空间向量与立体几何知识点(改后)

立体几何空间向量知识点总结

一、共面向量

1、定义

平行于同一平面的向量叫做共面向量．

2、共面向量定理

若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y,使得p=xa yb

+。

3、空间平面的表达式

空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在有序实数对x、y使=+或对空间任一定点O,有或MP xMA yMB

=++（其中1

OP xOA yOB zOM

++=）这几个式子是M,A,B,P四点共

x y z

面的充要条件．

二、空间向量基本定理

1、定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa yb

+zc

+

2、注意以下问题

（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．

（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念．

由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面。那么所有空间向量所组成的集合就是{}|,,,p p xa yb zc x y z R =++∈,这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{},,a b c 称为空间的一个基底。a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．

三、直线方向向量与平面法向量

1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，

l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．

2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．

若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，

l ⊥α⇔u //v

四、平面法向量的求法

若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，

然后用待定系数法求解，一般步骤如下： 1、设出平面的法向量为(,,)n x y z =．

2、找出（求出）平面的两个不共线的向量的坐标

111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==

3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组0

0n a n b ⎧⋅=⎪⎨

⋅=⎪

⎩

4、解方程组，取其中一个解，即得法向量

五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系 （一）用向量方法证明空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． 1、线线平行

设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1// l 2，只需证明

a //

b ，即()a kb k R =∈

2、线面平行

（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明

//l α，只需证明⊥a n ，即0⋅=a n .

（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．

（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面两个不共线向量线性表示即可． 3、面面平行

（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．

（2）若能求出平面α、β的法向量u 、v ，则要证明α//β，只需证明u // v

（二）用向量方法证明空间中的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． 1、线线垂直

设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1⊥ l 2，只需证明a ⊥b ，即0a b ⋅= 2、线面垂直

（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证l ⊥α，只需证明a // u

（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面的两条相交直线垂直． 3、面面垂直

（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．

（2）证明两个平面的法向量互相垂直． 六、用向量方法求空间的角 （一）两条异面直线所成的角

1、定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线

////,//a a b b ，则/a 与/b 所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．

2、围：两异面直线所成角θ的取值围是

02π

θ<≤

3、向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为ϕ，则

有cos |cos |a b a b

θϕ⋅==

⋅

4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （二）直线与平面所成的角

1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面的射影所成的角．

2、围：直线和平面所成角θ的取值围是

02π

θ≤≤

3、向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则有

sin |cos |cos sin a u a u

θϕθϕ

⋅==

=⋅或

（三）二面角

1、二面角的取值围：[0,]π

2、二面角的向量求法

（1）若AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角（如图（a ）所示）．

（2）设1n 、2n 是二面角l αβ--的两个角α、β的法向量，则向量

1n 与2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b ）

所示）．