3平面力系的静力学平衡问题

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课题3 平面力系的静力学平衡问题

受力分析得最终任务是：确定作用在构件上的所有未知力。作为对工程构件进行强度设计、刚度设计、稳定性设计的基础。

平衡的概念：物体相对于惯性系保持静止或匀速直线运动的状态。

一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程

1．基本式：ΣF x=0 ΣF y=0ΣM O(F)=0

2．两矩式：ΣF x=0 ΣM A(F)=0ΣM B(F)=0

附加条件：A、B连线不能垂直投影轴x

3．三矩式：ΣM A(F)=0ΣM B(F)=0 ΣM C(F)=0

附加条件：A、B、C三点不共线

平面一般力系独立的平衡方程有三个，只能求出三个未知数。

解题步骤：

（1）选研究对象，画受力图（受力分析）；

（2）选取适当的坐标轴和矩心；

（3）列平衡方程。

（4）解方程求出未知量。

（5）校核

4．举例

[例1] 图(a)所示为一悬臂式起重机，A、B、C处都是铰链连接。梁AB自重F G=1kN，作用在梁的中点，提升重量F P=8kN，杆BC自重不计，求支座A的反力和杆BC所受的力。

解：（1）选取研究对象AB杆。

（2）选取投影轴和矩心。（使每个方程中的未知数尽量少）

（3）列平衡方程求解。

ΣM A(F)=0 －F G×2－F P×3+F T×sin30°×4=0

得F T=（2F G+3F P）/(4×sin30°)=( 2×1+3×8) /4×0.5=13kN

ΣM B(F)=0 －F Ay×4－F G×2+F P×1=0

得F Ay=（2F G+F P）/4=( 2×1+8) /4=2.5kN

ΣF x=0 F Ax－F T×cos30°=0

得F Ax= F T×cos30°=13×0.866=11.26kN

校核：ΣF y= F Ay－F G－F P +F T×sin30°=2.5－1－8+13×0.5=0

[例2] A 端固定的悬臂梁AB 受力如图（a ）所示。梁的全长上作用有集度为q 的均布载荷；自由端B 处承受一集中力F P 和一力偶M 的作用。已知F P =ql ，M =ql 2，l 为梁的长度。试求固定端处的约束力。

（a ） （b ）

解：（1）研究对象、隔离体与受力图。

（2）选取投影轴和矩心。 （3）建立平衡方程。

ΣF x =0 F Ax =0

ΣF y =0 F Ay －ql －F P =0 F Ay =2ql

ΣM A (F )=0 M A －ql ×l/2－F P ×l －M =0 252

A M =

ql

二、几种特殊平面力系的平衡方程

1．平面汇交力系 ΣF x =0 ΣF y =0 2．平面平行力系 ΣF y =0 ΣM O (F )=0 3．平面力偶系 ΣM =0 4．举例：

[例3] 支架由直杆AB 、AC 构成，A 、B 、C 3处都是铰链，在A 点悬挂重量为F G =20kN 的重物，如图（a ）所示，求杆AB 、AC 所受的力。杆的自重不计。 解：（1）取A 铰为研究对象。

（2）画受力图。如图（b ）所示。 （3）建立坐标系。

（a ） （b ）

由 ΣF x =0 －F AC ×2－F G cos60°=0， 得 F AC =－F G cos60°=－10kN （压） 由 ΣF y =0 F AB －F G sin60°=0， 得 F AB =F G sin60°=17.3 kN （拉）

计算结果F AB 为正，表示该力实际指向与受力图中假设的指向一致，表明AB 杆件受拉；F AC 为负，表示该力实际指向与受力图中假设的指向相反，说明杆件AC 受压。

[例4] 如图 (a)所示水平梁受荷载F =20kN 、q=10kN ／m 作用，梁的自重不计，试求A 、B 处的支

座反力。

解：(1)选取研究对象。取梁AB为研究对象。

(2)画受力图。梁上作用的荷载F、q和支座反力F B相互平行，故支座反力F A必与各力平行，才能保证力系为平衡力系。这样荷载和支座反力组成平面平行力系，如图所示。

(3)列平衡方程并求解。建立坐标系，如图(b）所示

由ΣM A(F)=0 F B×4−F×1−q×2×3=0

得F B=（F×1+ q×2×3) /4=(20×1+10×6) /4=20kN

由ΣF y=0 F A+F B−F− q×2=0

得F A=F+ q×2− F B=20+10×2−20=20kN

三、刚体系统平衡问题的特点与解法

刚体系统：由若干个刚体通过约束所组成的系统。

外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。

内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。

1．刚体系统平衡的特点：

（1）整体平衡与局部平衡的概念。

系统整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个单体也必然是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）。

（2）研究对象有多种选择。

（3）对刚体系统作受力分析时，要分清内力和外力。

（4）刚体系统的受力分析过程必须严格根据约束的性质确定约束力，特别要注意互相连接物体之间的作用力与反作用力，使作用在平衡系统整体上的力系和作用在每个刚体上的力系都满足平衡条件。2．解法：由整体到局部，由局部到整体。

[例5] 如图（a）所示之静定结构称为连续梁，由AB和BC梁在B处用中间铰连接而成。其中C处为辊轴支座，A处为固定端。DE段梁上承受均布载荷作用，载荷集度为q；E处作用有外加力偶，其力偶矩为M。若q、M、l等均为已知，试求：A、C两处的约束力。