弦对定点张直角的性质及其应用
弦张角为直角的一组性质
例1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两点(A、B 不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．.变式：已知双曲线22221x y -=的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若12PF PF +=.（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点M （0，1），过点N （0，13-）作直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，判断AMB ∠的大小是否为定值？并证明你的结论.例2、如图1，已知A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，且0AC BC ⋅= ，2BC AC = 。
（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q 使直线CP 、CQ与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形， 是否总存在实数λ使PQ AB λ=？请给出证明。
参考解答例1、[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1得， (3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0即3＋4k 2－m 2>0x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2， 又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，∴k AD k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1. ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0.所以，直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫27，0. 变式：（Ⅰ）解：依题意双曲线方程可化为1212122=-y x 则221=F F∴12PF PF +=>221=F F∴点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆，其方程可设为22221(0)x y a b a b+=>>∴由22a c ==得1a c ==2211b ∴=-=则所求椭圆方程为2212x y +=， 故动点P 的轨迹E 的方程为2212x y +=；………………3分 （Ⅱ）当l 与y 轴重合时，构不成角AMB ，不合题意． 当l y ⊥轴时，直线l 的方程为13y =-，代入2212x y +=解得A 、B 的坐标分别为41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭、41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭而43MN =，∴90AMB ∠= ，猜测90AMB ∠= 为定值．………8分 证明：设直线l 的方程为13y kx =-，由 221322y kx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得()2241612039k x kx +--= ∴()1224312k x x k +=+ ，()12216912x x k =-+ ………10分∴()()11221212(,1)(,1)11MA MB x y x y x x y y ⋅=--=+-- 12124433x x kx kx ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21212416(1)()39k k x x x x =+-++ ()()()222164416139912312k k k k k -=+⋅-⋅+++()()()22221611616120912k k k k -+-++==+∴ 90AMB ∠=为定值。
圆锥曲线中的四种经典模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型Last revision on 21 December 2020圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线如何转化题目条件圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
九年级数学知识点总结正弦
九年级数学知识点总结正弦九年级数学知识点总结——正弦在九年级数学学习中，正弦是一个非常重要的知识点。
正弦可以帮助我们在解决与三角函数有关的问题时，更好地理解和计算角度和直角三角形的关系。
本文将对正弦的概念、性质和应用进行总结和讨论。
正弦是一个三角函数，它的定义是一个直角三角形斜边长与斜边与直角边之间的比值。
具体地说，对于一个直角三角形，如果我们将角度A的对边记为a，斜边记为c，那么正弦函数sin A的定义就是sin A = a / c。
通过正弦函数，我们可以根据所给的角度和已知边的长度来计算出其他未知边的长度。
正弦函数具有很多重要的性质和特点。
其中最重要的性质之一是正弦函数的定义域和值域都是实数集合。
正弦函数的定义域是所有实数，而值域是[-1, 1]，这意味着任何一个角度的正弦值都在-1和1之间。
另外，正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π。
这意味着对于任意一个角度A，sin(A + 2π) = sin A。
这对于解决三角函数方程和图像绘制非常有用。
正弦函数在几何和物理中有广泛的应用。
首先，正弦函数可以帮助我们计算三角形中的各种长度和角度。
通过正弦定理和余弦定理，我们可以根据已知边和角的信息，求解出三角形的各个角度和边的长度。
其次，正弦函数在波动和振动问题中也有应用。
我们知道，正弦函数的图像是一个周期性变化的波浪形状，因此可以用来描述声音和光的振动规律。
另外，正弦函数还在三角函数的图像绘制中起着重要的作用。
通过正弦函数的图像，我们可以直观地看到角度和正弦值之间的关系。
正弦函数的图像呈现出一种周期性波动的特点，其最大值和最小值分别对应角度0和180度，而中间值对应角度90度。
因此，我们可以通过观察正弦函数的图像，快速推断出各个角度的正弦值的大小。
了解正弦函数的概念、性质和应用有助于我们更好地理解和运用数学知识。
通过正弦函数，我们可以解决各种与角度和直角三角形有关的问题。
同时，正弦函数还在几何、物理、图像绘制等领域中发挥着重要的作用。
初三数学三角函数的应用与证明
初三数学三角函数的应用与证明三角函数是初中数学中重要的知识点之一，它不仅可以用来描述几何形状和角度的关系，还可以应用于实际问题的解决。
本文将介绍三角函数的应用以及一些常见的三角函数证明。
一、三角函数的应用1. 直角三角形的求解在解决直角三角形问题时，三角函数是必不可少的工具。
以求解一般直角三角形的斜边长度为例，我们可以利用正弦函数来解决。
假设直角三角形的一个锐角为θ，斜边长度为c，对边长为a，邻边长为b，则可以得到以下关系式：sinθ = a/c通过这个关系式，我们可以根据给定的两边长度，求解出未知边的长度。
2. 角度的测量在现实生活中，我们经常需要测量角度，例如测量物体的倾斜角度、测量两条线的夹角等等。
此时，三角函数可以帮助我们快速准确地计算角度。
常用的角度测量函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
例如，在测量物体倾斜的角度时，我们可以通过测量物体底部到地面的垂直高度和物体与水平面的夹角来计算出实际的倾斜角度。
3. 三角函数的图像与性质三角函数的图像可以直观地展示它们的周期性和变化规律。
熟练掌握三角函数的图像可以帮助我们更好地理解与应用。
例如，正弦函数的图像是一个周期为2π 的波形，振幅为 1，可以描述物体在振动过程中的变化规律。
余弦函数的图像与正弦函数相似，但相位不同，可以描述物体在周期性变化中的偏移情况。
正切函数的图像是由一系列无穷多的正弦函数组成，可以表示一条无限接近于水平的直线。
二、三角函数的证明1. π/4 的正弦值的证明我们可以通过简单的几何构造证明π/4 的正弦值为√2 / 2。
首先，画一个边长为 1 的正方形，然后将其对角线延伸至边界上的点，形成一个以正方形边长为斜边的直角三角形。
根据勾股定理，设直角边为 x，则斜边为√(x^2 + x^2) = √2x。
根据三角函数的定义，正弦函数为对边与斜边的比值，即sin(π/4) = x / √2x = 1 / √2。
由于√2 / 2 = 1 / √2，因此得证sin(π/4) = √2 / 2。
三角函数的性质与应用
三角函数的性质与应用三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括几何、物理、工程等。
本文将介绍三角函数的一些基本性质，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、正弦函数的性质与应用正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它的定义域是实数集合，值域在[-1,1]之间。
正弦函数的一个重要性质是周期性，即sin(x+2π)=sin(x)，其中π是圆周率。
这个周期性质使得正弦函数在周期性变化的问题中得到广泛应用。
在几何学中，正弦函数常用于计算三角形的边长和角度。
例如，已知一个直角三角形的角度为θ，边长分别为a和b，根据正弦函数的定义可以得到：sin(θ) = a/ c，其中c为斜边的长度。
通过已知的角度和任意两个边长，我们可以使用正弦函数求解未知边长。
此外，在物理学中，正弦函数也被广泛应用于描述周期性运动。
例如，一个挂在弹簧上的质点的运动可以用正弦函数表示。
振幅、频率和初相位都可以通过正弦函数的性质进行分析和计算。
二、余弦函数的性质与应用余弦函数是三角函数中的另一个重要函数，和正弦函数类似，它的定义域是实数集合，值域也在[-1,1]之间。
余弦函数也具有周期性，即cos(x+2π)=cos(x)。
在几何学中，余弦函数常用于计算三角形的边长和角度。
例如，已知一个锐角三角形的角度为θ，边长分别为a和c，根据余弦函数的定义可以得到：cos(θ) = a/ c，其中c为斜边的长度。
通过已知的角度和两个边长，我们可以使用余弦函数求解未知边长。
在物理学中，余弦函数也被广泛应用于描述振动和波动。
例如，一个单摆的运动可以用余弦函数表示。
摆动的振幅、频率和初相位可以通过余弦函数的性质进行计算和分析。
三、正切函数的性质与应用正切函数是三角函数中的另一个重要函数，它的定义域是实数集合，但值域不再是有界的。
正切函数的周期性是π，即tan(x+π)=tan(x)。
在几何学中，正切函数常用于计算三角形的边长和角度。
例如，已知一个锐角三角形的角度为θ，边长分别为a和b，根据正切函数的定义可以得到：tan(θ) = a/ b。
圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个定值性质
圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个定值性质刘才华(山东省泰安市宁阳第一中学ꎬ山东泰安２７１４００)摘㊀要:文章通过对一道模拟试题的探究ꎬ得到一个圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个定值性质.关键词:抛物线ꎻ椭圆ꎻ双曲线ꎻ直角ꎻ定值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００９５－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:刘才华ꎬ山东省泰安人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀已知抛物线Ｃ的方程为ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)ꎬ焦点为Ｆ.已知点Ｐ在Ｃ上ꎬ且点Ｐ到点Ｆ的距离比它到ｙ轴的距离大１.(１)试求出抛物线Ｃ的方程ꎻ(２)若抛物线Ｃ上存在两动点ＭꎬＮ(ＭꎬＮ在对称轴两侧)ꎬ满足ＯＭʅＯＮ(Ｏ为坐标原点).过点Ｆ作直线交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＢʊＭＮꎬ线段ＭＮ上是否存在定点Ｅꎬ使得｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝４恒成立?若存在ꎬ请求出点Ｅ的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由.这是一道高三年级模拟试题ꎬ我们通过探究ꎬ对试题作进一步的推广ꎬ得到圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个定值性质ꎬ性质的证明需用到如下引理:引理１㊀设直线ｌ与抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬ则ＯＭʅＯＮ(Ｏ为坐标原点)的充要条件是直线ｌ过定点(２ｐꎬ０)[１].引理２㊀设椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的右顶点为Ａꎬ直线ｌ与椭圆交于ＣꎬＤ两点ꎬ则ＡＣʅＡＤ的充要条件是直线ｌ过定点Ｅ(ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ０)[２].引理３㊀设双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａꎬｂ>０)的右顶点为Ａꎬ直线ｌ与双曲线交于ＣꎬＤ两点ꎬ双曲线离心率ｅʂ２ꎬ则ＡＣʅＡＤ的充要条件是直线ｌ过定点Ｅ(ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ０).对于抛物线ꎬ我们有如下命题:命题１㊀在抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)中ꎬ直线ｌ与抛物线Ｃ交于两点ＭꎬＮ(ＭꎬＮ在对称轴两侧)ꎬ交ｘ轴于点Ｅꎬ且ＯＭʅＯＮ(Ｏ为坐标原点).过焦点Ｆ作直线ｌ的平行线交抛物线Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ则｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｐ.证明㊀由题意及引理１知直线ＭＮ过定点Ｅ(２ｐꎬ０)ꎬ设过点Ｅ的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋２ｐꎬ交抛物线于Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).由ｘ＝ｍｙ＋２ｐꎬｙ２＝２ｐｘꎬ{得５９ｙ２－２ｐｍｙ－４ｐ２＝０.则ｙ１ｙ２＝－４ｐ２.从而｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜＝１＋ｍ２｜ｙ１｜ １＋ｍ２｜ｙ２｜＝(１＋ｍ２)｜ｙ１ｙ２｜＝４(１＋ｍ２)ｐ２.过Ｆ(ｐ２ꎬ０)的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋ｐ２ꎬ交抛物线于Ａ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬＢ(ｘ４ꎬｙ４).由ｘ＝ｍｙ＋ｐ２ꎬｙ２＝２ｐｘꎬìîíïïï得ｙ２－２ｐｍｙ－ｐ２＝０.则ｙ３＋ｙ４＝２ｐｍꎬｙ３ｙ４＝－ｐ２.进而｜ＡＢ｜＝１＋ｍ２｜ｙ４－ｙ３｜＝(１＋ｍ２)[(ｙ３＋ｙ４)２－４ｙ３ｙ４]＝２ｐ(１＋ｍ２).所以｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝４(１＋ｍ２)ｐ２２ｐ(１＋ｍ２)＝２ｐ.命题１得证.对于椭圆ꎬ我们有如下命题:命题２㊀在椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)中ꎬ直线ｌ交椭圆Ｃ于两点ＭꎬＮ(ＭꎬＮ在对称轴两侧)ꎬ交ｘ轴于点Ｅꎬ满足ＯＭʅＯＮ(Ｏ为坐标原点).过右焦点Ｆ作直线ｌ的平行线交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ椭圆的离心率为ｅꎬ椭圆的焦点到相应准线的距离为ｐꎬ则｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｅｐ(２－ｅ２)２.证明㊀由题意及引理２知直线ＭＮ过定点Ｅ(ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ０)ꎬ设过点Ｅ的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ交椭圆于Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)[３].由ｘ＝ｍｙ＋ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬìîíïïïï消去ｘꎬ得(ａ２＋ｂ２)２(ｂ２ｍ２＋ａ２)ｙ２＋２ｍａｂ２(ａ４－ｂ４)ｙ－４ａ４ｂ４＝０.则ｙ１ｙ２＝－４ａ４ｂ４(ｂ２ｍ２＋ａ２)(ａ２＋ｂ２)２ꎬ｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜＝１＋ｍ２｜ｙ１｜ １＋ｍ２｜ｙ２｜＝４ａ４ｂ４(１＋ｍ２)(ｂ２ｍ２＋ａ２)(ａ２＋ｂ２)２.过点Ｆ(ｃꎬ０)的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋ｃꎬ交椭圆于Ａ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬＢ(ｘ４ꎬｙ４).由ｘ＝ｍｙ＋ｃꎬｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬìîíïïï消去ｘꎬ得(ｂ２ｍ２＋ａ２)ｙ２＋２ｃｍｂ２ｙ－ｂ４＝０.则ｙ３＋ｙ４＝－２ｃｍｂ２ｂ２ｍ２＋ａ２ꎬｙ３ｙ４＝－ｂ４ｂ２ｍ２＋ａ２.进而｜ＡＢ｜＝１＋ｍ２｜ｙ４－ｙ３｜＝(１＋ｍ２)[(ｙ３＋ｙ４)２－４ｙ３ｙ４]＝２ａｂ２(１＋ｍ２)ｂ２ｍ２＋ａ２.所以｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝４ａ４ｂ４(１＋ｍ２)(ｂ２ｍ２＋ａ２)(ａ２＋ｂ２)２ｂ２ｍ２＋ａ２２ａｂ２(１＋ｍ２)＝２ａ３ｂ２(ａ２＋ｂ２)２.由ｐ＝ｂ２ｃꎬｅ＝ｃａꎬìîíïïïï得ａ＝ｅｐ１－ｅ２ꎬｂ２＝ｅ２ｐ２１－ｅ２.ìîíïïïï６９于是｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｅｐ(２－ｅ２)２ꎬ命题２得证.对于双曲线ꎬ我们有如下命题:命题３㊀在双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａꎬｂ>０)中ꎬ直线ｌ交双曲线Ｃ于两点ＭꎬＮ(ＭꎬＮ在对称轴两侧)ꎬ交ｘ轴于点Ｅꎬ满足ＯＭʅＯＮ(Ｏ为坐标原点).过右焦点Ｆ作直线ｌ的平行线交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ双曲线的离心率为ｅ且ｅʂ２ꎬ双曲线的焦点到相应准线的距离为ｐꎬ则｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｅｐ(２－ｅ２)２.证明㊀由题意及引理３知直线ＭＮ过定点Ｅ(ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ０)ꎬ设过点Ｅ的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ交双曲线于Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)[４].由ｘ＝ｍｙ＋ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ꎬìîíïïïï消去ｘꎬ得(ａ２＋ｂ２)２(ｂ２ｍ２－ａ２)ｙ２＋２ｍａｂ２(ａ４－ｂ４)ｙ－４ａ４ｂ４＝０.则ｙ１ｙ２＝－４ａ４ｂ４(ｂ２ｍ２－ａ２)(ａ２＋ｂ２)２ꎬ｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜＝(１＋ｍ２｜ｙ１｜) (１＋ｍ２｜ｙ２｜)＝４ａ４ｂ４(１＋ｍ２)｜ｂ２ｍ２－ａ２｜(ａ２＋ｂ２)２.过点Ｆ(ｃꎬ０)的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋ｃꎬ交双曲线于Ａ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬＢ(ｘ４ꎬｙ４).由ｘ＝ｍｙ＋ｃꎬｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ꎬìîíïïï消去ｘꎬ得(ｂ２ｍ２－ａ２)ｙ２＋２ｃｍｂ２ｙ＋ｂ４＝０.则ｙ３＋ｙ４＝－２ｃｍｂ２ｂ２ｍ２－ａ２ꎬｙ３ｙ４＝ｂ４ｂ２ｍ２－ａ２.进而｜ＡＢ｜＝１＋ｍ２｜ｙ４－ｙ３｜＝(１＋ｍ２)[(ｙ３＋ｙ４)２－４ｙ３ｙ４]＝２ａｂ２(１＋ｍ２)｜ｂ２ｍ２－ａ２｜.所以｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝４ａ４ｂ４(１＋ｍ２)｜ｂ２ｍ２－ａ２｜(ａ２＋ｂ２)２.｜ｂ２ｍ２－ａ２｜２ａｂ２(１＋ｍ２)＝２ａ３ｂ２(ａ２＋ｂ２)２.由ｐ＝ｂ２ｃꎬｅ＝ｃａꎬìîíïïïï得ａ＝ｅｐｅ２－１ꎬｂ２＝ｅ２ｐ２ｅ２－１.ìîíïïïï于是｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｅｐ(２－ｅ２)２ꎬ命题３得证.注㊀注意到抛物线的离心率ｅ＝１ꎬ对于命题１也具有｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｅｐ(２－ｅ２)２的形式ꎬ所以上述三个命题是圆锥曲线的一个统一的定值性质.参考文献:[１]张必平.弦对定点张直角的性质及其应用[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２００５(０１):２４－２５.[２]解永良.圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２００５(１２):２８－２９.[３]潘神龙.圆锥曲线对定点张直角弦的几何性质再探[Ｊ].数学通报ꎬ２０１６ꎬ５５(１１):５９－６３.[４]张青山.用圆锥曲线的光学性质来探究圆曲线对定点张直角的弦问题[Ｊ].数学通报ꎬ２０１６ꎬ５５(０１):５７－５８.[责任编辑:李㊀璟]７９。
2024年中考数学重难点押题预测：隐圆问题(解析版)
隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：(1)定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；(2)定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。
当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。
(3)四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。
隐圆常与线段最值结合考查。
类型1：定点定长1(2023•新城区校级三模)圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB=70°，则∠ACB= 35° ．如图，RtΔABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．(2)已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．【分析】(1)利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．(2)根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．(3)因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】(1)以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，，∵∠AOB =70°，∴∠ACB =35°，故答案为35°．(2)连接PB ，PE ，如图，Rt ΔABC 中，∠ABC =90°，∠BCA =30°，AB =2．∴AC =4，∠BAC =60°，BC =23．∵P 为Rt ΔABC 斜边AC 中点，∴BP =12AC =2，线段AC 平移到DF 之后，AB =AD =PE =2，BP =AE =2，∴四边形ABPE 为菱形，∵∠BAC =60°，∴∠BEA =30°，∵CF ⎳BD ，且∠ABC =90°，∴四边形BDFC 为直角梯形，∴S =12(BD +CF )×BC =12×6×23=63，(3)如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足∠BQA =45°且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与⊙O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH ⊥AD 于H ，则∠AHO =∠OHG =∠DQG =90°，∠OAH =45°，∠GDQ =30°，∵∠ABC =90°，∠BCA =30°，AB =2，∴BC =23，OA =OB =OQ =2，∴AH =OH =1，HG =33，OG =233，∴GQ =2-233，DG =2GQ =22-433，∴AD =AH +HG +GD =1+33+22-433=1+22-3，∴a =1+22-3，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：S =12×(BF +AD )×AB =12×(23+1+22-3+1+22-3)×2=42+2．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2(2024•兰州模拟)综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ΔABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 为平面内一点(点A ，B ，D 三点不共线)，AE 为ΔABD 的中线．【初步尝试】(1)如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM =AC ；②∠MDA +∠DAB =180°；【类比探究】(2)如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AE =12CF ，请你帮他证明；【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动(AD >AB )，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若AB =4，请直接写出BG 的最大值．【分析】(1)利用SAS 证明ΔABE ≅ΔMDE ，可得AB =DM ，再结合AB =AC ，即可证得DM =AC ；由全等三角形性质可得∠BAE =∠DME ，再运用平行线的判定和性质即可证得∠MDA +∠DAB =180°；(2)延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．利用SAS 证得ΔACF ≅ΔDMA ，可得CF =AM ，再由AE =12AM ，可证得AE =12CF ；(3)延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得ΔACF ≅ΔABM (SAS )，利用三角形中位线定理可得AE ⎳BM ，即AG ⎳BM ，利用直角三角形性质可得GP =12AC =12AB =2，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的⊙P 上运动，连接BP 并延长交⊙P 于G ′，可得BG ′的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】(1)证明：①∵AE 为ΔABD 的中线，∴BE =DE ，在ΔABE 和ΔMDE 中，BE =DE∠AEB =∠MED AE =ME，∴ΔABE ≅ΔMDE (SAS )，∴AB =DM ，∵AB =AC ，∴DM =AC ；②由①知ΔABE ≅ΔMDE ，∴∠BAE =∠DME ，∴AB ⎳DM ，∴∠MDA +∠DAB =180°；(2)证明：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∵∠BAC =90°，∠DAF +∠BAC +∠BAD +∠CAF =360°，∴∠BAD +∠CAF =180°，由(1)②得：∠MDA +∠DAB =180°，DM =AB =AC ，∴∠CAF =∠MDA ，在ΔACF 和ΔDMA 中，AF =AD∠CAF =∠MDA AC =DM，∴ΔACF ≅ΔDMA (SAS )，∴CF =AM ，∵AE =12AM ，∴AE =12CF ；(3)如图3，延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∴AF =AM ，∠MAF =180°-90°=90°，∵∠BAC =90°，∴∠MAF +∠CAM =∠BAC +∠CAM ，即∠CAF =∠BAM ，在ΔACF 和ΔABM 中，AC =AB∠CAF =∠BAM AF =AM，∴ΔACF ≅ΔABM (SAS )，∴∠AFC =∠AMB ，即∠AFN =∠KMN ，∵∠ANF =∠KNM ，∴∠FAN =∠MKN =90°，∴BM ⊥CF ，∵E 、A 分别是DB 、DM 的中点，∴AE 是ΔBDM 的中位线，∴AE ⎳BM ，即AG ⎳BM ，∴AG ⊥CF ，∴∠AGC =90°，∵点P 是AC 的中点，∴GP =12AC =12AB =2，∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，∴BG′的长为BG的最大值，在RtΔABP中，BP=AB2+AP2=42+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值为25+2．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3(2022•番禺区二模)已知抛物线y=ax2+bx-32(a>0)与x轴交于点A，B两点，OA<OB，AB=4．其顶点C的横坐标为-1．(1)求该抛物线的解析式；(2)设点D在抛物线第一象限的图象上，DE⊥AC垂足为E，DF⎳y轴交直线AC于点F，当ΔDEF面积等于4时，求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，FM⊥FN交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长．【分析】(1)利用对称性，求得A和B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)证明ΔCGA和ΔDEF都为等腰直角三角形，利用等面积法求得DF=4，再求得直线AC的解析式为y =x-1，设点D的坐标，得到点F的坐标，然后求解即可；(3)先求得∠BDF=45°，推出点P的运动路径时H1N1的中点绕点F逆时针旋转90°得到N2H的中点之间的弧长，证明四边形DN2FE为正方形，即可求解．【解答】解：(1)∵点A，点B两点关于直线x=-1对称，AB=4，∴A(1,0)，B(-3,0)，代入y=ax2+bx-32得，a+b-32=09a-3b-32=0，解得：a=12b=1，∴抛物线的解析式为y=12x2+x-32．(2)如图1所示：∵DF⎳y轴⎳GC，∴∠GCA=∠DFE，∵抛物线的解析式为y=12x2+x-32=12(x+1)2-2，∴顶点C(-1,-2)，∵A(1,0)，∴AG=2，CG=2，∴ΔCGA为等腰直角三角形，∴∠GCA=∠DFE=45°，∵DE⊥AC，∴ΔDEF为等腰直角三角形，∴DE=EF，DF=2DE，∵SΔDEF=12DE⋅EF=4，∴DE=22，∴DF =2×22=4，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则k +b =0-k +b =-2 ，解得：k =1b =-1 ，∴直线AC 的解析式为y =x -1，设点D x ,12x 2+x -32 ，则F (x ,x -1)，∴DF =12x 2+x -32-(x -1)=12x 2-12=4，解得：x =3或x =-3(舍)，∴D (3,6)，F (3,2)．(3)如图2所示，∵ΔNFH 是直角三角形，∴ΔNFH 的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△N 1FH 1，其外心是斜边H 1N 1的中点，当点M 位于点C 时，得△N 2FE ，其外心是斜边N 2H 2的中点，即N 2E 的中点，∵D (3,6)，B (-3,0)，∴tan ∠BDF =3+36=1，∴∠BDF =45°，由(2)得，∠FDE =45°，∴∠DBA =∠BAC =45°，∴BD ⎳AC ，∴FN ⊥BD ，∴DF 平分∠BDE ，∠BDE =90°，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在N 2E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．∵∠DN 2F =∠N 2DH =∠DHF =90°，FN 2=FE ，∴四边形DN 2FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且EP =2；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为P 2，且FP 2=EP 2=2，由题意，BN 2=BD -DN 2=4，BF =210，N 2F =22，FN 2⎳DH 1，∴ΔBFN 2∽△BH 1D ，∴BN 2BD =BF BH 1，解得FH 1=10，∴FP 1=5，由勾股定理可得：P 1P 2=1，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4(2021•红谷滩区校级模拟)(1)学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是ΔABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= 40° ．(2)问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．(3)问题拓展：抛物线y=-14(x-1)2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ⎳BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点D与点B，点Q不重合，求点P的坐标．【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．(2)由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，(3)①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D、C、Q、E共圆，得出∠CQB=∠OED=45°，求出CQ，再求点Q的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30°的角的顶点与点C重合时，Ⅱ、当60°的角的顶点与点C重合时，运用点D、C、Q、E共圆，求出CQ即点P的横坐标，再代入抛物线求出点P的纵坐标，即可求出点P的坐标．【解答】解：(1)∵AB=AC，AD=AC，∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=12∠BAC=40°，(2)如图2，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BDC=25°，∴∠BAC=25°，(3)①如图3∵点B为抛物线y=-14(x-1)2+3的顶点，∴点B的坐标为(1,3)，∵45°角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =45°，∴CQ =BC =3，∴OQ =4，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30°的角的顶点与点C 重合时，∵直角三角板30°角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =60°，∴CQ =33BC =3，∴OQ =1+3，∴把1+3代入y =-14(x -1)2+3得y =94，∴点P 的坐标是1+3，94Ⅱ、如图5，当60°的角的顶点与点C 重合时，∵直角三角板60°角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =30°，∴CQ =3BC =33，∴OQ =1+33，∴把1+33代入y =-14(x -1)2+3得y =-154，∴点P 的坐标是1+33，-154综上所述，点P 的坐标是1+3，94 或1+33，-154 ．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角5(2022•雁塔区校级三模)问题提出(1)如图①，已知ΔABC 为边长为2的等边三角形，则ΔABC 的面积为 3 ；问题探究(2)如图②，在ΔABC 中，已知∠BAC =120°，BC =63，求ΔABC 的最大面积；问题解决(3)如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽AB =20米，长BC =24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角∠AMB =45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】(1)作AD ⊥BC 于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；(2)作ΔABC 的外接圆⊙O ，可知点A 在BC上运动，当A O ⊥BC 时，ΔABC 的面积最大，求出A H 的长，从而得出答案；(3)以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且∠AOB =90°，过O 作HG ⊥AB 于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而⊙O 上存在点M ，满足∠AMB =45°，此时满足条件的有两个点M ，过M 1作M 1F ⊥AB 于F ，作EO ⊥M 1F 于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：(1)作AD ⊥BC 于D ，∵ΔABC 是边长为2的等边三角形，∴BD =1，∴AD =AB 2-BD 2=3，∴ΔABC 的面积为12×2×3=3，故答案为：3；(2)作ΔABC 的外接圆⊙O ，∵∠BAC =120°，BC =63，∴点A 在BC 上运动，当A O ⊥BC 时，ΔABC 的面积最大，∴∠BOA =60°，BH =CH =33，∴OH =3，OB =6，∴A H =OA -OH =6-3=3，∴ΔABC的最大面积为1×63×3=93；2(3)存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB=20米，∴AH=OH=10米，OA=102米，∵BC=24米，∴OG=14米，∵102>14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，∴EF=OH=10米，OM1=102米，∴EM1=14米，∴OE=OM12-M1E2=2米，∴CM1=BF=8米，同理CM2=BH+OE=10+2=12(米)，∴MC的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．6(2023•灞桥区校级模拟)问题提出：(1)如图①，ΔABC为等腰三角形，∠C=120°，AC=BC=8，D 是AB上一点，且CD平分ΔABC的面积，则线段CD的长度为4．问题探究：(2)如图②，ΔABC 中，∠C =120°，AB =10，试分析和判断ΔABC 的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：(3)如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足BC =600米，CD =300米，∠C =60°，∠A =60°，主办方打算过BC 的中点M 点(入口)修建一条径直的通道ME (宽度忽略不计)其中点E (出口)为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由题意可知，CD 是ΔABC 的中线，利用等腰三角形的性质推出CD ⊥AB ，利用三角函数求解即可解决问题；(2)当ΔABC 的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；(3)连接DM ，BD ．首先证明∠BDC =90°，求出BD ，推出ΔBDC 的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ΔABD 的面积最大即可，因为BD 为定值，∠A 为定角=60°，推出当ΔABD 是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出∠MDE =90°，构建方程解决问题即可．【解答】解：(1)如图①，∵CD 平分ΔABC 的面积，∴AD =DB ，∵AC =BC =8，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =12∠ACB =60°，∴CD =AC cos ∠ACD =8cos60°=4，∴CD 的长度为4，故答案为：4；(2)存在．如图②，∵AB =10，∠ACB =120°都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在AB的中点时，ΔABC 的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD ⊥AB ，AD =BD =12AB =5，∠ACD =12∠ACB =60°，∴tan ∠ACD =AD CD ，CD =AD tan60°=533，∴S ΔABC =12AB ⋅CD =2533，答：ΔABC 的面积最大值是2533；(3)存在．如图③，连接DM ，BD ，∵M 是BC 的中点，∴CM =12BC =300，∴CM =CD ，又∵∠C =60°，∴ΔCMD 是等边三角形，∴∠MDC =∠CMD =60°，CM =DM =BM ，∴∠CBD =∠MDB =30°，∴∠BDC =90°，∴BD =CD ⋅tan60°=3003米，在ΔABD 中，BD =3003米，∠A =60°为定值，由(2)可知当AB =AD 时，即ΔABD 为等边三角形时ΔABD 的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(ΔBDC 的面积不变)，S max =S ΔBDC +S ΔBDA =12×300×3003+34(3003)2=1125003；∵ΔABD 是等边三角形，∴∠ADB =60°，∴∠ADM =∠ADB +∠BDM =90°，由S ΔEMD +S ΔCDM =12S max ，得：12DE ×300+34×3002=12×1125003，解得：DE =2253，∴AE =AD -DE =3003-2253=753(米)，答：点A 距出口的距离AE 的长为753米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．7(2023•柯城区校级一模)如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．(1)使∠APB =30°的点P 有无数个；(2)若点P 在y 轴上，且∠APB =30°，求满足条件的点P 的坐标；(3)当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】(1)已知点A 、点B 是定点，要使∠APB =30°，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P 有无数个．(2)结合(1)中的分析可知：当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是(1)中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标；当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标．(3)由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB 最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得∠APB 最大的点P ，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：(1)以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作⊙C ，交y 轴于点P 1、P 2．在优弧AP 1B 上任取一点P ，如图1，则∠APB =12∠ACB =12×60°=30°．∴使∠APB =30°的点P 有无数个．故答案为：无数．(2)①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，如图1．∵点A (1,0)，点B (5,0)，∴OA =1，OB =5．∴AB =4．∵点C 为圆心，CG ⊥AB ，∴AG =BG =12AB =2．∴OG =OA +AG =3．∵ΔABC 是等边三角形，∴AC =BC =AB =4．∴CG =AC 2-AG 2=42-22=23．∴点C 的坐标为(3，23)．过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，连接CP 2，如图1，∵点C 的坐标为(3，23)，∴CD =3，OD =23．∵P 1、P 2是⊙C 与y 轴的交点，∴∠AP 1B =∠AP 2B =30°．∵CP 2=CA =4，CD =3，∴DP 2=42-32=7．∵点C 为圆心，CD ⊥P 1P 2，∴P 1D =P 2D =7．∴P 2(0，23-7)．P 1(0，23+7)．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：P3(0,-23-7)．P 4(0,-23+7)．综上所述：满足条件的点P的坐标有：(0，23-7)、(0，23+7)、(0,-23-7)、(0,-23+7)．(3)当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH=2AE得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四边形OPEH是矩形．∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH=EA2-AH2=32-22=5∴OP=5∴P(0,5)．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P(0,-5)．理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合)，连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是ΔAMN的外角，∴∠ANB>∠AMB．∵∠APB=∠ANB，∴∠APB>∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB>∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为(0,5)和(0,-5)．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆8(2022•中原区校级模拟)阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线(此线常称为西姆松线)．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图(1)，已知ΔABC 内接于⊙O ，点P 在⊙O 上(不与点A ，B ，C 重合)，过点P 分别作AB ，BC ，AC 的垂线，垂足分别为点D ，E ，F ．求证：点D ，E ，F 在同一条直线上．如下是他们的证明过程(不完整):如图(1)，连接PB ，PC ，DE ，EF ，取PC 的中点Q ，连接QE ．QF ，则EQ =FQ =12PC =PQ =CQ ，(依据1)∵点E ，F ，P ，C 四点共圆，∴∠FCP +∠FEP =180°．(依据2)又∵∠ACP +∠ABP =180°，∴∠FEP =∠ABP ．同上可得点B ，D ，P ，E 四点共圆，⋯⋯任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．(2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P 是BC 的中点时，BD =CF ，请你利用图(2)证明该结论的正确性．【分析】(1)利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；(2)利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E ，F ，P ，C 和点B ，D ，P ，E 四点分别共圆，再说明∠FEP +∠DEP =180°，可证明结论；(3)连接PA ，PB ，PC ，利用HL 证明Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF ，从而得出结论．【解答】(1)解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；(2)解：如图(1)，连接PB ，PC ，DE ，EF ，取PC 的中点Q ，连接QE ．QF ，则EQ =FQ =12PC =PQ =CQ ，∴点E ，F ，P ，C 四点共圆，∴∠FCP +∠FEP =180°，又∵∠ACP +∠ABP =180°，∴∠FEP =∠ABP ，同上可得点B ，D ，P ，E 四点共圆，∴∠DBP =∠DEP ，∵∠ABP +∠DBP =180°，∴∠FEP +∠DEP =180°，∴点D ，E ，F 在同一直线上；(3)证明：如图，连接PA ，PB ，PC ，∵点P 是BC的中点，∴BP =PC ，∴BP =PC ，∠PAD =∠PAC ，又∵PD ⊥AD ，PF ⊥AC ，∴PD =PF ，∴Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF (HL )，∴BD =CF ．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF 是解题的关键．9(2021•哈尔滨模拟)(1)【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ΔABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是ΔABC 外一点，且AD =AC ，求∠BDC 的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助⊙A ，则点C 、D 必在⊙A 上，∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，从而可容易得到∠BDC =45°．(2)【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，∠BDC =25°，求∠BAC 的度数．(3)【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．(2)由A 、B 、C 、D 共圆，得出∠BDC =∠BAC ，(3)根据正方形的性质可得AB =AD =CD ，∠BAD =∠CDA ，∠ADG =∠CDG ，然后利用“边角边”证明ΔABE 和ΔDCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS ”证明ΔADG 和ΔCDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB =90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH =12AB =1，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：(1)如图1，∵AB =AC ，AD =AC ，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在⊙A 上，∵∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，∴∠BDC =12∠BAC =45°，故答案为：45；(2)如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．∵∠BAD =∠BCD =90°，∴点A 、B 、C 、D 共圆，∴∠BDC =∠BAC ，∵∠BDC =25°，∴∠BAC =25°，(3)如图3，在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =∠CDA ，∠ADG =∠CDG ，在ΔABE 和ΔDCF 中，AB =CD∠BAD =∠CDA AE =DF，∴ΔABE ≅ΔDCF (SAS )，∴∠1=∠2，在ΔADG 和ΔCDG 中，AD =CD∠ADG =∠CDG DG =DG，∴ΔADG ≅ΔCDG (SAS )，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH +∠3=∠BAD =90°，∴∠1+∠BAH =90°，∴∠AHB =180°-90°=90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH =AO =12AB =1，在Rt ΔAOD 中，OD =AO 2+AD 2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OH +DH >OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值=OD-OH=5-1．(解法二：可以理解为点H 是在Rt ΔAHB ，AB 直径的半圆AB上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小)故答案为：5-1．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．10(2022•潢川县校级一模)如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC= 90°，且AB=AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．(1)小亮在研究这个图形时发现，∠BAC=∠BDC=90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为45°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；(3)在旋转过程中，若CD长为1，当ΔABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．【分析】(1)由∠BAC=90°，且AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=45°，由∠BAC=∠BDC=90°，推出A、B、C、D四点共圆，所以∠ADB=∠ACB=45°；由题意知ΔEAB≅ΔDAC，所以BE=CD，由AE=AD，∠EAD=90°，可知ΔADE是等腰直角三角形，推出CD+DB=EB+BD=DE=2AD；(2)如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．易证ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，则BE=CD，由AE=AD，∠EAD=90°，所以ΔADE是等腰直角三角形，则DE=2AD，由BD-CD=BD-BE=DE，推出BD-CD=2AD；(3)当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ΔABD的面积最大．【解答】解：(1)①如图，在图1中．∵∠BAC=90°，且AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵∠BAC=∠BDC=90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°；②由题意可知，∠EAD=∠BAC=90°，∴∠EAB=∠DAC，又AE=AD，AB=AC，∴ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，∴BE=CD，∵AE=AD，∠EAD=90°，∴ΔADE是等腰直角三角形，∴DE=2AD，∵CD+DB=EB+BD=DE，∴CD+DB=2AD；故答案为45°，CD+DB=2AD；(2)线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD-CD=2AD．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．则∠DAE=∠CAB=90°，∴∠DAC=∠EAB，又AD=AE，AC=AB，∴ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，∴BE=CD，∵AE=AD，∠EAD=90°，∴ΔADE是等腰直角三角形，∴DE=2AD，∵BD-CD=BD-BE=DE，∴BD-CD=2AD；(3)由(2)知，ΔCDA≅ΔBEA，∴∠CDA=∠AEB，∵∠DEA=45°，∴∠AEB=180°-45°=135°，∴∠CDA=∠AEB=135°，∴∠CDA+∠ABC=135°+45°=180°，∴A、B、C、D四点共圆，于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ΔABD的面积最大．作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，∵∠ADB=∠ACB=45°，∴∠GDB=22.5°，∠DBG=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°，∠HCB=∠DHC-∠HBC=45°-22.5°=22.5°，∴∠HCB=∠HBC，∴HB=CH=2，∴AD=BD=DH+BH=1+2．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
圆锥曲线对定点张直角弦问题再研究_李世臣_陆楷章
）
同理 ， 点 Ｄ 也 在 这 条 直 线 上， 即直线Ｃ Ｄ 的方 程为
２ ２ ２ ｔ ＋ ｅ ｅ ｔ ＋ ｅ ２ １ － １ － ｐ ｘ－ ｍ ＋ － ｎ ＝ ０ ． ｙ－ ２ ２－ ２ μ ｔ － ｅ ｔ－ ｅ ｔ － ｅ １ ＋ １ ＋ １ ＋
λ
（
） （
）
由λ、 μ 的任意性知
２ ２ ｔ ＋１－ ｅ ｅ ２ ｐ 烄 ｘ－ ２ ２ －ｍ＝０ ｔ －１＋ ｅ ｅ ｔ－１＋ ． 烅 ２ ｔ ＋１－ ｅ ｎ＝０ － ｙ－ ２ －１＋ ｅ 烆 ｔ ２ 当ｔ 解方程组 ， 得 ｅ －１ 时 ， ≠
设直线 Ａ ｘ＋ Ｂ 的方程为λ ｙ＝１， μ 将上式化为关于 ｘ、 ｙ 的齐次方程
２ ２ ２ ２ ２ ） ［ （ （ （ ｅ ｘ ＋ ｕ－ ｅ ｕ－ ｅ ｘ＋ ｖ ｘ＋ ＝ － ２ ０ ． １ λ ｙ］ ｙ＋ ｐ） ｙ） μ ２ ２ ２ ２ ） （ ］ 整理得 ［ ＋２ ｖ＋ ｅ ｕ－ ｅ ｕ － ｅ ｘ ＋２［ １－ λ（ λ ｐ） ２ ２ ２ ］ ｖ） ｕ－ ｅ ｕ － ｅ ｘ １＋２ ｐ） ｙ ＝０． ｙ＋ （ μ（ μ ２ ２ 得（ 令 ｙ＝ｋ ｖ） ｋ ＋２［ ｕ－ｅ ｕ － ｖ＋μ（ １＋２ ｘ， λ μ ２ ２ ２ ２ ） ］ （ ］ ｅ ｋ＋ ［ ｅ ｕ－ ｅ ｕ － ｅ ＋２ １－ ＝０． λ（ ｐ） ｐ） ２ ２ ２ ［ ］ 当 １＋２ ｖ≠０， ｕ－ ｅｕ－ ｅ － ｖ＋ Δ ＝４｛ λ ｐ） μ μ（ ２ ２ ２ （ ） ［ （ ］ ｝ ｖ） ｅ ｕ－ ｅ ｕ － ｅ １＋２ ＋２ １－ λ（ ≥０ 时 ， ｐ） μ 上式有两个实数根 ．
ｋ ｋ Ｄ Ｄ Ａ、 Ｂ．
（ ） ， 若ｋ 直 当ｔ １ ｋ ｋ ｋ ｔ ≠０ 时 ， Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ· Ｂ＝ Ａ· Ｂ＝ ２ ｐ 线Ｃ ＋ｍ， ｎ ； － Ｄ 过定点 Ｑ ｔ
圆锥曲线的经典模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-。
三角函数的性质与应用
三角函数的性质与应用三角函数是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将探讨三角函数的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值等于对边长度与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值等于邻边长度与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值等于对边长度与邻边长度的比值。
三角函数具有一些基本性质，包括：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，即在一个周期内，函数的值会重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
3. 定义域和值域：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
二、三角函数的应用1. 几何学中的应用：三角函数广泛应用于几何学中的角的计算和图形的描述。
通过三角函数的值，我们可以计算出角的大小以及各边的长度。
例如，在三角形中，已知一个角和两条边的长度，可以使用三角函数计算出其他边的长度。
2. 物理学中的应用：三角函数在物理学中有着重要的地位。
例如，在力学中，物体的运动轨迹可以通过正弦函数或余弦函数进行描述。
在波动学中，声波和光波的传播特性可以通过三角函数进行分析。
当我们研究振动、波动和周期性现象时，三角函数的应用尤为重要。
3. 工程学中的应用：工程学涉及到许多实际问题的计算和设计。
三角函数在工程学中有着广泛的应用，例如在建筑设计中，通过三角函数可以计算出建筑物的高度和角度。
在电子工程中，使用三角函数可以计算出信号的频率和相位。
4. 统计学中的应用：统计学是研究数据收集、分析和解释的学科。
三角函数的应用可以帮助我们分析一些周期性数据，例如天气变化、经济指标的波动等。
通过对数据进行三角函数的拟合，我们可以找到数据中的周期性规律，进而进行预测和分析。
圆锥曲线焦点弦对原点的张角问题研究
直线方程为y -y372 -73y\ y\X -y [).整理，得 4* - (y2 + y 3) y + y2y3 = 0•同理，A /(?方程为 4x -(y , +73)7+3^ =0•①y2+y3和;>^3.而y2，y 3的和与积不容易分别表示出来,后面发现它们满足的恒等式，从而得到动直线的定点.有些定点问题，也可以不联立直线与圆锥曲线，借助对方程的变形得到定点，可参见文献[2].参考文献：由力=1，代人整理，得J 24 +4(j 2 +y 3) +y 2y 3 =0.②对照①和②知直线叫？过点（1，-4).评注通过计算直线/V <?的方程,发现其中含有[1]张宁.韦达定理失效了吗？ [J ].数理天地（高中版）， 2019(01)：5-6+8.[2]李宁,唐盛彪.基于点坐标和曲线方程求解动直线过定点问题[J ].理科考试研究,2020,27(03) :34 - 36.(收稿日期：2020-1丨-25)圆雉曲殊焦点弦对雇点的张角闵题砑光潘神龙(番禺区实验中学广东广州51 M O O )摘要：本文重点研究动直线/经过圆锥曲线C 的焦点与曲线C 交于两点，焦点弦对原点的张角（乙40B ) 与曲线C 的离心率e 、直线/的斜率&之间的关系，通过分析tanZ/lOB 的表达式，得到乙40B 的变化规律、取值范围等 结果.关键词：圆锥曲线；焦点弦；原点；张角全文约定：当曲线C 是椭圆或双曲线时，F 是右 焦点；当直线/的斜率&存在时A > 〇.1椭圆定理1若过椭圆C:4 + ^= l(a >6>0)右焦a 〇点的动直线/与椭圆C 交于两点，假设乙#证明当 A ： > 〇 时，设 /!(&)，B (x2，y2 )，心 >r j = k(x -c ),欠2,联立y2得（a2A ：‘ + 62) x2 - 2a2c A ：2;c17令 *，a (c 2 k 2 -b 2 )2a 2ck 2 ± \/~K2(a 2k 2 +b 2)ck (xl -x 2)A = 4a 264 (1 + k 2 ), x ] 2^o a ~ ^OB .根据到角公式，tan j O Bcky~K ________XjX 2 + y ty 2( a 2c 2 - a 2b ‘ + b 2c 2) k 2 - a 2f +c2化简即可.当灸不存在时，易知).1 + k 0A k 0B，再由a22/c根据二倍角公式,计算即得.1 ~^OA推论 1 当 A : > 0 时，tan =_______2(1 - e2)ek -/l + k 2_______-(e 2 + e - l )(e 2 - e - \)h 2 - (1 - e 2 )是关于e ，A 的二元函数，图象如图3.推论2有 f 'W =-当灸>〇且e 不变时，令t a n =/(幻，2a 62c [(a 4 +b 2c 2)k 2 +a^b"] <〇\/l +k 2 [ (a 2c * -b 4)k 2 -a 2b 2]2作者简介：潘神龙（1985 -)，男，广东韶关人，硕士，中学二级教师，研究方向：初等数学.推论3当e不同时，/(A)的单调性、乙/10B的单 调性与取值范围（包括A不存在的情况）往往也不同，具体见表1:表1e/⑴AAOB\钝角万-i2钝角或直角k f(k)AAOBfO.——-—）V a2c2-64\钝角\abV a2c2-bA不存在直角(ab. + » )y a2c2-64\锐角证明易知卜^1与a2c2-64符号相同，由定理1、推论2可知结论成立.推论4乙4〇5£[0,1〇,其中0是通径对原点的 张角•推论5当6 = ^^•时，通径对原点张直角；当6时,斜率为y j4的焦点弦对原点张直L V c l c- b角，此时|仙|推论6 存在Z_/10S是直角的充要条件是e e推论7乙40B恒是钝角的充要条件是《^ (〇, J5 -1~l T h2双曲线2.1 直线/与双曲线C的左、右两支各交于一点定理2若过双曲线C:4-^ = l(a>0,6>0)a b 右焦点的动直线z与双曲线C的左、右两支各交于一 点，设交点为假设乙则tanZ/lOfi = 2ab2ck y/\ + k2^,b图4证明因为所以d2A：2-62<0.a设,：Ki)，B(x2，：T2)>巧，将定理1证明过 程中的 62 换成-62，得 U2A2 - U2 - 2a2d2x + a2(c2k2 + 62) =0.贝l j A =4a2f e4(1 + A:2)，％i2 =所以 tan AAOB = , 22^ .'{Twz,2,2-S{a c+ a0-b e )k+ a b由c2 =a2 +62化简即可•推论1当A:>0时，tan= _______2 (e2 - l)ek \/1 + k2_______-(e2 + e- l)(e" - e- 1) k2 + (e^ -1)是关于的二元函数，图象如图5.推论2 当e不变时，令tan乙心方=/(A)，有 厂⑷2ab2c[(a- b2c2)k2 - a h1]<〇+ k2[(a2c2 - 64)A:2+ a262]2证明当 a4 -62c2<0时，（a4 -62c2)A:2 -a V<〇,所以/'U) <0;当a4- 6~c2> 0 时，（a4- 62c2)A：2 - a262< (a4—62c2)(i)2-a V <0,所以/'(A) <0•a推论3当e不同时,/(A)的单调性、乙A O S的单 调性与取值范围往往也不同，具体见表2 :表2e/⑷/LAOB(1，及]\钝角k R k)Z.AOB(〇. ab) \/b4 一a2c2\钝角\(V5",+ » )abVbA-a2c2不存在直角.ab b、(y^v'〇)\锐角证明易知e-与a2c2-64的符号相反.当时，a2c2-b4^0J(k) <0；< e<A时，（a2c2 - 64)A:2 + a2/T > (a2c2-64)(—)2+a2b2^0J(k) <0；a当e>#时，（a2c2 - 64)A：2 + a262 决定了/( A：)的正负.推论4 (0〇，tt)，其中沒。
圆锥曲线专题(定点、定值问题)
圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340km +->212122284(3),3434mkm x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+Q以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BDk k ⋅=-， 1212122y y x x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++，整理得：2271640mmk k ++=，解得：1222,7k m k m=-=-，且满足22340k m +->当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((22222222ba b a y b a b a x +-+-。
初中数学知识归纳三角函数的定义与性质
初中数学知识归纳三角函数的定义与性质三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
它们描述了角度和三角形之间的关系，深入理解三角函数的定义和性质对于数学学科的学习是至关重要的。
本文将对初中阶段常见的三角函数的定义与性质进行归纳和总结。
一、正弦函数的定义与性质正弦函数是三角函数中最基本的一种函数，常用符号为sin。
在平面直角坐标系中，以弧度制来表示角度，对于任意角θ，正弦函数的定义如下：sin(θ) = 对边/斜边其中，对边指的是角θ所对应的直角三角形中与θ相对的边的长度，而斜边则是假设角θ位于单位圆上时，从圆心到角θ所对应于圆上点的距离。
正弦函数的定义可以进一步扩展到任意实数θ上。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数在定义域内以2π为一个周期，即sin(θ+2π) = sin(θ)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)。
3. 范围：正弦函数的值域介于-1和1之间，即-1 ≤ sin(θ) ≤ 1。
二、余弦函数的定义与性质余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的一种函数，常用符号为cos。
与正弦函数类似，余弦函数的定义如下：cos(θ) = 邻边/斜边其中，邻边是角θ所对应的直角三角形中与θ相邻的边的长度。
余弦函数的定义也可以推广到任意实数θ上。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数在定义域内以2π为一个周期，即cos(θ+2π) = cos(θ)。
2. 偶函数：余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)。
3. 范围：余弦函数的值域同样介于-1和1之间，即-1 ≤ cos(θ) ≤ 1。
三、正切函数的定义与性质正切函数是另一种常用的三角函数，通常用tan表示。
对于给定的角θ，正切函数的定义如下：tan(θ) = 对边/邻边正切函数可以根据角度的定义扩展到任意实数θ上。
正切函数具有以下性质：1. 周期性：正切函数在定义域内以π为一个周期，即tan(θ+π) = tan(θ)。
弦割定理的证明与应用解析
弦割定理的证明与应用解析弦割定理，即圆内一条弦所对角的两个弧的乘积等于弦分割的两个线段长度的乘积。
本文将对弦割定理进行证明，并探讨其在数学分析中的应用。
弦割定理的证明我们考虑在平面直角坐标系下，以原点为圆心，半径为r的圆。
设该圆上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，以弦AB为斜边的直角三角形的顶点为C。
则AC和BC为该弦所分割的两条线段。
首先，我们可以通过欧几里得距离公式得到弦AB的长度：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)(1)接下来，考虑点A和B与原点的距离，即OA和OB的长度：OA = √(x1^2 + y1^2)OB = √(x2^2 + y2^2)根据弦割定理，我们知道弧AC所对应的圆心角θ满足：θ = 2arcsin(AB / (2r))(2)而弦AC所对应的圆心角为φ，满足：φ = 2arcsin(AC / (2r))(3)由于三角函数关系，我们可以推导出AC的值：AC = 2r * sin(φ / 2)(4)同理，弦BC所对应的圆心角为ω，满足：ω = 2arcsin(BC / (2r))(5)由于三角函数关系，我们可以推导出BC的值：BC = 2r * sin(ω / 2)(6)接下来，我们将求解φ和ω的值。
由三角形ACO的正弦定理可得：sin(φ) / AC = sin(θ) / OA代入OA和AC的值，得到：sin(φ) / (2r * sin(φ / 2)) = sin(θ) / √(x1^2 + y1^2)化简后可得：sin(φ) = (2r * sin(φ / 2) * sin(θ)) / √(x1^2 + y1^2)(7)同理，由三角形BCO的正弦定理可得：sin(ω) / BC = sin(θ) / OB代入OB和BC的值，得到：sin(ω) / (2r * sin(ω / 2)) = sin(θ) / √(x2^2 + y2^2)化简后可得：sin(ω) = (2r * sin(ω / 2) * sin(θ)) / √(x2^2 + y2^2)(8)将方程(7)和(8)带入弦割定理的表达式(2)，可得：2arcsin(AB / (2r)) = arcsin((2r * sin(φ / 2) * sin(θ)) / √(x1^2 + y1^2)) + arcsin((2r * sin(ω / 2) * sin(θ)) / √(x2^2 + y2^2))化简后可得：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = 2r * sin(φ / 2) * sin(ω / 2)这就证明了弦割定理。
01圆锥曲线对定点张直角弦的几何性质再探——潘神龙 (广东省广州市番禺区实验中学)
点 P 在 MN 为 直 径 的 圆 E 上 ， 当
2 x0
2 2 x0 y0 0 时， 半径 a 2 b2
r O E
O ；当 P 0
a2
2 y0
b2
1 时，半径 r OE OP .
图5
图6
推论 7
b b a 2 b2 点 E 的轨迹有渐近线 y x . a 2 a 2 b2
证明：由 [2], P 1 ( 可得；当 kMN 不存在时，点 E ( x1 , 推论 1 椭圆 C1 除去点 (
x2 1 b 1 1 ) 也在轨迹上. 1 a
y0 a 2 k (kx1 y1 ) b 2 (kx1 y1 ) , 2 2 )，k . 2 2 2 2 a k b a k b (1 e2 ) x0
x2 y 2 a 2 b2 x2 y 2 a 2 b2
.
图2 过动点 P 引双曲线 C 的两条切线互相垂直，则点 P 的轨迹是准圆 b x 2 y 2 R 2 ,除去直线 y x 上的四个点，其中 R2 a 2 b2 . a 推论 1
推论 2
椭圆
x2 y 2 x2 y 2 的焦点在双曲线 1( a b 0) 1 的准圆上. a 2 b2 a 2 b2
x2 y 2 定理 1 过准圆 x y R 上一点 P( x0 , y0 ) 引椭圆 C : 2 2 1 (a b 0) a b 2 2 2 的 两 条 切 线 互 相 垂 直 ， 其 中 R a b ； 切 点 弦 MN 的 中 点 E 在 OP 上 ， 2 OE x y x 2 yE 1 2 ；当点 P 变动时，点 xE 2 0 2 ， y E 2 0 2 ， E 2 2 2 OP x0 y0 a b x0 y0 x0 y0 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2
高考数学解析几何专题讲义第16讲--定点问题
3 3
x2
ty2
1
②
由①②知 AB 的方程为 3 x ty 1 ，即 x 3(1 ty)
③
3
易知右焦点 F ( 3, 0) 满足③ 故直线 AB 恒过定点 F ( 3, 0)
（2）略
【例 2-2】（2019 全国Ⅲ文 21）已知曲线 C ： y x2 ，D 为直线 y = - 1 上的动点，过 D 作 C 的两条切线， 切
【解法一】 F (1, 0), k (a2 , 0) ，先探索，当 m 0 时，直线 l ox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与
BD 交于定点 N ( a2 1, 0) ， 2
证明：设 A(x1, y1)B(x2 , y2 )E(a2 , y1) ，当 m 变化时首先 AE 过定点 N
2 2
+ +
(y + y2 =
1)2 3 1
=
(4)2 3Þ
ìïx = 0 ïî y = 1
即两圆的公共点为(0，1)
因此所求点 T 如果存在，只能是(0，1)，事实上.点(0，1)就是所求点，证明如下 当 l 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆过 T(0，1)
当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l ： y = kx - 1 3
且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 l 过定点，并求出该定点坐标．
y kx m
【解析】设
A(x1,
y1), B(x2 ,
y2 ) ，由 3x2
4y2
得 12
(3 4k 2 )x2 8mkx 4(m2 3) 0
64m2k 2 16(3 4k 2 )(m2 3) 0
2
2
点分别为 A，B.
2021版新高考数学：圆锥曲线中的定点、定值问题含答案
第八节圆锥曲线中的定点、定值问题
[考点要求]会证明与曲线上动点有关的定值问题、会处理动曲线(含直线)过定点的问题．
(对应学生用书第164页)
考点1定点问题
直线过定点
在平面直角坐标系xOy 中、动点
E 到定点(1、0)的距离与它到直线x ＝－1的距离相等．
(1)求动点E 的轨迹C 的方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx ＋b 与曲线C 相切于点P 、与直线x ＝－1相交于点Q 、证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．
[解] (1)设动点E 的坐标为(x 、y )、由抛物线的定义知、动点E 的轨迹是以(1、0)为焦点、x ＝－1为准线的抛物线、所以动点E 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .
(2)证明：易知k ≠0.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b y2＝4x
、消去x 、得ky 2－4y ＋4b ＝0.因为直线l 与抛物线相切、所以Δ＝16－16kb ＝0、即b ＝1k 、所以直线l 的方程为y ＝kx ＋1k 、令
x ＝－1、得y ＝－k ＋1k 、所以Q (－1、－k ＋1k ).设切点P (x 0、y 0)、则ky 20－4y 0＋4k ＝
0、解得P (1k2、2k )、设M (m 、0)、则MQ →·MP →＝(1k2－m )·(－1－m )＋2k (－k ＋1k )＝m 2
＋m －2－m －1k2、所以当⎩⎨⎧m2＋m －2＝0，m －1＝0，
即m ＝1时、MQ →·MP →＝0、即MQ ⊥MP . 所以、以PQ 为直径的圆恒过x 轴上的定点M (1、0).
考点2 定值问题。