自适应控制--第五讲 最小方差自校正控制
自适应控制--极点配置自校正
A F 1zdBGA m A 0
degF1 degB1 d 1
(14)
degGdegA1
并且右边的阶次小于等于左边阶次，即
d egA 0„d egA F 1d egA m
(15)
现将以上叙述归纳一下：
已知：过程多项式A、z-d和B；
性能要求：期望传递函数分母多项式Am；
1) 对多项式B进行因式分解，BBB，求
（3-2）
其中 F(z1)、R(z1) 和 G ( z 1 ) 为待定多项式，且 F ( z 1 ) 为首一多项式， y r ( k ) 为参考 输入。
这样构成的控制系统方框图见图2，表达式如下。
24
yr (k)
R( z 1 ) F (z1)
(k)
1 A( z 1 )
u(k)
y(k)
zd B(z1)
然后在式（10）中，假定它的左右两边各项有相同阶次，进而确 定和G的阶次，再根据左右两边相同阶次的系数应相等列代数方
程，并解之。
例1 极点配置设计1
设有被控对象：
( 1 1 .3 z 1 0 .3 z 2 ) y ( k ) ( z 2 1 .5 z 3 ) u ( k ) ( k )
两种自校正控制方法 间接自校正控制：按“模型参数－控制器参数－控制量算法”过程获得
的控制量，由于控制器参数是通过模型参数估计间接得到的故取名间接自校正 控制，又由于模型参数有明确的表达式，故又称为显式自校正控制。特点：直 观清晰，便于模块化设计，但计算量大。
直接自校正控制：不用估计模型参数，而是通过输入输出信息直接估计
则反馈系统的系统矩阵为:
0
1
0
L
0
0
1
L
自校正控制
y(k ) a1 y( k - 1) an y( k - n) b0 u( k - m ) b1u( k - m - 1) bn u( k - m - n) e(k ) c1e( k - 1) cne(k - n)
(1)
引入向后滞后算子 (q -1 ) , 即 y( k - 1) (q -1 ) y( k ) , 上式可简化为: A(q -1 ) y(k ) B(q -1 )u(k - m ) C (q -1 )e(k )
(4.6)
4. 最小方差预报误差 (比较(4.5)式和(4.6)式):
~( k m k ) y(k m ) - y( k m k ) D(q -1 )e(k m ) ˆ y
最小预报误差的方差:
~(k m k )2 ] E{[ D(q -1 )e(k m )]2 } E[ y E{[(1 d1q -1 d m -1q - ( m -1) )e(k m )]2 } E{[e(k m ) d1e(k m - 1) d m -1e(k 1)] }
-1 C (q -1 ) ) -1 - m E (q D(q ) q A(q -1 ) A(q -1 )
(4.3)
把(4.3)式代入(4.2)式:
C ( q -1 ) y( k m ) e( k m ) -1 A(q )
(4.2)
E (q -1 ) y( k m ) [ D(q -1 ) q - m ]e(k m ) -1 A(q ) E ( q -1 ) D(q -1 )e( k m ) e( k ) (4.4) -1 A(q )
二 最小方差预报律 (1) 最小方差预报律的提法
最小方差控制
(16)
B(q 1 ) F (q 1 )u(k ) -G(q 1 ) y(k )
此时系统输出的方差为：
(17)
2 2 E{ y(k d ) 2 } E{~ y (k d k ) 2 } (1 f1 f d 1 ) 2 (18)
由式(16)可见，最小方差控制律可以通过先求出输出提前d步的 ˆ (k d k ) ，然后令 y ˆ (k d k ) 等于理想输出值yr(这里yr=0) 预测值 y 而得到，因此最小方差控制问题可分离成两个问题，一个是预测 问题，另一个是控制问题。
利用式(4)可将式(8)化简为：
(8)
1 1 1 B ( q ) F ( q ) G ( q ) 1 y(k d ) F (q )e(k d ) u (k ) y(k ) (9) 1 1 C (q ) C (q ) 记基于k时刻的观测值对y(k+d)的预报为： ˆ (k d k ) 则它是k时 y
对该系统,有如下假设: 1. 被控系统时滞时间d以及时滞算子q-1的多项式A、B和C的阶 次及系数都已知; 2. 被控系统为最小相位系统,即多项式B(q-1)的所有零点都在单 位圆内; 3.A(q-1) 、 C(q-1) 所有零点都为稳定的 , 即所有零点都在单位 圆内; 4. {e(k)}为零均值白色噪声序列,且E{e2(k)}=2.
由最小方差控制的原理可知，最小方差是通过臵输出的 d步预测值y ˆ (k d k ) 为0而实现的。因此最小方差控制的核 心是预测。 令 (q-1)=G(q-1) = 0+ 1q-1 +...+ n-1q-(n-1)
(q-1)=B(q-1)F(q-1)=0+1q-1 +...+ n+d-1q-(n+d-1)
广义最小方差自校正控制
将其代入式（4-17）
J
E
P(z1) y(k d
k)
P(z1)E(z 1) (k
d)
R(
z
1
)
yr
(k
)
2
Q(z 1)u(k)2
由于(k d) 与yr (i), u(i), y(i), i „ k 不相关，并且它们的互相关函数为零，所以上式 可写为
J E P(z1) y(k d k) R(z1) yr (k)2 Q(z1)u(k)2 P(z1)E(z 1)(k d)2
小很多，对系统输出的影响可忽略不计，根据 z 变换的终值定理和 前面导出的表达式，系统输出的稳态值为
zd B(z1)R(z1)
q0 b0
Q(z 1)u(k)
P(z 1)E(z 1) (k
d)
z (k d k) P(z 1)E(z 1) (k d )
式中
(4-21)
z (k d k) P(z 1) y (k d k) R(z 1) yr (k) (q0 / b0 )Q(z 1)u(k) 于是，性能指标函数可表述为
y(k d k) u(k) f0 b0 ,
Q(z1)u(k) u(k)
q0
代入式（4-19），并不考虑符号 “E”，则有
P(
z
1 )
y
(k
d
k) R(z 1) yr (k)
f0
q0Q(z 1)u(k)
0
从而
3
u(k) R(z 1) yr (k) P(z 1) y (k d k) (q0 / b0 )Q(z 1)
(4-20)
除 z(k d) 外，其它符号含义同前。求使性能指标函数 4
J E z2(k d)
自适应控制--第五讲 最小方差自校正控制
3
最小方差控制
最小方差调节的基本思想是: 由于系统中信道存在着k步时滞,这就使得当前的控制作 用u(t)要到k个采样周期后才能对输出产生影响. 因此,要获得输出方差最小,就必须对输出量提前k步进行 预报,然后根据预报值来计算适当的调节作用u(t). 这样,通过不断的预报和调节,就能始终保持输出量的稳 态方差为最小.
1
自校正控制
控制器 参数设计
ˆ
辨识器
ˆ c
r（t）
控制器
u（t）
被控对象
y 过程为：
面对的三个问题： （1）对过程进行在线递推参数估计； （2）设计控制率； （3）设计在计算机上如何实现；
2
最小方差自校正控制
• 闭环系统可辨识条件 • 最小方差控制
• 最小方差自校正控制
• 广义最小方差控制 • 基于广义最小方差控制
闭环系统可辨识条件
闭环系统可辨识条件
闭环系统可辨识条件
Q( z ) C ( z ) F ( z )， Q( z )的阶次大于等于n 又 F ( z )是已知的 C ( z )的参数有唯一解，可辨识
闭环系统可辨识条件
其它最小二乘法参数估计
– – –
遗忘因子递推最小二乘法参数估计 增广最小二乘法参数估计 广义最小二乘法参数估计
遗忘因子递推最小二乘法参数估计
• 当采用递推最小二乘法时，已有的所有信息向量都会在递 推过程中发挥作用，因此随着时间的推移，新采集到的信 息向量对参数估计值的修正作用会逐渐减弱，称为“数据 饱和”现象，也就是说递推算法的计算效率逐渐降低。当 被辨识的系统参数缓慢时变时，递推最小二乘法参数估计 不能很好地实现系统辨识。 • 遗忘因子递推最小二乘法参数估计是在递推公式中加入遗 忘因子，逐渐减小旧信息向量在参数估计中的权重，以加 强新信息向量的作用，跟随系统参数的时变。
自适应控制
第一章 概述1.1 自适应控制的研究对象自适应控制是研究具有“不确定性”的控制系统的特性分析和综合（控制器设计）。
1. 系统不确定性产生的原因 1）内部不确定性（1）被控对象的结构（阶次）和参数由于建模误差引起的不确定性。
（2）被控对象的结构（阶次）和参数或者动态特性是时变的或随工作作条件改变而变化。
2）外部不确定性被控对象的运行环境（外部干扰）是随机信号而且它们的统计特性不确切知道或者是时变的。
2. 系统“不确定性”的数学描述 1）状态方程设一个线性离散时间系统，其状态方程如下：(1)(,)()(,)()()x k A k x k B k u k k θθε+=++ (1.1-1)()(,)()()y k C k x k v k θ=+式中：()()r r ()m 1 m x k y k u k ⨯⨯⨯——状态向量 n 1——输出向量 1 （由传感器数量决定）——控制向量 （由执行机构决定）{()}}{()}k u k ε——单位动态噪声称为随机序列，其统计特性未知——测量噪声(,)A k θ，(,)B k θ，(,)C k θ 分别为系统矩阵，输入矩阵，输出矩阵，其维数为,n n m n ⨯⨯⨯n ，v 。
k ——离散时间，k ~k T 。
其中T 为采样周期。
θ——S 维未知参数向量，可能A ，B ，C 中未知参数不同，为了简单起见，都设为S 维。
2）系统框图根据（1.1-1）式可以画出被控对象的结构框图。
1Z -(,)C k θ(,)B k θ(,)A k θ()u k ()k ε()x k ()y k ()v k (1)x k +图 1.1-1 被控对象的结构框图图中1z -是时间延迟因子，1()(1)x k z x k -=+，噪声{()k ε}和{v (k ）}作用于对象的不同部位，对于线性系统，可以等效于作用在输出端的一个噪声。
其统计特性例如期望值、相关函数等由于不确定性而未知，或随时间变化。
自适应控制第五讲最小方差自校正控制ppt(共41张PPT)
现代控制理论自校正控制
控制对象参数ˆ 。参数估计的常用算法 有随机逼近法、最小二乘法、极大似然 法等。调节器的功用是根据参数估计器 不断送来的参数估值 ˆ 。
图16－1
通过一定的控制算法，按某一性能指标不断地形成最优 控制作用。调节器的常用算法有最小方差、希望极点配置、 二次型指标等。其中，以用最小二乘法进行参数估计，按最 小方差来形成控制作用的自校正控制最为简单，并在战术导 弹控制中获得了实际应用。
自动驾驶仪
到目前为止，在先进的科技领域出现了许多形式不同的自 适应控制方案，但比较成熟并已获得实际应用的可以概括成 两大类： ⑴ 模型参考自适应控制； ⑵ 自校正控制。
自适应控制的应用领域
模型参考自适应控制需在控制系统中设置一 个参考模型，要求系统在运行过程中的动态 响应与参考模型的动态响应相一致（状态一 致或输出一致），当出现误差时便将误差信 号输入给参数自动调节装置，来改变控制器 参数，或产生等效的附加控制作用，使误差 逐步趋于消失。在这方面法国学者朗道(ndau) 把超稳 定性理论应用到模型参考自适应控制中来，做出了杰出贡献 。
1 d12 L
d2 m1
2
这样，我们得到了为输出序列线性函数的最优控制规律，因 此可以很方便地实现闭环控制。
第二节 最小方差自校正调节器
在第一节的讨论中，假设被控对象的模型已知，因此它 属于随机控制问题。最小方差自校正调节器所要解决的问题 是被控对象参数未知时的最小方差控制问题。这里，首先应 该通过适当的方法进行参数估计，然后以参数的估值来代替 实际的参数，按最小方差指标综合最优控制规律。
(16-15)
在辨识中，这类模型称为被控自回归滑动平均模型CARMA。
第一节 最小方差控制律
自适应控制基本原理-自校正控制
(2.48)
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.1 基本最小二乘方法
y(n 1) a1 y(n) an y(1) b0u(n 1) bnu(1) (n 1) y(n 2) a1 y(n 1) an y(2) b0u(n 2) bnu(2) (n 2)
u(n 2)
u(2)
y(n N 1) y(N ) u(n N ) u(N )
y(N) Φ(N)θ(N) ξ(N)
(2.49)
θˆ (ΦTΦ)1ΦT y
(2.54)
增加一个新的观测数据 u(n N 1), y(n N 1) ,则
(2.45a) (2.45b)
(k) 为独立的随机噪声，要求其满足
E( (k)) 0
(2.46a)
2 E{ (i) ( j)}
i j
0 i j
(2.46b)
lim
1
N
(k)2
N N
k 1
(2.46c)
随机噪声的均值为零,彼此相互独立，方差为有限正值,噪声的采样均方值有界。
如何解决上述问题？
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.2 递推最小二乘方法
y(n 1)
y(N)
y(n
2)
y(n
N
)
y(n) y(1) u(n 1) u(1)
Φ(N)
y(n 1)
y(2)
θˆ(N 1) ΦT (N)Φ(N) (N 1) T (N 1) 1 ΦT (N) y(N) (N 1)y(N 1) (2.57)
自适应控制基本原理-自校正控制
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.1 基本最小二乘方法
A(z1) y(k) B(z1)u(k) (k)
A(z1) 1 a1z1 an zn B(z1) b0 b1z1 bn zn
记：
θ [a1, a2 ,, an ,b0 ,b1,,bn ]T
自校正控制
自校正控制
最小方差自校正控制器 极点配置自校正控制器 自校正PID控制
自校正控制
自校正控制系统又称自优化控制或模型辨识自适应控制。
通过采集的过程输入、输出信息，实现过程模型的在线辨识和参数估计。 在获得的过程模型或估计参数的基础上，按照一定的性能优化准则，计算控 制参数，使得闭环系统能够达到最优的控制品质。
矩阵求逆定理 设A 、C 和 BCD均为非奇异矩阵，则
A BCD 1 A1 A1B C 1 DA1B 1 DA1
(2.58)
令
P(N) ΦT (N)Φ(N) 1
(2.59)
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.2 递推最小二乘方法
P(N 1) ΦT (N)Φ(N) (N 1) T (N 1) 1 P1(N) (N 1) T (N 1) 1
(2.45a) (2.45b)
(k) 为独立的随机噪声，要求其满足
E( (k)) 0
(2.46a)
2 E{ (i) ( j)}
i j
0 i j
(2.46b)
lim
1
N
(k)2
N N
k 1
(2.46c)
随机噪声的均值为零,彼此相互独立，方差为有限正值,噪声的采样均方值有界。
最小方差自校正控制
用最小方差自校正控制算法对以下系统进行闭环控制：y(k) -1.7y(k -1) 0.7y(k - 2) = u(k - 4) 0.5u(k - 5) (k) 0.2 (k -1) 式中(k)为方差为0.1的白噪声，取期望输出y r(k)为幅值为10的方波信号。
解：上式可以化为：(1 - 1.7z，0.7z')y(k)二z'(1 0.5z')u(k) (1 0.2zJ (k) 则有1 1 2A(z ) = 1-1.7z—0.7zA_JB(z ) = 1 0.5zC(z J) =1 0.2z Jd =4Diophantine 方程为：c(z‘)= A(Z')F(z‘)z“G(z‘)又有H(z」)二B(z」)F(z」)6 A取初值P(0)=10门(0) =0递推公式为：珂k)二珂k -1) K(k)[y(k) - 7(k- d户?(k -1)]K(k)- Pdgd)I ' 1+ 甲(k-d)P(k-1)?(k-d)[ P(k) = [l —K(k)叩(k —d)]P(k —1)程序清单如下：clear all; close all;na=length(a)-1; nb=length(b)-1; nc=length(c)-1;%多项式 A 、B、C 的阶次nh=nb+d-1; ng=na-1; %nh、ng 为多项式H、G 的阶次L=400;uk=zeros(d+nh,1); %输入初值：yk=zeros(d+ng,1); %输出初值yek=zeros(nc,1); %最优输出预测估计初值yrk=zeros(nc,1); %期望输出初值xik=zeros(nc,1); %白噪声初值yr=10*[ones(L/4,1);-ones(L/4,1);ones(L/4,1);-ones(L/4+d,1)]; % 期望输出xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); % 白噪声序列%递推估计初值thetaek=zeros(na+nb+d+nc,d);P=10A6*eye( na+n b+d+nc); %P(k )的初始值for k=1:Ltime(k)=k;y(k)=-a(2:na+1)*yk(1:na)+b*uk(d:d+nb)+c*[xi(k);xik]; % 采集输出数据%递推增广最小二乘法公式估计参数phie=[yk(d:d+ng);uk(d:d+nh);-yek(1:nc)];K=P*phie/(1+phie'*P*phie); thetae(:,k)=thetaek(:,1)+K*(y(k)-phie'*thetaek(:,1));P=(eye(na+nb+d+nc)-K*phie')*P;ye=phie'*thetaek(:,d); %预测输出的估计值%提取辨识参数ge=thetae(1:ng+1,k)'; he=thetae(ng+2:ng+nh+2,k)';ce=[1 thetae(ng+nh+3:ng+nh+2+nc,k)'];if abs(ce(2))>0.9ce(2)=sign(ce(2))*0.9;endif he(1)<0.1 %设h0 的下界为0.1 he(1)=0.1;end u(k)=(-he(2:nh+1)*uk(1:nh)+ce*[yr(k+d:-1:k+d-min(d,nc));yrk(1:nc-d)]-ge*[y(k);yk( 1:na-1)])/he(1); %控制量%更新数据for i=d:-1:2thetaek(:,i)=thetaek(:,i-1);endthetaek(:,1)=thetae(:,k);for i=d+nh:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);for i=d+ng:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);for i=nc:-1:2yek(i)=yek(i-1);yrk(i)=yrk(i-1);xik(i)=xik(i-1);endif nc>0yek(1)=ye;yrk(1)=yr(k);xik(1)=xi(k);endendfigure(1);subplot(2,1,1); plot(time,yr(1:L),'r:',time,y); xlabel('k'); ylabel('y_r(k) 、y(k)');legend('y_r(k)','y(k)'); axis([0 L -20 20]);subplot(2,1,2);plot(time,u);xlabel('k'); ylabel('u(k)'); axis([0 L -40 40]);figure(2)subplot(211) plot([1:L],thetae(1:ng+1,:),[1:L],thetae(ng+nh+3:ng+2+nh+nc,:)); xlabel('k'); ylabel('参数估计g、c'); legend('g_0','g_1','c_1'); axis([0 L -3 4]);subplot(212) plot([1:L],thetae(ng+2:ng+2+nh,:));xlabel('k'); ylabel('参数估计h');legend('h_0','h_1','h_2','h_3','h_4'); axis([0 L 0 4]);yr(k)y(k) o-2沁＞3■呻卜•如2020o-4o20k2-2o20k432h计估数参o20)Kry)K(yc、g计估数参。
自适应控制第五讲最小方差自校正控制
原理：通过实时调整控制参数，减 小误差，提高控制精度
优势：自校正控制能够适应不同 飞行环境和任务需求，提高无人 机执行任务的可靠性和成功率
最小方差自校正 控制的未来发展
最小方差自校正控制与其他控制方法的融合
最小方差自校正控制与模糊控制融合，提高系统的鲁棒性和适应性 最小方差自校正控制与神经网络控制融合，实现自适应学习和优化控制 最小方差自校正控制与滑模控制融合，降低系统的抖动和提高快速响应性能 最小方差自校正控制与多智能体系统融合，实现分布式协同控制和优化
线性方程组。
最小方差自校正控制的算法流程
确定系统参数： 根据系统特性 和要求，确定 需要估计的系
统参数。
建立模型：根 据已知的参数， 建立系统的数
学模型。
计算最优控制律： 根据建立的模型 和最小方差自校 正控制算法，计 算最优控制律。
实施控制：将计 算出的最优控制 律应用到实际系 统中，实现自校
正控制。
智能交通：用于实现智能交通信号控制，提高道路通行效率和交通安全。
航空航天：用于控制飞行器的姿态、高度、速度等参数，提高飞行器的稳定性和安全性。
机器人控制：用于实现机器人的精准定位、姿态控制、避障等功能，提高机器人的智能水平 和自主性。
最小方差自校正 控制的基本原理
最小方差自校正控制的数学模型
最小方差自校正 控制的应用实例
最小方差自校正控制在工业控制中的应用
简介：最小方差自校正控制是一种先进的控制算法，在工业控制领域中具有广泛的应用前景。
应用实例：该算法在化工、制药、钢铁等行业的反应釜温度控制、流量控制等方面取得了显著 的效果。
优势：最小方差自校正控制算法具有自适应、自学习、自校正等特点，能够快速适应工业现场 的复杂变化，提高控制精度和稳定性。
自适应第五章自校正控制(一)
E[e(k )] 0
随机序列{e(k)}为同分布、零均值，独立随机变量，其方差为 2(常数)
E[e(i)e( j )]
E[e 2 (i )] 2 , i j
E[e(i )]E[e( j )] 0, i j
最小方差自校正控制的基本思想：
1、假定u(k) 0,根据在k时刻已测得的y(0),y(1), , y(k)来预报(k+m) ˆ 时刻的y( k+m Y K ),即预报随机扰动x(k+m)。 (控制滞后m个采用周期，对输出提前m步预报－关键)
D (q 1 )=1+(c1 -a1 )q -1 (m 1 1阶)
(n 1 1阶)
E (q 1 ) [(c2 a2 ) a1 (c1 a1 )] a2 (c1 a1 )q 1
1
q 2 E (q 1 ) y(k+2) D(q )e(k 2) e(k 2) 1 A(q ) e(k+m),e(k+m-1), , e(k 1)线性组合， e(k 2) (c1 a1 )e(k 1) 与Y K 独立 E (q 1 ) e( k ) e(k),e(k-1), , e(0)线性组合，与Y K 不独立 1 A(q )
① 长除法。 ② 令恒等式两边q-1各次幂的系数相等，联立方程组。
举例：设A(q 1 ) 1 a1q-1 +a2q-2 C(q-1 )=1 c1q-1 +c2q-2 (n 2)
E(q -1 )=e0 e1q -1 (n 1 1阶)
若m=2,令D(q 1 ) 1 d1q-1 (m 1 1阶)
2、根据预报输出计算适当的控制作用u(k)，补偿由随机扰动在(k+m) 时刻对输出的影响。
自适应控制--自校正控制.详解
1
2
n
1
2
n
1
2
m
1
2
n
1
2
n
y (t1 ) 1 x1 (t1 ) 2 x2 (t1 ) n xn (t1 ) y (t ) x (t ) x (t ) x (t ) 2 1 1 2 2 2 2 n n 2 y (t m ) 1 x1 (t m ) 2 x2 (t m ) n xn (t m ) 矩阵向量形式：i.e Y X y (t1 ) x1 (t1 ) x2 (t1 ) y (t ) x (t ) x (t ) 2 2 Y 2 , X 1 2 y (t m ) x1 (t m ) x2 (t m )
(2)递推最小二乘估计算法:
T ( N 1) ( N ) K ( N 1)[ y ( N 1) ( N 1) ( N )] P( N ) ( N 1) K ( N 1) T 1 ( N 1) P( N ) ( N 1) P( N 1) [ I K ( N 1) T ( N 1)]P( N )
补充：什么是最小二乘算法？
实例1：量测电压 第一次 第二次 220V 210V 平均215V
ˆ e1 220 u 第一次误差： ˆ 设电压估计值为u ˆ e2 210 u 第二次误差： 准则：使误差平方和最小。
2 ˆ ) 2 (210 u ˆ ) 2 min 最小二乘准则：J e12 e2 (220 u
ˆ e ˆi 描述： yi hi x
准则：
最小方差控制
2 最小方差控制
最小方差控制的目的是要确定u(k)，使得输出的方差为最 小，由于u(k)最早只能影响到y(k+d)，因此选择性能指标为
J E{ y(k d ) }
2
(14)
上式可改写为：
ˆ (k d k ) ~ J E{ y (k d ) 2 } E{[ y y (k d k )]2 } ˆ (k d k ) 2 } E{~ E{ y y (k d k ) 2 }
在最小方差调节器的研究中,所讨论的被控系统的模型为 A(q-1)y(k)=B(q-1)u(k-d)+C(q-1)e(k) (1)
1 1 n A ( q ) 1 a q a q 其中： 1 n
B (q 1 ) b0 b1q 1 bn q n C (q 1 ) 1 c1q 1 cn q n
刻及以前的输入输出的函数。若对预测的要求是使预测的误差平 方即系统误差的方差为最小，则损失函数可表示为：
ˆ (k d k ) y (k d )]2 } J E{[ y
1 1 1 B ( q ) F ( q ) G ( q ) 1 2 ˆ ( k d k ) F ( q )e( k d ) E{[ y u ( k ) y ( k )] } 1 1 C (q ) C (q ) (10) 上式中F(q-1)e(k+d)与其它项均不相关，且由于{e(k)}为零均值 白噪声序列，式(10)可写为
1 最小方差预测
设在k时刻已观测到输出值y(k),y(k-1),…等，希望由此得到预 测值 y ˆ (k d k ) 。
1 1 B ( q ) C ( q ) 由式(1)有： y (k d ) u (k ) e(k d ) 1 1 A(q ) A(q )
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B ( z ) D( z ) E( z) u (t ) y (t ) C ( z) C ( z)
7
基于广义最小方差自校正控制（克拉克方案）
作业
1
自校正控制
控制器 参数设计
ˆ
辨识器
ˆ c
r（t）
控制器
u（t）
被控对象
y （ t）
可认为在自校正调节过程中，被控对象的模型是不变的，自校正控制的过程为：
面对的三个问题： （1）对过程进行在线递推参数估计； （2）设计控制率； （3）设计在计算机上如何实现；
2
最小方差自校正控制
• 闭环系统可辨识条件 • 最小方差控制
其它最小二乘法参数估计
– – –
遗忘因子递推最小二乘法参数估计 增广最小二乘法参数估计 广义最小二乘法参数估计
遗忘因子递推最小二乘法参数估计
• 当采用递推最小二乘法时，已有的所有信息向量都会在递 推过程中发挥作用，因此随着时间的推移，新采集到的信 息向量对参数估计值的修正作用会逐渐减弱，称为“数据 饱和”现象，也就是说递推算法的计算效率逐渐降低。当 被辨识的系统参数缓慢时变时，递推最小二乘法参数估计 不能很好地实现系统辨识。 • 遗忘因子递推最小二乘法参数估计是在递推公式中加入遗 忘因子，逐渐减小旧信息向量在参数估计中的权重，以加 强新信息向量的作用，跟随系统参数的时变。
P( z ) A( z ) F ( z ) B( z )G ( z )，P( z )的阶次为n max{ng , n f } 又 F ( z )、G ( z )是已知的 当P( z )的阶次大于等于2n时，A( z )、B( z )包含的2n个未知数有唯一解 当(n max{ng , n f }) 2n时，A( z )、B( z )参数可辨识
B ( z ) D( z ) E( z) u (t ) y (t ) C ( z) C ( z)
y (t k ) D( z ) w(t k )
B ( z ) D( z ) E( z) u (t ) y (t ) C ( z) C ( z)
y (t k ) D( z ) w(t k )
遗忘因子递推最小二乘法参数估计
自校正控制
控制器 参数设计
ˆ
辨识器
ˆ c
r（t）
控制器
u（t）
被控对象
y （ t）
“自校正控制”的基本思想： 将参数估计算法与不同类型算法结合起来，形成一个能自动校正控 制器参数的实时计算机控制系统。
是一个迭代优化的过程，通过边辨识、边综合，使得控制器参数能够逐步趋向于最 优值的过程。
3. 最小方差预报
4
最小方差控制
最小方差控制
最小方差控制
5
最小方差控制
最小方差控制
• 练习
y(k ) a1 y(k 1) b0u(k 1) k
最小方差自校正控制
最小方差自校正控制
6
广义最小方差控制
y (t k ) D( z ) w(t k )
3.A(z)、C(z)所有零点都为稳定的,即所有零点都在单位圆内; 4. {w(k)}为零均值白噪声序列,且E{w2(k)}=2.
3
最小方差控制
最小方差调节的基本思想是: 由于系统中信道存在着k步时滞,这就使得当前的控制作 用u(t)要到k个采样周期后才能对输出产生影响. 因此,要获得输出方差最小,就必须对输出量提前k步进行 预报,然后根据预报值来计算适当的调节作用u(t). 这样,通过不断的预报和调节,就能始终保持输出量的稳 态方差为最小.
最小方差控制
1. 系统模型 2. 最小方差控制原理
3. 最小方差预报
4. 最小方差控制 5. 最小方差控制的特性
最小方差控制
对该系统,有如下假设: 1. 被控系统时滞时间k以及时滞算子z-1的多项式A、B和C的阶次及系数都已知;
2. 被控系统为最小相位系统,即多项式B(z)的所有零点都在单位圆内;
• 最小方差自校正控制
• 广义最小方差控制 • 基于广义最小方差控制
闭环系统可辨识条件
பைடு நூலகம்
闭环系统可辨识条件
闭环系统可辨识条件
Q( z ) C ( z ) F ( z )， Q( z )的阶次大于等于n 又 F ( z )是已知的 C ( z )的参数有唯一解，可辨识
闭环系统可辨识条件