线性代数_第六章

a x1a1 + x2a2 + … + xnan
成立, 则称这组有序数x1, x2, …, xn 为元素a 在 基a1, a2, …, an下的坐标,记作(x1, x2, …, xn )T , 称
为坐标向量.
例4 求四维线性空间R2╳2中矩阵a在基{E11,
E12, E21, E22}下的坐标。
试求P[x]2中向量在这两个基下的坐标变换公式。
§6.3 欧氏空间
线性空间中，只定义了加法与数乘两种 运算；
在线性空间中引入度量的概念后，成为 欧几里德空间；
6.3.1 内积的概念与性质
定义1 设V是实数域R上的线性空间,若在V上定义了一个二元
实函数(a, b),它满足以下条件: 1)对称性 (a, b) (b, a) 2)齐次性 (ka, b) k(a, b) 3)可加性 (ab,g)(a, b)(a, g) 4)非负性 (a, a)≥0, 当且仅当a0时(a, a)0 其中, a,b,g为V中任意元素,则称此二元实函数(a, b)为元素a与 b的内积;定义了内积的线性空间称为内积空间.
例7 齐次线性方程组
AX=0 的全部解向量构成线性空间Rn的一个子 空间,称为(1)的解空间.
例8 设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函 数组成的线性空间，P[x][a,b]是 [a,b]上所有的 实系数多项式集合；
则C[a,b]中的定义加法与数乘， P[x][a,b]构成 C[a,b]的一个子空间.
R, R2, Rn 都是有限维线性空间; P[x]是无限维线性空间;
例1 求齐次线性方程组的解空间N(A)的维数.
x1 x1
2x2 3x2
3x3 x4 10x3 5x4
0
0
定理1 向量组a1, a2, …, an是n维线性空
间V的一个基的充要条件是
V=L(a1, a2, …, an)
定理1 数域F上线性空间的非空子集W构成V 的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种 线性运算封闭.
例9 设a1, a2, …, am是数域F上线性空间V的
一组向量，它的一切线性组合所生成的子集
W={k1a1+k2a2+…+kmam|ki∈F,i=1,2,…,m} 构成V的一个子空间，记为L(a1, a2, …, am),称 为由向量组a1, a2, …, am生成的子空间.
次数等于n的多项式集合
Q[x]n p(x) anxn an1xn1 a1x a0 | an , , a1, a0 R且an 0
对于通常的多项式加法和数乘,是否构成线性 空间?
例5 设V为正实数的集合R+,F为实 数域R.在R+上定义加法与数乘为:
a b ab a,b R k a ak k R, a R
2)在数域F与集合V的元素之间定义了一种叫做数量乘法的运
算(简称为数乘),即对数域F中任一数k与V中任一元素a,在V中 都有惟一的元素d与之对应,称为数k与a的数量乘积,记为d =ka,
并且满足
(5)单位数乘不变律 1a =a ; (6)结合律 k(la)=(kl)a ;
3)加法和数乘还同时满足分配律
组合关系一一对应，则称线性空间V1与V2 同构。
例6 设V=R[3]3 , 且向量组
a1=x3+x+1, a2=x2+1, a3=3x3+2x21, 试讨论a1, a2, a3的线性相关性.
例7 设R3中的向量a 在基
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) 下的坐标为(1,2,3)T,试求在另一个基
线性空间生成的子空间有如下性质:
1) 若a1, a2, …, am∈V, 则 L(a1,a2,,am ) V
2) 若a1, a2, …, am∈V, b1, b2, …, bs∈V则
L(a1,a2,,am ) L(b1, b2,, bs )
的充要条件是a1, a2, …, am与b1, b2, …, bs等价.
a
1 3
2
4
例5 试证在线性空间V中任何一个给定的 基下，向量和的坐标等于它们坐标的和， 向量数乘的坐标等于它们坐标的数乘。
这说明:在给定的一个基下,线性空间V中的 元素与n维向量空间Rn中作为a坐标的有序 数组是一一对应的.
定义4 设V1与V2是两个线性空间，若在V1 与V2的元素之间存在一个一一对应关系， 且该对应关系保持两线性空间各自的线性
6.1.2 线性空间的定义与性质
定义1 设V是一个非空集合, F是一个数域,若 1) 在集合V的元素之间定义了一种叫做加法的代数运算,即对V中
任意两个元素a与b, 在V中都有惟一的一个元素g与它们对应， 称为a与b的和，记为g ab,并且满足
(1)交换律 ab ba ; (2)结合律 (ab)g a(bg) ; (3)在V中存在零元素0，使对V中任一元素a,都有a0a ; (4)对V中每一个元素a,都有V中的元素b,它称为a的负元素,使得ab 0;
第六章 线性空间
杨利军
§6.1 线性空间的定义及其 性质
6.1.1 n维向量空间
R , R2 a | a (a1, a2 ), ai R, i 1,2 R3 a | a (a1, a2 , a3), ai R,i 1,2,3
抽象出的n维向量的全体所构成的集合Rn称为n 维向量空间。
坐标为(9,14,6)T.
6.2.3 基变换与坐标变换
由坐标的定义,我们知道,线性空间中的向量在 一个给定的基下,其坐标是惟一确定的.
但例7也告诉了我们,线性空间中的同一个向量, 在不同基下的坐标也不同的.
问题:一个向量在两个基下的坐标有什么关系?
设a1, a2, …, an与b1, b2, …, bn是n维线性空间V 中的两个基. 另设向量a 在这两个基下的坐
可以验证, R+对上述两种运算构成R上的一个线性空间. R+中的零元素是1; a的负元素是a-1.
线性空间的性质
性质1 线性空间中的零元素是惟一的; 性质2 线性空间V中任意元a的负元是惟一的;
性质3 0a=0; (-1)a=-a; k0=0; 性质4 若ka=0, 则k=0 或a=0.
6.1.3 子空间
标分别是(x1,x2, …,xn)T和(y1,y2, …,yn)T ,即:
a x1a1 x2a2 … xnan y1b1 y2b2 … ynbn
由于a1, a2, …, an与b1, b2, …, bn是n
维线性空间V中的两个基, 因此
由基与坐标的定义知, (a1j, a2j, … ,anj)是向量bj (j=1, 2, … ,n) 在基 a1, a2, …, an下的坐标.
V中的两个基,V中向量在这两个基下的坐标分别为 列向量X与Y,若这两个基还满足基变换公式
(b1, b2, , bn ) (a1,a2, ,an ) A
则有坐标变换公式
X=AY 或 Y=A-1X
例8 与
在P[x]2中取定两个基
a11, a2x1, a3( x1)2
b12, b2x2, b3( x2)2
6.2.2 向量在基下的坐标
由线性空间基的定义, n维线性空间V中的每
个元素a 都可以由V的一个基a1, a2, …, an线
性表示,并且,这种表示法还是惟一的.
定义3 设a1, a2, …, an为n维线性空间的一个基, 若任取a∈V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, …,
xn , 使得
a1(1,0,1), a2(1,1,0), a3(1,2,2),
下的坐标.
解:设向量a 在基a1, a2, a3,下的坐标为(x1,x2, x3)T,则
ax1a1 x2a2 x3a3 e1+2e2+3e3
即
1 1 1 x1 1
0
1
2
x2
2
1 0 2 x3 3
求解上述线性方程组,得a 在基a1, a2, a3,下的
dim(L(a1, a2, …, am))=r
定理2 向量组a1, a2, …, am生成子空间L(a1, a2, …, am)的维数等于该向量组的秩,即: dim(L(a1, a2, …, am))=R(a1, a2, …, am)
定理3 若W是线性空间V的子空间,则 dimW≤dimV.
例10 试证:在线性空间R4中,由向量组
a1=(1,2,-1,3), a2=(2,4,1,-2), a3=(3,6,3,-7) 及 b1=(1,2,-4,11), b2=(2,4,-5,14)
生成的子空间相等,即:
L(a1, a2, a3)=L(b1 , b2)
§6.2 n维线性空间的基与 向量的坐标
例2 定义在任何数域上F上的n维向量集合Fn ,若定
义向量间的加法为:对Fn中的任何元素a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn), 有
a+b=(a1+b1, a2+b2,…, an+bn)
数域F与Fn之间的数乘规定为：对F中的任何数k及Fn
中的任何元素, a有ka=(ka1, ka2,…, kan);在上述规定下,
定义在实数域上的内积空间(即实内积空间) 称为欧几里德空间,简称为欧氏空间.
欧氏空间的子空间仍然是欧氏空间.
(7) (kl)a=ka la (8) k (ab)ka kb
其中k, l为数域F中的任何数,1为F中的单位元, a, b, g为V中任
何元素,则称V为数域F上的线性空间(简称为线性空间).
当F为复数域时,称V为复线性空间; 当F为实数域时,称V为实线性空间.
例1 向量空间Rn对于通常的线性运算构成 实数域R上的线性空间。
例2 求R上二阶方阵的集合所成线性空间 的基与维数。