立体几何中求异面直线所成的角解法举例

立体几何中求异面直线所成的角解法举例

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.

例1：如图，在Rt AOB △中，π6

OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；

（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的正切值． 解法1（几何法）：

（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，

BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =，

CO ∴⊥平面AOB ，

又CO ⊂平面COD ．

∴平面COD ⊥平面AOB ．

（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．

在Rt COE △中，2CO BO ==，112

OE BO ==，

CE ∴

又12

DE AO ==

∴在Rt CDE △

中，tan CE CDE DE

∠===

∴异面直线AO 与CD

解法2：（I ）同解法1．

（II ）（坐标法）建立空间直角坐标系O xyz -， 如图，则(000)O ，，

，(00A ，，(200)C ，，

，(0D ，

∴(00OA =，

，(2CD =-， ∴cos OA CD OA CD OA CD

<>=

，664322

==

O C

A

D

B

E

x

∴异面直线AO 与CD

小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：

①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线；

②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.

一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：0,2π⎛⎤

⎥⎝⎦

.

例2：如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4.

(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；

(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角余弦值； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 解法一（几何法）：

（Ⅰ）取AD 的中点，连结PM ，QM . 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD . 同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .

（Ⅱ）连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面.取OC 的中点N ，连接PN . 因为

21,21===OC NO OA NO OQ PO ，所以OA

NO

OQ PO =， 从而AQ ∥PN ，∠BPN （或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角.

因为3PB ===，

PN ===

10)2()22(22

2

2

=+==ON

OB BN

Q

B

C

P

A

D

O

M

所以93

3

3210392cos 222=

⨯⨯-+=⋅-∠PN PB BN PN PB BPN ＋＝. 从而异面直线AQ 与PB

所成的角是9

. (Ⅲ)连结OM ，则11

2.22

OM AB OQ === 所以∠MQP ＝45°.

由（Ⅰ）知AD ⊥平面PMQ ，所以平面PMQ ⊥平面QAD . 过P 作PH ⊥QM 于H ， PH ⊥平面QAD .从而PH 的长是点P 到平面QAD 的距离.

又0

3,sin 452

PQ PO QO PH PQ =+=∴==

即点P 到平面QAD

的距离是2

. 解法二（坐标法）：

（Ⅰ）连结AC 、BD ，设O BD AC = .

由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD . 从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD . （Ⅱ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .

由（Ⅰ），QO ⊥平面ABCD .

故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图）， 由题条件，

相关各点的坐标分别是P （0，0，1），A （22，0，0）， Q （0，0，－2），B （0，22，0）.

所以(2)AQ =-

-(0,1)PB =-，

， 于是9

3

,cos =〉〈PB AQ .

(Ⅲ)由（Ⅱ），点D 的坐标是（0，

－，0）

，

(AD =--，

(0,0,3)PQ =-，设(,,)n x y z =是平面QAD 的一个法向量，

由00n AQ n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

得00z x y +=+=⎪

⎩. 取x =1

，得(1,1,n =-.

所以点P 到平面QAD 的距离32

2

PQ n d n

⋅==.