线性代数§1.2n阶行列式习题与答案

§ n 阶行列式

为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念。为此，先介绍排列的有关知识。

㈠排列与逆序：(课本P4)

１、排列的定义：由数码1，2，…，n ，组成一个有序数组12n i i i L ，

称为一个n 级排列。

【例1】1234是一个4级排列，

3412也是一个4级排列，

而52341是一个5级排列。(课本P4中例)

【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。

【例3】数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列。

２、逆序的定义：在一个n 级排列12n i i i L 中，如果有较大的数t i 排在s i 的前面，则称t i 与s i 构成一个逆序。(课本P4)

【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，

在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。 3、逆序数的定义：一个n 级排列12n i i i L 中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为12()n N i i i L 。(课本P4) 【例5】排列3412的逆序数为N (3412) = 4，

排列52341的逆序数为N (52341) = 7， 自然序排列的逆序数为0。

4、奇、偶排列的定义：如果排列12n i i i L 的逆序数12()n N i i i L 是奇数，

则将12n i i i L 称为奇排列；如果排列12n i i i L 的逆序数12()n N i i i L 是偶数，则将12n i i i L 称为偶排列。(课本P4)

【例6】由于N (3412) = 4，知排列3412是偶排列，

由于N (52341) =7，知排列52341是奇排列， 由于N (123…n ) = 0，知自然排列123…n 是偶排列。

【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。奇偶排列各占一半。

5、对换的定义：在一个n 级排列1t s n i i i i L L L 中，如果其中某两个数t i 与s i 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n 级排列

1s t n i i i i L L L ，这样的变换称为一个对换，记作(,)t s i i 。(课本P5)

【例8】在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214。 【例9】偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214；

反之，奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412。 定理 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。(课本P5) 定理的证明见课本P5。

【例10】奇排列132经对换(3，2)得到偶排列123，

偶排列312经对换(1，2)得到奇排列321。

定理1. 2 n 个数码(2n )共有n ！个n 级排列，其中奇、偶排列各占一半。(课本P6)

定理的证明见课本P6。

【例11】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有

123，312，231三个。

相应练习见课本

【第四版】习题一(A)中的8大题。

=============================================== ㈡ n 阶行列式的定义：(课本P6)

我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手，引出n 阶行列式的定义。 二阶行列式为

1112112212212122a a a a a a a a =-， 三阶行列式为11

1213

21

222331

32

33

a a a a a a a a a 112233122331132132a a a a a a a a a =++ 112332122133132231a a a a a a a a a ---，

我们可以从二阶、三阶行列式中发现以下规律：

(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和； (2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，

三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行

和不同的列；

(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号。

作为二、三阶行列式的推广，我们给出n 阶行列式的定义。 定义 用2

n 个元素ij a （,1,2,,i j n =L ）和双竖线组成的记号

11121212221

2n n n n nn

a a a a a a a a a L L L L

L L L

称为n 阶行列式。有时简记为ij a 。(课本P7)

n 阶行列式的定义包含如下的内容：

⑴构成：n 阶行列式的横排称为行，纵排称为列。元素ij a 的第一个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标j 表示这个元素位于第j 列，称为列标。(课本P7)

【例12】三阶行列式 258

1

47369

A =有3行3列共32 = 9个元素。 其中，第二行元素为 1，4，7；第二列元素为5，4，6，

元素7的位置为第2行第3列。

⑵含义：n 阶行列式是n ! 个项的代数和，其中每一项是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积。(课本P8)

由于一个项中的n 个乘积元素来自不同的行，而乘法满足交换率，故为方便分析，可以将n 个元素按行码的自然数顺序排列，再分析列码的状态。

当行码按自然序列排列后，列码的不同排列即对应不同的项，由于n 个元素共有不同排列n!个，从而n 阶行列式中共有n!个不同的项。 【例13】一阶行列式│a │= a 只有1个项。 【例14】三阶行列式

11

1213

21

222331

32

33

a a a A a a a a a a =112233122331132132a a a a a a a a a =++