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《平面向量的坐标表示》课件
解析
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量的坐标表示课件
CHAPTER 04
平面向量坐标表示的几何意义
向量的长度和方向
总结词
向量的长度表示向量的大小，方向表示向量的指向。
详细描述
在平面上，一个向量可以用坐标表示为起点和终点的坐标差值。向量的长度可 以通过勾股定理计算，方向可以通过起点和终点的位置确定。
向量的夹角和向量的数量积
总结词
向量的夹角表示两个向量之间的 角度，向量的数量积表示两个向 量之间的相似度。
应用
在物理和工程中，数乘运算常用于描述力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。
CHAPTER 03
平面向量坐标表示的应用
向量模的计算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量模是衡量向量大小的一 个重要指标，通过坐标表示 可以方便地计算向量的模。
向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$，其中 $x$和$y$分别为向量在x轴和 y轴上的分量。通过坐标表示 ，我们可以直接使用这个公
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量的投影是向量在某个方向 上的分量，通过坐标表示可以 方便地计算向量的投影。
向量的投影公式为 $frac{xcostheta + ysintheta}{sqrt{x^2 + y^2}}$，其中$(x, y)$为向量 的坐标，$theta$为投影方向 与x轴的夹角。使用这个公式 可以计算出向量在任意方向上 的投影。
overset{longrightarrow}{F_{1}} + overset{longrightarrow}{F_{2}}$。
速度和加速度的合成与分解
速度的合成
当物体同时参与两个方向上的运动时，其合 速度可以通过平面向量的加法运算得到。例 如，向量 $overset{longrightarrow}{v_{1}}$和 $overset{longrightarrow}{v_{2}}$分别表 示两个方向上的速度，合速度 $overset{longrightarrow}{v}$可以通过向 量加法$overset{longrightarrow}{v} = overset{longrightarrow}{v_{1}} + overset{longrightarrow}{v_{2}}$得到。
公开课平面向量的坐标表示课件
2023
PART 04
平面向量坐标表示的实例 分析
REPORTING
力的合成与分解的实例分析
力的合成
当有两个力同时作用在一个物体上时，其总作用力可以用向量表示。例如，当一个物体受到两个力$F_1$和 $F_2$的作用，其合力的向量表示为$F = F_1 + F_2$。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力。分力的大小和方向可以通过向量的分解得到。例如，一个力$F$可以分解为 两个分力$F_1$和$F_2$，其向量表示为$F = F_1 + F_2$。
练习题 三
总结词
理解向量的数量积与坐标之间的 关系
详细描述
通过计算给定向量的数量积，理 解数量积的计算方法，掌握数量
积与坐标之间的关系。
答案
给定向量$vec{a}=(x_1, y_1)$和 $vec{b}=(x_2, y_2)$，其数量积
的坐标表示为$x_1x_2 + y_1y_2$。
2023
REPORTING
力的矩的实例分析
定义
力矩是一个向量，表示力对物体转动效果的影响。在二维平面中，如果一个力$F$作用 在一个点上，其力矩向量表示为$M = F times d$，其中d是该点到转动轴的距离。
实例
假设有一个门，我们想打开它。作用在门上的推力可以看作是一个力$F$，而门轴到推 力作用点的距离可以看作是d。如果我们知道推力和门轴的距离，就可以计算出打开门
加速度的向量表示
物体的加速度可以表示为速度向量的时间导数。在二维平面中，如果物体的速度向量为 $overset{longrightarrow}{v} = x' vec{i} + y' vec{j}$，则其加速度向量为 $overset{longrightarrow}{a} = x'' vec{i} + y'' vec{j}$。
中职数学基础模块下册《平面向量的坐标表示》课件
中职数学基础模块下册 《平面向量的坐标表示》 ppt课件
欢迎来到中职数学基础模块下册的《平面向量的坐标表示》课程！本课件将 带你了解向量的定义与基本概念，向量的坐标表示方法，向量的运算规则与 性质，向量的数量积与夹角的关系，平面向量的平行与垂直，平面向量的共 线与共面以及平面向量的应用举例。
向量的定义与基本概念
数量积的定义
数量积是两个向量的乘积，表示为向量的点乘， 结果是一个实数。
向量夹角的计算方法
向量夹角可以通过数量积的定义和余弦定理来计 算。
平面向量的平行与垂直
在本节课中，你将学习如何判断两个平面向量的平行与垂直关系。
1 平行向量
两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
2 垂直向量
两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。
平面向量的共线与共面
在本节课中，你将学习如何判断平面上的向量的共线与共面关系。
1
共线向量
当三个向量可以表示同一条直线时，它们是共线的。
2
共面向量
当三个向量可以表示同一平面时，它们是共面的。
3
应用举例
我们将通过实际例子来演示共线向量和共面向量的应用。
平面向量的应用举例
在本节课中，我们将了解平面向量在实际生活中的应用。
建筑设计
平面向量在建筑设计中可以用 于计算不同构件的相对位置。
物理学
平面向量在物理学中可以用于 描述物体的运动和力的作用。
导航系统
平面向量在导航系统中可以用 于确定位置和计算航向。
在本节课中，你将学习如何使用向量的坐标表示方法，包括向量的坐标形式和分解形式。
向量的坐标形式
向量的坐标形式是指将向量表示成一个有序数 对。
向量的分解形式
欢迎来到中职数学基础模块下册的《平面向量的坐标表示》课程！本课件将 带你了解向量的定义与基本概念，向量的坐标表示方法，向量的运算规则与 性质，向量的数量积与夹角的关系，平面向量的平行与垂直，平面向量的共 线与共面以及平面向量的应用举例。
向量的定义与基本概念
数量积的定义
数量积是两个向量的乘积，表示为向量的点乘， 结果是一个实数。
向量夹角的计算方法
向量夹角可以通过数量积的定义和余弦定理来计 算。
平面向量的平行与垂直
在本节课中，你将学习如何判断两个平面向量的平行与垂直关系。
1 平行向量
两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
2 垂直向量
两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。
平面向量的共线与共面
在本节课中，你将学习如何判断平面上的向量的共线与共面关系。
1
共线向量
当三个向量可以表示同一条直线时，它们是共线的。
2
共面向量
当三个向量可以表示同一平面时，它们是共面的。
3
应用举例
我们将通过实际例子来演示共线向量和共面向量的应用。
平面向量的应用举例
在本节课中，我们将了解平面向量在实际生活中的应用。
建筑设计
平面向量在建筑设计中可以用 于计算不同构件的相对位置。
物理学
平面向量在物理学中可以用于 描述物体的运动和力的作用。
导航系统
平面向量在导航系统中可以用 于确定位置和计算航向。
在本节课中，你将学习如何使用向量的坐标表示方法，包括向量的坐标形式和分解形式。
向量的坐标形式
向量的坐标形式是指将向量表示成一个有序数 对。
向量的分解形式
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
平面向量的坐标表示及运算2课件
03
平面向量的数量积
数量积的定义
总结词
数量积是两个向量模长的乘积与夹角的余弦值的乘积。
详细描述
平面向量的数量积定义为向量a和向量b的数量积等于它们的模长之积乘以夹角的 余弦值，记作a·b=|a||b|cosθ。
数量积的几何意义
总结词
数量积表示两个向量在平面上的投影 长度之积。
详细描述
数量积的几何意义在于它表示向量a和 向量b在垂直于它们夹角平分线方向的 投影长度之积，即 a·b=|a||b|cosθ=|a'||b'|，其中a'和b'分 别是向量a和b在垂直于夹角平分线方向 上的投影向量。
数量积的运算性质
总结词
数量积具有交换律、分配律和结合律等运算性质。
详细描述
数量积满足交换律，即a·b=b·a；满足分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c；满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。此外，数 量积还具有正负性，当夹角θ为锐角时，a·b>0；当夹角θ为钝角时，a·b<0；当夹角θ为直角时，a·b=0。
感谢您的观看
THANKS
平面向量坐标的运算性质
向量加法
若$overrightarrow{a} = (x_1, y_1)$， $overrightarrow{b} = (x_2, y_2)$，则 $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} =
(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
01
反交换律
$vec{A} times vec{B} = -vec{B} times vec{A}$。
02
03
结合律
平面向量的坐标表示及运算-PPT课件
归纳总结 定义：
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方 向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
调用几何画板
探索1:
以O为起点，P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
y a
o
P
x
调用几何画板
4
3
2
（ 3， 2） P
2 j
1
j
-2
O i
-1 -2
2
4
6
3i
O P 3 i2 j ( 3 , 2 )
-3
调用几何画板
向量的坐标表示
4 3
2
（ x， y） P
y j
1
j
-2
O
-1 -2
例 题 2 、 如 图 ， 用 基 底 i 、 j 分 别 表 示 向 量 a 、 b 、 c 、 d , 并 求 出 它 们 的 坐 标 。 y 解：由图可知
b
5 4 3 2
j
A
2
a
A
A
1
a AA1 AA2 2i 3 j
1 2 3 4 x
a(2 ,3 )
同理
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 i -2
说明：一个向量的坐标等于表示此向量的有
向线段的终点的坐标减去始点的坐 标． (末减初)
调用几何画板
第31课时平面向量的坐标表示名师课件
（2）若 a = (x1，y1)，b = (x2，y2)，
则 a⊥b x1 x2 + y1 y2 = 0.
北京大峪中学高三数学组 2020年1月26日星期日
例1.已知向量 a (1, 2),b (x,1),u a 2b,
v 2a b , 且 u // v , 求实数 x 的值.
（1）向量 a、b是否共线？请说明理由.
（2）求函数 f (x) | b | (a b) c 的最大值. 解:（1）b (sin 2x,1 cos 2x)
(2sin x cos x, 2sin2 x)
2sin x(cos x,sin x)
2sin x a
∴向量a、b 共线.
(2,1).
（2）当 k 为何实数时，k a b 与 a 3b
平行，平行时它们是同向还是反向.
解: (2) 因为 ka b 与 a 3b 平行 所以 3(k 2) 7 0 即得 k 1
a此即时此3bk时a向(7b,量3)(,ak则13a,b1与3)bka(373b(,k方a1)向3b)相反.
x (0, ), sin x 0, | b | 2sin x
又(a b) c sin x 2sin2 x
f (x) 2sin x (sin x 2sin2 x) 2sin2 x sin x
2(sin x 1 )2 1 x (0, ),
则 AB (x2 x1, y2 y1).
（3）若 a = (x，y)，则 a = ( x, y)，
北京大峪中学高三数学组 2020年1月26日星期日
知识要点
4．平行与垂直的充要条件
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r
练 习 ， 已 知 a(2,1),b(3,4)2a,ab,ab,3a4b的 坐 标 。
r
解：-2a 4,2
rr ab (2,1)(3,4) （1，5） rr ab (2,1)(3,4) （5，3）
rr 3a4b 3(2,1)4(3,4) （6， 19）
.
例题解析
u u ur 写出以 A(x1, y1)为起点, B(x2, y2) 为终点的向量 A B 的坐标.
已知A(x点 1,y1),B(x2,y2), 则向A量 B（x2x1，y2y1）
说明：一个向量的坐标等于表示此向量的终
点的坐标减去起点的坐标． (终点减起点)
.
y
例 2 如 图 ， 已 知
A (1, 3), B (1, 3)， C (4,1)， D (3, 4)， 求 向 量 uOuAr , uOuBr ,
u u u r u u u r
u u u r
A B 2 ,0 ,A C 1 ,3 ,则 B D
08高考
.
【知识回顾】
已知
r a(x1,
y1)，br (x2,y2)，你能得出
r a
r b
r ，a
r b
r
，a
的坐标吗？
y
u u ur
A(x1, y1)
O A (x1, y1)
B(x2 , y2 )uuur AB (x2x1,y2y1)
y
，
r a
r b
，
r a
A(x1, y1)
B(x2 , y2 )
x O
.
向量的坐标运算 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y 2 ) 则：a b ( x1 x2 , y1 y 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a ( x1 , y1 )
.
r
向量基底形式 向量的坐标形式
uuur r r OAxiyj uuur OA(x,y)
.
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量又如何处理呢?
y
o
x
.
.
探索3：
平面向量可以用坐标表示，向量的 运算可以用坐标来运算吗？
r
ur
rr
已知 a(x1,y1)，b(x2,y2)，a b
坐标如何求？
平面向量的坐标表示及运算
教学目标
1．理解平面向量的坐标含义，会求向量的坐标
2．掌握平面向量的坐标运算；
.
一、知识网络图
实际 背景 向量
几何表示 符号表示
向量的运算 加法、减法、数乘
数量积
坐标表示
向量 的应 用
.
复
习
1、平面向量基本定理的内容是什么？
2、什么是向量的正交分解？
.
平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共 线的向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得a = λ1 e1+ λ2 e2
苏教版必修四 P79 T8
2已知A(2,1),B(4,8), uuur uuur r uuur
若AB3BC0,求OC的坐标.
苏教版必修四教.材P79 T9
思考：
1、已知向量 AB ＝（6，1），
BC ＝u（uur1 ,－3），CD ＝（－1,－2），
求向量 D A 的坐标
教材改编
2 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
A
uAuOr , uCuDr的 坐 标 。
O
D
C x
四边形OCDA是平行四边形？ B .
已知
uuur AB
r a
求下列点的坐标
r
1a4,5,A2,3,求 B 的 坐 标
r
2a4,5,B2,3,求 A 的 坐 标
.
课堂练习
r 1已 知 向 量 a(x3 ,x3y -4)与 u u u r A B 相 等 ， 其 中 A （ 1 ， 2 ） ， B （ 3 ， 2 ） ， 求 x， y
uuur uuur uuur
AB OBOA
r r rr
y
x 2 i y 2 j ( x 1 i y 1 j)
( x 2 x 1 ) r i ( y 2 y 1 ) r jA(x1, y1)
u u u r
A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 )
1
O1
B(x2, y2)
x
.
一个重要结论：
向量的正交分解: 基底e1 , e2互相垂直
.
探索1: 以O为起点，A为终点的向量能
否用坐标表示？如何表示？
yA a
o
x
.
4
3
P（ 3，2）
2
r 2j
1
j
-2
r2
4
6
Oi
3i
-1
uuur r r
OP3i2j
-2
uuur 记
. OP = (3,2)
-3
探索1:
u u ur 4 向量O A 的坐标表示
3
r2
yj
a
1
A （ x， y）
j
-2
uuur r rO i
-1
OAxiyj
向量a
r2
4
6
xi
一 一 对 应 A点坐标（x ，y）
uuur
-2
OA(x,y)
.
-3
说明：
y a
A(x, y)
（1）从原点引出的向量
OA
的坐标
(x,
y)就是点
A的坐标．
a
j
（2）相等向量的坐标也相同；
Oi
x
r
r
rr
a x 1 ,y 1 ,b x 2 ,y 2 ,a b x1x2且 y1y2
x
ab(x O1x2,y1y2) ab(x1x2,y1y2)
a(x1,y1)
.
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