第二章(1) 自由度分析及系统分解

• 物料衡算 F1=F3， X1i= X3i （i=1,2，…，C-1） F2=F4， X2i= X4i （i=1,2，…，C-1） • 焓方程 H1+H3=H2+H4 • 传热方程 Q=K*A*△T • 压力方程 P3=f1(P1), P4=f2(P2)
（5）反应器
常用的反应器模型是规定出口反应程度的宏观模型。 不假定反应达到平衡，而是规定了r个独立反应的反应 程度（ §1，§2 ，…，§r )。向反应器提供的热量Q （移出时Q为负值）和反应器中的压降△P是两个设备 单元参数，所以共有r+2个设备单元参数，独立方程数 为C个组分物料平衡方程，1个焓平衡方程，1个压力 平衡方程，即独立方程数为C+2个。其自由度d
d=2(C+2)+(r+2) - (C+2 ) =(C +2)+ r + 2 F1，T1，P1 F2，T2，P2
Q
§1 §2 ……，△P
（6）压力变化单元
压力变化单元包括阀门、泵、压缩机等。压力单 元中除了压降△P作为设计参数规定外，对于 泵、压缩机而言，与物料无关的能量流（轴功） 也作为设计参数予以规定；独立方程数为C个 组份物料平衡方程，1个温度相等（忽略温度 变化）方程，1个压力方程，即独立方程总数 为C+2个。
统计模型与过程机理无关，是根据实验从输 入和输出变量之间的关系，经分析整理得到。 它只是在实验范围内有效，不具有外推性。
混合模型
对实际过程进行抽象概括和合理简化，然 后对简化的物理模型加以数学概述，这样 得到数学关系式称为混合型模型，它是半 经验半理论化性质的。
自由度分析的主要目的：在系统求解之前，确定 需要给定多少个变量，可以使系统有唯一确定 的解。
F(X)=0
单元操作过程的数学模型含有m个独立方程，其 中含有n个变量，且n>m，则该模型具有的自由 度为
d=n-m
即需要在n个变量中，给定d个变量的值，其余的 m个变量可通过m个方程求解。
为了求解单元数学模型而确定的d维独立变量称为决策变 量。 在m个变量中究竟选取哪d个，具有一定的“自由度”。 d个变量选择原则： 1）选那些受限制较多的变量.如冷却水的温度、流量等， 它们受当地气候和水资源条件的限制。又如高温状态 下物料的温度将受设备材料耐温性能的限制。 2）选出的变量，赋值后，可是系统模型方程的求解，最 为方便、容易。
注意：杜赫姆定理定义自由度时含有归一方程∑xi=1. 所以不含归一方程，则独立流股的自由度为C+3
2.2单元模型的自由度分析
单元模型方程的分类 物料衡算方程——指直接表达物料守恒关系式 的方程 热量衡算方程——指直接表达能量守恒关系即 热力学第一定律 设备约束方程——物料通过特定设备时受具体 设备的约束，按照特定的关系发生变化。 其他——如混合物中各组分摩尔分率之和必须 等于1的关系（摩尔分率约束方程）等。
当一个流股分成S个流股，指定输入流股变量C+2 个以及S-1个分割分率值，则可由S(C+2)个独立 方程式解出S个分支流股包含的变量。这样该 分割器的自由度为 d=(S+1)(C+2)+(S-1)-S(C+2)= (C+2)+(S-1)
（3）闪蒸器
F2，T2，P2
F1，T1，P1
Q
F3，T3，P3
d ( s ) d (jU ) k (j L ) d ( s ) 过程系统的自由度 d (jU ) 组成该系统的各个过程单元的自由度之和 k (j L ) 过程单元间各个联结流股的变量数之和
• 这个结论是基于每增加一个联结流股，就相应 地增加Cj+2个联结方程这一事实得出的。 • 联结流股变量数可以流股组份Cj表示 kj(L)= Cj + 2 上述例子中联结流股有7条，每个流股的变量数 是5，所以 ∑kj(L)= 5 × 7 =35
（2）分割器
由直观分析可知，当指定一股输入物流的变量(C+2) 以及一个分割率（其值在0～1之间），则该分割 器的两股输出物流的变量就完全确定了，即该简 单分割器的自由度为（C+2）+1。
F2 F1 C+2
r
F3
• • • • •
独立变量数3(C+2)+1, 过程参数(分流比U) 1个 2个温度等式 T1=T2, T1=T3 2个压力等式 P1=P2, P2=P3 2个物料平衡方程 F2= U*F1, F3=(1-U)*F1 组份等式 x1i=x2i (i=1,2,…，C-1) x1i=x3i (i=1,2,…，C-1) 独立方程数 2C+4
注意
• 本节所讲的自由度概念与“物理化学”课程中提到 的自由度不同。 • 在“物理化学”中，相律用下式表达体系的自由度
d=C-P +2
式中 C——组分数 P——想数目 “相律”中的自由度只涉及强度性质（T，P等）而不 涉及系统的大小数量。 在化工单元操作模型中，必须考虑系统的大小量、如 流股的质量流率、热负荷及压力变化等。
阀门自由度为 d=2(C+2)+1-(C+2)=(C+2)+1 泵、压缩机自由度 d=2(C+2)+2-(C+2)= (C+2)+2
C+2 △P C+2 C+2
1
C+2 2
C+2
C+2
通过对上述过程单元的自由分析，可 以归纳出过程单元的自由度计算通式：
d
(U )
(Ci 2) ( S 1) e r g
di(u) 9 8 9 6 7 6 7 52
• 该系统中自由度之和为∑di(u)=51
d ( s ) d (jU ) k (j L ) 52 35 17
实际建模的自由度分析：
平衡闪蒸的系统模型与分析
2.3 过程系统的结构分析
现代化的大型化工企业是一个规模庞大、结构复 杂、循环嵌套、影响因素众多的大型过程系统。 描述这样的系统要用成千上万个方程式，其中 常常会出现某些必须同时求解的非线性，代数、 微分方程混杂的方程组，当方程组的维数很高 时，即使使用计算机求解也存在一定的困难。 因此有必要采用结构分析的方法将系统分解， 把大系统分解成若干个相互独立的子系统，然 后按一定的次序计算、迭代求解。
过程系统的自由度分析
2
4 5
混合器5 压缩机5
1 5
分流器10
5 放空
5
反应器5
3
5 5
阀51Biblioteka 闪蒸95换热器8
5
3
1
1）有箭头数字代表Ci+2
3
5
1
产物
2）无箭头数字代表设备数
3）方框内数字代表独立方程数
单元名称 混合器 反应器 换热器 节流阀 闪蒸器 分流器 压缩机 离开系统物流 冷却水 产品 放空流股 总方程数 总流股数 单元参数总数 总变量数 过程的自由度
（3）闪蒸器
• 闪蒸器的加热量Q必须作为设备参数。故总变 量数为3（C+2）+1，表示闪蒸器变量间关系的 方程为： • 物料衡算方程 x1i * F1= x2i * F2 + x3i *F3 (i=1,2,….,C) • 热量衡算方程 F1 * H1+F2 * H2=F3 * H3 • 温度平衡方程 T2=T3 • 压力平衡方程 P2=P3 • 相平衡方程 x2i= ki * x3i (i=1,2,….,C) • 共有2C+3个独立方程 • 故自由度为d= 3(C+2)+1 –(2C+3) = （C +2）+2
机理模型
由过程机理出发，经推导得到，并得到实验验 证。一般只有对过程内在规律明确且相对比较简 单的研究对象才能建立机理模型。
例如：流体在圆管中作层流流动时其压力p变 化的关系式： p2-p1=32 l u / d2 机理模型是对实际过程直接的数学描述，是过 程本质的反映，因此其结果可以外推。
统计模型 数学模型也可以根据实验装置、中型或大型 工业装置的实测数据，通过数据回归分析得 到纯经验的数学关系式，这就是统计模型。 Nu=0.023Re0.8Pr0.3
F1H1+F2H2=F3H3
式中H——流股的比摩尔焓 F——流股的摩尔流量 x——流股中组分的摩尔分率 p——压力
独立方程数 C+2
混合器的独立方程数 m = C+ 2 混合器的自由度 d = n – m =3(C+2)-(C+2)= 2(C+2)
如果有S股输入物流，则自由度为S(C+2)，即相 当于S个输入流股变量后，混合器出口流股的 变量也就确定。
i 1
n
d (U ) 过程单元的自由度 n 输入的流股数 s 通过衡算区时出现分支的输出流股数 Ci 第i个输入流股的组份数 e 与物料无关的能量流和压力变化引入的自由度 r 反应单元的独立反应数 g 几何自由度，对于模拟和控制模型，设备是给定的，几何变量时常数，故g 0
• 在“化工热力学”中，杜赫姆（Duhem）定理指出，对于 一个已知每个组分初始质量的封闭体系，其平衡状态取决 于两个独立变量，而不论体系中有多少个相、多少个组分 或多少个化学反应。
• 根据该定理，可推知一个独立流股具有（C+2）个自由度。 • 如规定流股的中C个组分的摩尔流量以及流股的温度T和压 力P，则该流股就确定了。
（1）混合器
图中有2个流股合并成1个流股，每个流股有 C+2个独立变量，因此总的变量数有3(C+2） 个。
对该过程可以建立以下独立方程：
• 压力平衡方程 • 物料衡算方程 P3= min(P1,P2) F3= F1 + F2