主观概率和先验分布

第二章主观概率和先验分布

Subjective Probability and Prior Distribution 本章要紧参考文献：60，52，上帝如何样掷骰子

§2-1 差不多概念

一、概率（probability）

1. 频率

fn(A)==Na/N

fn(A) …古典概率的定义 P (A)==lim

n

2. Laplace在《概率的理论分析》(1812)中的定义

P(A)==k/N

式中，k为A所含差不多事件数，

N为差不多事件总数

适用条件 1.差不多事件有限

2.每个差不多事件等可能

3.公理化定义

E是随机试验,S是E的样本空间,对E的每一事件A,对应有确定实数P(A),若满足:

①非负性：0≤P(A)≤1

②规范性： P(S)=1

③可列可加性：对两两不相容事件Ak (k=1,2…) (Ai∩ Aj=φ)

P(∪Ak)=∑P(Ak)

则称P(A)为事件A发生的概率

二、主观概率(subjective probability, likelihood)

1. 什么缘故引入主观概率

。有的自然状态无法重复试验

如：改日是否下雨

新产品销路如何

明年国民经济增长率如何

能否考上博士生

。试验费用过于昂贵、代价过大

例：洲导弹命中率

战争中对敌方下一步行动的可能

2.主观概率定义：合理的信念的测度

某人对特定事件会发生的可能的度量。

即他相信(认为)事件将会发生的可能性大小的程度。

这种相信的程度是一种信念，是主观的，但又是依照经验、各方而后知识，对

客观情况的了解进行分析、推理、综合推断而设定(Assignment)的，与主观臆测不同。

例：考博士生、掷硬币、抛图钉

三、概率的数学定义

对非空集Ω，元素ω，即Ω=｛ω｝，F是Ω的子集A所构成的σ-域(即Ω∈F；

若A∈F则A∈F；

若Ai∈F i=1,2,…则∪Ai∈F)

若P(A)是定在F上的实值集函数，它满足

①非负性 P(A)≥0

②规范性 P(Ω)=1

③可列可加性

则称P(A)为直的(主以或客观)概率测度，简称概率

ω为差不多事件

A为事件

三元总体(Ω，F，P)称为概率空间

注意：主观概率和客观概率（objective probability）有相同的定义

四、主客观概率的比较

(一) 差不多属性：

O：系统的固有的客观性质，在相同条件下重复试验时频经的极限

S：概率是观看者而非系统的性质，是观看者对对系统处于某状态的信任程度

(二)抛硬币：正面向上概率为１／２

O：只要硬币均匀，抛法类似，次数足够多，正面向上的概率确实是１／２，这是简单的

定义。

S：这确是定义，DMer认为硬币是均匀的，正、反面出现的可能性(似然率)相同，１

／２是个主观的量。

(三)下次抛硬币出现正面的概率是１／２

O：这种讲法不对，不重复试验就谈不上概率

S：对DMer来讲，下次出现正、反是等可能的。然而他不是讲硬币本身是公正的，它可能会有偏差，就他现有知识而言，没有理由预言一面出现的可能会大于另一面，但多次抛掷的观看结果能够改变他的信念。

O、S：下次抛硬币出现正面依旧反面不能确定，但明白：要么是正面，要么是反面。

§2-2 先验分布(Prior distribution)及其设定

在决策分析中，尚未通过试验收集状态信息时所具有的信息叫先验信息，由先验信息所确定的概率分布叫先验分布。

设定先验分布是Bayesean分析的需要.

一、设定先验分布时的几点假设

1.连通性(Connectivity)，又称可比性

即事件A和B发生的似然性likelihood是能够比较的：

A＞L B或A L B或B＞L A 必有一种也仅有一种

成立.

** A＞L B读作 A 发生的似然性大于B 发生的似然性,

A L

B 读作 A 发生的似然性与B 发生的似然性相当。

2.传递性(Transitivity)

若对事件A，B，C , A ＞L B， B ＞L C 则A ＞L C

3. 部分小于全体：若A B则B L A

例：设定明年国民经济增长率时：

①A：8～11% B：12～15% C：15～20%

若 A ＞L B， B ＞L C ，则 A ＞L C

② A：8～11% D：8～10% 必有D ＞L A

二、离散型随机变量先验分布的设定

1.对各事件加以比较确定相对似然率

例1. 考博士生 E：考取 E：考不取

若P(E)=2P(E) 则P(E)=2/3 P(E)=1/3

例2。某地气候状况：正常年景θ1，旱θ2，涝θ3

正常与灾年之比：3∶2 则P（θ1)=0.6

水旱灾之比1∶1 P(θ2)=P(θ3)=0.2

该法适用于状态数较少的场合

2.打赌法

设事件E发生时收入P，（0 ＜P ＜1）且 E＼c＝(1—P)

调整P，使决策人感到两者无差异为止, 则：P(E)=P

三、连续型RV的先验分布的设定

1.直方图法

·该法适用于θ取值是实轴的的某个区间的情况

·步骤：①,将区间划分子区间θi…离散化

②设定每个子区间的似然率π(θi)…赋值