连续介质力学基础第三章
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P 一个质点的运动规律的数学描述: 1
P3
质点的轨迹 t为自变量.
r x(a, t ) x(a1, a2 , a3 , t )
x1 (a, t ) x1 (a1 , a2 , a3 , t ) x2 (a, t ) x2 (a1 , a2 , a3 , t ) x3 (a, t ) x3 (a1 , a2 , a3 , t )
5
2. 质点位移,速度和随体微 商
质点位移: 取物质坐标为连续介质质点在初始时刻的空间位置
a x (a , 0)
在
t
时刻连续介质的位形:
x x (a , t )
质点在t时刻相对于初始时刻的位移:
u x v (a , t ) t t
u (a , t ) x (a , t ) a
运用 了物 质导 数算 子
8
加速度(Lagrange形式):速度的物质导数
Dv (a , t ) v (a , t ) w(a , t ) Dt t a Dvi (a , t ) vi (a , t ) wi (ai , t ) Dt t a
x ( x1, x2 , x3 )
欧拉方法:研究在所给定的空间位置上各物理量随时间的变化,以 及这些物理量从一个空间位置转移到另一个空间位置时的变化规 律.
看成 x 和
t 的函数.
(3-2)
f ( x, t ) f ( x1, x2 , x3 , t )
2
物质坐标 ai 和空间坐标 x 的关系
a3 et ( x3 x2 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2
则位移分量作为欧拉坐标的形式为:
u1 x1 a1 0 u2 x2 a2 x2 et ( x2 x3 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2 u3 x3 a3 x3 et ( x3 x2 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2
(3-3)
若 a 不变,则表示以 a 为标记的质点的轨迹; 在该时刻所处的空间位置.
t 不变,表示各个质点
3
若(3-3)存在逆变式,应满足
J xi / a j 0
则
ai ai ( x1 , x2 , x3 , t ) ai ( x, t ) a a ( x, t )
12
Dui ui ui vi ( x , t ) vk Dt t xk
v1 0 v2 u2 u u u u u vk 2 2 v1 2 v2 2 v3 2 t xk t x1 x2 x3 u3 u u u u u vk 3 3 v1 3 v2 3 v3 3 t xk t x1 x2 x3
(3-6)
7
或写成:
Df f f f f v vk Dt t x t xk
(3-7)
物质导数算子:
D vk v Dt t xk t
Du (a , t ) u v (a , t ) Dt t Dui (a , t ) ui vi (a , t ) Dt t
加速度(Euler形式)
Dv ( x , t ) v ( x , t ) w( x , t ) (v ( x , t ) )v ( x , t ) Dt t Dvi ( x , t ) vi ( x , t ) vi ( x , t ) wi ( x , t ) vk ( x , t ) Dt t xk
9
例1: 已知位移场 u1 m2t 2a1 , u2 u3 0 (Lagrange)
m 2t 2 u1 x , u2 u3 0 2 2 1 1 m t
(Euler)
w 求速度场 v 和加速度场
解:
v1 u1 2m 2ta1 , v2 v3 0 t v w1 1 2m 2 a1 , w2 w3 0 t
dx3 dx1 dx2 dt (3-8) v1 ( x1 , x2 , x3 , t ) v2 ( x1 , x2 , x3 , t ) v3 ( x1 , x2 , x3 , t )
联立求解得:
v1 0, v2 x3 , v3 x2
13
3 迹线和流线
t1
t3
t4 t5
t0
a (0) x
(1) x
(2) x
Leabharlann Baidu
(3) x
(4) x
质点 a 的运动轨迹
14
迹线:描述一个质点运动轨迹. 质点不同，运动轨迹不 v1 同,则迹线不同. v
2
v3
P2
i
对于一个质点,在空间坐标中,在不同的时刻处于不同的空间位置,可
以描述成:
x x (t )
或
xi xi (t )
质点不同,则质点的运动轨迹也不同. 加入质点因素,则有
xi xi (a1 , a2 , a3 , t ) xi (a, t ) x x (a , t )
et ( x2 x3 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2 v2 (1 et / 2 e t / 2) v3 (et / 2 e t / 2) v3
et ( x2 x3 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2 v2 (et / 2 e t / 2) v3 (1 et / 2 e t / 2)
其中:
a x (a , 0)
a1 x1 a 2 x2 a x 3 3
作为物质坐标函数的位移分量可表示为:
u1 x1 a1 u2 x2 a2 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2 a2 u3 x3 a3 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2 a3
v1
u1 u u u u u v j 1 1 v1 1 v2 1 v3 1 t x j t x1 x2 x3
2m 2 t m 2t 2 x v1 2 2 2 1 (1 m t ) (1 m 2t 2 ) 2m 2 t v1 x1 , v2 v3 0 2 2 (1 m t ) v v w1 1 v j 1 t x j
11
可得速度场分量为:
u1 0 t u v2 2 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2 t u3 v3 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2 t v1
(2)从运动方程可解得: a1 x1 a2 et ( x2 x3 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2
a
f ( x , t ) f xi t x xi t t
a不变
(3-5)
质点速度
xi t
a
vi
则
一般物质导数用 D Dt 表示.
D DF (a , t ) F (a, t ) f ( x, t ) Df ( x, t ) Dt Dt t a不变 t a不变 Dt Df f ( x , t ) f ( x , t ) f ( x , t ) f ( x , t ) vk v Dt t x t xk
拉格朗日方法:以质点为研究对象,研究在给定质点上的物理量随时间 的变化规律,以及物理量从一个质点到另一个质点的变化规律. 物理量 看成 a 和
F (a, t ) F (a1, a2 , a3 , t )
t 的函数
(3-1)
1
空间坐标(Euler坐标):标记各个质点在不同时刻占据的空间位置
每个时刻连续介质所占据的空间位置上都有一个质点存在.质点和 空间位置一一对应.
4
空间导数,物质导数
物理量:
a a ( x, t )
空间导数
f ( x , t ) F (a , t )
x x (a , t )
f ( x , t ) F (a , t ) F (a , t ) F a t x t x t t a a t t x x F (a , t ) F ai (3-4) t a ai t t x
分量形式:
曲面
f1 ( x1, x2 , x3 , a) 0 f2 ( x1 , x2 , x3 , a) 0
a 迹线
15
消去时间 t
欧拉描述的迹线:
Dx x (a, t ) 轨迹与速度的联系: v ( x, t ) Dt t a
dx1 v1 ( x , t ) v1 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt dx2 v2 ( x , t ) v2 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt dx3 v3 ( x , t ) v3 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt
1) 速度(Lagrange形式)
2) 速度(Euler形式) Du u v (v )u Dt t Dui ui u vi ( x , t ) vk i Dt t xk
v v ( x, t ) v ( x1 , x2 , x3 , t ) 为瞬时速度场. vi ( x, t ) vi ( x1 , x2 , x3 , t )
第三章 连续介质运动学
3.1、物质坐标和空间坐标
1. 物质坐标和空间坐标的概念 物质坐标(Lagrange 坐标): 标记各个质点 一般选取各个质点的初始空间位置
a (a1 , a2 , a3 )
其位置的历史为
x1 x1 (a1 , a2 , a3 , t ), x2 x2 (a1 , a2 , a3 , t ), x3 x3 (a1 , a2 , a3 , t )
质点的运动速度?
物质导数
f ( x , t ) F (a , t ) f ( x , t ) F x t a t a t a t x x t t a f ( x , t ) f xi 质点的运动速度? t x xi t t a
or vi xi t
速度定义
加速度
2 2 v u x w(a , t ) 2 2 t t t
6
物质导数:即随体导数,给定质点上函数对时间的变化率.
t F (a , t ) f ( x , t ) f ( x , t ) f x t a t a t x x t t a
10
例2. 运动由下式给出,确定作为物质形式和欧拉形式的速度分 量. x a
1 1
x2 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2 x3 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2
解:(1) 位移场 u (a, t ) x (a, t ) a
P3
质点的轨迹 t为自变量.
r x(a, t ) x(a1, a2 , a3 , t )
x1 (a, t ) x1 (a1 , a2 , a3 , t ) x2 (a, t ) x2 (a1 , a2 , a3 , t ) x3 (a, t ) x3 (a1 , a2 , a3 , t )
5
2. 质点位移,速度和随体微 商
质点位移: 取物质坐标为连续介质质点在初始时刻的空间位置
a x (a , 0)
在
t
时刻连续介质的位形:
x x (a , t )
质点在t时刻相对于初始时刻的位移:
u x v (a , t ) t t
u (a , t ) x (a , t ) a
运用 了物 质导 数算 子
8
加速度(Lagrange形式):速度的物质导数
Dv (a , t ) v (a , t ) w(a , t ) Dt t a Dvi (a , t ) vi (a , t ) wi (ai , t ) Dt t a
x ( x1, x2 , x3 )
欧拉方法:研究在所给定的空间位置上各物理量随时间的变化,以 及这些物理量从一个空间位置转移到另一个空间位置时的变化规 律.
看成 x 和
t 的函数.
(3-2)
f ( x, t ) f ( x1, x2 , x3 , t )
2
物质坐标 ai 和空间坐标 x 的关系
a3 et ( x3 x2 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2
则位移分量作为欧拉坐标的形式为:
u1 x1 a1 0 u2 x2 a2 x2 et ( x2 x3 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2 u3 x3 a3 x3 et ( x3 x2 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2
(3-3)
若 a 不变,则表示以 a 为标记的质点的轨迹; 在该时刻所处的空间位置.
t 不变,表示各个质点
3
若(3-3)存在逆变式,应满足
J xi / a j 0
则
ai ai ( x1 , x2 , x3 , t ) ai ( x, t ) a a ( x, t )
12
Dui ui ui vi ( x , t ) vk Dt t xk
v1 0 v2 u2 u u u u u vk 2 2 v1 2 v2 2 v3 2 t xk t x1 x2 x3 u3 u u u u u vk 3 3 v1 3 v2 3 v3 3 t xk t x1 x2 x3
(3-6)
7
或写成:
Df f f f f v vk Dt t x t xk
(3-7)
物质导数算子:
D vk v Dt t xk t
Du (a , t ) u v (a , t ) Dt t Dui (a , t ) ui vi (a , t ) Dt t
加速度(Euler形式)
Dv ( x , t ) v ( x , t ) w( x , t ) (v ( x , t ) )v ( x , t ) Dt t Dvi ( x , t ) vi ( x , t ) vi ( x , t ) wi ( x , t ) vk ( x , t ) Dt t xk
9
例1: 已知位移场 u1 m2t 2a1 , u2 u3 0 (Lagrange)
m 2t 2 u1 x , u2 u3 0 2 2 1 1 m t
(Euler)
w 求速度场 v 和加速度场
解:
v1 u1 2m 2ta1 , v2 v3 0 t v w1 1 2m 2 a1 , w2 w3 0 t
dx3 dx1 dx2 dt (3-8) v1 ( x1 , x2 , x3 , t ) v2 ( x1 , x2 , x3 , t ) v3 ( x1 , x2 , x3 , t )
联立求解得:
v1 0, v2 x3 , v3 x2
13
3 迹线和流线
t1
t3
t4 t5
t0
a (0) x
(1) x
(2) x
Leabharlann Baidu
(3) x
(4) x
质点 a 的运动轨迹
14
迹线:描述一个质点运动轨迹. 质点不同，运动轨迹不 v1 同,则迹线不同. v
2
v3
P2
i
对于一个质点,在空间坐标中,在不同的时刻处于不同的空间位置,可
以描述成:
x x (t )
或
xi xi (t )
质点不同,则质点的运动轨迹也不同. 加入质点因素,则有
xi xi (a1 , a2 , a3 , t ) xi (a, t ) x x (a , t )
et ( x2 x3 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2 v2 (1 et / 2 e t / 2) v3 (et / 2 e t / 2) v3
et ( x2 x3 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2 v2 (et / 2 e t / 2) v3 (1 et / 2 e t / 2)
其中:
a x (a , 0)
a1 x1 a 2 x2 a x 3 3
作为物质坐标函数的位移分量可表示为:
u1 x1 a1 u2 x2 a2 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2 a2 u3 x3 a3 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2 a3
v1
u1 u u u u u v j 1 1 v1 1 v2 1 v3 1 t x j t x1 x2 x3
2m 2 t m 2t 2 x v1 2 2 2 1 (1 m t ) (1 m 2t 2 ) 2m 2 t v1 x1 , v2 v3 0 2 2 (1 m t ) v v w1 1 v j 1 t x j
11
可得速度场分量为:
u1 0 t u v2 2 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2 t u3 v3 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2 t v1
(2)从运动方程可解得: a1 x1 a2 et ( x2 x3 ) / 2 e t ( x2 x3 ) / 2
a
f ( x , t ) f xi t x xi t t
a不变
(3-5)
质点速度
xi t
a
vi
则
一般物质导数用 D Dt 表示.
D DF (a , t ) F (a, t ) f ( x, t ) Df ( x, t ) Dt Dt t a不变 t a不变 Dt Df f ( x , t ) f ( x , t ) f ( x , t ) f ( x , t ) vk v Dt t x t xk
拉格朗日方法:以质点为研究对象,研究在给定质点上的物理量随时间 的变化规律,以及物理量从一个质点到另一个质点的变化规律. 物理量 看成 a 和
F (a, t ) F (a1, a2 , a3 , t )
t 的函数
(3-1)
1
空间坐标(Euler坐标):标记各个质点在不同时刻占据的空间位置
每个时刻连续介质所占据的空间位置上都有一个质点存在.质点和 空间位置一一对应.
4
空间导数,物质导数
物理量:
a a ( x, t )
空间导数
f ( x , t ) F (a , t )
x x (a , t )
f ( x , t ) F (a , t ) F (a , t ) F a t x t x t t a a t t x x F (a , t ) F ai (3-4) t a ai t t x
分量形式:
曲面
f1 ( x1, x2 , x3 , a) 0 f2 ( x1 , x2 , x3 , a) 0
a 迹线
15
消去时间 t
欧拉描述的迹线:
Dx x (a, t ) 轨迹与速度的联系: v ( x, t ) Dt t a
dx1 v1 ( x , t ) v1 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt dx2 v2 ( x , t ) v2 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt dx3 v3 ( x , t ) v3 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt
1) 速度(Lagrange形式)
2) 速度(Euler形式) Du u v (v )u Dt t Dui ui u vi ( x , t ) vk i Dt t xk
v v ( x, t ) v ( x1 , x2 , x3 , t ) 为瞬时速度场. vi ( x, t ) vi ( x1 , x2 , x3 , t )
第三章 连续介质运动学
3.1、物质坐标和空间坐标
1. 物质坐标和空间坐标的概念 物质坐标(Lagrange 坐标): 标记各个质点 一般选取各个质点的初始空间位置
a (a1 , a2 , a3 )
其位置的历史为
x1 x1 (a1 , a2 , a3 , t ), x2 x2 (a1 , a2 , a3 , t ), x3 x3 (a1 , a2 , a3 , t )
质点的运动速度?
物质导数
f ( x , t ) F (a , t ) f ( x , t ) F x t a t a t a t x x t t a f ( x , t ) f xi 质点的运动速度? t x xi t t a
or vi xi t
速度定义
加速度
2 2 v u x w(a , t ) 2 2 t t t
6
物质导数:即随体导数,给定质点上函数对时间的变化率.
t F (a , t ) f ( x , t ) f ( x , t ) f x t a t a t x x t t a
10
例2. 运动由下式给出,确定作为物质形式和欧拉形式的速度分 量. x a
1 1
x2 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2 x3 et (a2 a3 ) / 2 e t (a2 a3 ) / 2
解:(1) 位移场 u (a, t ) x (a, t ) a