第五章 概率与概率分布基础

第五章概率与概率分布基础

第一节什么是概率

第二节概率分布

第三节常用离散型随机变量分布举例

第四节常用连续型随机变量分布举例

为什么学习概率?

概率是公共和非盈利性事业管理中最有用的数量分析方法之一.利用概率及相关知识,公共和非盈利事业的管理者可以判断和解决各种各样的问题.

比如,维修机构的负责人可以运用概率来决定公共设施发生故障的频率,并依此部署维护力量.公共交通部门可以用概率来分析某一站点某一时段内可能候车人数,从而决定公共交通的车次间隔.

本章内容包括一些基本的概率法则和假定.

最常用的适于作定量研究的方法--抽样调查就是通过概率的理论使我们掌握一种媒介,它可以做我们推断和分析的平台.

第一节什么是概率

一、随机事件与概率

（一）随机试验与随机事件

随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质：

（1）每次试验的可能结果不是唯一的；

（2）每次试验之前不能确定何种结果会出现；

（3）试验可在相同条件下重复进行。

比如:标准大气压下,水沸腾的温度是100度. 必然事件

扔100次硬币,正面朝上的次数.随机事件.

历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。

实验者n nH fn(H)

De Morgan 2048 1061 0.5181

Buffon 4040 2048 0.5069

K. Pearson 12000 6019 0.5016

K. Pearson 24000 12012 0.5005

在经济与社会领域,随机命题是常见的,而必然命题是十分少见的.

任何一种社会现象,社会行为其产生的原因都是复杂的,事物单个出现的时候难免有偶然性和非确定性,但是对于大量事物的研究,由于平衡与排除了单个孤立事件所具有的偶然性,从而可以发现其内部的规律性.

在随机试验中(对随机现象的观察)可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中却具有某种规律性的事件，称之为随机事件。

试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件

还可称为样本点，设试验有n个基本事件，分别记为(i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1 ,ω2 , …,ωn}称为样本空间，Ω中的元素就是样本点。

例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六种结果是基本结果，不可以再分解成更简单的结果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}为该试验的样本空间。“出现点数是奇数”这一事件就不是简单事件，它是由基本事件{1}，{3}和{5}组合而成的。我们通常用大写字母A，B，C，…来表示随机事件，例如，设A表示“出现点数是奇数”，则A={1，3，5}；设B表示“出现点数是偶数”，则B={2，4，6}。

（二）概率

1. 概率的定义

概率就是指随机事件发生的可能性.

是对随机事件发生可能性的度量。进行n次重复试验，随机事件A发生的次数是m次，发生的频率是m/n，当试验的次数n很大时，如果频率在某一数值p附近摆动，而且随着试验次数n的不断增加，频率的摆动幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为：P(A)=p。在古典概型场合, 即基本事件发生的概率都一样的场合:

抽球问题

设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。

解:设A-----取到一红一白

答:取到一红一白的概率为3/5

例：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个。(1) 从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率有多大？(2) 从中随机摸出2只球，一问2只球都是白球的概率有多大? 二问2只球一白一黑的概率有多大? 三问2只球都是黑球的概率有多大?

解：(1) 由于摸出的任何1只球都形成一个基本事件，所以样本点总数为n=5。用A表示摸出的是白球事件，则A由两个基本点组成，即A={白球，白球}，m=2。因此，刚好摸出白球的概率为P(A)=m/n=2/5=0.4

(2) 由于摸出2只球才成一个基本事件，所以样本点总数为故

P(A)=P(2只球都是白球)=1/ =1/10

P(B)=P(2只球一白一黑)=2×3/10=6/10

P(C)=P(2只球都是黑球)=3/10

NOTE: P(A+B+C)=1

2. 概率的基本性质

性质1 1≥P(A)≥0。

性质2 P(Ω)=1。

性质3 若事件A与事件B互不相容，即AB=Ф，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。

推论1 不可能事件的概率为0，即：P(Ф)=0。

推论2 P( )=1-P(A), 表示A的对立事件，即它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。

二、随机变量

随机变量X是定义在样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}上的一个函数，这个函数的取值随试验的结果不同而变化。这个函数还要求满足条件：对任意的实数x，X

形象地理解

随机地从人群中抽出3个人,观察他们的婚姻状态.这是随机试验. 随机试验结果无外乎出现这4种情况:

0人单身,3人已婚

1人单身,2人已婚

2人单身,1人已婚

3人单身,0人已婚

随机事件A: “随机抽取的3人中,单身者人数”

我们把用语言陈述的这4种情况,如果用随机事件A的取值情况表示就是:

X1=0 (0人单身,3人已婚)

X2=1 (1人单身,2人已婚)

X3=2 (2人单身,1人已婚)

X4=3 (3人单身,0人已婚)

如果我们把“随机抽取的3人中,单身人数”看作一个变量X,那么x1,x2,x3,x4就是这个变量的各种取值.

这里的变量,是与随机现象联系在一起的,因此称其为随机变量.

对于一种随机试验,x1,x2,….,xn是该试验所有可能取值,并且x1,x2,…,xn之间必须满足完备性与互不相容性.

如果随机变量所有可能的取值是有限的，或可排成一列的，这种随机变量称为离散型随机变量；另一种情况是随机变量的取值范围是一个区间或整个数轴，这种随机变量称为连续型随机变量。

第二节

离散型随机变量的概率分布和连续型随机变量的概率密度

定义若随机变量X取值x1, x2, …, xn, …且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称X为离散型随机变量，而称

P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )

为X的分布律或概率分布。可表为

X～P{X=xk}=pk, (k=1, 2, …)，

或…

X x1 x2 …xK …

Pk p1 p2 …pk …

性质：(1) 0≤p(xi)≤1 (i=1,2, …)；

(2)

定义: 离散型随机变量X的期望值为

“均值”

数学期望的应用：让人激动的彩票

概率不仅是决策理论的出发点，它也构成了大多数机会博弈的基础。

让我们构造一个简单的博弈游戏。

参加的人花1元钱就可以玩。扔1个硬币，如果正面朝上，这个人就赢2元，反面朝上则什