中考数学-平移与旋转
新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转知识点归纳及中考典型题解析一、轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；（2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤（1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．考向一轴对称轴对称图形与轴对称的区别与联系区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形．典例1第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，全国上下掀起喜迎冬奥热潮，下列四个汉字中是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选A．1．下列图形中不是轴对称图形的是A．B．C．D．考向二平移1．平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等．2．平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等．典例2下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①荡秋千，是旋转，不是平移；②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；③拉抽屉时抽屉的运动，是平移；④工厂里的输送带上的物品运动，是平移；故选C．2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是A．B．C．D．3．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则A．乙比甲先到B．甲比乙先到C．甲和乙同时到D．无法确定考向三旋转通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．典例3 如图，在ABC △中，65BAC ∠=︒，以点A 为旋转中心，将ABC △绕点A 逆时针旋转，得AB C ''△，连接BB '，若BB'AC ∥，则BAC '∠的大小是A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】A【解析】∵△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置， ∴AB ′=AB ，∠B ′AC ′=∠BAC =65︒， ∴∠AB ′B =∠ABB ′， ∵BB ′∥AC ，∴∠ABB ′=∠CAB =65°， ∴∠AB ′B =∠ABB ′=65°， ∴∠BAB ′=180°–2×65°=50°，∴∠BAC ′=∠B ′AC ′–∠BAB ′=65°–50°=15°， 故选A ．4．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是A ．36°B ．60°C ．72°D ．90°5．如图将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AED ，若点B 、D 、E 在同一条直线上，∠BAC =20°，则∠ADB的度数为A．55°B．60°C．65°D．70°考向四中心对称识别轴对称图形与中心对称图形：①识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形．这条直线为它的一条对称轴．轴对称图形有一条或几条对称轴．②中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180°后能与原图形重合．典例4下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】B【解析】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，故选B．6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是A．B．C．D．1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．2．已知点A的坐标为（3，–2），则点A向右平移3个单位后的坐标为A．（0，–2）B．（6，–2）C．（3，1）D．（3，–5）3．下列说法中正确的有①旋转中心到对应点的距离相等；②对称中心是对称点所连线段的中点；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角；④任意一个等边三角形都是中心对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为A．（1，–1）B．（–1，–1）C．（1，1）D．（–1，1）6．在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为__________．7．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．8．如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1=112°，则∠α=__________°．10．△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为__________； （2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为__________； （3）画出△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°得到的△A 3B 3C 3，并求点C 走过的路径长．11．如图，在ABC △中，D 为BC 上任一点，DE AC ∥交AB 于点E DF AB ，∥交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，1）；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；（3）判断△ABC的形状．并说明理由．13．如图，已知∠BAC=40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合，连接CE．（1）△ABC旋转了多少度？（2）连接CE，试判断△AEC的形状．（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度数．1．下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为A．（–1，–1）B．（1，0）C．（–1，0）D．（3，0）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A．30°B．90°C．120°D．180°5．如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．216．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于A．2 B．3 C．4 D．3 27．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为A．4 B．25C．6 D．268．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB 绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是__________．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为__________cm．10．如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________．11．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O 逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的长．13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．变式拓展1．【答案】A【解析】A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．2．【答案】D【解析】A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；B、可以通过旋转得到，故此选项错误；C、可以通过轴对称得到，故此选项错误；D、可通过平移得到，故此选项正确；故选D．3．【答案】C【解析】由平移的性质可知，甲、乙两只蚂蚁的行走的路程相同，且两只蚂蚁的速度相同，所以两只蚂蚁同时到达，故选C．4．【答案】C【解析】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数．故选C．5．【答案】C【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故选C．6．【答案】A【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．1．【答案】C【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C．2．【答案】B【解析】∵将点A（3，–2）向右平移3个单位所得点的坐标为（6，–2），∴正确答案是B选项.故选B．3．【答案】C【解析】①旋转中心到对应点的距离相等，正确；②对称中心是对称点所连线段的中点，正确；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角，正确；④任意一个等边三角形都是中心对称图形，错误．说法正确的有3个，故选C．4．【答案】D【解析】根据图象，△ABC 绕着点A 逆时针方向90°旋转与△DEF 形状相同，向右平移6格就可以与△DEF 重合．故选D ． 5．【答案】C【解析】菱形OABC 的顶点O （0，0），B （–2，–2）， 得D 点坐标为（022-，022-），即（–1，–1）． 每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周， OD 旋转了7周半，菱形的对角线交点D 的坐标为（1，1）； 故选C ． 6．【答案】23-【解析】如图，作AH ⊥CD 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°， ∴AB ∥CD ，∴∠D +∠BAD =180°， ∴∠D =60°， ∵AD =AB =2，∴AH =AD ·sin60°3= ∵B ，B ′关于EF 对称， ∴BE =EB ′，当BE 的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当EB ′3AH ==时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值=23， 故答案为：23． 7．【答案】55【解析】∵1110∠=︒，纸条的两边互相平行，∴3180118011070.∠=︒-∠=︒-︒=︒根据翻折的性质，()()1121803180705522∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒．故答案为：55． 8．【答案】14【解析】根据中心对称图形的性质，得AOE COF △≌△，则阴影部分的面积等于BOC △的面积，为平行四边形ABCD 面积的14．故答案为：14． 9．【答案】22【解析】如图，∵21112∠=∠=︒（对顶角相等），∴336090211268.∠=-⨯︒-=︒︒︒ ∴'906822BAB ∠=-=︒︒︒，∴旋转角'22.BAB α∠=∠=︒故答案为：22．10．【解析】（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为（2，–3）．（2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为（3，1）． （3）将△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°，则点C 走过的路径长=90π2180=π．11．【解析】如图，连接EF 交AD 于点O ．DE AC ∥交AB 于E DF AB ，∥交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形， ∴点E F ，关于AD 的中点对称．12．【解析】（1）如图所示：（2）如图所示：'''A B C △即为所求：C '的坐标为()55-，； （3）2221454162091625AB AC BC =+==+==+=，，，∴222AB AC BC +=， ∴ABC △是直角三角形．13．【解析】（1）∵∠BAC =40°，∴∠BAD =140°，∴△ABC 旋转了140°．（2）由旋转的性质可知AC =AE ，∴△AEC 是等腰三角形． （3）由旋转的性质可知，∠CAE =∠BAD =140°，又AC =AE ， ∴∠AEC =（180°–140°）÷2=20°．1．【答案】D【解析】∵只有D 的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； 故选D ． 2．【答案】B【解析】将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标横坐标增加3，即（5，1）．故选B ． 3．【答案】【解析】由点A （2，1）平移后所得的点A 1的坐标为（–2，2），可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B 的对应点B 1的坐标为（–1，0）．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ． 5．【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD =∠ACE =90°，∴∠BAC =90°， 又∵∠B =60°，∴∠ACB =30°，∴BC =2AB =6，∴AD =6，直通中考由折叠可得，∠E =∠D =∠B =60°，∴∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ． 6．【答案】B【解析】∵S △ABC =16.S △A ′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE =12S △A ′EF =92，S △ABD =12S △ABC =8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A'DE ABD S A'D AD S =△△，即299()1816A'D A'D ==+，解得A ′D =3或A ′D =﹣37（舍），故选B ． 7．【答案】D【解析】∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，∴AD =DC =2，∵DE =2，∴Rt △ADE 中，AE =22AD DE +=26，故选D ．8．【答案】（﹣2，﹣23） 【解析】作BH ⊥y 轴于H ，如图，∵△OAB 为等边三角形，∴OH =AH =2，∠BOA =60°，∴BH =3OH =23，∴B 点坐标为（2，23）， ∵等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′， ∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣23）． 故答案为：（﹣2，﹣23）． 9．【答案】10–26【解析】如图，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°，∴∠AED =∠ADG =45°，在△AEF 中，∠AFD =∠AED +∠CAE =60°，在Rt △ADG 中，AG =DG =2AD =32， 在Rt △AFG 中，GF =3AG =6，AF =2FG =26，∴CF =AC –AF =10–26， 故答案为：10–26．10．【答案】23–2【解析】根据旋转过程可知：∠CAD =30°=∠CAB ，AC =AD =4．∴∠BCA =∠ACD =∠ADC =75°．∴∠ECD =180°–2×75°=30°．∴∠E =75°–30°=45°．过点C 作CH ⊥AE 于H 点，在Rt △ACH 中，CH =12AC =2，AH =23． ∴HD =AD –AH =4–23．在Rt △CHE 中，∵∠E =45°，∴EH =CH =2．∴DE =EH –HD =2–（4–23）=23–2．故答案为3–2．11．【解析】（1）如下图所示，点A 1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A 2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A （4，1），∴OA 221417+=∴线段OA 290(17)⨯π⨯=174π．12．【解析】（1）∵对角线AC的中点为O，∴AO=CO，且AG=CH，∴GO=HO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB，且CO=AO，∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴FO=EO，且GO=HO，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE，∵∠α=90°，∴EF⊥AC，且AO=CO，∴EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2，∴AE2=（9–AE）2+9，∴AE=5．13．【解析】（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°–30°）=75°，∴∠ADE=90°–75°=15°；（2）如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=12 AC，∵∠ACB=30°，∴AB=12AC，∴BF=AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE=CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF=BC，∴DF=BE，而BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形．。
2025年江苏省九年级中考数学一轮复习课件：第7章圆形的变化第3节圆形的对称、平移与旋转
∵ BC ＝ BD ＝ CE ，
∴四边形 CBDE 为菱形，
∴ BD ＝ DE ＝ BE ＝ AB ＝2，
∴△ EBD 即为所求.
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第4节
考点精研
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（3）如图3，在平面直角坐标系 xOy 中，点 D ， E ， G 的坐标分别是（－
点，且 OP ＝5，点 P 关于直线 AB 、 CD 的对称点分别是 P1和 P2，则 P1 P2的
长度是 5 .
第4题图
第4节
考点梳理
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图形的平移与旋转
平移
旋转
在平面内，把一个图形绕某一
在平面内，将一个图形沿某
概念
个 方向
移动一定的 距离 ，
这样的图形运动称为平移
图形
个 定点
按某个方向旋转一
C. 80°
D. 85°
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第4节
考点精研
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5. （2024南通）在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C ＝α（0°＜α＜45°），
AH ⊥ BC ，垂足为 H ， D 是线段 HC 上的动点（不与点 H ， C 重合），将线
段 DH 绕点 D 顺时针旋转2α得到线段 DE . 两位同学经过深入研究，小明发
（13 x －8）＋ （13 x －8），
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，则AC'＝12 x ＝12× ＝ .
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综上，AC'的长为
人教版中考数学一轮复习--平移、旋转与位似(精品课件)
解：∵线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10，∴∠ABD＝45°. ∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到， ∴AB∥EF，∴∠BDF＝∠ABD＝45°.
(2)求CG的长． 解：由平移的性质，得AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°.
A．3 B．4 C．6 D．9
4．一个正方形AOBC各顶点的坐标分别为A(0，3)，O(0，0)，
B(3，0)，C(3，3)．若以原点O为位似中心，将这个正方 形的边长缩小为原来的 1 ，则新正方形的中心的坐标为
2 _34_，__34__或__－ ___34_，__－__34_ _．
5．【2021福州质检8分】如图，等边三角形ABC中，D为 AB边上一点(点D不与点A、B重合)，连接CD，将CD平 移到BE(其中点B和点C对应)，连接AE.将△BCD绕着点 B逆时针旋转至△BAF，连接DF.
∴△ADE≌△CFD(AAS)， ∴AE＝CD，∴CD＝BF.
考点2 图形的旋转 要点知识 性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角； (3)旋转前后的图形全等．
福建6年中考聚焦[6年2考]
1．【2017福建4分】如图，网格纸上正方形小格的边长为1， 图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别 得到线段A′B′和点P′，则证明：如图，连接AE， ∵线段EF是由线段AB平移得到的， ∴EF∥AB，EF＝AB，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴AE∥BC，AE＝BF，∴∠DAE＝∠BCA＝90°， ∴∠DAE＝∠FCD＝90°. ∵△EFD是等腰直角三角形，∴DE＝DF.
2024年中考数学一轮复习课件：图形的平移、旋转与位似
（3） 在（2）中，△ABC旋转过程中所扫过的面积为
π＋
.
考点四位似
典例6 如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则△AOB与
△COD的相似比为
1∶2
.
典例7 （2022·
启东二模）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
点O到DC的距离为 .
OM＝ MN
考点三网格中的图形变换作图题
典例4 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B的坐标分别
为（3，1），（2，－1）.
（1） 画出△OAB绕点O按顺时针方向旋转180°后得到的图形；
解：（1） 如图，△OA'B'即为所求作.
（2） 在y轴的左侧以点O为位似中心作△OAB的位似图形△OCD，
D.
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13. （2023·龙东地区）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2，E
是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到
Rt△AFD（点C，B的对应点分别为D，F），连接CF，EF，CE.在旋转
的过程中，△CEF面积的最大值是
是
6
.
7. （2023·
金华）在平面直角坐标系中，将点（4，5）绕原点O按逆时针
（－5，4）
方向旋转90°，得到的点的坐标为
1
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2021年全国中考数学真题分类汇编--图形与变换：平移与旋转(答案版 )
如此循环，每旋转 7 次，而 2021＝6×336+5， ∴A2021 在第四象限，且 OA2021＝42021，示意图如下：
OH＝ OA2021＝52020，A2021H＝ OH＝ 2020，
∴A2021（（42020，﹣ 故选：C．
×22020），
9. （2021•天津市）如图，在 V ABC 中， BAC 120 ，将 V ABC 绕点 C 逆时针旋转 得到 VDEC ，点 A，B 的对应点分别为 D，E，连接 AD ．当点 A，D，E 在同一条直线上时，
∴AA'＝
＝ ＝．
故选：B．
4. （2021•长沙市）下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
5. （2021•江苏省苏州市）．如图，在方格纸中，将 Rt△AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转 90° 后得到 Rt△A′O′B（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题主要考查旋转的性质，旋转过程中图形和大小都不发生变化，根据旋转性
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋 转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形， 这个点叫做对称中心． 【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C．
D、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
故选 D ．
19. （2021•辽宁省本溪市）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是 由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
2024年九年级数学中考专题：二次函数平移对称旋转 课件
(x,y +b)
(x,y -b)
口诀：上加下减，左减右加
坐
标
旋
转
变
换
一、坐标平移旋转对称
点(x,y) 绕着（m,n）旋转180° ，求旋转后的
点的坐标？
中点坐标公式：
A(1 , 1 ), B(2 , 2 ),
1 +2 1 +2
AB中点 (
,
)
2
2
旋转后的点的坐标( − ,2n-y)
中考专题：
二次函数平移旋转对称
目录
一
二
三
坐标平移旋
转对称
二次函数
表达式
例题讲解
四
方法归纳
五
学以致用
一、坐标平移
旋转对称
坐
标
平
移
变
换
一、坐标平移旋转对称
x轴 向左平移a个单位(x,y)
向右平移a个单位(x,y)
(x-a,y)
(x+a,y)
y轴 向上平移b个单位(x,y)
向下平移b个单位(x,y)
坐
标
对
称
变
换
一、坐标平移旋转对称
关于x轴对称 (x,y)
关于y轴对称 (x,y)
(x, -y)
(- x, y)
口诀:关于谁对称，谁不变，另一个互为相反数
关于原点O对称 (x,y部互为相反数
二 、二次函数
表达式
二、二次函数表达式
一般式：y = 2 + + ( ≠ 0, , 均为常数)
变式2
(3)抛物线2 与抛物线1 关于原点O对称，求抛物线 2 的表达
式
三、例题讲解
中考数学轴对称平移与旋转
•8.常见中心对称图形填表：
图形
线段
平行四边形
对称中心
线段的中点
相关性质
中点分这条线段为两条相等的线段
矩形 菱形 正方形 圆
二、平移
•1.平移： •如果一个图形沿某个方向平移一定的距离， 这样的图形运动称为平移. •2.性质： •①平移不改变图形的形状和大小(即平移前 后的两个图形全等). •②对应线段平行且相等,对应角相等. •③经过平移,两个对应点所连的线段平行且 相等. •3.平移两要点:平移的①方向,②距离.
中考复习
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课程标准及学习目标
2008年
2．图形与变换
(1)图形的轴对Biblioteka ①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性 质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的 性质。 ②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两 次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称 关系，并能指出对称轴。[参见例l] ③探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等 腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相关性质。 ④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生 活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利 用轴对称进行图案设计。
(2)图形的平移 ①通过具体实例认识平移，探 索它的基本性质，理解对应点连 线平行且相等的性质。 ②能按要求作出简单平面图形 平移后的图形。 ③利用平移进行图案设计，认 识和欣赏平移在现实生活中的应 用。
(3)图形的旋转
①通过具体实例认识旋转 , 探索它的基本 性质 , 理解对应点到旋转中心的距离相等、 对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的 性质。 ②了解平行四边形、圆是中心对称图形。 ④欣赏旋转在现实生活中的应用。 ⑤探索图形之间的变换关系 ( 轴对称、平 移、旋转及其组合)。[参见例2和例3] ⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进 行图案设计。
广东省中考数学冲刺复习课件(第29课时平移与旋转)
∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落 在AB的延长线上的点C1处，连结AA1． （1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC＝∠C1．
（1）解：旋转角的度数为60°．
（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB，∠C＝∠C1， 由（1）知：∠ABA1＝60°，∴△A1BA为等边三角形．∴∠BAA1＝60°. 而∠CBC1＝60°，∴∠BAA1＝∠CBC1，∴AA1∥BC. ∴∠A1AC＝∠C． 又∵∠C＝∠C1，∴∠A1AC＝∠C1.
△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A= 45°．
4.(2012广州)如图4，在等边△ABC中，AB=6，D是BC
上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
则CE的长度为 2 。
图4
5.（2013广州）如图6，Rt△ABC的斜边AB=16, Rt△ABC绕点O顺时
第29课时 平移与旋转
拔高题
8.(2011•广东)如图①，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合， AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当 DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图②
.
考点分类三 利用平移或旋转作图
【对应精练】
1.如图，边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺
时针旋转 .
（1）画出旋转后的△AB′C′；
（2）求线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积.
解：（1）如图所示：
（2）线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积为
2020年中考数学考点总动员第27讲 图形的平移与旋转(含答案解析)
第27讲图形的平移与旋转1．图形的平移(1)定义：在平面内，将某一图形沿着某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移；平移不改变图形的大小和形状．(2)平移的要素：平移方向、平移距离．(2)性质：①平移后的图形与原来的图形全等；②对应线段平行且相等，对应角相等；③对应点所连的线段平行且相等．2．图形的旋转(1)定义：把一个图形绕着某一个点O转动一定角度的图形变换叫做旋转，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点；(2)要素：确定一个旋转运动的条件是要确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；(3)性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.考点1：关于平移问题【例题1】在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是() A．向下移动1格 B．向上移动1格C．向上移动2格 D．向下移动2格解析：结合图形按平移的定义判断．【同步练】在由相同的小正方形组成的3×4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需要涂黑的小正方形序号是(D)A．①或②B．③或④C．⑤或⑥D．①或⑨【解析】：根据题意可涂黑①和⑨，涂黑①时，可将左上和左下两个黑色正方形向右平移1个单位即可得；涂黑⑨时，可将左上和左下两个黑色正方形向右平移2个单位、再向下平移1个单位可得；故选：D．归纳：1．平移前后图形的形状、大小都不变，平移得到的对应线段与原线段平行且相等，对应角相等．2．判断时选择某一特殊点，验证其平移情况即可．考点2：关于旋转问题【例题2】(2016·娄底改编)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转角为α旋转到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别相交于点E、F.(1)试判断A1D和CF的数量关系；(2)当∠C＝α时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠C，由旋转的性质得到A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，根据全等三角形的判定及性质即可求解；(2)由旋转的性质得到∠A1＝∠A，根据平角的定义得到∠DEC ＝180°－α，在四边形A 1BCE 中，根据四边形的内角和得到∠A 1BC ＝360°－∠A 1－∠C －∠A 1EC ＝180°－α，进而证得四边形A 1BCE 是平行四边形，由A 1B ＝BC 即邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．【解析】：(1)∵△ABC 是等腰三角形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C，∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1BC 1的位置，∴A 1B ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠A 1＝∠C，∠A 1BD ＝∠CBC 1，在△BCF 与△BA 1D 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A 1＝∠C，A 1B ＝BC ∠A 1BD ＝∠CBF ，∴△BCF ≌△BA 1D(ASA )，∴A 1D ＝CF ；(2)四边形A 1BCE 是菱形，∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转到△A 1BC 1的位置， ∴∠A 1＝∠A，∵∠ADE ＝∠A 1DB ，∴∠AED ＝∠A 1BD ＝α，∴∠DEC ＝180°－α，∵∠C ＝α，∴∠A 1＝α，在四边形A 1BCE 中，∠A 1BC ＝360°－∠A 1－∠C－∠A 1EC ＝180°－α， ∴∠A 1＝∠C，∠A 1BC ＝∠A 1EC ， ∴四边形A 1BCE 是平行四边形， ∴A 1B ＝BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形归纳：图形的旋转为背景的探究问题，常涉及的设问有：探究两条线段的数量关系、特殊四边形形状的判定，解决此类问题，需掌握如下方法：1．探究两条线段的数量关系一般指的是两条线段的倍数关系，常考虑利用特殊三角形、全等三角形、特殊四边形的性质或根据题中对应角的关系得到相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例进行求解．2．探究特殊四边形的形状，通常先判定该四边形是否是平行四边形，再结合旋转的性质，根据其边或角的之间的等量关系进一步判定其为哪种特殊的平行四边形． 考点3：关于旋转的综合探究问题【例题3】（2018·湖北江汉·10分）问题：如图①，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ； 探索：如图②，在Rt△ABC 与Rt△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD 的长．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，故答案为：BC=DC+EC；（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，∴∠ED C=90°，∴DE==6，∵∠DAE=90°，∴AD=AE=DE=6．一、选择题：1. （2017山东泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A 对应，则角α的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】C【解答】解：如图：显然，旋转角为90°，故选C．2. （2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为（）A．（5，3）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，﹣1）D．（0，﹣1）【答案】C【解答】解：∵A（1，3）的对应点的坐标为（﹣2，1），∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2，∵点B（2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣1）．故选：C．3. （2018·广西贺州·3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是．A．60° B．65° C．70° D．80°【答案】B【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴BC=B′C，∴△BCB′是等腰直角三角形，∴∠CBB′=45°，∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°．故答案为：65°．4. （2018·辽宁大连·3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α【答案】C【解析】解：由题意可得：∠CBD=α，∠ACB=∠EDB．∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°．∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α．故选C．5. 如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【答案】D【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D二、填空题：6. (2019•湖南常德•3分)如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠A BD的度数是．【答案】22.5°．【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，∴∠ABD＝22.5°．故答案为22.5°．7. （2019湖北宜昌3分）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B ＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是 .【答案】，3），【解答】解：如图，作B′H⊥y 轴于H ．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴AH′＝A′B′＝1， ∴OH＝3，3），8. (2019，山西，3分）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD=15°，AD=6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为 cm.【答案】6210-【解析】过点A 作AG⊥DE 于点G ，由旋转可知：AD=AE ，∠DAE=90°，∠CAE=∠BAD=15° ∴∠AED=45°；在△AEF 中：∠AFD=∠AED+∠CAE=60° 在Rt△ADG 中：AG=DG=232=AD在Rt△AFG 中：2GF AF FG ====∴10CF AC AF =-=- 故答案为：6210-三、解答题：9. 如图所示，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ，将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′.(1)判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形，并说明理由；(2)由△BCG 经过怎样的变换可得到△DAE′？请说出具体的变换过程．解：(1)四边形E′BGD 是平行四边形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∵将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE ＝AE′， ∵CE ＝CG ，∴AE ′＝CG ，∴BE ′＝DG ， ∴四边形E′BGD 是平行四边形；(2)∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝90°.∵∠BCD ＋∠DCE＝180°，∴∠BCD ＝∠DCE＝90°.在△BCG 和△DCE，⎩⎪⎨⎪⎧∠BCG＝∠DCE BC ＝DC ∠CBG＝∠CD E ，∴△BCG ≌△DCE(ASA )；∴由△BCG 绕点C 顺时针旋转90°可得到△DCE，再绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′10. （2018·浙江宁波·10分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 边上一点（点D 与A ，B 不重合），连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【考点】旋转的性质、全等三角形的判定与性质【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠D CB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°11. （2018·浙江临安·3分）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．不能确定【考点】梯形的性质和旋转的性质【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG与△DEF全等，再根据全等三角形对应边相等可得EF的长，即△ADE的高，然后得出三角形的面积．【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，又∵∠CDF+∠CDG=90°，∴∠CDG=∠EDF，在△DCG与△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF=CG，∵AD=2，BC=3，∴CG=BC﹣AD=3﹣2=1，∴EF=1，∴△ADE的面积是：×AD×EF=×2×1=1．故选：A．12. (2019•江苏苏州•8分)如图，ABC=，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使△中，点E在BC边上，AE AB得CAF BAE∠=∠，连接EF，EF与AC交于点G（1）求证：EF BC=；（2）若65∠=︒，求FGC∠的度数.ACB∠=︒，28ABC（1）CAF BAE∠=∠∴∠=∠BAC EAFAE AB AC AF==又，()BAC EAF SAS∴△≌△EF BC∴=（2）65AB AE ABC=∠=︒，18065250BAE∴∠=︒-︒⨯=︒50FAG∴∠=︒BAC EAF又△≌△28F C∴∠=∠=︒502878FGC∴∠=︒+︒=︒13. （2019•湖北十堰•10分）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝2（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解；（2）由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝EF，即可求解；（3）分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α∴CD＝CE∴∠CDE＝1802α-故答案为：1802α-（2）AE＝理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE∴DF＝EF∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝CF（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°∴AG＝8∵AC2＝AE2+CE2，∴（）2＝（8﹣CE）2+CE2，∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF＝7∴点C到AG的距离为1或7．。
平移与旋转+第五章 图形的变换与作图+课件+2025年中考数学一轮总复习第五章
1
点在AC下方时，若B，P，M三点共
线，则BP有最大值，最大值为BM＋MP＝2
故答案为2
1
2＋ .
2
1
2＋ .
2
12.（2024·泰安）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC
＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝
EB，连接AE，CD，取AE的中点F，连接BF.
AP＝BP'＝2，
∴△PCP'是等边三角形，
∴PP'＝1，∠CP'P＝∠CPP'＝60°.
∵PP'＝1，P'B＝2，PB＝ 3，
∴P'B2＝PP'2＋PB2，
∴∠P'PB＝90°，∴∠CPB＝150°.
′ 1
∵cos∠PP'B＝ ＝ ，
′ 2
∴∠PP'B＝60°，
∴∠CP'B＝∠APC＝120°，
第30课时
平移与旋转
1.（2024·巴蜀）如图，△ABC沿射线BC方向平移到
△DEF.若BC＝7，CE＝3，则平移的距离为（ C
A.2
B.8
C.4
D.5
）
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，
将△ABC绕点C逆时针旋转得到△EDC，其中点E与点A
是对应点，点D与点B是对应点.若点D恰好落在AB边
请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段PB
的长为 6
；
（2）【方法迁移】如图2，已知△ABC为正三角形，P
为△ABC内部一点.若PC＝1，PA＝2，PB＝ 3，求
∠APB的大小；
解：（2）如答案图1，将△PAC绕点C
中考数学总复习《平移、旋转及图形的对称》专项测试卷带答案
中考数学总复习《平移、旋转及图形的对称》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.(2024·重庆中考)下列标点符号中,是轴对称图形的是( )2.(2024·云南中考)中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广.下列四个选项中,是轴对称图形的为( )3.如图,△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD,若∠A=100°,∠D=50°,则∠BOC 的度数是( )A.30°B.35°C.45°D.60°4.如图,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若BC=5,BE=2,则CF的长是( )A.2B.2.5C.3D.55.如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'为( )A.90°B.60°C.45°D.30°6.(2024·雅安中考)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将△ADE 绕点A顺时针旋转一定角度,当AD∥BC时,∠BAE的度数是.7.已知点A(a,2),点B(-3,2)关于y轴对称,点C(1,2),点D(-1,b)关于原点对称,则a+b=.8.在4×4的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形P AB,再画出该三角形向右平移2个单位长度后的△P'A'B'.(2)将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的△A'B'C.【B层·能力提升】9.(2024·自贡中考)我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中,运用弦图(如图所示)巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是( )A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形10.(2024·河南中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转,过点B作AD的垂线,交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为,最小值为.11.在方格上建立平面直角坐标系如图所示,点(-2,m)绕坐标原点O顺时针旋转90°后,恰好落在图中直角三角形阴影区域(包括边界)内.直角三角形顶点都在格点上,则m的取值范围是.12.(2024·山东一模改编)如图,一束光沿CD方向,先后经过平面镜OB,OA反射后,沿EF方向射出,已知∠AOB=120°,∠CDB=20°,则∠AEF=度.【C层·素养挑战】13.(2024·贵阳息烽一模)某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后,结合图形旋转的知识探索相应的数学问题.如图①,E是正方形ABCD边BC上一点(E点不与B,C重合),连接AE,将AE绕点E顺时针旋转到EF,使∠AEF=∠ABC,连接CF.(1)【问题探究】在AB上截取BM=BE,连接ME,此时△AEM≌△EFC,则∠ECF等于度;(2)【拓展延伸】当正方形ABCD变为菱形时,若∠ABC>90°,其余条件不变,如图②,请写出∠ECF 与∠ABC的数量关系,并说明理由;(3)【联系应用】在(2)的条件下,当∠ABC=120°时,若BE=2,求CF的长.参考答案【A层·基础过关】1.(2024·重庆中考)下列标点符号中,是轴对称图形的是(A)2.(2024·云南中考)中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广.下列四个选项中,是轴对称图形的为(D)3.如图,△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD,若∠A=100°,∠D=50°,则∠BOC 的度数是(C)A.30°B.35°C.45°D.60°4.如图,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若BC=5,BE=2,则CF的长是(A)A.2B.2.5C.3D.55.如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'为(B)A.90°B.60°C.45°D.30°6.(2024·雅安中考)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将△ADE 绕点A顺时针旋转一定角度,当AD∥BC时,∠BAE的度数是30°或150°.7.已知点A(a,2),点B(-3,2)关于y轴对称,点C(1,2),点D(-1,b)关于原点对称,则a+b= 1.8.在4×4的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形P AB,再画出该三角形向右平移2个单位长度后的△P'A'B'.(2)将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的△A'B'C.【解析】(1)如图1,△PAB,△P'A'B'即为所求(答案不唯一);(2)如图2,△A'B'C即为所求.【B层·能力提升】9.(2024·自贡中考)我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中,运用弦图(如图所示)巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是(B)A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形10.(2024·河南中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转,过点B作AD的垂线,交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为2√2+1,最小值为2√2-1.11.在方格上建立平面直角坐标系如图所示,点(-2,m)绕坐标原点O顺时针旋转90°后,恰好落在图中直角三角形阴影区域(包括边界)内.直角三角形顶点都在格点上,.则m的取值范围是2≤m≤10312.(2024·山东一模改编)如图,一束光沿CD方向,先后经过平面镜OB,OA反射后,沿EF方向射出,已知∠AOB=120°,∠CDB=20°,则∠AEF=40度.【C层·素养挑战】13.(2024·贵阳息烽一模)某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后,结合图形旋转的知识探索相应的数学问题.如图①,E是正方形ABCD边BC上一点(E点不与B,C重合),连接AE,将AE绕点E顺时针旋转到EF,使∠AEF=∠ABC,连接CF.(1)【问题探究】在AB上截取BM=BE,连接ME,此时△AEM≌△EFC,则∠ECF等于度;答案:135【解析】(1)∵四边形ABCD为正方形∴∠B=90°,∵BM=BE∴∠BME=∠BEM=45°∴∠AME=180°-45°=135°∵△AEM≌△EFC∴∠ECF=∠AME=135°.(2)【拓展延伸】当正方形ABCD变为菱形时,若∠ABC>90°,其余条件不变,如图②,请写出∠ECF 与∠ABC的数量关系,并说明理由;【解析】(2)∠ECF=90°+1∠ABC,理由如下:2如图,在AB上截取BM=BE,连接ME,则AM=EC∵∠AEF=∠ABC∴∠AEB+∠FEC=180°-∠AEF,∠AEB+∠BAE=180°-∠ABC∴∠FEC=∠BAE∵AE=EF∴△AEM≌△EFC(SAS)∴∠AME=∠ECF,∵BM=BE(180°-∠ABC)∴∠BME=12∠ABC.∴∠ECF=∠AME=180°-∠BME=90°+12(3)【联系应用】在(2)的条件下,当∠ABC=120°时,若BE=2,求CF的长.【解析】(3)如图,在AB上截取BH=BE,连接EH∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC∴AB-HB=BC-BE,∴AH=CE∵∠HAE +∠ABC +∠AEB =180°,∠FEC +∠AEF +∠AEB =180° 又∵∠ABC =∠AEF ∴∠HAE =∠CEF在△AHE 和△ECF 中,{AH =EC∠HAE =∠CEF AE =EF∴△AHE ≌△ECF (SAS) ∴EH =CF .过点B 作BM 1⊥HE ,垂足为M 1 ∵BH =BE ,∴EH =2EM 1 ∴∠EBM 1=12∠HBE =60°在Rt △BM 1E 中,sin 60°=EM 1EB =√32又∵BE =2,∴EM 1=√3∴CF =EH =2√3.。
中考考点形的平移旋转和对称的性质与应用
中考考点形的平移旋转和对称的性质与应用中考考点：形的平移、旋转和对称的性质与应用形的平移、旋转和对称是中学数学中的重要内容，也是中考数学考试中的常见考点。
掌握形的平移、旋转和对称的性质，能够运用它们解决各类几何题目，提高数学解题的能力。
本文将分别介绍形的平移、旋转和对称的概念及性质，并通过几个具体例子展示它们在数学中的应用。
一、形的平移形的平移是指将一幅图形按照一定的方向和距离移动，使图形的每一点按照相同的方向和距离移动到另一个位置，这个过程称为形的平移。
平移是一种保持图形大小、形状和方向不变的变换。
平移的性质：1. 平移是保持图形的大小、形状和方向的，所以平移之后的图形与原图形完全相同。
2. 平移是一种等距变换，即平移之前和平移之后，图形中两点的距离保持不变。
3. 平移是可逆的，即平移之后再进行逆向平移，可以还原回原来的图形。
4. 平移可以作用于任意图形，不仅仅局限于平面图形。
形的平移在中考数学中的应用：几何题中常常会给出一幅图形进行平移，要求求出平移后的图形的一些性质。
掌握形的平移的性质，可以通过几何分析求解这类题目。
例题1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为A(2,2)，B(4,2)，C(5,4)的三角形ABC向右平移5个单位，分别标记出平移后三角形的顶点。
解：根据平移的性质，将原来的三角形ABC中的每个顶点都向右平移5个单位，可以得到平移后的三角形A'B'C'，如图所示。
（图略）例题2：如图，矩形ABCD的对角线AC及平移后的矩形A'B'C'D'的对角线A'C'相交于点E。
已知AC=8cm，A'C'=10cm，求矩形ABCD 的面积。
解：由于平移是保持图形形状和大小的，所以可以得知矩形ABCD 和平移后的矩形A'B'C'D'面积相等。
设矩形ABCD的长和宽分别为a和b，则矩形ABCD的面积为S=ab。
2024年河北省中考数学一轮复习课件：图形的对称、平移与旋转
（ A
）
A．（4，
C．（4，3）
）
B．（3，3）
D．（3，2）
题型解法
对应练习
练习一 ［2023·衡水桃城区三模］如图，在
ABCD中，AD＞AB，∠ABC 为
锐角，将△ABC 沿对角线AC 边平移，得到△A′B′C′，连接 AB′和C′D，若
求解.
折叠与四 与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，往往利用其特殊性质解题；
边形结合 若为一般四边形，则可通过构造特殊的三角形或四边形求解.
最短路线
根据轴对称性，把要求的某些线段集中在一起，根据“两点之间，线段
最短”来解决.
对应练习
练习一 ［2023·廊坊安次区二模］如图 1 为一张正三角形纸片 ABC，其中
D 是 BC 边上一点，线段 DA 绕点 D 顺时针旋转 90°得到 DE，连接 AE，若 F
是 AE 的中点．
（1）当点 F 在 AC 上时，BD=______；
（2）CF 的最小值为 ______．
题型解法
等腰直角
三角形旋
转模型
等边三角
形旋转模
型
如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=
BC，P 为△ABC 内一点，将△APC 绕点
B
）
练习二 ［2023·邢台三中模拟］如图，有八个点将圆周八等分，其中连接相
邻的两个等分点，得到四条相等的弦（实线表示），若再连接以等分点为端点的
一条弦，使所得的整个图形是轴对称图形，则这条弦是 （ A ）
A． ①或③
B． ①或②
C． ②或④
D． ③或④
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知识体系图
平移
平移的性质 平移的概念
平移与旋转
旋转
旋转的性质 旋转的概念
8.3.1 图形的平移
（1）在平面内，一个图形沿着一定的方向由一个位置移动到另一 个位置的运动叫做图形的平移.图形的平移由平移的方向和距离决 定. （2）平移的基本性质：平移后的图形和原来的图形的对应线段平 行且相等，对应角相等.平移后对应点所连的线段平行且相等，对 应点的连线也可能在一条直线上. （3）简单的平移作图 ①确定一个图形平移后的位置所需条件为：图形原来的位置；平移 的方向；平移的距离. ②在进行平移作图时，要知道平移的距离和方向，利用平移的相关 性质作图，要找出图形的关键点.
8.3.2 图形的旋转
（1）做旋转，其中这个点叫做旋转中心. （2）旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同 样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角 都相等，图形的形状、大小都不发生变化. （3）简单图形的旋转作图作图步骤： ①作出图形的几个关键点旋转后的对应点. ②顺次连接各点，得到旋转后的图形.
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【例2】如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时方向分别旋转
90°，180°，270°后形成的图形.若∠BAD=60°，AB=2，则图中
阴影部分的面积为
.
【解析】连接BD、AC，相交于点E，连接AO、CO. ∵因为四边形ABCD是菱形，
∴AC ⊥BD，AB＝AD＝2. ∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形， BD＝AB＝2，∴∠BAE＝ 1/2∠BAD＝30°， AE＝1/2AC，BE=DE=1/2 BD=1. 在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=3，AE= 3 ，∴AC= 2 3 . ∵菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°， ∴∠AOC＝90°，即AO⊥CO，AO＝CO 在Rt△AOC中，AO=CO= 6 .∵S△AOC=3，S△ADC= 3 . S阴影=4（S△AOC -S△ADC）=12 - 4 3 . 【答案】12 - 4 3
【例1】（2017年山东）如图，△DEF是由△ABC通过平移得到的，
且点B、E、C、F在同一条直线上.若BF=14，EC=6.则BE的长度
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是
.
【解析】∵△DEF是由△ABC通过平移得到的，∴BE=CF，
∴BE= 1 （BF-EC），∵BF=14，EC=6，∴BE= 1×（14-6）=4.
2
2
【答案】4
第八单元 视图、投影与变换
第32课时 平移与旋转
考纲考点
（1）了解平移的意义，理解它的基本性质，能按要求作出简单平 面图形平移后的图形； （2）了解旋转的意义，理解它的基本性质； （3）了解线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质，能 够按要求作出简单平面图形旋转后的图形； （4）知道图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合).能 灵活运用轴对称、平移和旋转及其组合进行图案设计.