22,y x 时，则， ()()().,22122121y y x x p p -+-=

ρ

根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式：()()()323121,,,p p p p p p ρρρ+≤

二、2R 上的完备性定理

定义 设{}⊂n P R 2为平面点列，∈o P R 2为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当N n >时，有()ε;o n P P ∈，则称点列{}n P 为收敛于点o P ，记作o n n P P =∞

→lim 或 ).(∞→→n P P o n

在坐标平面中，以()n n y x ,与()o o y x ,分别表示n P 与o P 时，o n n P P =∞

→lim 显然等价于o n n x x =∞

→lim ，

o n n y y =∞

→lim 同样地，当以()o n n p p ,ρρ=表示点n P 与o P 之距离时，o n n P P =∞

→lim 也就等价于.0lim =∞

→n n P 由

于点列极限这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理．

定理1.16(柯西准则) 平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数N ，使得当N n m > ,时，都有()ερ

定理16.2(闭域套定理) 设{}n D 是R 2中的闭域列，它满足：(ⅰ);,2,1,1 =⊃+n D D n n (ⅱ)

(),0lim ,==∞

→n n n n d D d d 则存在惟一的点n o D P ∈，.,2,1 =n

定理16.3(聚点定理) 设2R E ⊂为有界无限点集，则E 在2

R 中至少有一个聚点．

三、二元函数

定义 设平面点集2

R D ⊂，若按照某对应法则f ，D 中每一点),(y x P 都有惟一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数（或称f 为D 到R 的一个映射），记作

,

,

:z P R D f →

且称D 为f 的定义域；D P ∈所对应的z 为f 在点P 的函数值，记作),(y x f z =或)(P f z =；全体函数的集合为f 的值域，记作()R D f ⊂。通常还把P 的坐标x 与y 称为f 的自变量，而把z 称为因变量．

二元函数f 的图象．通常()y x f z ,=的图象是一空间曲面．f 的定义域D 便是该曲面在xOy 平面上的投影．二元函数也记作(),,y x f z = ()D y x ∈, 或 (),P f z =,D P ∈且当它的定义域D 不会被误解的情况下，也简单地说“函数()y x f z ,=”或“函数f ”．

例1 函数y x z 52+=的图象是3R 中一个平面，其定义域是2

R ，值域是R ．

例2 函数2

21y x z --=的定义域是xOy 平面上的

单位圆域(){}

1,2

2≤+y x y x ，值域为区间[]1,0，它的图象是

以原点为中心的单位球面的上半部（图416-）．

例3 xy z =是定义在整个xOy 平面上的函数，它的图象是过原点的双曲抛物（图516-）．

设E 为n

R 中的点集，若有某个对应法则f ，使E 中每一点()n x x x P ,,,21 ，都有惟一的一个实数y 与之对

应，则称f 为定义在E 上的n 元函数（或称f 为n

R E ⊂到R 的一个映射），记作(),,,,21n x x x f y =

四、二元函数极限定义