高三数学课件复习第九章空间几何体

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高三数学一轮复习第九章《立体几何》9-3精品课件

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重点难点重点：①平面的概念与基本性质 ②空间直线、平面之间的各种位置关系难点：①证明点共线、线共点、点线共面等 • ②异面直线的判定
• 知识归纳 • 1．平面的基本性质 • (1)连接两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线． • (2)基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． • 基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面． • 基本性质3：如果两个不重合的平面有一
• (3)垂直直线 • 空间中如果两条直线相交于一点，或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．
• 3．直线和平面的位置关系 • (1)直线在平面内——有无数个公共点； • (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点； • (3)直线与平面平行——没有公共点 • 直线与平面相交和平行统称直线在平面外． • 4．平面与平面的位置关系 • (1)平行——没有公共点；
• ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形． • 设EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面
• ∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD， • ∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD. • ∴EH、FG、BD三线共点．
• 如图，在四面体ABCD中作截面PQR， PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证M、N、K三点共线．
• (2010·海南三亚)对于空间三条直线，有
下列四个条件：
• ①三条直线两两既不相交，也不平行；
• ②三条直线两两平行； • ③三条直线共点； • ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
• [例2] 如图所示，空间四边形ABCD中， E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE EB＝CF FB＝2 1，CG GD ＝3 1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH. • (1)求AH HD； • (2)求证：EH、FG、BD三线共点．

高三复习第九章空间几何体PPT教学课件

3.已知直线a、b、c，平面 α ，c //α，a α，b α ，且
a∥b，a与c是异面直线，求证：b与c是异面直线.
5.空间四点A，B，C，D每两点的距离都为a，动点P，Q
PQ 2 a 分别在线段AB，CD上，则点P与Q的最短距离是_______2_
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4.已知三直线a、b、c互相平行，且分别与直线l 相交于A、 B、C三点，
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基础达标
1.在空间中， ①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线. ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ___②_____(把符合要求的命题序号都填上)
2. 如图，四面体ABCD中，E，F分别是AC、BD的中点，
若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于_3_0_°_
5.空间四点A，B，C，D每两点的距离都为a，动点P，Q分别在线段AB，CD上，则点P与Q的最短距离是________ PQ 2 a
2
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，那么（1）哪些棱所在直线与直线BA1成异面直线:__________ （2）直线BA1与CC1所成角的大小为________ （3）直线BA1与B1C所成角的大小为________ （4）异面直线BC与AA1的距离为________ （5）异面直线BA1与CC1的距离是________
答案：（1）D1C1、D1D、C1C、C1B1、DC、AD （2）45° （3）60° （4）a （5）a
2.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的
中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CCFB
CG CD
2 3
求证：三条直线EF、GH、AC交于一点.

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图形
表示法
如上、下底面分别是四边形 A′B′C′D′ 、四边形ABCD 的四棱柱，可记为棱柱ABCD
－ A′B′C′D′
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有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；棱锥有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱
2．多面体
多面体
结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻的侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点
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【变式 1】判断下列说法是否正确． (1)棱柱的各个侧面都是平行四边形； (2)一个 n(n≥3)棱柱共有 2n 个顶点； (3)棱柱的两个底面是全等的多边形； (4)如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．
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题型二空间几何体的平面展开图【例 2】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
（3）在同一直线或平行直线上，两条线段的平行投影线段的长度比等于这两条线段的长度比.
（4）与投射面平行的平面图形，
它的投影与这个图形全等.
F
（5）平行于投射面的线段，
它的平行投影与这条线段平行
且等长.
F’
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1、三视图的形成
V

高考数学一轮复习第9章第1节空间几何体的结构特征及三视图和直观图课件文新课标版

4．球的三视图都是圆，长方体的三视图都是矩形．圆 5．圆柱的正视图、侧视图都是，俯视图是全等的矩形． 6．圆锥的正视图、侧视图都是全等的等腰三角形，俯视图是圆及圆心． 7．圆台的正视图、侧视图都是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆． 8．表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．

9 ．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．

10．会推导空间两点间的距离公式．
一、空间几何体 1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱． 2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥． 3．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．

9．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，中分别画成平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度一半；平行于y轴的线段，长度变为原来的不变． 10．平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点． 11 ．圆柱、圆锥和圆台的侧面展开图分别矩形、扇形是和扇环．

解析： ①不符合圆柱母线的定义；③不符合圆台母线的定义．答案：D

2 ．已知半径为 5 的球的两个平行截面的周长分别为 6π 和 8π ，则两平行截面间的距离为 ( ) A．1 B．2 C．1或7 D．2或6

解析：若这两个平行截面在球心 O 的两侧，如图 1. 则截面周长为6π的圆的半径r1＝3，此时OO1＝4；截面周长为 8π的圆的半径r2＝4，此时OO2＝3，所以两平行线截面间的距离为7；当两平行线截面在球心 O的同侧，可以求得两平行截面间的距离为1.

高三数学一轮复习第九章《立体几何》97精品课件

三、直线的方向向量与直线的向量方程 1．对于定点A和向量a(a≠0)，经过点A与向量a平行 → ＝ta(t∈R)，称作以t为参数的参数的直线l的向量方程 AP 方程，向量a称为该直线的方向向量． 2．对空间任一确定的点O，点P在经过点A与a平行 → ＝ OA → 的直线l上的充要条件是：存在唯一的实数t，使 OP → ＝a，则 OP → ＝(1－t) OA → ＋tOB → ，叫做空间＋ta，在l上取 AB 直线的向量参数方程．
• 四、平面的法向量与平面的向量表示 • 1．如果向量a的基线与平面α垂直，则a称作平面α的法向量．
2．设A是空间任一确定的点，n为空间中任一非零向 → · 量．如果空间点M满足 AM n＝0 (1)，则点M在过点A与向量n垂直的平面α内．(1)式称为平面α的向量表示式，其中n 为平面α的法向量．
• 2．用向量方法研究直线与平面的有关位置关系 • 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量． • (1)l∥α或l⊂α⇔存在两个实数λ、μ，使a＝λv1＋ μv2⇔a·n＝0.
• (2)l⊥α⇔a∥n⇔存在实数t，使a＝tn.
a⊥v1 l⊥α⇔ a⊥v2
3．求直线到平面的距离设直线a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向 → ∥n，量，过A作AC⊥α，垂足为C，则AC →· → ＋CB → )· →· ∵AB n＝(AC n＝AC n， →· → |· ∴|AB n|＝|AC |n|. →· | AB n| → ∴直线a到平面α的距离d＝|AC|＝ |n| .
⑤转化为几何结论．
• 借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如： • 1．用向量方法研究两直线间的有关位置关系 • 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b.

09--知识要点高三数学总复习—立体几何

高三数学总复习高考复习科目：数学高中数学总复习（九）复习内容：高中数学第九章-立体几何复习范围：第九章编写时间：2004-7修订时间：总计第三次2005-4I.基础知识要点1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）［注］:三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成_8_部分.（X、Y、Z三个方向）二、空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线一共面有反且有一个公共点；平行直线一共面没有公共点；异面直线一不同在任一平面内［注］:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（X）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面:-，b与〉的关系是相交、平行、在平面:-内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（X）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（X）（并非是从平面外一点.向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦a,b是夹在两平行平面间的线段，若 a = b，则a,b的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）/ （二面角的取值范围日E b：180'》/ /_________________ （直线与直线所成角日乏（0：90计）1 12 （斜线与平面成角〔三io ,90 •）2（直线与平面所成角三0 ,90 I）方向相同方向不相同（向量与向量所成角e引0：180》推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直l1,l2是异面直线，则过l1,l2外一点P,过点P且与l1,l2都平行平面有一个或没有，但与l1,l2距离相等的点在同一平面内.（L i或L2在这个做出的平面内不能叫L i与L2平行的平面）三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）［注］:①直线a与平面：.内一条直线平行，则a II ■■ .（X）（平面外一条直线）②直线a与平面:-内一条直线相交，则a与平面：.相交.（X）（平面外一条直线）③若直线a与平面：•平行，则：•内必存在无数条直线与a平行.（V）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（X）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（X）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（X）（两直线可能相交或者异面）⑦直线丨与平面:- > '所成角相等，则:-I 1 . （X）（：.、■:可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA丄〉，a丄AO，得a丄PO （三垂线定理）得不出：•丄PO.因为a丄PO，但PO不垂直0A.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行［注］:①垂直于同一平面.的两个平面平行.（X）（可能相交，垂直于同一条直线.的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（V）（—条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（V）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点..向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.［注］:垂线在平面的射影为一个点.［一条直线在平面内的射影是一条直线.（X）］⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行［注］:一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系5.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面证明：如图，找0作0A、OB分别垂直于l1,l2，因为PM 二，,0A_ ", PM 二：x,OB _ :则PM _0A PM _0B.■Ti为钝取减,6.两异面直线任意两点间的距离公式: l = - m2亠n2亠d2亠2mncosv ( v为锐角取加,综上，都取加则必有日乏'o — I）I 2」7.⑴最小角定理：COST - COS十COS龙（V为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（/ PBN为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.图1成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有五、棱锥、棱柱1.棱柱.⑴①直棱柱侧面积：s =Ch （C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的②斜棱住侧面积：S （C1是斜棱柱直截面周长，丨是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵｛四棱柱｝-■｛平行六面体｝-■｛直平行六面体｝二｛长方体｝-■｛正四棱柱｝-■｛正方体｝.｛直四棱柱｝ '｛平行六面体｝=｛直平行六面体｝.四棱柱底面是平行四边形＞平行六面体侧棱垂直底面协直平行六面体底面是矩形底面是正方形■►正四棱柱侧面与正方体底面边长相等⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形都是全等的矩形.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（x）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.［注］:四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.；正棱柱的各个侧面推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为a, B, 了，则cos2a+cos2B+cos2Y=1 .推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为•蔦，：，，贝U cos2爲::;'cos2cos2=2 .B［注］:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 .（X ）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ② 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 .（X ）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）③ 对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体 .（X ）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④ 棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 .（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2•棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形［注］:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形 . ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 V 棱柱二Sh=3V 棱柱.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心［注］：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法） ⑵棱锥具有的性质:① 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：① 棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心② 棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心 ③ 棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心 ④ 棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心 ⑤ 三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心⑥ 三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心 .0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径［注］：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥是否全等）ii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直简证：AB 丄 CD, AC 丄BD : BC 丄AD.令 AB =a,AD =c, AC =b------ --- ------- ---- ------ 卜 ■+ + ------------------ --- + ----------------- --- ----- ++ \ /*■得 BC =AC _AB =b-a,AD =c = ・ BC AD =bc-ac ，已知 a c-b =0, b a=■ ac -be =0 则 BC AD =0.②正棱锥的侧面积：S n ^Ch '（底面周长为C ，斜高为h '）以知c 丄l ， 1则S ia 12S 底S 侧—（侧面与底面成的二面角为cosotcos 、； a =b ，二为二面角 a -I _b .1I ①，S 2I b ②，cos- a =b ③ 2S底cos：⑦ 每个四面体都有外接球，球心⑧ 每个四面体都有内切球，球.（X ）（各个侧面的等腰三角形不知-c =0③棱锥的侧面积与底面积的射影公式: 附abc=■①②③得ACiii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形简证：取AC 中点O'，则oo _AC,BO _AC= AC_ 平面00B= AC_BO=. FGH=90° 易知EFGH为平行四边形 =EFGH为长方形.若对角线等，则EF = FG二EFGH为正方形•3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：S=4nR2.②球的体积公式：V=4JI R33⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.附：①圆柱体积：V =：r2h ( r为半径，h为高)②圆锥体积：V r2h ( r为半径，h为高)31③锥形体积：V Sh( S为底面积，h为高)3晶J3 2 <3 24. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h a，S底 a ，S侧a3 4 4得_^2 6a -a2 R - ?a2R=R 2a/4、3 2a 3 -a 4 3 4 3 4 4 3 4 41 1注：球内切于四面体：V B MD二一s侧R 3 -S底R出底h3 3②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式六.空间向量.1. ( 1)共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合注：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.(x)［当b = 0时，不成立］②向量a,b,c共面即它们所在直线共面.(X)［可能异面］③若a // b，则存在小任一实数，，使a (x)［与b =0不成立］④若a为非零向量，则0a=0. (V)［这里用到，b(b=0)之积仍为向量］(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b=0)，a // b的充要条件是存在实数■(具有唯一性)，使a = ■ b .(3)共面向量：若向量a使之平行于平面：•或a在爲内，则a与爲的关系是平行，记作a // .工.(4)①共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a, b共面的充要条件是存在实数对x、M- Vy 使P =xa 亠yb .B②空间任一点0和不共线三点A、B、C,则OP =xOA +yOB +zOC（x+y+z=1）是PABC四点共面的充要条件.（简证：OP =（1 _y _z）OA yOB zOC =AP =yAB zAC > P、A、B、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2.空间向量基本定理：如果三.个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p = xa yb zc .推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使OP =xOA亠yOB亠zOC (这里隐含x+y+z工1)注：设四面体ABCD的三条棱，AB =b,AC =C, AD =d,其■1 4 —fc" —fc- -fr ! ! ，+中Q是厶BCD的重心，则向量A^-(a b C)用AQ AM MQ即证.3D3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标）轴是竖轴（对应为竖坐标）.y轴是纵轴（对应为纵轴）①令a=(a1,a2,a3),^(b1,b2,b3)，则a b =@1 二6 ,a2 4忌b) a b =a1 B p2b2亠a3b3l - a aa // 匕：二&11小1月21七2月31七3(.. - R) - - -b1 b2 b3a.I b：= a^ 亠a2b2亠a3b3= 0a = ； a a =. a’ 22 2 2 £3 2（用到常用的向量模与向量之间的转化：甘2 = 3 8— ^ = ■ a a ）cosgb =壬，a1b1 a2b2 a3b3|a 1 ,|b l 、①2+a? Jb：匚b? +b(②空间两点的距离公式： 2 2 2d= .(X2-X1)(y2-y1)(Z2 -Z1).（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面：•，则称这个向量垂直于平面：•，记作a」爲，如果a.丨壽那么向量a叫做平面:-的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面〉的法向量，AB是平面：.的一条射线，其中A :■，则点B到平面:-的距离为1 AB n丨.|n|②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角二T-；中平面:的法向量，则n1,n：所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n 1, “2方向相同，则为补角，①，“2反方，则为其夹角）.3③证直线和平面平行疋理：已知直线a .二平面v , A .B 三a,C D 三:；,且CDE 三点不共线，贝U a//的充要条件是存在有序实数对,.u 使A§ = ■ CD n.ii CE .（常设A§ = • CD ai CE 求解.，.i 若.，」存在即证毕，若.，不存在，则直线AB 与平面相交）.II.竞赛知识要点、四面体.1.对照平面几何中的三角形，我们不难得至U 立体几何中的四面体的类似性质： ① 四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；② 四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；③ 四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为 3 : 1 ;④ 12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形.（在直角四面体中，记 V 、I 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的咼），则有空间勾股定理：S △ ABC +S 2A BCD +S 2A ABD =S 2^ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体 ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ,体积为V ，外接球半径为 R ，内接球半径为r ，高为h ），则有[ 222 22 2 222① 等腰四面体的体积可表示为 VJ b c c a a b3”222② 等腰四面体的外接球半径可表示为 R 2 ,a 2 b 2 c 2 ；4③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为 ④ h = 4r.、空间正余弦定理空间余弦定理：cos / ABD=COS / ABCcos / CBD+sin / ABCsin / CBDcos / A-BC-D空间正弦定理: sin / ABD/sin / A-BC-D=sin / ABC/sin / A-BD-C=sin / CBD/sin / C-BA-D ABD。

高三数学(人教B版)总复习配套课件：第九章立体几何9-2

基础巩固强化1.(文)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2[答案] B [解析]三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O 1、O 2的连线的中点O 处，连接O 1B 、O 1O 、OB ，其中OB 即为球的半径R ，由题意知：O 1B ＝23×3a 2＝3a 3，所以半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 32＝7a 212，所以球的表面积是S ＝4πR 2＝7πa 23，故选B.(理)(2012·昆明第一中学模拟)侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，BC ＝3，若球O 的体积为2053π，则这个直三棱柱的体积等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D. 3[答案] D[解析] 设球O 的半径为R ，则4πR 33＝205π3，∴R ＝5，设△ABC 外接圆半径为r ，BC 边上的高为h ，则h ＝12－(32)2＝12，(h －r )2＋(32)2＝r 2，∴r ＝1；设棱柱的高为H ，则R 2＝r 2＋(H2)2， ∴H ＝4，∴V 棱柱＝12×3×12×4＝ 3.2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．2B ．1 C.23 D.13[答案] B[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为V＝12×2×1×2＝1.3．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为()A．29cm B．30cm C．32cm D．48cm[答案] A[解析]如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20－H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h＋20－H，故上面圆柱液面高度为28－(h＋20－H)＝H＋8－h，由两圆柱内液体体积相等得9πH＋π(20－H)＝π(h＋20－H)＋9π(H＋8－h)，∴h＝9，几何体总高度为20＋9＝29cm.[点评]抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得：π×32×(H－28)＝π×12×(H－20)，∴H＝29(cm)，解题过程就简捷多了．4.(2012·山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为()A．12个B．13个C．14个D．18个[答案] B[解析]由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在2层的情形，中间一排，只有一层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在2层的情形，中间一排只有一层，因此此几何体最多可由13个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？5．(文)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个三棱柱的体积是()A．963B．483C．243D．16 3[答案] B[解析]已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆等于球的大圆．设底面正三角形的边长为a，球的半径为R，则a＝23R，又43πR3＝32π3，∴R＝2，a＝43，于是V＝34a2·2R＝48 3.(理)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB ⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于() A．4πB．3πC．2πD．π[答案] A[解析]∵AB⊥BC，∴AC为截面圆的直径，∴AC中点为截面圆的圆心．设D为AC中点，连OD，则OD⊥平面ABC，∵SA⊥平面ABC，∴SA∥OD.连SC，则SC＝SA2＋AC2＝12＋(3)2＝2.又SB＝2，BC＝2，∵SC2＝SB2＋BC2，∴∠SBC＝90°，∵∠SAC＝90°，∴SC为球O的直径，∵2R＝2，故R＝1，∴S球＝4πR2＝4π，选A.6．(2012·新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．18[答案] B[解析]由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱锥的底面是等腰三角形，底边长为6，底边上的高为3，面积S＝12×6×3＝9，由正视图和侧视图可知棱锥的高为3，∴体积V＝13×9×3＝9.7.(2011·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．[答案]2 6[解析]由展开图可知，该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，∴高h＝(32)2－(12)2＝22，∴体积V＝13×12×22＝26.8．(2012·德州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，其主视图、俯视图、左视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是________．[答案]3π[解析]由主、左视图知，该几何体为锥体，由俯视图知，几何体底面为等腰直角三角形，故几何体为三棱锥，由主、左视图知，几何体有一侧棱与底面垂直，此侧棱在左前方，其直观图如图，由条件知AB、AC、AP两两垂直，且都为1，故它的外接球直径2R＝12＋12＋12＝3，∴R＝3 2，∴球表面积S＝4πR2＝3π.9．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，如图所示，则CP＋P A1的最小值为________．[答案]5 2[解析]P A1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．CP＋P A1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理得，A1C＝62＋(2)2－2·6·2·cos135°＝52，故(CP＋P A1)min＝5 2.[点评]多面体或旋转体表面上两点的最短距离问题，一般选择恰当的棱或母线剪开展平，转化为平面上两点间线段最短问题解决．10．(文)如图所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱P A、PB、PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P－ABC中，求证：P A⊥BC.(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积．[解析](1)证明：由题设知A、B、C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3，从而PB＝PC，AB＝AC，取BC的中点D，连AD、PD，则AD⊥BC，PD⊥BC，∴BC⊥平面P AD.故P A⊥BC.(2)由题设有，AB＝AC＝12P1P2＝13，P A＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝13，∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2＝12，在等腰三角形DP A 中，底面P A 上的高 h ＝AD 2－(12P A )2＝119，∴S △DP A ＝12P A ·h ＝5119，又BC ⊥平面P AD ， ∴V P －ABC ＝V B －PDA ＋V C －PDA ＝13BD ·S △DP A ＋13DC ·S △PDA ＝13BC ·S △PDA ＝13×10×5119 ＝503119.(理)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P－ABCD 的体积．[解析] (1)证明：∵P A ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ∴CE ⊥P A ，又∵AB ⊥AD ，CE ∥AB .∴CE ⊥AD . 又∵P A ∩AD ＝A ，∴CE ⊥平面P AD . (2)由(1)可知CE ⊥AD .在Rt △ECD 中，DE ＝CD ·cos45°＝1，CE ＝CD ·sin45°＝1. 又∵AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形． ∴S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △CDE ＝AB ·AE ＋12CE ·DE ＝1×2＋12×1×1＝52. 又P A ⊥底面ABCD ，P A ＝1所以V 四棱锥p －ABCD ＝13S 四边形ABCD ×P A ＝13×52×1＝56.能力拓展提升11.(2011·山东济南一模)一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是( )A．(80＋162)cm2B．84cm2C．(96＋162)cm2D．96cm2[答案] A[解析]其直观图如上图所示，由三视图知，棱锥底面是边长为4的正方形，高为2，棱柱与棱锥同底，高为4，因此棱锥的顶点到底边的距离是22＋22＝22cm，故该几何体的表面积为S＝(12×4×22)×4＋(4×4)×5＝80＋162(cm2)．12．(文)(2011·北京东城区练习)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()[答案] B[解析]左视图的投射线如图所示，则可取平面BCC1B1为投射面，点A、D、D1的射影依次为B、C、C1，从而线段AB1、AD1的投影依次为BB1、BC1，从左侧向右看，CC1应在BB1的左侧，故选B.(理)(2011·安徽“江南十校”联考)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A ．8 B.203 C.173 D.143[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱台AEF －A 1B 1D 1后，所剩的几何体，由于正方体棱长为2，∴所求体积V ＝23－13(12＋2＋2×12)×2＝173.13.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1.在三角形内挖去半圆(圆心O 在边AC 上，半圆分别与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于点N )，则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为______．[答案]53π27[解析]阴影部分绕AC旋转一周所得旋转体为圆锥中挖去一个球，圆锥的体积V＝13π×12×3＝33π，球体积V1＝4π3×⎝⎛⎭⎪⎫333＝43π27，故所求体积为3π3－43π27＝53π27.14．侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为________．[答案] 6[解析]沿侧棱VA剪开，侧面展开如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，∴AA1＝2AD＝6.15.(2012·新课标全国文，19)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．[分析](1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直；(2)平面BDC1分棱柱成两部分，下面部分B－ADC1C为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比．[解析](1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得，V1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1):V1＝1:1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1:1.[点评]本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法．求解几何体的体积时，若遇不规则的几何体时，经常采用割补法和间接法求其体积．16．(2012·河南六市联考)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面P AC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M－ACD的体积．[证明](1)由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE 为矩形，∴AE＝DC＝1又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝2，∴AD＝CE＝1，则AC＝AD2＋CD2＝2，AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC . (3)∵M 是PC 中点，∴M 到平面ADC 的距离是P 到平面ADC 距离的一半． ∴V M －ACD ＝13S △ACD ·(12P A )＝13×(12×1×1)×12＝112.1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E 、F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积( )A ．与x 、y 都有关B ．与x 、y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关 [答案] C[解析] 设P 到平面EFQ 的距离为h ，则V P －EFQ ＝13×S △EFQ ·h ，由于Q 为CD 的中点，∴点Q 到直线EF 的距离为定值2，又EF ＝1，∴S △EFQ 为定值，而P 点到平面EFQ 的距离，即P 点到平面A 1B 1CD 的距离，显然与x 有关与y 无关，故选C.2．(2011·北京市海淀区模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [答案] D[解析] 根据三视图可知几何体是四棱锥，其底面是上底长为1，下底长为2，高为2的直角梯形，棱锥的高为2，其体积为：V ＝13×[(1＋2)×2×12]×2＝2.3．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为( )A.21 B ．1 C ．1＋22 D. 2 [答案] D[解析] 由条件知球O 半径为32，球心O 到直线EF 的距离为12，由垂径定理可知直线EF 被球O 截得的线段长d ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2.4．如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a 的直角三角形，侧(左)视图是半径为a 的半圆，则该几何体的体积是( )A.36πa 3 B.3πa 3 C.34πa 3 D ．23πa 3[答案] A[解析] 由侧(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上如图，由条件知，圆锥的母线长为2a ，底面半径为a ，故高h ＝(2a )2－a 2＝3a ，体积V ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×πa 2×3a ＝36πa 3.5．(2011·潍坊二检)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.1423 B.2843 C.2803 D.1403[答案] B [解析]截去一角在正视图中位于左侧上部，在侧视图中位于右侧上部，结合俯视图可知，截去的一角应位于几何体的上部左前方，可画出多面体的形状如图．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843.6．(2012·吉林省实验中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是 1 的圆，则这个几何体的体积是( )A.4π3 B ．π C.2π3D.π3[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是半径为1的球去掉了半球的一半，故几何体是34个球，体积V ＝34×(43π·13)＝π.。

高考文科数学一轮复习第九章立体几何第一节空间几何体课件

为正三棱锥,
易得PB⊥AC,又E,F分别为PA,AB的中点,
所以EF∥PB,所以EF⊥AC,又EF⊥CE,CE∩AC=C,
所以EF⊥平面PAC,PB⊥平面PAC,
所以∠BPA=90°,所以PA=PB=PC= ,
所以P-ABC为正方体一部分,2R=
,
即R= ,所以V= πR3= π× = π.
2
222 6
全等的_等__腰__梯__形__
_圆__
侧面展开图
_矩__形__
_扇__形__
_扇__环__
3.直观图斜二测画法规则: (1)夹角:原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 _____,z′轴与x′轴(或y′轴)_____. (2)方向:原图形中与x轴、y轴、z轴平行的,在直观图中与x′轴,y′轴,z′轴 _____. (435)°长度:原图形中与x轴、z轴平垂行直的,在直观图中长度不变,原图形中与y轴平行的,长度变成原来的____.
3 2
提示:(1)×,也可以是棱台. (2)×,棱锥其余各面都是有同一个公共顶点的三角形. (3)×,侧棱延长后必须交于一点. (4)×,必须用平行于底面的平面去截棱锥. (5) ×,圆锥的三视图中,有两个三角形一个圆. (6) ×,锥体的体积等于底面积与高之积的三分之一. (7) √,正方体的体对角线是球的直径.
4 213 3
5.(必修2P45例2改编)一个圆台的母线长为20,上底面的直径为20,母线与底面所成的角为60°,求这个圆台的表面积和体积. 【解析】因为上底面的直径为20,所以圆台的上底面的半径为10, 如图,画出圆台的轴截面的一半.
因为母线与底面所成的角为60°,所以∠ABC=60°,高h=O1O=AC=10 ,BC=10, 所以下底面半径OB=20,所以圆台的侧面积为S侧=π(r上+r下)l=π(10+20)×20= 600π,上底面的面积为 =100π,下底面的面积为 =400π,所以圆台的表

空间几何体的结构特征及三视图和直观图经典课件(最新)

图 12
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【反思·升华】三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度，由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等．
(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项：①注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征；
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空间几何体的结构特征及三视图和直观图课件
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1．空间几何体
【最新考纲】
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构．
Hale Waihona Puke (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，
能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图．
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(3)旋转体的展开图 ①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长； ②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长； ③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：圆锥和圆台的侧面积公式 S 圆锥侧＝21cl 和 S 圆台侧＝21(c′＋c)l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．
答案：D
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高频考点 2 空间几何体的三视图【例 2.1】 (2018 年高考·课标全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图 8 中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

高三数学一轮复习第九章《立体几何》96课件

yO→B＋zO→C.
4．空间向量的数量积
(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 O→A
＝a，O→B＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角，记作〈a，b〉． • (2)空间向量a、b的数量积的定义，性质及运算律与平
面向量相同．
• 5．空间向量的直角坐标运算
• (1)空间向量的直角坐标
• 设i，j，k是单位正交基底，对于空间任一向量a，由空间向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(a1，a2， a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组(a1，a2，a3)叫做a 在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记为a＝(a1，a2， a3)．
A.12a－23b＋12c B．－23a＋12b＋12c C.12a＋12b－23c D.23a＋23b－12c
分析：∵OM＝2MA，∴ O→M 可以用 O→A 表示，∵N为 BC的中点，∴ O→N 可以用 O→B 与 O→C 表示，向量 M→N 可以用 O→N与解O析→M：表M→示N，＝因O→N此－M→O→NM可＝以12用(O→aB、＋bO→、Cc)－表23示O→．A
• 重点难点
• 重点：①掌握空间向量加、减、数乘、数量积的运算和运算律．
• ②掌握共面、共线向量定理和空间向量分解定理． • 难点：共面向量定理与空间向量基本定理的理解与应用
• 知识归纳
• 1．空间向量及其加减与数乘运算
• (1)在空间中，具有大小和方向的量叫做向量．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
• 5．特别注意向量的数量积运算与实数的积的区别
• (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cosθ的符号所决定．
• (2)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0，因为其中 cosθ有可能为0，即两向量垂直时a·b＝0.

高考数学一轮复习第九章立体几何9.1空间几何体课件理北师大版

_三__角__形__
互相_平__行__ 延长线交于_一__点__
_梯__形__
2.旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
平行、相等且 _垂__直__于底面
相交于_一__点__
延长线交于_一__点__
轴截面全等的_矩__形__
全等的_等__腰__三__ _角__形__
全等的_等__腰__梯__形__
1
的,长度变成本来的__2__.
4.三视图几何体的三视图包括_主__视图、_左__视图、_俯__视图,分别是从几何体的正前方、正左方和正上方视察几何体画出的轮廓线.
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧=_2_π__r_l
S圆锥侧=_π__r_l
所以EF∥PB,且EF= 1 PB=x,
2
因为△ABC是边长为2的等边三角形,
所以CF= 3 ,又∠CEF=90°,所以CE= 3 x2,
AE= 1 PA=x,
2
在△AEC中,利用余弦定理得cos∠EAC=
x2 4 3 x2 ,作PD⊥AC于D,因为PA=PC,
22x
所以D为AC中点,cos∠EAC= AD 1 ,
2
提示:(1)×,也可以是棱台. (2)×,棱锥其余各面都是有同一个公共顶点的三角形. (3)×,侧棱延长后必须交于一点. (4)×,必须用平行于底面的平面去截棱锥. (5) ×,圆锥的三视图中,有两个三角形一个圆. (6) ×,锥体的体积等于底面积与高之积的三分之一. (7) √,正方体的体对角线是球的直径.
所以P-ABC为正方体一部分,2R= 2 2 2 6 ,

高三数学一轮复习第九章《立体几何》95精品课件

• (理)(2010·宁波市模拟)已知α，β表示两个互相垂直的平面，a，b表示一对异面直线，则a⊥b的一个充分条件是( ) • A．a∥α，b⊥β B．a∥α，b∥β • C．a⊥α，b∥β D．a⊥α，b⊥β
b⊥β ⇒b∥α或b⊂α，又a∥α，此时a与b位解析： α⊥β 置关系不确定，排除A；设α∩β＝l，当a∥b∥l时，排除 a⊥α ⇒a∥β或a⊂β α⊥β b⊥β
• 3．a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α是错误的，b与c相
交的条件不能少． 4．两平面垂直时，从一个平面内一点向另一个平面．．
作垂线，则垂足必落在交线上．
• • • •
• • • •
一、特殊点在平面上的射影 1．△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O， (1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC外心 (2)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC内心或旁心 (3)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心 2．∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O (1)若∠PCA＝∠PCB，则O在∠BCA的平分线上 (2)若P到∠BCA两边距离相等，则O在∠BCA的平分线上
• (文)(09·浙江)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( ) • A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β • B．若l∥α，α∥β，则l⊂β • C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β • D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β • 解析：若两平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则它垂直于另一个平面，故选C. • 答案：C
• (2)作棱的垂面，垂面与两个半平面的交线夹角，即二面角的平面角． • (3)在二面角的一个半平面内取一点A，过A向另一个半平面所在平面作垂线，垂足为B，再由B向棱作垂线，垂足为C，则∠ACB就是二面角的平面角或其补角．

【把握高考】高三数学最新专题课件第九章9.1《空间几何体的结构特征及三视图和直观图》(文数)人教版必修

答案：B
第九章立体几何初步
3．已知正△ABC的边长为a，则△ABC的水平放置直观图△A′B′C′的面积为________．
解析：如图(1)(2)所示的实际图形和直观图．由图(2) 可知
A′B′＝(A1B) ＝a，O′C′＝12O(C2＝) 43a，过点 C′ 作 C′D′⊥A′B′于点 D′，则 C′D′＝ 22O′C′ ＝ 8答6a案，：所1以66aS2△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝166a2.
4．三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．
第九章立体几何初步
5．画水平放置的几何图形的直观图时应注意的问题： (1)要根据图形的特点选取适当的坐标系，这样可以简化作图步骤． (2)平行于y轴的线段在画直观图时一定要画成原来长度的一半． (3)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．
第九章立体几何初步
解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征；对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等；对于C，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱．
答案：C
第九章立体几何初步
【即时巩固1】以下六个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点； ⑤各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ⑥顶点在底面上的射影是底面三角形的内心，又是外心的三棱锥必是正棱锥．其中真命题的序号是________．

高三数学课件 复习第九章空间几何体

高三数学一轮复习 第九章《立体几何》9-3精品课件

高三复习第九章空间几何体PPT教学课件

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高考数学一轮复习 第9章第1节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图课件 文 新课标版

高三数学一轮复习 第九章《立体几何》97精品课件