中考数学倒数第2题
江苏省徐州市2019年中考数学试题(解析版)
7.若 、 都在函数 的图象上，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD． ，故选项D不合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了合并同类项、幂的运算以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解答本题的关键．
3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. ， ， B. ， ，12C. ， ， D. ， ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系，看其中较小两边的和是否大于最长边即可判断各个选项中的三条线段是否能组成三角形．
（1）求扇形统计图中“9﹣10月”对应扇形的圆心角度数；
（2）补全条形统计图．
【答案】（1）扇形统计图中“9﹣10月”对应扇形的圆心角度数是 ；（2）补全的统计图见解析.
【解析】
【分析】
(1)从条形统计图中可得3﹣4月份电费 ，从扇形统计图中可知3﹣4月份电费占全年的 可求全年的电费，进而求出9﹣10月份电费所占的百分比，然后乘以360度就能求出9﹣10月份对应扇形的圆心角的度数；
由①得，x>-2，
由②得，x≤2，
∴不等式组的解集为 .
【点睛】本题考查了解分式方程，求不等式组的解集，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解题的关键.注意分式方程要验根.
21.如图，甲、乙两个转盘分别被分成了 等份与 等份，每份内均标有数字．分别旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．
初中数学专题讲解2专题5《综合与实践》
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专题五
操作与发现:
(1)将这两张三角形纸片按如图2所示摆放,连接BD,他们发现
AC⊥BD,请证明这个结论.
操作与探究:
(2)在图2中,将△A'C'D纸片沿射线AC的方向平移,连接BC',BA'.在平移
又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依据2)
∴AM垂直平分DE.
反思交流:
(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,
不必证明.
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专题五
(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以
CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直
∴∠BEC=∠BCG,
∴△GHC≌△CBE,
∴HC=BE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC.
∵AD=2AB,BE=AB,
专题五
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∴BC=2BE=2HC,
∴HC=BH,
∴GH垂直平分BC,
∴点G在BC的垂直平分线上.
专题五
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专题五
(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).
∥BC,同理 AE∥DC',∴BC∥DC',又∵BC=DC',∴四边形 BCC'D
是平行四边形.
答案
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专题五
又∵AE∥BC,∠CEA=90°,∴∠BCC'=180-∠CEA=90°,
中考数学 倒数第二题解答题(按字母顺序排列) 人教新课标版
；
（2）求出 t 为何值时，QM∥AB； （3）设△BMQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；
A
ND
（4）求出 t 为何值时，△BMQ 为直角三角形． Q
4 / 111
B
MP
C
【备战 2012】中考数学 倒数第二题解答题（按字母顺序排列） 人教新课标版 21．（满分 14 分）
该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格 y1（元）与月份 x（1≤x≤9，且 x 取整数）之间的函数 关系如下表：
月份 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格 y1（元/件） 56
4
20
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格 y（2 元）与月份 x（10≤x≤12，
2 / 111
【备战 2012】中考数学 倒数第二题解答题（按字母顺序排列） 人教新课标版 （3）根据 1 至 5 月的总利润 1700 万元得到关系式求值即可． 解答：解：（1）设 y1=kx+b，
则
，解得
，
∴y1=20x+540（1≤x≤9，且 x 取整数）；
设 y2=ax+b，则
，解得
，
∴y2=10x+630（10≤x≤12，且 x 取整数）；
设直线cd的解析式为ykxb直线cd的解析式为yx1又15bcmdcobmcdocbmdobcdcbmme轴上且bpbm此时满足条件的点p有两个它们是p1025p202作mey轴于点ebmc90则bmebcmbmbc又bmbppebe此时满足条件的点p有一个它是p3以bm为底时作bm的垂直平分线分别交y轴bm由2得bmc90pfcm是bm的中点bp此时满足条件的点p有一个它是p4综上符合条件的点p有四个
中考数学专题01实数-(第01期)-2017年中考数学试题分项版解析汇编(解析版)
专题01 实数问题一、选择题目1.（2017浙江衢州市第1题）-2的倒数是A.B. C. -2 D. 2【答案】A 【解析】试题解析：根据倒数的定义得：﹣2的倒数是﹣． 故选A ． 考点：倒数.2.（2017山东德州市第1题）-2的倒数是（ ）A ．B ．C ．-2D ．2【答案】A 【解析】试题分析：性质符号相同，分子分母位置颠倒的两个数称为互为倒数，所以-2的倒数是考点：互为倒数的定义.3.（2017山东德州市第2题）2016年，我市“全面改薄”和改变大班额工程成绩突出，两项工程累计开工面积达477万平方米，各项指标均居全省前列。
477万用科学记数法表示正确的是（ ）学*科网 A ．4.77×105B ． 47.7×105C ．4.77×106D ．0.477×105【答案】C 【解析】21211-2121-2试题分析：选项B 和D 中，乘号前面的a 都不对，应该1≤a<10；选项A 中指数错误，当原数当绝对值＞1时，应该为原数的整数位数减去1。
考点：科学记数法的表示方法4.（2017浙江宁波市第112，0，2这四个数中，为无理数的是( )B.12 C.0 D.2－【答案】A. 【解析】12，0，2故选A. 考点：无理数.5.（2017浙江宁波市第3题） 2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮——“泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为( )A.60.4510吨B.54.510吨C.44510吨D.44.510吨【答案】B.考点：科学记数法----表示较大的数.6.（2017浙江宁波市第4x 的取值范围是( ) A.3xB.3xC.3xD.3x【答案】D 【解析】试题解析：根据二次根式有意义的条件得：x-3≥0 解得：x≥3. 故选D.考点：二次根式有意义的条件.7.（2017重庆市A 卷第1题）在实数﹣3，2，0，﹣4中，最大的数是（ ）A ．﹣3B ．2C ．0D ．﹣4【答案】B. 【解析】试题解析：∵﹣4＜﹣3＜0＜2， ∴四个实数中，最大的实数是2． 故选B ．考点:有理数的大小比较.8.（2017重庆市A 卷第5+1的值应在（ ） A ．3和4之间 B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间【答案】B ． 【解析】＜4，+1＜5． 故选B ．考点：无理数的估算.9.（2017江苏徐州市第1题）的倒数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ． 【解析】试题解析：-5的倒数是-15；故选D ． 考点：倒数10.（2017江苏徐州市第3题） 肥皂泡的泡壁厚度大约是米，数字用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．5-5-51515-0.000000710.0000007177.110⨯60.7110-⨯77.110-⨯87110-⨯【答案】C．【解析】试题解析：数字0.00000071用科学记数法表示为7.1×10-7，故选C．考点：科学记数法—表示较小的数．11.（2017甘肃平凉市第2题）据报道，2016年10月17日7时30分28秒，神舟十一号载人飞船在甘肃酒泉发射升空，与天宫二号在距离地面393000米的太空轨道进行交会对接，而这也是未来我国空间站运行的轨道高度．393000用科学记数法表示为（）A．39.3×104 B．3.93×105 C．3.93×106 D．0.393×106【答案】B．考点：科学记数法—表示较大的数．12.（2017甘肃平凉市第3题）4的平方根是（）A．16 B．2 C【答案】C【解析】试题解析：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2，故选C．考点：平方根.13.（2017广西贵港市第1题）7的相反数是（）A．7 B．7- C．17 D．17-【答案】B 【解析】试题解析：7的相反数是﹣7， 故选：B ． 考点：相反数．14.（2017广西贵港市第4题）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A． BD【答案】A考点：最简二次根式．15.（2017贵州安顺市第1题）﹣2017的绝对值是（ ）A ．2017B ．﹣2017C ．±2017 D．﹣【答案】A ．学科网 【解析】试题解析：﹣2017的绝对值是2017． 故选A ． 考点：绝对值.16.（2017贵州安顺市第2题）我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为（ ） A ．275×104B ．2.75×104C ．2.75×1012D ．27.5×1011【答案】C ． 【解析】试题解析：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012．12017故选C ．考点：科学记数法—表示较大的数．17.（2017湖北武汉市第1） A ．6 B ．-6 C ．18 D ．-18 【答案】A. 【解析】故选A.考点：算术平方根.18.（2017湖南怀化市第1题）2的倒数是( ) A.2B.2C.12D.12【答案】C 【解析】试题解析：﹣2得到数是12，故选C ． 考点：倒数.19.（2017湖南怀化市第3题）为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，怀化市2016年共扶贫149700人，将149700用科学记数法表示为( )A.51.49710B.414.9710C.60.149710D.61.49710【答案】A. 【解析】试题解析：将149700用科学记数法表示为1.497×105， 故选A ．考点：科学记数法—表示较大的数．20.（2017江苏无锡市第1题）﹣5的倒数是（ ）A ．B ．±5C ．5D ．﹣1515【解析】试题解析：∵﹣5×（﹣）=1，∴﹣5的倒数是﹣．故选D．考点：倒数21.（2017江苏盐城市第1题）-2的绝对值是（）A．2 B．-2 C．D．−【答案】A．【解析】试题解析：-2的绝对值是2，即|-2|=2．故选A．考点：绝对值.22.（2017贵州黔东南州第1题）|﹣2|的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣12D．12【答案】B．【解析】试题解析：∵﹣2＜0，∴|﹣2|=2．故选B．考点：绝对值．23.（2017四川泸州市第1题）-7的绝对值是（）A．7 B．-7 C．17 D．-1715151 21 2【解析】试题解析：|-7|=7．故选A．考点：绝对值.24.（2017四川泸州市第2题）“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表示为（）A．567×103 B．56.7×104 C．5.67×105 D．0.567×106【答案】C.【解析】试题解析：567000=5.67×105，故选C.考点：科学记数法—表示较大的数．25.（2017四川省宜宾市第1题）9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3【答案】A.【解析】试题解析：∵32=9，∴9的算术平方根是3．故选A．考点：算术平方根．26．（2017四川省宜宾市第2题）据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55000000人摆脱贫困，将55000000用科学记数法表示是（）A．55×106B．0.55×108C．5.5×106D．5.5×107【答案】D．【解析】试题解析：55000000=5.5×107，故选D．考点：科学记数法—表示较大的数27.（2017四川省自贡市第1题）计算（﹣1）2017的结果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2017 D．2017【答案】A【解析】试题解析：（﹣1）2017=﹣1，故选A．考点：有理数的乘方.28.（2017四川省自贡市第3题）380亿用科学记数法表示为（）A．38×109B．0.38×1013C．3.8×1011 D．3.8×1010【答案】D【解析】试题解析：380亿=38 000 000 000=3.8×1010．故选D．考点：科学计数法----表示较大的数.29.（2017新疆建设兵团第1题）下列四个数中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C． D．3【答案】A．【解析】试题解析：∵﹣1＜0＜＜3，∴四个数中最小的数是﹣1．故选A．考点：有理数大小比较30.（2017浙江省嘉兴市第1题）2-的绝对值为（）A．2B．2-C．12D．12-【答案】A. 【解析】1 21 2试题解析：-2的绝对值是2， 即|-2|=2． 故选A ． 考点：绝对值.31.（2017山东烟台市第1题）下列实数中的无理数是（ ）A． B ． C ．0 D ．【答案】B ． 【解析】0，13是有理数，π是无理数，故选：B ． 考点：无理数．32.（2017山东烟台市第3题）我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有65个国家加入，共涉及总人口约达46亿人，用科学记数法表示该总人口为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 【解析】试题解析：46亿=4600 000 000=4.6×109， 故选A ．考点：科学记数法—表示较大的数．33.（2017山东烟台市第6题）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：9π319106.4⨯81046⨯101046.0⨯10106.4⨯则输出结果为（ ）A． B ． C. D ．【答案】C ． 【解析】17=2．故选：C ．考点：计算器—数的开方．二、填空题目1.（2017浙江衢州市第11题）二次根式中字母的取值范围是__________ 【答案】a≥2．考点：二次根式有意义的条件. 2.（2017山东德州市第2题） 计算：【答案】【解析】. 考点:无理数运算3.（2017浙江宁波市第4题）实数8的立方根是 ． 【答案】-2 【解析】试题分析：∵（-2）3=-8212132172252 a a∴-8的立方根是-2.考点：立方根4.（2017重庆市A卷第13题）“渝新欧”国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务“一带一路”的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为．【答案】【解析】试题解析：11000=1.1×104．考点：科学记数法---表示较大的数.5．（2017重庆市A卷第14题）计算：|﹣3|+（﹣1）2= ．【答案】4.【解析】试题解析：|﹣3|+（﹣1）2=4考点：有理数的混合运算.6.（2017江苏徐州市第9题）的算术平方根是．【答案】2【解析】试题解析：∵22=4，∴4的算术平方根是2．考点：算术平方根.7.（2017江苏徐州市第11的取值范围是．【答案】x≥6．考点：二次根式有意义的条件.8.（2017甘肃平凉市第12与0.50.5．（填“＞”、“=”、“＜”）4x【答案】＞ 【解析】1-2， ＞0，＞0． 考点：实数大小比较．9.（2017广西贵港第13题）计算：35--= ． 【答案】-8 【解析】试题解析：﹣3﹣5=﹣8． 考点：有理数的减法．10.（2017广西贵港第14题）中国的领水面积为2370000km ，把370000用科学记数法表示为 ． 【答案】3.7×105. 【解析】试题解析：370 000=3.7×105. 考点：科学记数法—表示较大的数．11.（2017湖北武汉市第11题）计算23(4)⨯+-的结果为 ． 【答案】2. 【解析】试题解析：23(4)⨯+-=6-4=2. 考点：有理数的混合运算.12.（2017江苏无锡市第11的值是 ．【答案】6. 【解析】⨯=6.考点：二次根式的乘除法．13．（2017江苏无锡市第13题）贵州FAST 望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，反射面总面积约250000m 2，这个数据用科学记数法可表示为 ． 【答案】2.5×105． 【解析】试题解析：将250000用科学记数法表示为：2.5×105． 考点：科学记数法—表示较大的数．14．（2017江苏无锡市第14题）如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是 ℃．【答案】11.考点：1.有理数大小比较；2.有理数的减法．15.（2017江苏盐城市第7题）请写出一个无理数 【解析】考点：无理数.⨯=16.（2017江苏盐城市第9题）2016年12月30日，盐城市区内环高架快速路网二期工程全程全线通车，至此，已通车的内环高架快速路里程达57000米，用科学记数法表示数57000为 【答案】5.7×104． 【解析】试题解析：将57000用科学记数法表示为：5.7×104． 考点：科学记数法—表示较大的数．17．（2017江苏盐城市第10在实数范围内有意义，则x的取值范围是 【答案】x≥3． 【解析】试题解析：根据题意得x-3≥0， 解得x≥3．考点：二次根式有意义的条件．18.（2017四川泸州市第17题）计算：（-3）2+20170 【答案】7. 【解析】考点：1.实数的运算；2.零指数幂；3.特殊角的三角函数值．19.（2017四川省自贡市第13题）计算（﹣12）﹣1= ．【答案】-2 【解析】试题解析：原式=11-2=﹣2.考点：负整数指数幂.20.（2017山东省烟台市第13题） ．【答案】6. 【解析】试题解析：原式=1×4+2 =4+2 =6．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．三、解答题1.（2017浙江衢州市第17题）计算：【答案】 【解析】试题分析：按照实数的运算法则依次进行计算即可得解. 试题解析：原式．考点：1.实数的运算；2.零指数幂；3.特殊角的三角函数值.2.（2017江苏徐州市第19（1）题）计算：；【答案】3．考点：1..实数的运算；2.零指数幂；3.负整数指数幂．3.（2017甘肃平凉市第193tan30°+（π-4）0-（）-1．=-+⨯-|2|)21(320︒--⨯-+60tan 2)1(120π1201(2)20172-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭121-．【解析】试题分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则计算．试题解析：原式=312+-=12+-1-．考点：1.实数的运算；2.零指数幂；3.负整数指数幂；4.二次根式的性质与化简；5.特殊角的三角函数值．4.（2017广西贵港市第19（1））计算：)20132cos602π-⎛⎫-+---⎪⎝⎭；【答案】-1.【解析】试题分析：根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数幂的意义即可求出答案；试题解析：原式=3+1-（-2）2-2×12=4-4-1=-1考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．5.（2017贵州安顺市第19题）|+（13）﹣1﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2017．【答案】3.考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．6.（2017湖南怀化市第171031120173tan3084°.【答案】-2【解析】1是正数，所以它的绝对值是本身，任何不为0的零次幂都是1，11()4=4，tan30°=8的立方根，是2，分别代入计算可得结果．试题解析：原式1+1﹣4+2，4+2，=﹣2．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．7.（2017江苏无锡市第19（1）题）计算：|﹣6|+（﹣2）3+）0；【答案】-1.【解析】试题分析：（1）根据零指数幂的意义以及绝对值的意义即可求出答案；（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式法则即可求出答案．试题解析：原式=6﹣8+1=﹣1学*科网考点：实数的运算；单项式乘多项式；零指数幂．8.（江苏盐城市第17+（）-1-20170．【答案】3.【解析】试题分析：首先计算开方，乘方、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．试题解析：原式=2+2-1=3．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．9.（2017贵州黔东南州第17题）计算：﹣1﹣2（π﹣3.14）012【答案】【解析】试题分析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．试题解析：原式=1++1考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．10.（2017四川省宜宾市第17题（1））计算（2017﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|【答案】-1．【解析】试题分析：根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值分别求出每个部分的值，再代入求出即可. 试题解析：原式=1﹣4+2=﹣1；考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂.11.（2017四川省自贡市第19题）计算：4sin45°+|﹣2|+（13）0．【答案】3.【解析】考点：1.实数的运算；2.特殊角三角函数值；3.零指数幂.12.（2017新疆建设兵团第16题）计算：（12）﹣1﹣|｜（1﹣π）0．14【答案】【解析】试题分析：根据负整数指数幂，去绝对值，二次根式的化简以及零指数幂的计算法则计算．试题解析：原式=2考点：实数的运算;零指数幂；负整数指数幂．13.（2017浙江省嘉兴市第17题（1））计算：212(4)--⨯-．【答案】5.【解析】试题分析：首先计算乘方和负指数次幂，计算乘法，然后进行加减即可．试题解析：原式=3-12×（-4）=3+2=5．考点：实数的运算；负整数指数幂．祝你考试成功!祝你考试成功!。
中考数学倒数第二题解题技巧
中考数学倒数第二题解题技巧
中考数学是小学生做最头疼的科目之一，也是学习最复杂的科目之一。
在此，我们讨论中考数学倒数第二题解题技巧。
首先，要解决倒数第二题的问题，必须先充分理解题目的意思。
在理解题目的时候，应该注意以下几点：
1、精确定义题目：中考数学倒数第二题是什么样的？要把具体
的题目精确描述出来，更加清楚地了解题目；
2、确定题目中的变量：解题过程中，要加以细致的推理，确定
变量中使用的具体数值；
3、把问题分解成有限个步骤：将复杂的题目分解成若干个基本
步骤，以便更容易地解决。
接下来，我们就来介绍一些解决中考数学倒数第二题的基本技巧： 1、要做好题目的前期准备工作：在开始解题之前，要认真阅读
题目，弄清具体题目中各参数之间的关系，及要求你解决的问题；
2、要完善题目的基本公式：掌握和使用题目中的一些基本公式，以便帮助自己更加有效地解决问题；
3、要进行清晰的步骤计算：在解决问题的过程中，要做好清晰
的步骤计算，以便更加准确地把握准确的答案；
4、要多加练习：解决中考数学倒数第二题的技巧，要多加练习，以此提高自己的解题能力。
上述是解决中考数学倒数第二题的一些基本技巧，让学生们可以在考试中取得满意的成绩。
但是，学生们不应该仅仅停留在这些技巧
上，应该更加努力，学习更多关于数学的知识和技能。
数学是一门很有趣的学科，学习数学可以让学生更加深入地探索世界，也能更有效地掌握它，巩固数学知识，不断提升自己的数学水平。
以上就是有关中考数学倒数第二题解题技巧的介绍，希望能帮助到大家，让同学们在解决这道题的时候更加轻松，取得优异的成绩。
2023年山东省青岛市中考数学仿真题(二)(解答卷)
2023年山东省青岛市中考数学仿真题（二）（解答卷）（考试时间：120分钟满分：120分）说明：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题，作图题、解答题，共17小题，96分．2．所有题目均在答题卡．．．上作答，在试题上作答无效．第Ⅰ卷（共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.23−的倒数是（）A．32−B．23C．32D．23【答案】A【分析】根据倒数的定义，进行求解即可．【详解】解：23−的倒数是32−；故选A．2.瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，下面花纹图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：选项A图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；选项B图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；选项C 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；选项D 既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；故选：C ．3. 神舟十三号飞船在近地点高度200000m ，远地点高度356000m 的轨道上运行， 将数字356000用科学记数法表示为（ ）A ．53.5610×B ．60.35610×C ．63.5610×D ．435.610× 解：356000＝3.56×105．故选：A ．4.如图，直线l 1 ∥ l 2 ，CD ⊥AB 于点D ，∠1=50°，则∠BCD 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．30°解：∵l 1∥l 2，∴∠ABC=∠1=50°，∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠CDB=90°，∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°，∴∠BCD=40°，故选A ．5.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点都在方格线的格点上，A ．(2,3)−B ．(2,3)−C ．(2,2)−D ．(3,2)− 解：如图，将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到A B C ′′′ ，∴C ′(-2,3)，故选：B ．6．如图，O 与正五边形ABCDE 的两边,AE CD 相切于,A C 两点，则AOC ∠的度数是（）A ．144°B ．130°C ．129°D ．108° 解： ∵AE 、CD 切⊙O 于点A 、C ，∴∠OAE ＝90°，∠OCD ＝90°，∴正五边形ABCDE 的每个内角的度数为：()521801085−×°=° ，∴∠AOC ＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，故选：A ．7. 如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC ′，连接CC ′，DC ′，若90CC D ′∠=°，BC ′=C D ′的长度为（ ）AB C D ．3 解：如图，过点B 作BE CC ′⊥于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴,90BC CD BCD =∠=°，∴90BCE C CD ′∠+∠=°，∵90BCE CBE ∠+∠=°，∴C CD CBE ′∠=∠，又∵90BEC CC D ′∠=∠=°，∴,CE C D BE CC ′′==，∵将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC ′，，∴BC BC ′=，又∵BE CC ′⊥， ∴1122CE C E CC BE ′′===，∵BC BC ′=，∴()(222222227CE BE CE CE BC +=+===，解得：CE =∴线段C 'D故选：B8.在同一平面直角坐标系中，直线y ax b =+(0a ≠)和抛物线2y ax bx =+(0a ≠)可能为（）A ．AB ．BC ．CD ．D解：A 选项中,一次函数图象经过一,三,四象限,所以0,0a b ><,二次函数图象的开口方向向上可知0a >,根据对称轴位于y 轴右侧可知a,b 异号,所以0b <,因此A 选项正确,B 选项中,一次函数图象经过一,二,四象限,所以0,0a b ,二次函数图象的开口方向向上可知0a >,根据对称轴位于y 轴左侧可知a,b 同号,所以0b >,因此B 选项不正确,C 选项中,一次函数图象经过二,三,四象限,所以0,0a b <<,二次函数图象的开口方向向下可知0a <,根据对称轴位于y 轴右侧可知a,b 异号,所以0b >,因此C 选项不正确,D 选项中,一次函数图象经过一,二,三象限,所以0,0a b >>,二次函数图象的开口方向向下可知0a <,根据对称轴位于y 轴左侧可知a,b 同号,所以0b <,因此D 选项不正确,故选A.第Ⅱ卷（共96分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. 计算：3411x x x +−=−−________________． 解：3411x x x +−=−−341x x +−=−111x x −=− 故答案为：1．10. 在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次． 其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．解：设袋中红球的个数是x 个，根据题意得：4404100x =+ ， 解得：x =6，经检验：x =6是分式方程的解，即估计袋中红球的个数是6个．故答案为：6．11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是菱形．】若点A 的坐标是(3，4)，则点B 的坐标是__________．解：过A 作AE ⊥x 轴于点E ，∵点A 的坐标是（3，4），∴OE=3，AE=4．∴5AO∵四边形AOBC 是菱形，∴AO=BO=5，∴点B 的坐标是（5，0），12.如图，反比例函数y＝2x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝kx的图象上运动，tan∠CAB＝2，则k＝_____．解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F．∵由直线AB与反比例函数y2x=的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO．又∵AC=BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF．又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴△AOE∽△COF，∴AE OE AO CF OF CO==，∵tan∠CAB OCOA=2，∴CF=2AE，OF=2OE．∴|k |=CF •OF =2AE ×2OE=4AE ×OE =8，∴k =±8．∵点C 在第二象限，∴k =﹣8．故答案为：﹣8．13. 如图，在O 中，O 为圆心，AB 为直径，D 为圆上一点，2AB =，30DAB ∠=°， 则阴影部分面积为_____________；解：如图，过点O 作OG AD ⊥于G ，连接OD ，在O 中，直径2AB =，30DAB ∠=° ∴1AOBO DO ===， ∴12AG DG AD ==，30ODA DAB ∠=∠=°， 在Rt AGO △中，1AO =，30DAB ∠=°，∴11sin 122GO AO DAB =∠=×= ，cos 1AG AO DAB =∠=∴2AD AG ==，∵60DOB ODA OAD ∠=∠+∠=°，∴111222AOD S AD OG == △ 26013606BOD S ππ×==扇形，∴6AOD BOD S S S π=+△阴影扇形．14．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝10，AB ＝8，将AB 沿AE 翻折， 使点B 落在B ′处，AE 为折痕；再将EC 沿EF 翻折，使点C 恰好落在线段EB '上的点C ′处， EF 为折痕，连接AC ′．若CF ＝3，则tan B AC ′′∠＝_____．解：连接AF ，设CE ＝x ，则C ′E ＝CE ＝x ，BE ＝B ′E ＝10﹣x ，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝''''B CA B=2184=．故答案为：14．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15.已知：O ∠及其一边上的两点A ，B ．求作：Rt ABC ，使90C ∠=°，且点C 在O ∠内部，BAC O ∠=∠．解：如图，Rt △ABC 为所作．四、解答题（本大题共10小题，共74分）16 （1）计算：2211x x x x x +− +÷； 解：原式22211x x x x x ++−÷ 2(1)(1)(1)x x x x x +⋅−+ 11x x +=−.（2）解不等式组()3111312x x x x −−≥ +>− ，并写出它的所有非负整数解．.解：()3111312x x x x −−≥ +>− ①② 解不等式①得：1x ≤，解不等式②得：3x >−，∴原不等式组的解集为31−<≤x ，∴不等式组的非负整数解为0，1．17. 为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌， 于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形． 同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．解：根据题意画树状图如下：∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的有5种结果， ∴合唱《大海啊，故乡》的概率是5，∴合唱《红旗飘飘》的概率是712， ∵571212<， ∴游戏不公平．18. 正定是一座历史悠久的古城，它的标志性古建筑南城门楼，吸引了众多游客的到访．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量南城门的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得南城门最高点A 的仰角为22°，然后沿MP 方向前进14m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45°．测角仪的高度为1m ．求南城门最高点A 距离地面的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 220.37°≈，cos 220.93°≈，tan 220.40°≈ 1.41≈）解：如图，过A 作AD PM ⊥于D ，延长BC 交AD 于E ，则四边形BMNC ，四边形BMDE 是矩形，∴14m BCMN ==，1m DE CN BM ===， ∵90AEC ∠°＝，45ACE ∠°＝，∴ACE △是等腰直角三角形，∴CE AE ＝，设AE CE x ＝＝，∴14BE x +＝，∵22ABE ∠°＝ ∴tan 220.4014AE x BE x °===+， ∴()9.33m x ≈，∴AD ＝AE ＋DE ＝x +1≈10.3（m ），答：观星台最高点A 距离地面的高度约为10.3m ．19 某校初三年级一共有2000名考生，为了了解本校学生体考成绩的大致情况，随机抽取了男、女各60名考生的体考成绩（满分均为50分），并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：（1）数据分为A ，B ，C ，D 四个等级，分别是：A ．4850x ≤≤B ．4548x ≤<C ．4045x ≤<D ．040x ≤<（2）60名男生成绩的条形统计图以及60名女生成绩的扇形统计图如下：（3）男生成绩在B 组的前10名考生的分数为：47，47.5，47.5，47，47，47，46，45.5，45，45． （4）60名男生和60名女生成绩的平均数，中位数，众数如下： 性别 平均数 中位数 众数男生47.5 a47女生48.5 47 47.5根据以上信息，解答下列问题：①填空：=a______，b=______，并补全条形统计图：②根据以上数据，你认为在此次考试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由（说明一条理由即可）；③请估计该年级所有参加体考的考生中，成绩为A等级的考生人数．解：（1）男生B组有60-24-15-5=16（人），男生成绩在B组的前10名考生的分数从大到小为：47.5，47.5，47，47，47，47，46，45.5，45，45．男生成绩在A组的人数和为24，男生成绩处在第30、31位的两个数的平均数为（47+46）÷2=46.5，因此a=46.5，1-40%-20%-10%=30%，故b=30，故答案为：46.5，30；（2）女生的成绩较好，理由：女生的平均数、众数都比男生好；（3）246040%20008006060+××=+答：估计该年级所有参加体考的考生中，成绩为A等级的考生人数为800人．20 .已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠F AG=60°，∵AB =AG =AF ，∴△AFG 是等边三角形，∴AG =GF ，∵△AGF ≌△DGC ，∴FG =CG ，∵AG =GD ，∴AD =CF ，∴四边形ACDF 是矩形．21. 如图，在平面直角坐标系中，点(3,1)A −，以点O 为顶点作等腰直角三角形AOB ， 双曲线11k y x=在第一象限内的图象经过点B ．设直线AB 的表达式为22y k x b =+， 回答下列问题：(1)求双曲线11k y x=和直线AB 的22y k x b =+表达式； (2)当12y y >时，求x 的取值范围；(3)求AOB ∆的面积．解：（1）△AOB 为等腰直角三角形， OA OB ∴=，90AOB ∠=°．AO ∴绕O 点旋转90°得到BO ，∴点B 的坐标(1,3)．双曲线11k y x=在第一象限内的图象经过点B ． 133k ∴=×=．13y x∴=， 将(3,1)A −，()1,3B 代入直线AB 的解析式得22313k b k b −+= += ， 解得21252k b = =， ∴直线AB 的解析式为21522y x =+． （2）解：由15223y x y x =+ =，解得13x y = = 或612x y =− =− ，1(6,)2C ∴−−， 当12y y >时，双曲线位于直线的上方， x ∴的取值范围是：6x <−或01x <<．（3）解：令0x =，则2155222y x +， 5(0,)2D ∴，15(13)522AOB AOD BOD S S S ∆∆∆∴=+=××+=． 22. 如图，已知抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点()10A −，和点()30B ，，交y 轴于点C ， 点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)求该抛物线的表达式，并求出点D 的坐标；(2)若点E 为该抛物线上的点，点F 为直线AD 上的点， 若EF x ∥轴，且1EF =（点E 在点F 左侧），求点E 的坐标；解：（1）把点()10A −，和点()30B ，代入抛物线解析式中得：20960a c a c −+= ++=， ∴13a c =− = ， ∴抛物线解析式为223y x x =−++； 令0x =，则3y =，∴()03C ，， ∵抛物线解析式为()222314y x x x =−++=−−+， ∴抛物线对称轴为直线1x =，∵点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，∴()23D ，；（2）设直线AD 的解析式为y kx b =+， ∴023k b k b −+=+=，∴11k b = = ， ∴直线AD 的解析式为1y x =+，设()223E m m m −++，，则()222223F m m m m −++−++，， ∵EF x ∥轴，1EF =（点E 在点F 左侧）， ∴2221m m m −++−=， ∴210m m −−=，解得m =m =，∴E 或E ； 23. 商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y （件）与每件售价x （元）之间存在一次函数关系（其中8≤x ≤15，且x 为整数）． 当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件； 当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y 与x 之间的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w （元），当每件消毒用品的售价为多少元时， 每天的销售利润最大？最大利润是多少元？91051195k b k b +=+=，解得：5150k b =− = ， ∴y 与x 之间的函数关系式为5150y x =−+； （2）解：（-5x +150）（x -8）=425， 整理得：2383450x x −+=，解得：1213,25x x ==， ∵8≤x ≤15，∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；（3）解：根据题意得：()()()851508w y x x x =−=−+− 251901200x x =−+− ()2519605x =−−+∵8≤x ≤15，且x 为整数，当x <19时，w 随x 的增大而增大， ∴当x =15时，w 有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．24. 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，如图一所示，小敏重心高度y （m ）与时间t （s ）之间的关系式为225541835y t t =−++， 小敏重心高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数图象为如图二所示抛物线， 点B 与点A 纵坐标相等，点A ，B 的水平距离为5m ，点C 为重心最高点．(1) 小敏起跳后几秒重心到达最大高度？ 最大高度为多少？(2) 求小敏重心高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式（无需考虑自变量的取值范围）．解：（1）由题意知，22255425313()183518510y t t t =−++=−−+， ∵25018−<， ∴35t =时，max 1310y =，∴小敏起跳后35s 重心到达最大，最大高度为1310m ．(2)由题意知4(0,)5A ，4(5,)5B ，∴513(,)210C ， 设小敏重心高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式为2513()210y a x =−+将4(0,)5A 代入得，24513(0)5210a =−+， 解得225a =−， ∴小敏重心高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式为22242555y x x =−++．25. 【问题呈现】如图1，ABC 和ADE 都是等边三角形，连接BD CE ，．求证：BD CE =．【类比探究】如图2，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=°． 连接BD CE ，．请直接写出BDCE的值． 【拓展提升】如图3，ABC 和ADE 都是直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=°，且34AB AD BC DE ==． 连接BD CE ，．延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin BFC ∠的值． ［问题呈现］证明： ABC 和ADE 都是等边三角形，,AD AE AB AC ==∴，60∠∠°DAE BAC ==， DAE BAE BAC BAE ∴∠−∠=∠−∠，即DAB EAC ∠=∠()ADB AEC SAS ∴∆∆≌BD CE ∴=［类比探究］解：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=°，,AD DEAB BC ==AE ∴=，AC ，AE ADAC AB ∴=DAE BAE BAC DAE ∠−∠=∠−∠，即DAB EAC ∠=∠∴DAB EAC ∽，BD ADCE AE ∴=== ［拓展提升］解： ABC 和ADE 都是直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=°，且34AB AD BC DE ==， ABC ADE ∴ ∽，DAE BAC ∴=∠∠，AD AEAB AC= DAE BAE BAC BAE ∴∠−∠=∠−∠，即DAB EAC ∠=∠，DAB EAC ∴ ∽， ABD ACE ∴∠=∠，AGC FGB ∠∠= ，BFC CAB ∴∠=∠，sin sin BC BFC BAC AC∴∠=∠=，设3,4AB k BC k ==，则5AC k ，44sin 55BC k BFC AC k ∴∠===。
23年广州中考倒数第二压轴题解题方法
23年广州中考倒数第二压轴题是一道较为复杂的数学题，考查了学生对于概率问题的理解和运用能力。
通过分析题目，我们可以得出以下解题步骤：1. 题目分析题目要求求解在一个编号为1到40的数球中，取出8个数球，其中有编号为1到32的数球各取一个的概率。
我们要明确题目中的条件：共有40个编号为1到40的数球，要取出8个数球，其中包括编号为1到32的数球各取一个。
整个题目要求计算这个事件发生的概率。
2. 列举基本情况我们可以列举一些基本情况，比如总的抽样方法数和符合条件的抽样方法数。
总的抽样方法数C(40,8)，符合条件的抽样方法数为C(32,8)。
根据组合数的计算公式，我们可以得到上述两个组合数的具体值。
3. 计算概率根据概率的定义，事件A发生的概率P(A)等于A发生的次数除以总的可能性次数。
题目要求的概率即为符合条件的抽样方法数除以总的抽样方法数。
将符合条件的抽样方法数和总的抽样方法数代入计算，即可得到最终的概率值。
4. 结论经过计算，可以得出题目要求的概率值为C(32,8)/C(40,8)。
通过组合数的计算，可以精确求解这个概率值，进而得出题目的答案。
通过以上步骤，我们可以清晰地解析了23年广州中考倒数第二压轴题的解题方法。
这道题目考查了学生对于概率问题的理解和计算能力，通过理清题目要求、列举基本情况、计算概率和得出结论的步骤，我们可以高效地解决这类概率问题。
希望同学们在备战中考时，能够灵活运用所学的数学知识，轻松应对各种复杂的数学题目。
根据上述解题步骤，我们不仅可以解答这道23年广州中考倒数第二压轴题，还能够在解题过程中深入理解概率问题的本质和运用方法。
概率作为数学中的一个重要分支，涉及到对事件发生可能性的量化分析，通过对概率问题的深入学习和实际应用，我们可以提高自己的数学思维和解决问题的能力。
接下来，我们将从概率的定义、概率的计算方法以及概率在实际生活中的应用等方面展开讨论。
让我们来回顾一下概率的定义。
2021年江苏省常州市中考数学试卷(附答案详解)
2021年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.(2021·广西壮族自治区贵港市·模拟题)12的倒数是()A. 2B. −2C. 12D. −122.(2021·江苏省常州市·历年真题)计算(m2)3的结果是()A. m5B. m6C. m8D. m93.(2021·江苏省常州市·历年真题)如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 正方体B. 圆锥C. 圆柱D. 球4.(2021·江苏省常州市·历年真题)观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是()A. 它是轴对称图形，不是中心对称图形B. 它是中心对称图形，不是轴对称图形C. 它既是轴对称图形，也是中心对称图形D. 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形5.(2021·江苏省常州市·历年真题)如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC=60°，则∠OAB的度数是()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°6.(2021·江苏省常州市·历年真题)以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次.已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是13，则对应的转盘是()A. B. C. D.7.(2021·江苏省常州市·历年真题)已知二次函数y=(a−1)x2，当x>0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是()A. a>0B. a>1C. a≠1D. a<18.(2021·江苏省常州市·历年真题)为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控.该商品的价格y1(元/件)随时间t(天)的变化如图所示，设y2(元/件)表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则y2随t变化的图象大致是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）3=______．9.(2019·河南省洛阳市·期末考试)√2710.(2021·江苏省常州市·历年真题)计算：2a2−(a2+2)=______ ．11.(2019·福建省龙岩市·模拟题)分解因式：x2−4y2=______．12.(2021·江苏省常州市·历年真题)近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者.截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上.数据819000用科学记数法表示为______ ．13.(2021·江苏省常州市·历年真题)数轴上的点A、B分别表示−3、2，则点______ 离原点的距离较近(填“A”或“B”)．14.(2021·江苏省常州市·历年真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上.若BC=3，则点A的坐标是______ ．15.(2021·江苏省常州市·历年真题)如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B=40°，∠C=60°，若DE//AB，则∠AED=______ °.16.(2021·江苏省常州市·历年真题)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=2，则△ABC的面积是______ ．17.(2021·江苏省常州市·历年真题)如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内.若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA= ______ ．18. (2021·江苏省常州市·历年真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠CBA =30°，AC =1，D 是AB 上一点(点D 与点A 不重合).若在Rt △ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A 、D成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19. (2021·江苏省常州市·历年真题)计算：√4−(−1)2−(π−1)0+2−1．20. (2021·江苏省常州市·历年真题)解方程组和不等式组：(1){x +y =02x −y =3； (2){3x +6>0x −2<−x．21. (2021·江苏省常州市·历年真题)为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理.调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．(1)本次调查的样本容量是______ ；(2)补全条形统计图；(3)已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．22.(2021·江苏省常州市·历年真题)在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等.将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．(1)搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是______ ；(2)搅匀后先从中任意抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中任意抽出1支签.四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．23.(2021·江苏省常州市·历年真题)如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB//DE，AB=DE，BF=CE．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC．①用直尺和圆规在图中作出△A′BC(保留作图痕迹，不要求写作法)；②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是______ ．24.(2021·江苏省常州市·历年真题)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头.已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天.该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？x+ 25.(2021·江苏省常州市·历年真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12(x>0)的图象交于点C，b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx连接OC.已知点A(−4,0)，AB=2BC．(1)求b、k的值；(2)求△AOC的面积．26.(2021·江苏省常州市·历年真题)【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度．．．．、图形面积大小．．．．．．等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】(1)如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE.已知AD=a，BD=b(0<a<b)．①分别求线段CE、CD的长(用含a、b的代数式表示)；②比较大小：CE______ CD(填“<”、“=”或“>”)，并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，横坐标分别为m、n.设p=m+n，q=1m +1n，记l=14pq．①当m=1，n=2时，l=______ ；当m=3，n=3时，l=______ ；②通过归纳猜想，可得l的最小值是______ .请利用图．．．2．构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．27.(2021·江苏省常州市·历年真题)在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′=90°，且TA=TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点M(−2,0)、N(−1,0)，点Q(m,n)在一次函数y=−2x+1的图象上．(1)①如图，在点B(2,0)、C(0,−1)、D(−2,−2)中，点M的关联点是______ (填“B”、“C”或“D”)；②若在线段MN上存在点P(1,1)的关联点P′，则点P′的坐标是______ ；(2)若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；(3)分别以点E(4,2)、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q.若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．28.(2021·江苏省常州市·历年真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x2+bx+3的图象都经过点A(4,3)和点B，过点A作kx(k≠0)和二次函数y=−14OA的垂线交x轴于点C.D是线段AB上一点(点D与点A、O、B不重合)，E是射线AC上一点，且AE=OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．(1)填空：k=______ ，b=______ ；(2)设点D的横坐标是t(t>0)，连接EF.若∠FGE=∠DFE，求t的值；S▱DEGF，求OD的长．(3)过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP=13答案和解析1.【答案】A【知识点】倒数【解析】解：1的倒数是2，2故选：A．根据乘积为的1两个数倒数，可得一个数的倒数．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2.【答案】B【知识点】幂的乘方与积的乘方【解析】解：(m2)3=m2×3=m6．故选：B．幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此计算即可．本题考查了幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．3.【答案】D【知识点】由三视图判断几何体【解析】解：一个几何体的三视图都是圆，这个几何体是球．故选：D．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．4.【答案】A【知识点】中心对称图形、轴对称图形【解析】解：该图是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：A．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．5.【答案】C【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵∠AOC=60°，∴∠B=12∠AOC=30°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，故选：C．根据圆周角定理直接来求∠B的度数，进而解答即可．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.【答案】D【知识点】几何概率【解析】解：A.∵圆被等分成2份，其中阴影部分占1份，∴落在阴影区域的概率为：12，故此选项不合题意；B.∵圆被等分成4份，其中阴影部分占1份，∴落在阴影区域的概率为：14，故此选项不合题意；C.∵圆被等分成5份，其中阴影部分占1份，∴落在阴影区域的概率为：15，故此选项不合题意；D.∵圆被等分成6份，其中阴影部分占2份，∴落在阴影区域的概率为：26=13，故此选项符合题意；故选：D．首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．7.【答案】B【知识点】二次函数图象与系数的关系【解析】解：∵二次函数y=(a−1)x2，当x>0时，y随x增大而增大，∴a−1>0，∴a>1，故选：B．由二次函数的性质得a−1>0，即可求解．本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．8.【答案】A【知识点】函数的图象【解析】解：由商品的价格y1(元/件)随时间t(天)的变化图得：商品的价格从5增长到15，然后保持15不变，一段时间后又下降到5，∴第1天到第t天该商品的平均价格变化的规律是先快后慢的增长，最后又短时间下降，但是平均价格始终小于15．故选：A．根据商品的价格y1(元/件)随时间t(天)的变化图分析得出y2随t变化的规律即可求出答案．本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．9.【答案】3【知识点】立方根【解析】解：∵33=27，3=3；∴√27故答案为：3．33=27，根据立方根的定义即可求出结果．本题考查了立方根的定义；掌握开立方和立方互为逆运算是解题的关键．10.【答案】a2−2【知识点】整式的加减【解析】解：原式=2a2−a2−2=a2−2，故答案为：a2−2．整式的加减混合运算，先去括号，然后合并同类项进行化简．本题考查整式的加减运算，掌握去括号法则是解题基础．11.【答案】(x+2y)(x−2y)【知识点】因式分解-运用公式法【解析】解：x2−4y2=(x+2y)(x−2y)．故答案为：(x+2y)(x−2y)．直接利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．12.【答案】8.19×105【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：819000=8.19×105．故答案是：8.19×105．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．13.【答案】B【知识点】数轴【解析】解：数轴上的点A、B分别表示−3、2，∵|−3|=3，|2|=2，3>2，∴则点B离原点的距离较近．故答案为：B．利用数轴，我们把数和点对应起来，根据绝对值越小离原点越近解题即可．本题考查了有理数大小比较，理解绝对值的含义，利用数形结合思想解题是关键．14.【答案】(3,0)【知识点】坐标与图形性质、平行四边形的性质【解析】解：∵四边形OABC是平行四边形，BC=3，∴OA=BC=3，∵点A在x轴上，∴点A的坐标为(3,0)，故答案为：(3,0)．根据平行四边形的性质得到OA=BC，然后根据BC的长求得OA的长，从而确定点A 的坐标即可．考查了平行四边形的性质，解题的关键是能够根据平行四边形的对边相等得到OA的长，难度不大．15.【答案】100【知识点】三角形内角和定理、平行线的性质【解析】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−60°=80°，∵DE//AB，∴∠A+∠AED=180°，∴∠AED=180°−80°=100°．故答案为：100．利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°和两直线平行，同旁内角互补．16.【答案】12【知识点】三角形的面积、矩形的判定、数学常识、图形的剪拼、三角形的中位线定理【解析】解：由题意，BG=CH=AF=2，DG=DF，EF=EH，∴DG+EH=DE=3，∴BC=GH=3+3=6，∴△ABC的边BC上的高为4，×6×4=12，∴S△ABC=12故答案为：12．根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．17.【答案】√1010【知识点】解直角三角形、相似三角形的判定与性质、正方形的性质【解析】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，∵四边形CDFE是边长为1的正方形，∴CD=CE=DF=EF=1，∠C=∠ADF=90°，∵AC=3，BC=4，∴AD=2，BE=3，∴AB=√AC2+BC2=5，AF=√AD2+DF2=√5，BF=√BE2+EF2=√10，设BG=x，∵FG2=AF2−AG2=BF2−BG2，∴5−(5−x)2=10−x2，解得：x=3，∴FG=√BF2−BG2=1，∴sin∠FBA=FGBF =√1010．故答案为：√1010．连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由四边形CDFE是边长为1的正方形可得AD=2，BE=3，根据勾股定理求出AB=5，AF=√5，BF=√10，设BG=x，利用勾股定理求出x=3，可得FG=1，即可得sin∠FBA的值．此题综合考查了正方形、锐角三角函数的定义及勾股定理．根据勾股定理求出BG的长是解题的关键．18.【答案】43<AD<2【知识点】勾股定理、含30°角的直角三角形、垂线段最短、圆周角定理、切线的性质【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=1，∴AB=2，设Rt△ABC的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，①当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以AD 长为半径的圆与直角边的交点，如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意；当以AD为直径的圆与BC相切时，如图所示，设圆的半径为r，即AF=DF=EF=r，∵EF⊥BC，∠B=30°，∴BF=2EF=2r，∴r+2r=2，解得r=2；3∴AD=2r=4；3<AD<2．综上，AD的长的取值范围为：43<AD<2．故答案为：43设Rt△ABC的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以AD长为半径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边BC相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意．本题主要考查含30°角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；找到临界状态即以AD为直径的圆与BC相切，是本题解题关键．19.【答案】解：原式=2−1−1+12=12．【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的运算【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、算术平方根、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、算术平方根、有理数的乘方运算等知识，正确化简各数是解题关键． 20.【答案】解：(1){x +y =0①2x −y =3②， ①+②，得：3x =3，解得x =1，将x =1代入①，得：1+y =0，解得y =−1，则方程组的解为{x =1y =−1； (2)解不等式3x +6>0，得：x >−2，解不等式x −2<−x ，得：x <1，则不等式组的解集为−2<x <1．【知识点】灵活选择解法解二元一次方程(组)、一元一次不等式组的解法【解析】(1)利用加减消元法求解即可；(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】100【知识点】总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体、条形统计图【解析】解：(1)55÷55%=100，故答案为：100；(2)完全了解的人数为：100×30%=30(人)，较少了解的人数为：100−30−55−5=10(人)，补全条形统计图如下：(3)估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为：2000×30%=600(人)，答：估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为600人．(1)根据较多了解的人数是55人，占总人数的55%，即可求得本次调查的样本容量；(2)求出完全了解、较少了解的人数，据此补全条形统计图；(3)根据完全了解的居民人数所占的百分比计算出该小区对垃圾分类知识完全了解的居民人数．本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．22.【答案】13【知识点】菱形的判定与性质、正方形的判定、用列举法求概率(列表法与树状图法)、概率公式【解析】解：(1)搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是13，故答案为：13；(2)画树状图如图：共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，∴四边形ABCD一定是正方形的概率为46=23．(1)直接由概率公式求解即可；(2)画树状图，共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，再由概率公式求解即可．此题考查了列表法与树状图法，正方形的判定、菱形的性质等知识；熟练掌握正方形的判定和菱形的性质，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】平行【知识点】作图-轴对称变换、全等三角形的判定与性质【解析】证明：(1)∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB//DE，∴∠ABC=∠DEF，在△ABC与△DEF中，{AB=DE∠ABC=∠DEF BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)；(2)①如图所示，△A′BC即为所求：②直线A′D与l的位置关系是平行，故答案为：平行．(1)根据等式的性质得出BC=EF，利用平行线的性质得出∠ABC=∠DEF，进而利用SAS 证明△ABC≌△DEF即可；(2)根据轴对称的性质画出图形，进而解答即可．此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明三角形全等解答．24.【答案】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x吨，根据题意，得20x −202x=5．解得x=2．经检验：x=2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【知识点】分式方程的应用【解析】设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x吨，根据“20吨水可以比原来多用5天”列出方程并解答．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)作CD⊥y轴于D，则△ABO∽△CBD，∴ABBC =AOCD，∵AB=2BC，∴AO=2CD，∵点A(−4,0)，∴OA=4，∴CD=2，∵点A(−4,0)在一次函数y=12x+b的图象上，∴b=2，∴y=12x+2，当x=2时，y==3，∴C(2,3)，∵点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，∴k=2×3=6；(2)作CE⊥x轴于E，S△AOC=12×OA×CE=12×4×3=6．【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】(1)由点A(−4,0)在一次函数y=12x+b的图象上，代入求得b=2，作CD⊥y轴于D，则△ABO∽△CBD，得出C的横坐标为2，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；(2)根据三角形的面积公式代入计算即可．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形相似的判定与性质，作出C 的坐标是解题的关键．26.【答案】>981 1【知识点】反比例函数综合【解析】解：(1)①如图1中，∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD =CDDB，∴CD2=AD⋅DB，∵AD=a，DB=b，CD>0，∴CD=√ab，∵∠ACB=90°，AE=EB，∴EC=12AB=12(a+b)，②∵CD⊥AB，∴根据垂线段最短可知，CD<CE，即12(a+b)>√ab，∴a+b>2√ab，故答案为：>．(2)①当m=1，n=2时，l=98；当m=3，n=3时，l=1，故答案为：98，1．②猜想：l的最小值为1．故答案为：1．理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J(m+n2,1m+1n2)，∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，∴矩形JCOG的面积>1，当m=n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积=1，∴矩形JCOG的面积≥1，∴m+n2⋅1m+1n2≥1，即l≥1，∴l的最小值为1．(1)①利用相似三角形的性质求出CD，利用直角三角形斜边中线的性质求出EC．②根据垂线段最短，可得结论．(2)①根据m，n的值代入计算即可．②如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J(m+n2,1m+1n2)，根据反比例函数k的几何意义，求解即可．本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数k的几何意义，属于中考压轴题．27.【答案】B(−2,0)【知识点】几何变换综合【解析】解：(1)如图1中，①如图1中，取点T(0,2)，连接MT，BT，∵M(−2,0)，B(2,0)，∴OT=OM=OB=2，∴△TBM是等腰直角三角形，∴在点B(2,0)、C(0,−1)、D(−2,−2)中，点M的关联点是点B，故答案为：B．②取点T(0,−1)，连接MT，PT，则△MTP是等腰直角三角形，∴线段MN上存在点P(1,1)的关联点P′，则点P′的坐标是(−2,0)，故答案为：(−2,0)．(2)如图2−1中，当M，Q是互相关联点，设Q(m,−2m+1)，△MTQ是等腰直角三角形，过点Q作QH⊥y轴于H，∵∠QHT=∠MOT=∠MTQ=90°，∴∠MTO+∠QTH=90°，∠QTH+∠TQH=90°，∴∠MTO=∠TQH，∵TM=TQ，∴△MOT≌△THQ(AAS)，∴QH=TO=−m，TH=OM=2，∴−2m+1=2−m，∴m=−1．如图2−2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，此时m=0，观察图象可知，当−1≤m≤0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，如图2−3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，设Q(m,−2m+1)，过点Q作QH⊥y轴于H，同法可证△NOT≌△THQ(AAS)，∴QH=TO=m，TH=OM=1，∴1−2m+1=m，∴m=2．3如图2−4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m=1，≤m≤1时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，观察图象可知，当23≤m≤1．综上所述，满足条件的m的值为−2≤m≤0或23解法二：在MN上任取一点Q′，然后作出Q‘的两个关联点Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象限，则可以求出Q′的坐标是分别是(m−1,0)、(1−3m,0)，再根据−2≤x≤−1可以求出m的取值范围．(3)如图3−1中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G.设Q(t,−2t+1)．∵∠QHT=∠EGT=∠QTE=90°，∴∠QTH+∠ETG=90°，∠ETG+∠GET=90°，∴∠HTQ=∠GET，∵TQ=TE，∴△THQ≌△EGT(AAS)，∴QH=TG=−t，TH=EG=4，∵OH=−2t+1，OG=2，∴−2t+1−4=2+t，∴t=−53，∴Q(−53,133).如图3−2中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G.设Q(t,−2t+1)．∵∠QHT=∠EGT=∠QTE=90°，∴∠QTH+∠ETG=90°，∠ETG+∠GET=90°，∴∠HTQ=∠GET，∵TQ=TE，∴△THQ≌△EGT(AAS)，∴QH=TG=t，TH=EG=4，∵OH=2t−1，OG=2，∴2t−1−4=t−2，∴t=3，∴Q(3,−5)．综上所述，满足条件的点Q的坐标为(−53,133)或(3,−5)．(1)①根据关联点的定义判断即可．②构造等腰直角三角形PTM，可得结论．(2)如图2−1中，当M，Q是互相关联点，设Q(m,−2m+1)，△MTQ是等腰直角三角形，如图2−2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，如图2−3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，如图2−4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，分别求出四种特殊位置的m的值可得结论．(3)由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G.设Q(t,−2t+1).分两种情形，构造全等三角形，利用全等三角形的性质构建方程解决问题即可．本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，A、A′两点互相关联的定义等知识，解题的关键是学会构造等腰直角三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．28.【答案】314【知识点】二次函数综合【解析】解：(1)∵正比例函数y=kx(k≠0)经过A(4,3)，∴3=4k，∴k=3，4x2+bx+3的图象经过点A(4,3)，∵二次函数y=−14∴3=−1×42+4b+3，4∴b=1，，1．故答案为：34(2)如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF．∵四边形DEGF是平行四边形，∴∠G=∠EDF∵∠EGF=∠EFD，∴∠EFD=∠EDF，∴EF=ED，∵EP⊥DF，∴PD =PF ， ∵D(t,34t)，∴OD =AE =54t ，∵AC ⊥AB ， ∴∠OAC =90°， ∴tan∠AOC =34，∵OA =√32+42=5， ∴AC =OA ⋅tan∠AOC =154，OC =AC ×35=254，∴EC =AC −AE =154−54t ， ∵tan∠ACO =43，∴点E 的纵坐标为3−t ， ∵F(t,−14t 2+t +3)，PF =PD ， ∴−14t 2+t+3+34t2=3−t ， 解得t =15−√1772或15+√1772(舍弃)． ∴满足条件的t 的值为15−√1772．(3)如图2中，因为点D 在线段AB 上，S △DFP =13S ▱DEGF ，所以DP =2PE ，观察图象可知，点D 只能在第一象限，设PF 交AB 于J ，∵AC⊥AB，PF⊥AB，∴PJ//AE，∴DJ：AJ=DP：PE=2，∵D(t,34t)，F(t,−14t2+t+3)，∴OD=54t，DF=−14t2+t+3−34t=−14t2+14t+3，∴DJ=35DF=−320t2+320t+95，AJ=12DJ=−340t2+340t+910，∵OA=5，∴54t−320t2+320t+95−340t2+340t+910=5，整理得9t2−59t+92=0，解得t=239或4(舍弃)，∴OD=54t=11536．(1)利用待定系数法可得结论．(2)如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF.证明EF=ED，推出PF=PD，求出点D，F的坐标，点E的纵坐标，构建方程可得结论．(3)如图2中，首先判断点D只能在第一象限，设PF交AB于J，再证明DP=2PE，推出DJ=2JA，用t表示出OD，DJ，JA的长，构建方程，即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．第31页，共31页。
2010年北京市中考数学试卷(含答案)
2010年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷学校 姓名 准考证号考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个‧‧是符合题意的．1．2-的倒数是 A ．12- B ．12C ．2-D ．22．2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星 — 500”正式启动，包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12 480小时的“火星之旅”. 将12 480用科学记数法表示应为 A ．312.4810⨯ B ．50.124810⨯ C ．41.24810⨯ D ．31.24810⨯ 3．如图，在△ABC 中，点D E 、分别在边上，DE ∥BC ，若:3:4AD AB =，6AE =，则AC 等于AB AC 、A. 3B. 4C. 6D. 8 4．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为A ．20B ．16C ．12D ．105．从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是A ．15B ．310C ．13 D ．126．将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，结果为A ．2(1)4y x =++B ．2(1)4y x =-+C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =-+ 7．10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm ）如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队170175173174183设两队队员身高的平均数依次为x 甲，x乙，身高的方差依次为2S 甲，2S 乙，则下列关系中完全正确的是 A ．x x =甲乙，22S S>乙甲B ．x x =甲乙，22S S<乙甲 C．x x >甲乙，22S S >乙甲D ．x x <甲乙，22S S<乙甲8．美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个‧‧‧‧符合上述要求，那么这个示意图是A BC D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若二次根式21x -有意义，则x 的取值范围是 ． 10．分解因式：34m m -= .11．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，连结OC ，若5OC =，8CD =，则AE = ．12．右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 A ，B ，C ，D.请你按图中箭头所指方向（即 A →B →C →D →C→B →A →B →C → … 的方式）从 A 开始数连续的正整数 1，2，3，4，…，当数到 12 时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）.三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：101201043tan 603-⎛⎫-+--︒ ⎪⎝⎭.14．解分式方程 312422x x x -=--．15．已知：如图，点A B C D 、、、在同一条直线上，EA AD ⊥，FD AD ⊥，AE DF =，AB DC =． 求证：ACE DBF ∠=∠．16．已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．17．列方程或方程组解应用题：2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米．18．如图，直线23y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1） 求A ，B 两点的坐标；（2） 过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2OP OA =，求△ABP 的面积．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AB DC AD ===，4BC =．求B ∠的度数及AC 的长．20．已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过D B C 、、三点，290DOC ACD ∠=∠=︒．（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）如果75ACB ∠=︒，⊙O 的半径为2，求BD 的长．21．根据北京市统计局公布的2006—2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下： 2006—2009年北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数统计图由统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比，增加最多的是 年，增加了 天；（2） 表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整（精确到1%）；表1 2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计表城 市北京上海天津昆明 杭州广州南京成都沈阳西宁百分比91% 84% 100% 89% 95% 86% 86% 90% 77%（3） 根据表1中的数据将十个城市划分为三个组，百分比不低于95%的为A 组，不低于85%且低于95%的为B 组，低于85%的为C 组．按此标准，C 组城市 数量在这十个城市中所占的百分比为 %；请你补全右边的 扇形统计图．22．阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，8AD =cm ，6AB =cm ． 现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种 方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿与BC 边夹角为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动，…，如图1所示．问P 点第一次与D 点重合前‧‧‧与边相碰几次，P 点第一次与D 点重‧合时‧‧所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的 : 如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形11A B CD ．由轴对称的知识，发现232P P P E =，11P A PE =. 请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P 点第一次与D 点重合前‧‧‧与边相碰 次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时‧‧‧所经过的路径的总长是 cm ； （2） 进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD AB >．动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上. 若P 点第一次与B 点重合前‧‧‧与边相碰7次，则:A B A D 的值为 .2009年十个城市空气质量达到 二级和好于二级的天数占全年天数百分比分组统计图图1图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知反比例函数ky x=的图象经过点(31)A -，． （1） 试确定此反比例函数的解析式；（2） 点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3） 已知点(36)P m m +， 也在此反比例函数的图象上（其中 0m <），过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于点M ． 若线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是12，设Q 点的纵坐标为n ，求2239n n -+的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点(2,)B n 在这条抛物线上．（1） 求B 点的坐标；（2） 点P 在线段 OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线 OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED PE =，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．① 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP 的长；② 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM QF =，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．25．问题：已知△ABC 中，2B A C A C B ∠=∠，点D 是△ABC 内的一点，且AD CD =，BD BA =．探究DBC∠与ABC ∠度数的比值． 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1） 当90BAC ∠=︒时，依问题中的条件补全右图．观察图形，AB 与AC 的数量关系为 ；当推出15DAC ∠=︒时，可进一步可推出DBC ∠的度数为 ；可得到DBC ∠与ABC ∠度数的比值为 ．（2） 当90BAC ∠≠︒时，请你画出图形，研究DBC ∠与ABC ∠度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．2010年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案一、选择题 1.A ， 2.C ， 3.D ， 4.A ， 5.B ， 6.D ， 7.B ， 8.B ， 二、填空题 9. x ≥21， 10. m (m +2)(m -2)， 11. 2， 12. B 、603、6n +3； 三、解答题13. 解：原式=3-1+43-3=2+33。
2019年山东德州中考数学试题(解析版)
2019年德州市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，合计48分．{题目}1．（2019年德州）－12的倒数是（）A．－2 B．12C．1 D．1{答案}A{解析}本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，由于－12×(－2)＝1，因此本题选A．{分值}4{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}{考点:倒数}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．{答案}D{解析}本题考查了轴对称和中心对称图形的识别，A．轴对称图形；B．中心对称图形；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本题选D．{分值}4{考点:轴对称图形}{考点:中心对称图形}{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年德州）据国家统计局统计，我国 2018 年国民生产总值（GDP）为900300 亿元．用科学记数法表示900300亿是A．9.003⨯1012B．90.03⨯1012C．0.9003⨯1014D．9.003⨯1013 {答案}D{解析}本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此先将“900300亿”改写成90 030 000 000 000，再根据科学记数法的要求表示为9.003⨯1013．{分值}4{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019年德州）下列运算正确的是（）A．(－2a)2＝－4a2B．(a＋b)2＝a2＋b2C．(a5)2＝a7D．(－a＋2)(－a－2)＝a2－4{答案}D{解析}本题考查了整式乘法公式，A项考查了积的乘方公式，正确结果应该是4a2；B项考查的是完全平方公式，正确的结果应该是a2＋2ab＋b2；C项考查的是幂的乘方，正确的结果应该是a10；D项考查了平方差公式，结果正确．{分值}4{章节:[1-14-2]乘法公式}{考点:完全平方公式}{考点:积的乘方}{考点:幂的乘方}{考点:完全平方公式}{考点:平方差公式}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}5．（2019年德州）若函数kyx=与y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则函数y＝kx＋b的大致图象为（）A． B． C． D．{答案}C{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图象的性质，由于双曲线过二、四象限，因此k＜0，又由于抛物线开口向上，因此a＞0，又由于对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可知a，b异号，所以b＜0．所以直线应该呈下降趋势，与y轴交于负半轴，因此本题选C．{分值}4{章节:[1-22-1-4]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质}{考点:二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质}{考点:反比例函数的图象}{难度:3-中等难度}{类别:易错题}{题目}6．（2019年德州）不等式组523(1)131722x xx x+>-⎧⎪⎨--⎪⎩≤的所有非负整数解的和是（）A． 10 B． 7 C． 6 D． 0 {答案}A{解析}本题考查了一元一次不等式不等式组的非负整数解，解答过程如下：解不等式①，得x＞－5 2；解不等式②，得x≤4；∴不等式组的解集为－52＜x≤4．∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，这些非负整数解的和为10．{分值}4{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}{考点:一元一次不等式组的整数解}{难度:3-中等难度}{类别:易错题}{题目}7．（2019•德州）下列命题是真命题的是（）A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B．平分弦的直径垂直于弦C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等{答案}C{解析} A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；{分值}4{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角}{考点:垂径定理}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:3-中等难度}{题目}8．（2019•德州）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（）A．4.5112y xy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩B．4.5112x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩C．4.5112x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩D．4.5112y xx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩{答案}B{解析}本题的等量关系是：绳长－木长＝4.5；木长－12绳长＝1，据此可列方程组求解．解：设绳长x尺，长木为y尺，依题意得4.5112x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩．{分值}4{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}{考点:简单的列二元一次方程组应用题}{考点:代入消元法有关的实际问题}{类别:数学文化}{难度:3-中等难度}{题目}9．（2019•德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A ．130°B ．140°C ．150°D ．160°{答案}B{解析}解：由题意得到OA ＝OB ＝OC ＝OD ，作出圆O ，如图所示， ∴四边形ABCD 为圆O 的内接四边形， ∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∵∠ABC ＝40°， ∴∠ADC ＝140°， 故选：B ．{分值}4{章节:[1-24-1-4]圆周角}{考点: {考点:圆内接四边形的性质} {类别:思想方法} {难度:4-较高难度}{题目}10．（2019•德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字14，12，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b ．若a ，b 能使关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（ ） A ．23B ．59C ．49D ．13{答案}C{解析}（1）画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，∴乙获胜的概率为49，故选：C ．{分值}4{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件不放回} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}11．在下列函数图象上任取不同两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），一定能使y 2−y 1x 2−x 1＜0成立的是（ ） A ．y ＝3x －1（x ＜0） B ．y ＝－x 2+2x －1（x ＞0） C ．y =−√3x （x ＞0）D ．y ＝x 2－4x －1（x ＜0）{答案}D{解析}解：A 、∵k ＝3＞0∴y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 ∴当x ＜0时，y 2−y 1x 2−x 1＞0，故A 选项不符合；B 、∵对称轴为直线x ＝1，∴当0＜x ＜1时y 随x 的增大而增大，当x ＞1时y 随x 的增大而减小， ∴当0＜x ＜1时：当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1＞0，故B 选项不符合；C 、当x ＞0时，y 随x 的增大而增大， 即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1＞0，故C 选项不符合；D 、∵对称轴为直线x ＝2，∴当x ＜0时y 随x 的增大而减小， 即当x 1＞x 2时，必有y 1＜y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1＜0，故D 选项符合． {分值}4{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:一次函数的性质}{考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {考点:反比例函数的性质} {类别:高度原创} {难度:3-中等难度}{题目}12．（2019年德州）如图，正方形ABCD 中，点F 在边AB 上，且AF ∶FB ＝1∶2，CE ⊥DF ，垂足为M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG ＝12BC ，连接GM ．有如下结论：①DE ＝AF ；②AN ＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF∶S四边形CNFB＝1∶8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④{答案}C{解析}①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出＝＝，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断．{分值}4{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{考点:相似三角形的判定（两角相等）}{考点:相似三角形面积的性质}{考点:几何选择压轴}{类别:高度原创}{难度:5-高难度}二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.{题目}13．（2019•德州）|x－3|＝3－x，则x的取值范围是．{答案} x≤3{解析}根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以3－x≥0，即可求解；{分值}4{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:绝对值的性质}{类别:常考题}{难度:1-最简单}14．（2019•德州）方程6(x+1)(x−1)−3x−1=1的解为．{答案} x＝－4{解析}解∶6(x+1)(x−1)−3x−1=1，6(x+1)(x−1)−3(x+1)(x−1)(x+1)=1，A FED CNBG3−3x=1，(x+1)(x−1)−3=1，x+1x＋1＝－3，x＝－4，经检验x＝－4是原方程的根．{分值}4{章节:[1-15-3]分式方程}{考点:解含两个分式的分式方程}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}15．（2019•德州）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）{答案}1.02{解析}解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64－4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．{分值}4{章节:[1-28-2-2]非特殊角}{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}16．（2019•德州）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1．现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝．{答案}0.7{解析}解：根据题意可得：{3.9}＋{－1.8}－{1}＝3.9－3－1.8＋2－1＋1＝0.7．{分值}4{章节:[1-1-3-2]有理数的减法}{考点:省略加号的代数和}{类别:新定义}{难度:2-简单}{题目}17．（2019•德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB ＝6，则弦AF的长度为．{答案}9.6{解析}连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r－1，OA＝r，根据勾股定理得到32＋（r－1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG2＋OG2＝52，AG2＋（5－OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．{分值}4{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}{考点:垂径定理}{类别:高度原创}{难度:3-中等难度}{题目}18．（2019•德州）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝kx（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝－kx（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则A n（n为正整数）的纵坐标为．（用含n的式子表示）{答案}(－1)n＋{解析}先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x），根据OD2＝2＋1x＝x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A 1、A 3、A 5…在x 轴的上方，纵坐标为正数，点A 2、A 4、A 6……在x 轴的下方，纵坐标为负数，可以利用(－1)n ＋1来解决这个问题．{分值}4{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:双曲线与几何图形的综合} {考点:规律－图形变化类} {考点:几何填空压轴} {类别:高度原创} {难度:5-高难度}三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. {题目}19．（8分）（2019•德州） 先化简，再求值：（2m−1n）÷（m 2＋n 2mn−5n m）•（m2n＋2n m＋2），其中√m ＋1＋(n －3)2＝0．{解析}先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出m 和n 的值，最后代回化简后的分式即可． {答案}解∶（2m−1n）÷（m 2＋n 2mn−5n m）•（m2n＋2n m＋2）＝2n−m mn ÷m 2＋n 2−5n 2mn •m 2＋4n 2＋4mn 2mn＝2n−m mn •mn (m ＋2n)(m−2n)•(m ＋2n)22mn＝−m ＋2n2mn． ∵√m ＋1＋（n ﹣3）2＝0． ∴m ＋1＝0，n ﹣3＝0， ∴m ＝﹣1，n ＝3．∴−m ＋2n 2mn＝−−1＋2×32×(−1)×3＝56．∴原式的值为56．{分值}8{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:分式的混合运算} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}20．（2019•德州）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下：七年级80748363909174618262八年级74618391608546847482（1）根据上述数据，补充完成下列表格．整理数据：优秀良好及格不及格七年级2350八年级141分析数据：年级平均数众数中位数七年级767477八年级74（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．{解析}（1）根据平均数和中位数的概念解答即可；（2）根据样本估计总体解答即可；（3）根据数据调查信息解答即可{答案}解∶（1）八年级及格的人数是4，平均数＝74＋61＋83＋91＋60＋85＋46＋84＋74＋8210＝74，中位数＝74＋822＝78；故答案为∶4；74；78；（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200×210＋300×110＝40＋30＝70人；（3）根据以上数据可得∶七年级学生的体质健康情况更好．{分值}10{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}{考点:算术平均数}{考点:中位数}{考点:众数}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}21．（2019年德州）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人字样浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力补超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．{解析}本题考查了一元二次方程的应用问题（增长率）．（1）套用公式a(1＋x)2＝b即可；（2）根据第（1）小题算出的增长率，算出第四个月的进馆人数，然后与608进行比较得出结果．{答案}解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得：128＋128 (1＋x)＋128 (1＋x)2＝608解得x1＝0.5；x2＝－3.5（舍去）．答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）第四个月进馆人数为128(1＋12)3＝432（人次）∵432＜500∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．{分值}10{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{难度:3-中等难度}{类别:易错题}{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}{题目}22．（12分）（2019•德州）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC ＝30°，AC＝2√3．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．{解析}（1）过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O即可；（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△PAO≌Rt△PCO，然后根据切线的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线；（3）先证明△OAC为等边三角形得到OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，再计算出AP＝2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段PA、PC围成3的封闭图形的面积进行计算．{答案}解∶（1）如图，（2）已知∶如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2√3，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，求证∶PB、PC为⊙O的切线；证明∶∵∠BPD＝120°，PAC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴PA＝PC，连接OP，∵OA⊥PA，PC⊥OC，∴∠PAO＝∠PCO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL）∴OA＝OC，∴PB、PC为⊙O的切线；（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°－30°＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝2√3，∠AOC＝60°，∵OP平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝√33×2√3＝2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO－S扇形AOC＝2×12×2√3×2−60⋅π⋅(2√3)2360＝4√3−2π．{分值}12{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}{考点:扇形的面积}{考点:切线的判定}{考点:与圆有关的作图问题}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{难度:3-中等难度}{题目}23．（12分）（2019•德州）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式．收费方式月通话费/元包时通话时间/h超时费/（元/min）A30250.1B50500.1C100不限时（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数解析式．（2）填空：若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为；若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为；若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为；（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．{解析}（1）根据题意可以分别写出y1、y2、y3关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；（3）结合图象可得：小张选择的是方式A ，小王选择的是方式B ，将y ＝81代入y 2关于x 的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间． {答案}解：（1）∵0.1元/min ＝6元/h ， ∴由题意可得，y 1＝{30(0≤x ≤25)6x −120(x ＞25)，y 2＝{50(0≤x ≤50)6x −250(x ＞50)，y 3＝100（x ≥0）；（2）作出函数图象如图∶结合图象可得∶若选择方式A 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为∶0≤x ≤853， 若选择方式B 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为∶853≤x ≤1753， 若选择方式C 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为∶x ＞1753． 故答案为∶0≤x ≤853，853≤x ≤1753，x ＞1753． （3）∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长， ∴结合图象可得∶小张选择的是方式A ，小王选择的是方式B ，将y ＝80分别代入y 2＝{50(0≤x ≤50)6x −250(x ＞50)，可得6x －250＝80， 解得∶x ＝55，∴小王该月的通话时间为55小时．{分值}12{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}{考点:分段函数的应用}{考点:方案比较}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}24．（12分）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD∶GC∶EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，此时HD∶GC∶EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．{解析}（1）连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；（2）连接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易证△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；（3）连接AG，AC，易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性质可得结论．{答案}解∶（1）连接AG，∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，∴∠GAE＝∠CAB＝30°，AE＝AH，AB＝AD，∴A，G，C共线，AB－AE＝AD－AH，∴HD＝EB，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，∴GC⊥MN，∠NGO＝∠AGE＝30°，∴OGGN＝cos30°＝√32，∵GC＝2OG，∴GNGC√3，∵HGND为平行四边形，∴HD＝GN，∴HD∶GC∶EB＝1∶√3∶1．（2）如图2，连接AG ，AC ，∵△ADC 和△AHG 都是等腰三角形，∴AD ∶AC ＝AH ∶AG ＝1∶√3，∠DAC ＝∠HAG ＝30°， ∴∠DAH ＝∠CAG ， ∴△DAH ∽△CAG ，∴HD ∶GC ＝AD ∶AC ＝1∶√3， ∵∠DAB ＝∠HAE ＝60°， ∴∠DAH ＝∠BAE ， 在△DAH 和△BAE 中， {AD ＝AB∠DAH ＝∠BAE AH ＝AE∴△DAH ≌△BAE （SAS ） ∴HD ＝EB ，∴HD ∶GC ∶EB ＝1∶√3∶1．（3）有变化．如图3，连接AG ，AC ，∵AD ∶AB ＝AH ∶AE ＝1∶2，∠ADC ＝∠AHG ＝90°， ∴△ADC ∽△AHG ，∴AD ∶AC ＝AH ∶AG ＝1∶√5， ∵∠DAC ＝∠HAG ， ∴∠DAH ＝∠CAG ， ∴△DAH ∽△CAG ，∴HD ∶GC ＝AD ∶AC ＝1∶√5， ∵∠DAB ＝∠HAE ＝90°， ∴∠DAH ＝∠BAE ，∵DA ∶AB ＝HA ∶AE ＝1∶2， ∴△ADH ∽△ABE ，∴DH ∶BE ＝AD ∶AB ＝1∶2， ∴HD ∶GC ∶EB ＝1∶√5∶2{分值}12{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似三角形的判定（两边夹角）} {考点:几何综合}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{难度:5-高难度}{题目}25．（14分）如图，抛物线y＝mx2−52mx－4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2－x1＝11 2．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a＋2，x2≥92时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，－5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．{解析}（1）函数的对称轴为：x＝−b2a＝54＝x1＋x22，而且x2－x1＝112，将上述两式联立并解得：x1＝−32，x2＝4，即可求解；（2）分a≤a＋2≤54、54≤a≤a＋2两种情况，分别求解即可；（3）取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件的点，即可求解．{答案}解：（1）函数的对称轴为：x＝−b2a＝54＝x1＋x22，而且x2－x1＝112，将上述两式联立并解得：x1＝−32，x2＝4，则函数的表达式为：y＝a（x＋32）（x－4）＝a（x2－4x＋32x－6），即：－6a＝－4，解得：a＝2 3，故抛物线的表达式为：y＝23x2−53x－4；（2）当x2＝94时，y2＝2，①当a ≤a ＋2≤54时（即：a ≤−34）， y 1≤y 2，则23a 2−53a －4≤2，解得：－2≤a ≤−92，而a ≤−34， 故：－2≤a ≤−34；②当54≤a ≤a ＋2（即a ≥54）时，则23（a ＋2）2−53（a ＋2）－4≤2，同理可得：−34≤a ≤54， 故a 的取值范围为：－2≤a ≤54；（3）∵当∠BDC ＝∠MCE ，△MDC 为等腰三角形，故取DC 的中点H ，过点H 作线段CD 的中垂线交直线BD 与点M ，则点M 为符合条件的点，点H （12，−92），将点C 、D 坐标代入一次函数表达式：y ＝mx ＋n 并解得： 直线CD 的表达式为：y ＝－x －4， 同理可得：直线BD 的表达式为：y ＝53x −203⋯①， 直线DC ⊥MH ，则直线MH 表达式中的k 值为1， 同理可得直线HM 的表达式为：y ＝x －5…②， 联立①②并解得：x ＝52， 故点M （52，−52）．{分值}14{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:代数综合}{考点:二次函数中讨论等腰三角形} {类别:高度原创} {难度:5-高难度}。
2023年北京中考数学重难题型专题02以三角形为载体的几何压轴问题(真题模考题共34题)练习版
2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题02以三角形为载体的几何压轴问题（北京真题+模拟共34题）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢北京市中考的倒数第二道大题多数是已三角形为载体的几何综合问题，主要涉及特殊的三角形及相似三角形，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.常用到的三角形的知识有：（1）涉及全等问题解题要领：①探求两个三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，注意挖掘问题中的隐含等量关系，防止误用“SSA”；②掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系；③把握问题中的关键，通过关键条件，发现并添加辅助线．（2）涉及到计算边的关系解题要领：①线段的垂直平分线常常用于构造等腰三角形；②在直角三角形中求边的长度，常常要用到勾股定理；③根据三角形的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断其为直角三角形；④已知直角三角形斜边的中点，考虑运用直角三角形斜边上中线的性质；⑤直角三角形斜边上中线的性质存在逆定理．（3）涉及角平分线问题的解题要领：①已知角的平分线及角平分线上的点到角一边的垂线段，考虑用角平分线的性质；②角平分线的性质常常与三角形的面积相结合．解题要领：（4）涉及到直角三角形方面的解题要领：①已知直角三角形及其锐角求线段长度时，运用锐角三角函数是最常用的方法；②通过等腰三角形的性质，特殊平行四边形的性质及圆的性质构建直角三角形，再运用锐角三角函数求解；③熟记特殊直角三角形的三边关系：30°角的直角三角形的三边的比为1∶∶2，等腰直角三角形的三边关系为1∶1∶；④锐角三角函数也常常作为相似三角形中，求对应边的比值的补充．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．6．（2022·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．2．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.3．（2019·北京·中考真题）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P 为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP=∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．4．（2020·北京·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b，求EF的长（用含a,b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点P为射线BC 上一动点（不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转α角，得到线段PQ，连接AP、BQ、M为线段BQ的中点．(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，的值；①依题意在图1中补全图形：②求出此时α的值和BPPC(2)写出一个α的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有AP的值为定值，并证明；PM2．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．(1)求证：△ABH≌△EAF；(2)如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求BE的值．EC3．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=2α，在△ABC的外侧作直线AP(90°−a<∠PAC<180°−2a)，作点C关于直线AP的对称点D，连接AD,BD,BD交直线AP于点E．(1)依题意补全图形；(2)连接CE，求证：∠ACE=∠ABE；(3)过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE,2EF,DE之间的数量关系，并证明．4．（2022·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连接CD，点P 在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果∠A=30°①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α(0°<α<90°)，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．5．（2022·北京密云·二模）如图，在等边△ABC中，点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．(1)依据题意，补全图形；(2)比较∠BDE与∠BPE的大小，并证明；(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．6．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．7．（2022·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD 于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M．(1)①根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．(2)过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．8．（2022·北京顺义·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD=BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°(0<n<180)得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．9．（2022·北京北京·二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．(1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；(2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系．10．（2022·北京四中模拟预测）已知，点B是射线AP上一动点，以AB为边作△ABC，∠BCA=90°，∠A=60°，将射线BC绕点B顺时针旋转120°，得到射线BD，点E在射线BD上，BE+BC=m．(1)如图1，若BE=BC，求CE的长（用含m的式子表示）；(2)如图2，点F在线段AB上，连接CF、EF．添加一个条件：AF、BC、BE满足的等量关系为______，使得EF=CF 成立，补全图形并证明．11．（2022·北京昌平·二模）如图，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分线，点A是射线OM上一点，点A关于OP对称点B在射线ON上，连接AB交OP于点C，过点A作ON的垂线，分别交OP，ON于点D，E，作∠OAE的平分线AQ，射线AQ与OP，ON分别交于点F，G．(1)①依题意补全图形；②求∠BAE度数；（用含α的式子表示）(2)写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD=√2AF（点A不与点O重合），并证明．12．（2022·北京海淀·二模）已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC 重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE +DE =AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．13．（2022·北京市十一学校二模）如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DP A=∠OPE，DP+PE=5．(1)当DP=PE时，求DE的长；(2)在点P的运动过程中，请判断射线OA上是否存在一个定点M，使得DM的值不变？并证明你的判断．ME14．（2022·北京平谷·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE＝∠BCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．15．（2022·北京房山·一模）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP=∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．16．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．17．（2022·北京·二模）如图，在等边ΔABC中，点D是边BC的中点，点E是直线BC上一动点，将线段AE绕点E逆时针旋转60°，得到线段EG，连接AG，BG．(1)如图1，当点E与点D重合时．①依题意补全图形；②判断AB与EG的位置关系；(2)如图2，取EG的中点F，写出直线DF与AB夹角的度数以及FD与EC的数量关系，并证明．18．（2022·北京朝阳·一模）在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE∥AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段AB,AE,CE之间新的数量关系（不需证明）．19．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．20．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°．D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．21．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°<α<90°），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE 的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE（其中点B与点D对应）．(1)如图1，点B关于直线AC的对称点为B′，求线段B′E与CD的数量关系；(2)当α=32°时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．23．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．24．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝√5，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．25．（2022·北京市师达中学模拟预测）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．26．（2012·北京顺义·中考模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．27．（2015·北京·模拟预测）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝√2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．28．（2021·北京·二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α (0°＜α＜60°)．点P是△ABC内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点A逆时针旋转α，使AB边与AC重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为；（2）探究∠ADM与∠APM的数量关系为；（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．。
中考数学10道经典题型分析
中考数学10道经典题型分析跟大家分享一下近期初三数学总复习的一些好的题目，相信总有一款题目你会感兴趣。
第1题、第2题：阿氏圆的经典题目。
这是最值经常见的题目，确定动点的运动轨迹，构造母子相似三角形解决线段的系数，三点共线时距离最短。
具体技巧请参加题目解答与分析。
经典题目1：阿氏圆经典题目。
经典题目2：阿氏圆问题。
第3题：费马点问题。
费马点问题也是最值问题最常见的题型，三线线段之和最短，通过旋转构造全等三角形，实现线段的转换（移到同一直线上），四点共圆时，线段之和最短。
经典题目3：胡不归问题。
第4题：胡不归问题。
胡不归问题同样的线段最值常见问题，AB+kCD的最值问题，首先要解决其中一条线段的K值，阿氏圆通常采用构造母子相似三角形来解决这个问题，而胡不归通常采用三角函数来解决这个问题。
这道综合题还是很不错的，值得练一练。
经典题目4：胡不归问题。
第5，6题：二次函数中的a,b,c问题。
在选择题中，这也算是比较有点难度的问题了，而且考试的频率往往非常高，需要熟练掌握。
基本的技巧我已经在下面列出了。
经典题目5：二次函数多结论问题。
经典题目7：二次函数多结论问题。
第7题：相似三角形综合题目。
这是一次模拟测验的倒数第2题，三角形综合题。
这道题比较好，是因为它不只一种解法，尤其是在第3问中，有不同的作辅助线的方法，有点意思。
经典题目7：三角形综合题。
第8题：中考压轴题模拟题。
这是深圳南山区联考模拟卷的压轴题，最后一问其实并不难，根据题意不难理解，动点的运动轨迹是某个圆的一段弧，在同一个圆中，同弧（弦）所对的圆周角相等，从而可以确定动点的运动轨迹，三点共线时，由距离最短。
具本思路和过程可参照下面答案。
经典题目8：中考压轴题目。
第9题：平行四边形的存在性问题。
这道题目真的很不错，弄懂这道题目，平行四边形的存在性问题就基本弄懂了。
我在参考答案中列举了三种常见的方法，其中包括点的坐标平移法，中点坐标（平行四边形对角顶点坐标之间的关系要熟练掌握）等。
2023年四川省眉山市中考数学真题+答案解析
2023年四川省眉山市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。
1．（4分）的倒数是（）A．B．C．﹣2 D．22．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（）A．2.1×10﹣6B．21×10﹣6C．2.1×10﹣5D．21×10﹣53．（4分）下列运算中，正确的是（）A．3a3﹣a2＝2a B．（a+b）2＝a2+b2C．a3b2÷a2＝a D．（a2b）2＝a4b24．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．140°5．（4分）已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（）A．2 B．4 C．6 D．106．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．B．m＞3 C．m≤3D．m＜37．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（4分）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（）A．6 B．9 C．10 D．149．（4分）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（）A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣310．（4分）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．下列四个结论：①AH＝HC；②HD＝CD；③∠F AB＝∠DHE；④AK•HD＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。
2020年哈尔滨市中考数学试题(解析版)
【详解】解：（1）15÷30%＝50（名），
答：本次调查共抽取了50名学生；
（2）50﹣15﹣20﹣5＝10（名），
补全条形统计图如图所示：
（3）800× ＝320（名），
（2）如图所示，△CDG即为所求，由勾股定理，得EG= .
【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢的哪一类？的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的 ，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
6.将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
【详解】解：将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为： ．
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【详解】解：∵ ，
∴△AEF∽△ACD，
∴ ，故选项A错误；
∴ ，
∵ ，
∴△CEG∽△CAB，
∴ ，
∴ ，故选项B错误； ，故选项D错误；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故选项正确C．
中考数学压轴题小专题2：倍长中线
中考数学压轴题分析：倍长中线每年北京中考数学倒数第2题一般以几何题的形式出现，题目是设计也是比较精巧。
今年的题目也挺不错，图形很简洁，考查的方法技巧也很常规。
【中考真题】（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b 的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【分析】本题图形非常简洁，题目就给出了一个直角三角形，而且内部也出现一个直角三角形。
这样的图形还是比较常见的呢。
题（1）比较简单，因为都是中点，所以很容易得出EF的长度。
可以发现AE²+BF²＝EF²。
题（2）是问当点E在CA的延长线时求三条线段的关系。
关键就是画出图形再进行分析。
有了题（1）的结论，我们可以猜测结论仍然成立。
一般此类题目的结论都是不会变化的。
由于点D为中点，因此可以考虑用倍长中线的方法。
倍长中线法如图，倍长ED至点M，再连接BM、MF即可得到Rt△BMF，结论易得。
本题其实在刚学勾股定理的时候也会遇到，不知道大家是否有印象。
题目只是稍加改编。
【答案】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE=1/2BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF=1/2BC，∴CF＝BF＝b，∵CE＝AE＝a，∴EF=√(CF²+CE²)=√(a²+b²)；（2）AE²+BF²＝EF²．理由如下：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，∠AED=∠BMD，∠ADE=∠BDM，AD=BD，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM²+BF²＝MF²，∴AE²+BF²＝EF²．【举一反三】如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且DE⊥DF，求证：AE2+BF2=EF2．。
2022年湖南省娄底市中考数学试题及答案解析
2022年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.2022的倒数是( )A. −2022B. 2022C. 12022D. −120222.下列式子正确的是( )A. a3⋅a2=a5B. (a2)3=a5C. (ab)2=ab2D. a3+a2=a53.一个小组10名同学的出生月份(单位：月)如下表所示：编号12345678910月份26861047887这组数据(月份)的众数是( )A. 10B. 8C. 7D. 64.下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是( )A. B.C. D.5.截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨．5000亿用科学记数法表示为( )A. 50×1010B. 5×1011C. 0.5×1012D. 5×10126.一条古称在称物时的状态如图所示，已知∠1=80°，则∠2=( )A. 20°B. 80°C. 100°D. 120°7. 不等式组{3−x ≥12x >−2的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.8. 将直线y =2x +1向上平移2个单位，相当于( )A. 向左平移2个单位B. 向左平移1个单位C. 向右平移2个单位D. 向右平移1个单位9. 在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结(如图)，由细到粗(右细左粗)，满七进一，那么孩子已经出生了( )A. 1335天B. 516天C. 435天D. 54天10. 如图，等边△ABC 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比是( )A. √3π18 B. √318C. √3π9D. √3911. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点P(m,1)、Q(1,m)(m >0且m ≠1)，过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的有( )①点P、Q在反比例函数y=m的图象上；x②△AOB为等腰直角三角形；③0°<∠POQ<90°；④∠POQ的值随m的增大而增大．A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③12.若10x=N，则称x是以10为底N的对数．记作：x=lgN．例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1．对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)．例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为( )A. 5B. 2C. 1D. 0二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.函数y=1的自变量x的取值范围是______．√x−114.已知实数x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，则x1x2=______．15.黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1～15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是______．16.九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图(如实物图)比较美观，通过手绘(如图)、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G，则EG≈______DE.(精确到0.001)17.菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为______．18. 如图，已知等腰△ABC 的顶角∠BAC 的大小为θ，点D 为边BC上的动点(与B 、C 不重合)，将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D′处，连接BD′.给出下列结论： ①△ACD ≌△ABD′； ②△ACB ∽△ADD′；③当BD =CD 时，△ADD′的面积取得最小值． 其中正确的结论有______(填结论对应的应号)．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19. 计算：(2022−π)0+(12)−1+|1−√3|−2sin60°．四、解答题（本大题共7小题，共60.0分） 20. 先化简，再求值：(x +2+4x−2)÷x 3x 2−4x+4，其中x 是满足条件x ≤2的合适的非负整数．21. 按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间(A ：10ℎ以上，B ：8ℎ～10ℎ，C ：6ℎ～8ℎ，D ：6ℎ以下)进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生共______名；(2)a=______，b=______；(3)补全条形统计图．22.“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器(如实物图所示)锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ=3cm.开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB=4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC=120°，求BC的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F=k⋅Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx=x−x0．23.“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？24.如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG(点C，D，F共线)，动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O.设∠G=θ．(1)求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．(2)当θ=90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．25.如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．(1)判定AC与⊙O的位置关系，为什么？(2)若BC=3，CD=3，2①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用α=30°给予验证．x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．26.如图，抛物线y=12(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P(m,n)(0<m<6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析1.【答案】C．【解析】解：2022的倒数是12022故选：C．根据倒数的定义即可得出答案．本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：A、a3⋅a2=a5，故A符合题意；B、(a2)3=a6，故B不符合题意；C、(ab)2=a2b2，故C不符合题意；D、a3与a2不能合并，故D不符合题意；故选：A．根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：这10名同学的出生月份出现次数最多的是8，共出现3次，因此众数是8，故选：B．根据众数的意义求出众数即可．本题考查众数，理解众数的意义是解决问题的前提，掌握众数的意义是解决问题的关键．4.【答案】D【解析】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；D.是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据中心对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．5.【答案】B【解析】解：∵5000亿=500000000000=5×1011，故选：B．根据5000亿=500000000000，再用科学记数法的表示即可．本题主要考查科学记数法的知识，熟练掌握科学记数法的形式是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：如图，由平行线的性质得：∠3=∠1=80°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=180°−80°=100°．故选：C．根据平行线的性质和平角的定义可得结论．本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握两直线平行，内错角相等是解本题的关键．7.【答案】C【解析】解：{3−x≥1①2x>−2②，解①，得x≤2，解②，得x>−1．所以原不等式组的解集为：−1<x≤2．故符合条件的选项是C．故选：C．先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键．8.【答案】B【解析】解：将直线y=2x+1向上平移2个单位后得到新直线解析式为：y=2x+1+2，即y=2x+3．由于y=2x+3=2(x+1)+1，所以将直线y=2x+1向左平移1个单位即可得到直线y=2x+3．所以将直线y=2x+1向上平移2个单位，相当于将直线y=2x+1向左平移1个单位．故选：B．根据直线y=kx+b平移k值不变，只有b发生改变解答即可．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．9.【答案】B【解析】解：孩子自出生后的天数是：1×7×7×7+3×7×7+3×7+5=343+147+21+5=516，答：那么孩子已经出生了516天．故选：B．由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为5，3×7，3×7×7和1×7×7×7，然后把它们相加即可．本题考查了用数字表示事件．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．10.【答案】A【解析】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，设AB=2a，则BD=a，∵∠ADB=90°，∴AD=√AB2−BD2=√3a，∴OD=13AD=√33a，∴圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比是：π×(√33a)2×122a⋅√3a 2=√3π18， 故选：A ．根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比．本题考查等边三角形的性质、圆的面积、三角形的内切圆与内心，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】D【解析】解：∵点P(m,1)、Q(1,m)(m >0且m ≠1)，则m ⋅1=1⋅m =m ， ∴点P 、Q 在反比例函数y =mx 的图象上，故①正确； 设直线PQ 为y =kx +b ，则{mk +b =1k +b =m ，解得{k =−1b =m +1，∴直线PQ 为y =−x +m +1，当y =0时，x =m +1；当x =0时，y =m +1， ∴A(m +1,0)，B(0,m +1)， ∴OA =OB ， ∵∠AOB =90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，故②正确； ∵点P(m,1)、Q(1,m)(m >0且m ≠1)， ∴P 、Q 都在第一象限，∴0°<∠POQ <90°，故③正确； ∵直线OP 为y =1m x ，直线OQ 为y =mx ，∴当0<m <1时，∠POQ 的值随m 的增大而减小，当m >1时，∠POQ 的值随m 的增大而增大， 故④错误； 故选：D ．根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断①；根据P 、Q 点的坐标特征即可判断②③；求得直线OP 、OQ 的解析式，根据正比例函数的系数即可判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定等，数形结合是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：原式=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5×lg(5×2)+lg2=lg5lg10+lg2=lg5+lg2=lg10=1．故选：C．首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．本题主要考查了定义运算，实际上是对数的运算，读懂题目意思是关键．13.【答案】x>1【解析】解：由题意得：x−1>0，解得：x>1，故答案为：x>1．根据√a(a≥0)，以及分母不能为0，可得x−1>0，然后进行计算即可解答．本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握√a(a≥0)，以及分母不能为0是解题的关键．14.【答案】−1【解析】解：∵方程x2+x−1=0中的a=b=1，c=−1，∴x1x2= ca=−1．故答案是：−1．根据根与系数的关系解答．此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．15.【答案】715【解析】解：由题意可得，从袋中随机摸出1个球，一共有15种可能性，其中摸出编号是偶数的有7种可能性，故摸出的球编号为偶数的概率是715，故答案为：715．根据题意和题目中的数据，可以得到一共有多少种可能性，其中摸出编号是偶数的有多少种可能性，从而可以求得摸出的球编号为偶数的概率．本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．16.【答案】0.618【解析】解：∵点E是AD的黄金分割点，且DE≈0.618AD，∴DEAD =AEDE≈0.618，由题意得：EG=AE，∴EGDE≈0.618，∴EG≈0.618DE，故答案为：0.618．根据黄金分割的定义可得DEAD =AEDE≈0.618，再根据题意可得EG=AE，即可解答．本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．17.【答案】√2【解析】解：连接AQ，作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，∠ABQ=∠CBQ，∵BQ=BQ，∴△ABQ≌△CBQ(SAS)，∴AQ=CQ，∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，∵AB=2，∠ABC=45°，∴AH=√2，∴CQ+PQ的最小值为√2，故答案为：√2．连接AQ ，作AH ⊥BC 于H ，利用SAS 证明△ABQ≌△CBQ ，得AQ =CQ ，当点A 、Q 、P 共线，AQ +PQ 的最小值为AH 的长，再求出AH 的长即可．本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，将CQ +PQ 的最小值转化为AH 的长是解题的关键．18.【答案】①②③【解析】解：由题意可知AC =AB ，AD =AD′，∠CAD =∠BAD′， ∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC =AB ，AD =AD′，∠BAC =∠D′AD =θ， ∴AC AD=ABAD′，∴△ACB∽△ADD′，故②正确； ∵△ACB∽△ADD′， ∴S △ADD′S △ACB=(AD AC)2， ∵当AD ⊥BC 时，AD 最小，△ADD′的面积取得最小值． 而AB =AC ， ∴BD =CD ，∴当BD =CD 时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确； 故答案为：①②③．由题意可知AC =AB ，AD =AD′，∠CAD =∠BAD′，即可根据SAS 判断△ACD≌△ABD′；根据∠BAC =∠D′AD =θ，AC AD =ABAD′，即可判断△ACB∽△ADD′；由△ACB∽△ADD′，得出S △ADD′S△ACB=(ADAC )2，根据等腰三角形三线合一的性质，当BD =CD ，则AD ⊥BC 时，AD 最小，△ADD′的面积取得最小值．本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短以及等腰三角形三线合一的性质，三角形掌握这些性质是解题的关键．19.【答案】解：原式=1+2+√3−1−2×√32=1+2+√3−1−√3 =2．【解析】先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及特殊角的函数值是解决本题的关键．20.【答案】解：原式=(x2−4x−2+4x−2)÷x3(x−2)2=x2x−2⋅(x−2)2x3=x−2x，∵x≠0且x−2≠0，∴x≠0且x≠2，∴x=1，则原式=1−21=−1．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21.【答案】2003050【解析】解：(1)本次调查的学生共：10÷5%=200(名)，故答案为：200；(2)a=60200×100=30，b=100200×100=50，故答案为：30，50；(3)C类人数为200×15%=30，补全条形统计图如图：(1)根据D类人数以及所占的百分比即可求解；(2)根据总数以及A类、B类的人数即可求解；(3)根据C类所占的百分比，求出C类人数，即可补全条形统计图．本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．22.【答案】解：由题意可得，x0=3cm，100=k(4−3)，解得k=100，∴F=100Δx，当F=300时，300=100×(PC−3)，解得PC=6cm，由图可得，∠PAB=90°，∠PBC=120°，∴∠APB=30°，∵PB=4cm，∴AB=2cm，PA=√PB2−AB2=2√3(cm)，∵PC=5cm，∴AC=√PC2−PA2=2√6(cm)，∴BC=AC−AB=(2√6−2)cm，即BC的长是(2√6−2)cm．【解析】由题意可以先求出k 的值，然后即可求出PC 的长，再根据勾股定理即可得到PA 和AB 的长，由图可知：BC =AC −AB ，代入数据计算即可．本题考查解直角三角形的应用、正比例函数，解答本题的关键是求出k 的值，以及AC 和AB 的值．23.【答案】解：(1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg ， 由题意得：{x +y =62x =2y −4，解得：{x =40y =22，答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg ； (2)50000×40=2000000(mg)=2kg ， 答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．【解析】(1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg ，由题意：一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg ，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.列出二元一次方程组，解方程组即可； (2)由(1)的结果列式计算即可．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵四边形BCFG ，四边形BCDE 都是菱形，∴CF//BG ，CD//BE ，CB =CF =CD =BG =BE ， ∵D ，C ，F 共线， ∴G ，B ，E 共线， ∴DF//EG ，DF =GE ， ∴四边形DEGF 是平行四边形， ∴EF 与BC 互相平分．当EF ⊥FG 时，∵GF =BG =BE ， ∴EG =2GF ， ∴∠GEF =30°， ∴θ=90°−30°=60°；(2)解：当tan∠ABC=2时，EF垂直平分线段AC．理由：如图(2)中，设AC交EF于点J．∵四边形BCFG是菱形，∴∠G=∠FCO=90°，∵EF与BC互相平分，∴OC=OB，∴CF=BC，∴FC=2OC，∴tan∠FOC=tan∠ABC，∴∠ABC=∠FOC，∴OJ//AB，∵OC=OB，∴CJ=AJ，∵BC是直径，∴∠BAC=∠OJC=90°，∴EF垂直平分线段AC．【解析】(1)证明四边形DEGF是平行四边形，可得结论；(2)当tan∠ABC=2时，EF垂直平分线段AC.证明OJ//AC，可得结论．本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)AC是⊙O切线，理由如下：如图，连接OD，∵OD =OB ， ∴∠ODB =∠OBD ， ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠OBD =∠DBC ， ∴∠ODB =∠DBC ， ∴OD//BC ，∴∠ODA =∠C =90°，∵OD 是⊙O 的半径，且AC ⊥OD ， ∴AC 是⊙O 的切线；(2)①在Rt △DBC 中，∵BC =3，CD =32， ∴BD =√CD 2+BC 2=√(32)2+32=3√52，∴sin∠DBC =CDBD =323√52=√55， 如图2，连接DE ，OD ，过点O 作OG ⊥BC 于G ，∴∠ODC =∠C =∠CGO =90°， ∴四边形ODCG 是矩形，∴OG=CD=32，∵BE是⊙O的切线，∴∠BDE=90°，∴cos∠DBE=cos∠CBD，∴BCBD =BDBE，∴3√52=3√52BE，∴BE=154，∴OB=12BE=158，∴sin∠ABC=OGOB =32158=45；②∵2sin∠DBC⋅cos∠DBC=2×√55×3√52=45，∴sin∠ABC=2sin∠DBC⋅cos∠DBC；猜想：sin2α=2sinαcosα，理由如下：当α=30°时，sin2α=sin60°=√32，2sinαcosα=2×12×√32=√32，∴sin2α=2sinαcosα．【解析】(1)连接OD，证明OD//BC，则∠ODA=∠C=90°，再根据圆的切线的判定定理证明AC是⊙O的切线；(2)①根据三角函数定义可得结论；②计算cos∠DBC的值，并计算2sin∠DBC⋅cos∠DBC的值，可得结论：sin∠ABC=2sin∠DBC⋅cos∠DBC；并用α=30°可得结论．此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义等知识，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，掌握三角函数的定义进行解题．26.【答案】解：(1)当x=0时，y=−6，∴C(0,−6)，当y=0时，12x2−2x−6=0，∴x1=6，x2=−2，∴A(−2,0)，B(6,0)；(2)方法一：如图1，连接OP，设点P(m,12m2−2m−6)，∴S△POC=12OC⋅x P=12×6⋅m=3m，S△BOP=12OB⋅|y P|=3(−12m2+2m+6)，∵S△BOC=12OB⋅OC=12×6×6=18，∴S△PBC=S四边形PBOC−S△BOC=(S△POC+S△POB)−S△BOC=3m+3(−12m2+2m+6)−18=−32(m−3)2+272，∴当m=3时，S△PBC最大=272；方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B(6,0)，C(0,−6)，∴直线BC的解析式为：y=x−6，∴D(m,m−6)，∴PD=(m−6)−(12m2−2m−6)=−12m2+3m，∴S△PBC=12PD⋅OB=12×6⋅(−12m2+3m)=−32(m−3)2+272，∴当m=3时，S△PBC最大=272；(3)如图3，当▱ACFE时，AE//CF，∵抛物线对称轴为直线：x=−2+62=2，∴F1点的坐标：(4,−6)，如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG=OC=6，x2−2x−6=6，当y=6时，12∴x1=2+2√7，x2=2−2√7，∴F2(2+2√7,6)，F3(2−2√7,6)，综上所述：F(4,−6)或(2+2√7,6)或(2−2√7,6)．x2−2x−6的解析式，进而求得结果；【解析】(1)将x=0及y=0代入抛物线y=12m2−2m−6)，分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据(2)连接OP，设点P(m,12−S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；S△PBC=S四边形PBOC(3)可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．。
2024年重庆市中考数学试题
1、若一个正多边形的内角和为1800°，则它的边数为A、8B、9C、10D、11(解析：正多边形的内角和公式为(n-2)×180°，其中n为边数。
将1800°代入公式，解得n=12，但因为是正多边形，所以实际边数应减去2的计算基数，即12-2=10。
)(答案：C)2、下列运算正确的是A、3√2 + 2√3 = 5√5B、(a+b)2 = a2 + b2C、a6 ÷ a3 = a2D、(ab)3 = a3b3(解析：根据二次根式的加法法则，不同根式的和不能合并，故A错误；(a+b)2展开后为a2 + 2ab + b2，与B选项不符，故B错误；根据同底数幂的除法法则，a6 ÷ a3 = a(6-3) = a3，与C选项不符，故C错误；根据积的乘方法则，(ab)3 = a3b3，D选项正确。
)(答案：D)3、下列图形中，不一定是轴对称图形的是A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰梯形D、圆(解析：等腰三角形、等腰梯形和圆都至少有一条对称轴，使得图形关于这条直线对称。
而直角三角形不一定具有这样的对称性，除非它是等腰直角三角形。
)(答案：B)4、已知点A(x,y)在第二象限，那么点B(-x,-y)在A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限(解析：第二象限的点坐标符号为(-,+)，即x为负，y为正。
对这样的点取反得到(-x,-y)，其中-x为正，-y为负，符合第四象限的坐标特征。
)(答案：D)5、下列说法中，正确的是A、无限小数是无理数B、无理数是无限不循环小数C、有理数包括有限小数和无限小数D、有理数就是有限小数(解析：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中只有无限不循环小数是无理数，故A错误；无理数的定义是无限不循环小数，B正确；有理数包括有限小数、无限循环小数和整数，C表述不全，D错误。
)(答案：B)6、下列哪组数能作为直角三角形的三边长？A、3,4,5B、6,8,10C、1,1,√3D、5,12,13(解析：根据勾股定理，直角三角形的两直角边a、b和斜边c满足a2 + b2 = c2。
2024年陕西省中考数学试题(解析版)
2024年陕西省初中学业水平考试数 学 试 卷注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B 铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A 或B ）3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题 共24分）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 3−倒数是（ ）A. 3B. 13C. 13−D. 3−【答案】C【解析】【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵1313 −×−=， ∴3−的倒数是13−. 故选C2. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．的【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故选：C ．3. 如图，AB DC ∥，BC DE ∥，145B ∠=°，则D ∠的度数为（ ）A. 25°B. 35°C. 45°D. 55°【答案】B【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到35C ∠=°，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．【详解】AB DC ∥，180B C∠+∠=°∴， 145B ∠=°，18035C B ∴∠=°−∠=°，∥ BC DE ，35D C ∴∠=∠=°．故选B ．4. 不等式()216x −≥的解集是（ ）A. 2x ≤B. 2x ≥C. 4x ≤D. 4x ≥【答案】D【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．【详解】解：()216x −≥，去括号得：226x −≥，移项合并得：28x ≥，解得：4x ≥，故选：D ．5. 如图，在ABC 中，90BAC ∠=°，AD 是BC 边上的高，E 是DC 的中点，连接AE ，则图中的直角三角形有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．【详解】解：由图得ABD △，ABC ，ADC △，ADE 为直角三角形，共有4个直角三角形．故选：C ．6. 一个正比例函数图象经过点()2,A m 和点(),6B n −，若点A 与点B 关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）A. 3y x =B. 3y x =−C. 13y x =D. 13y x =− 【答案】A【解析】【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出,A B 的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．【详解】解：∵点A 与点B 关于原点对称，∴6,2m n ==−，∴()2,6A ，()2,6B −−， 设正比例函数的解析式为：()0y kx k =≠，把()2,6A 代入，得：3k =， ∴3y x =；故选A ．7. 如图，正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，AF 与DC 交于点H ，若6AB =，2CE =，则DH 的长为（ ）的A. 2B. 3C. 52D. 83【答案】B【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明ADH FGH ∽△△，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD ，6AB =，∴6AB AD CD ===，∵正方形CEFG ，2CE =，∴2CE GF CG ===，∴4DG CD CG =−=，由题意得AD GF ∥，∴ADH FGH ∽△△， ∴AD DH GF GH=，即624DH DH =−， 解得3DH =，故选：B ．8. 已知一个二次函数2y ax bx c ++的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表， x …4− 2− 0 3 5 …y … 24− 8− 0 3− 15− …则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）A. 图象的开口向上B. 当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大C. 图象经过第二、三、四象限D. 图象对称轴是直线1x =【答案】D【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 的【详解】解：由题意得4280933a b c c a b c −+=− = ++=− ，解得102a c b =− = =，∴二次函数的解析式为()22211y x x x =−+=−−+，∵10a =−<，∴图象的开口向下，故选项A 不符合题意；图象的对称轴是直线1x =，故选项D 符合题意；当01x <<时，y 的值随x 的值增大而增大，当1x >时，y 的值随x 的值增大而减小，故选项B 不符合题意；∵顶点坐标为()1,1且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C 不符合题意；故选：D ． 第二部分（非选择题 共96分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9. 分解因式：2a ab −=_______________．【答案】a （a ﹣b ）．【解析】【详解】解：2a ab −=a （a ﹣b ）． 故答案为a （a ﹣b ）．【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．10. 小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，2−，1−，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可）【答案】0【解析】【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．【详解】解：由题意，填写如下：()()10102020++−=++−=，，满足题意；故答案为：0．11. 如图，BC 是O 的弦，连接OB ，OC ，A ∠是 BC所对的圆周角，则A ∠与OBC ∠的和的度数是________．【答案】90°##90度【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得2BOC A ∠=∠，结合三角形内角和定理，可证明2180A OBC OCB ∠+∠+∠=°，再根据等腰三角形的性质可知OBC OCB ∠=∠，由此即得答案．【详解】A ∠是 BC所对的圆周角，BOC ∠是 BC 所对的圆心角， 2BOC A ∴∠=∠，180BOC OBC OCB ∠+∠+∠=° ，2180A OBC OCB ∴∠+∠+∠=°，OB OC = ，OBC OCB ∴∠=∠，2180A OBC OBC ∴∠+∠+∠=°，22180A OBC ∴∠+∠=°，90A OBC ∴∠+∠=°．故答案为：90°．12. 已知点()12,A y −和点()2,B m y 均在反比例函数5y x=−的图象上，若01m <<，则12y y +________0． 【答案】<##小于【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出152y =，25y m =−，再根据01m <<，得出25y <−，最后求出120y y +<即可．【详解】解：∵点()12,A y −和点()2,B m y 均在反比例函数5y x =−的图象上， ∴152y =，25y m=−， ∵01m <<，∴25y <−，∴120y y +<．故答案为：<．13. 如图，在ABC 中，AB AC =，E 是边AB 上一点，连接CE ，在BC 右侧作BF AC ∥，且BF AE =，连接CF ．若13AC =，10BC =，则四边形EBFC 的面积为________．【答案】60【解析】【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C 作C M A B ⊥，CN BF ⊥，根据等边对等角结合平行线的性质，推出ABC CBF ∠=∠，进而得到CM CN =，得到CBF ACE S S = ，进而得到四边形EBFC 的面积等于ABC S ，设AM x =，勾股定理求出CM 的长，再利用面积公式求出ABC 的面积即可．【详解】解：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BF AC ∥，∴ACB CBF ∠=∠，∴ABC CBF ∠=∠，∴BC 平分ABF ∠，过点C 作C M A B ⊥，CN BF ⊥，则：CM CN =， ∵11,22ACE CBF S AE CM S BF CN =⋅=⋅ ，且BF AE =， ∴CBF ACE S S = ，∴四边形EBFC 面积CBF CBE ACE CBE CBA S S S S S =+=+= ，∵13AC =，∴13AB =，设AM x =，则：13BM x =−，由勾股定理，得：22222CM AC AM BC BM =−=−，∴()2222131013x x −=−−， 解：11913x =，∴12013CM =， ∴1602CBA S AC CM ⋅ ， ∴四边形EBFC 的面积为60．故答案为：60．三、解答题（共13小题，计81分。
2024年江苏省徐州市邳州市九年级数学中考第二次质量检测试题(含答案)
2024年九年级第二次质量检测数学试题注意事项1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟．2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置．3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，只交答题卡．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．2024的倒数是（ ）A．B ．C ．2024D ．2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知a ，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（）A ．B ．C ．D ．5．某校组织学生体育锻炼．小明记录了他一周参加锻炼的时间，并绘制了如图所示的统计图．下列数据正确的是（）A ．平均数为70B ．众数为75C ．中位数为70D ．方差为06．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（）A ．B ．C ．D ．1202412024-2024-2242a a a +=()222424aba b -=63222a a a ÷=()329a a =0ab +<0b a ->0ab >a b<()221y x =-+()22y x =-()212y x =-+()242y x =-+22y x =+7．在菱形ABCD 中，于点E ，于点F ，连结EF ．若，则的度数为（）A ．55°B ．57.5°C ．60°D ．62.5°8．如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线BD 、CE ，它们交于点M ．以点A 为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若AE 的长为2，则面积的最小值是（）A ．4B ．8C ．D 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．49的平方根是______．10．芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为______．11有意义，则实数x 的取值范围是______．12．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是______°．13．蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是______．AE BC ⊥AF CD ⊥55B ∠=︒AEF ∠ABC △ADE △12AD AB =ADE △MBC △2AB CD ∥22E ∠=︒114DCE ∠=︒BAE ∠14．关于x 的方程有实数根，则k 的取值范围为______．15．若圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长是______．16．如图，AD 是⊙O 的直径，弦BC 交AD 于点E ，连接AB ，AC ，若，则的度数是______°．17．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在BC上，且，反比例函数的图象经过点D 及矩形OABC 的对称中心M ，顺次连接点D 、O 、M ．若的面积为4，则k 的值为______．18．如图，在矩形ABCD 中，，，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，，将沿EF 翻折得，连接，当______时，是以AE 为腰的等腰三角形．三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题10分）计算：（1）；（2）．20．（本题10分）（1）解方程：；（2）解不等式组：21．（本题7分）某数学社团以“舌尖上的徐州—我最喜爱的徐州小吃”为主题对所在学校的学生进行随机调查，并给出四种选择（每人只能从中选择且只能选择一种）“A ：徐州把子肉”“B ：徐州菜煎饼”“C ：徐州胡230x x k -+=30BAD ∠=︒ACB ∠14CD CB =()0ky k x=>DOM △6AB =8AD =EF AE ⊥ECF △EC F '△AC 'BE =AEC '△()22024114-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭2214411a a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭322112x x x=---()324;211.3x x x x ⎧--≥-⎪⎨+>-⎪⎩辣汤”“D ：八股油条”．该社团将调查得到的数据整理后，绘制成以下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解决下列问题：（1）样本容量为______；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中D 对应圆心角的度数为______；（4）若该校共有1300名学生，请估计喜欢“C ：徐州胡辣汤”的学生大约有多少人．22．（本题7分）“二十四节气”是中国古代用来指导农事的历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，他们准备了印有“A ：立春”“B ：夏至”“C ：立秋”“D ：冬至”四张节气图案的卡片，这些卡片除图案外无其他差别．两人将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A ：立春”的概率是______；（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C ：立秋”的概率．23．（本题8分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？24．（本题8分）如图，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上．在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使．（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若，，求AB 的长．25．（本题8分）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为DE 的观景台，已知，，点E 、C 、A 在同一水平线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45°，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27°，求塔AB 的高度（精确到1m ）．BCD A ∠=∠AC CD =2BD =6m CD =30DCE ∠=︒（参考数据：，，，）26．（本题8分）如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图1的BC 边上作点P ，使；（2）在图2的BC 边上作点P ，使．27．（本题10分）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是______．[探究思考]如图2，已知D 、E 、F 分别是三边的三等分点，且，依次连接DE 、EF 、FD ，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由．[发现结论]如图3，已知D 、E、F 分别是三边的n 等分点，且，依次连接DE 、EF 、FD ，则与的面积比是______．28．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴分别交于点O 、A ，顶点为B ，连接OB 、AB ．点D 在线段OA 上，作射线BD ，过点A 作射线BD ，垂足为点E ，以点A 为旋转中心把AE 按逆时针方向旋转60°到AF ，连接EF ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）随着点D 在线段OA 上运动．①连接OF ，的大小是否发生变化？请说明理由；sin 270.454︒≈cos 270.891︒≈tan 270.509︒≈ 1.414≈ 1.732≈ABCD BAP BPA ∠=∠PC PD AD +=ABC △13AD BE CF AB BC CA ===DEF △ABC △ABC △1AD BE CF AB BC CA n===DEF △ABC △2y x =+AE ⊥OFE ∠②延长FE 交OB 于点P ，线段PF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）连接DF ，当点F 在该抛物线的对称轴上时，的面积为______．2024年九年级第二次质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共24分）题号12345678选项ACBBCDDA二、填空题（每小题3分，共30分）9． 10． 11． 12．92 13．6 14． 15．9 16．6017．18．或三、解答题（共86分）19．（1）原式（3分）．（2）原式（9分）．20．（1）方程两边同乘，得．解这个一元一次方程，得．检验：当时，，是原方程的解．（2）解不等式①，得．（7分）解不等式②，得．∴原不等式组的解集为．21．（1）50（2）见下图DEF △7±81.410-⨯5x ≥94k ≤16383741216=-+15=()()21212a a a a a ++=⋅++2aa =+()21x -()2213x x =-+13x =-13x =-210x -≠13x =-1x ≤4x <1x ≤（3）36°（4），即该校喜欢“C ：徐州胡辣汤”的学生人数约为520人．22．（1）．（2）（画树状图参照给分）共有12种等可能的结果，其中“两人都没有抽到C ：立秋”的情况有6种．∴P （两人都没抽到立秋）．23．解：设该矩形田地长为x 步．依题得：．解得，．宽为：．答：矩形田地长为36步，宽为24步．24．（1）如图，连接OC ，在⊙O 中，∵，∴．∵．∴．∵AB 是⊙O 的直径，∴，∴，∴，即，∴．∵点C 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴．20130052050⨯=1461122==()12864x x -=136x =124x =-1224x -=OA OC =A ACO ∠=∠BCD A ∠=∠ACO BCD ∠=∠90ACB ∠=︒90ACO OCB ∠+∠=︒90BCD OCB ∠+∠=︒90OCD ∠=︒OC CD ⊥AC CD =A D ∠=∠ACO BCD ∠=∠ACO DCB ≌△△2AO BD ==24AB AO ==25．过点D 作，垂足为F ．由题意得：，则在中，∵，∴．在中，∵，∴．设AB 为h ，在中，∵，∴．∴．∴，∴，，∴．在中，∵，∴∴，解得：；∴．答：塔AB 的高度约为11m ．26．（1）（本题解法不唯一，其他解法参照给分）（2）（本题解法不唯一，其他解法参照给分）27．（1）1∶4．（2）与的面积比是定值．DF AB ⊥DE EC ⊥90DEC ∠=︒Rt DEC △sin DEDCE DC ∠=sin sin 3063DE DCE DC =∠⋅=︒⨯=Rt DEC △cos CEDCE DC∠=cos cos306CE DCE DC =∠⋅=︒⨯=Rt ABC △45ACB ∠=︒45ABC ∠=︒AC AB h ==()AE EC AC h =+=+DF EA h ==+3DE FA ==3BF AB AF h =-=-Rt BDF △tan BFBDF DF∠=()()tan tan 2730.5BF BDF DF h h =∠⋅=︒⨯-=()30.5h h ⋅-=+611h =+≈11m AB =DEF △ABC △如图，过点C 作，过点F 作，则，过点C 作，垂足为点G ，与交于点H ．可得，，∴，∴，．，∴．同理得：．∴，∴，∴．（3）．28．（1）当时，，解得，，则点A 的坐标为．对，配方得，则点B 的坐标为．（2）①的大小不发生变化．∵点B 的坐标为，∴，依抛物线的对称性可得．∴为正三角形．，同理得．∵，，∴，∴．∵，∴，∴．∵，且，∴为正三角形，∴．∴．②线段PF 的长度是否存在最大值，最大值为4．如图，过点B 作与FE 的延长线交于点Q ．则，∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴，又∵，1lAB ∥2l AB ∥12l l ∥CG AB ⊥2l CHFCGA △△∽13CH CFCG CA ==23HG CG =23HG CG=1212332192ADFABCAB CG AD HGS S AB CG AB CG ⋅⋅===⋅⋅△△29ADF ABC S S =△△29BDE CEF ABC S S S ==△△△6293ADF BDE CEF ABC ABC S S S S S ++==△△△△△13DEF ABC S S =△△13DEF ABC S S =△△2233n n n -+0y =20x +=10x =24x =()4,02y x =+)22y x =-+(2,OEF ∠(2,4OB ==4AB OB ==ABO△60BAE BAO EAO EAO ∠=∠-∠=︒-∠60OAF EAO ∠=︒-∠AB AO =AE AF =()SAS ABE AOF ≌△△AFO AEB ∠=∠AE BD ⊥90AEB ∠=︒90AFO ∠=︒AE AF =60EAF ∠=︒AEF △60EFA ∠=︒906030OFE AFO EFA ∠=∠-∠=︒-︒=︒BQ FO ∥30Q EFO ∠=∠=︒90BEQ AEF ∠+∠=︒60AEF ∠=︒30BEQ ∠=︒Q BEQ ∠=∠BE BQ =ABE AOF ≌△△BE OF =BQ OF =BPQ OPF ∠=∠∴，∴，∴点P 为OB 中点．取OA 中点M ，连接PM ，MF ，则，∴PF 的最大值为4．（3）．注：以上答案仅供参考，如有其他解法请参照给分．PBQ EOF ≌△△OP BP =1122422PF PM MF AB OA ≤+=+=+=4-。
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中考数学复杂解答题
1．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，
得到△A 1B 1C ．
(1)如图1，当AB ∥CB 1时，设A 1B 1与BC 相交于点D ．证明：△A 1CD 是等边三角形；
(2)如图2，连接AA 1、BB 1，设△ACA 1和△BCB 1的面积分别为S 1、S 2．求证：S 1∶S 2＝1∶3；
(3)如图3，设AC 的中点为E ，A 1B 1的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ．当θ＝ °时，EP 的长度最大，最大值为 ．
2. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。
（1）在图1中证明CE CF =；
（2）若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若120ABC ∠=︒，FG ∥CE ，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数。
A A 1 A C
C
C
A 1
A 1 A D
1B
B
B
B 1
B 1
E P
图1
图2
图3
θ
θ
θ
E A C B
3.已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
4.在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B
作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3．
（1）求⊙O的半径；
（2）若DE=，求四边形ACEB的周长．
5.如图9,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
；（直接写结果）
（1）当△APC与△PBD的面积之生取最小值时，AP=
___________
（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图10，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
6.己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA
（2）求证：P处线段AF的中点
（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．
7.如图1至图4中，两平行线AB 、CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点． 思考
如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB ，CD 之间（包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．
当α= 90 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 2 ． 探究一
在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 30 度，此时点N 到CD 的距离是 2 ． 探究二
将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转． （1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值； （2）如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围． （参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）
8.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每
投入x 万元，可获得利润()2
16041100
P x =-
-+（万元）
．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润()()2
992941001001601005
Q x x =-
-+-+（万元） ⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？
9.如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．
第23题图2
图1
Y
X C
B
C
A A
10.如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC的中点，规定：λA=．特别地，当点D、E重合时，规定：λA=0．另外，对λB、λC作类似的规定．
（1）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求λA、λC；
（2）在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且λA=2，面积也为2；
（3）判断下列三个命题的真假（真命题打“√”，假命题打“×”）：
①若△ABC中λA＜1，则△ABC为锐角三角形；
②若△ABC中λA=1，则△ABC为锐角三角形；
③若△ABC中λA＞1，则△ABC为钝角三角形．．。