第一章 集合与函数(

第一章集合与函数

知识点一集合的含义与表示

(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集.其中每个对象叫做元素.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

(2)集合常用的表示方法有：列举法、描述法.它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法.

知识点二元素与集合、集合与集合之间的关系

元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素a要么是给定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a∉A)，不能模棱两可

对于两个集合A，B：

(1)子集：如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A B.

(2)真子集：如果A⊆B且A≠B，那就说集合A是集合B的真子集，记作A___B.

(3)相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即A＝B.

常见数集：非负整数（或自然数集）：____

正整数集：______

整数集：______

有理数集：______

实数集：______

知识点三集合与集合之间的运算

并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具.注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

(1)交集：由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做A与B的交集．记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.

(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.

（3）补集：

知识点四映射与函数的概念

已知A，B是两个非空集合，在对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：A→B.由定义可知在A中的任意一个元素在B中都能找到唯一的像，而B中的元素在A中未必有原像.若f：A→B 是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个原像，则这样的映射叫做从A到B的一一映射.函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A，B都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数.

知识点五函数的单调性

1.函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键.

2.函数单调性的证明

根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：

(1)取值：任取x1，x2∈D，且x10；

(2)作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形；

(3)判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；

(4)下结论：根据定义得出结论.

3.证明函数单调性的等价变形：(1)f(x)是单调递增函数⇔任意x10；(2)f(x)是单调递减函数⇔任意x1f(x2)⇔[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0.

知识点六函数的奇偶性

（1）定义：如果函数f(x)的定义域是一个关于原点对称的区间，且总有f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为奇函数；若总有f(－x)＝f(x)，则称函数f(x)为偶函数．

（2）图象特征：偶函数的图象关于X轴对称，奇函数的图象关于原点对称，反之亦成立．

（3）PS：一是函数的奇偶性是函数的整体(即整个定义域上)性质；二是判断某个函数是否具有奇偶性，必须先看函数的定义域，若定义域是关于原点对称的区间，该函数才有奇偶性可言，否则它就是非奇非偶函数；三是既是奇函数又是偶函数的函数，如y＝0(定义域为一个对称区间)．

题型一集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏.

1、已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}.

(1)若(∁R A)∪B＝R，求a的取值范围；

(2)是否存在a，使(∁R A)∪B＝R且A∩B＝∅？

2、(1)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝______.

(2)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于()

A.(－∞，2]

B.[1,2]

C.[－2,2]

D.[－2,1]

3、已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N等于()

A.{－2，－1,0,1}

B.{－3，－2，－1,0}

C.{－2，－1,0}

D.{－3，－2，－1}

4、设全集U＝R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1

分所表示的集合是()

A.{x|－2≤x<1}

B.{x|－2≤x≤2}

C.{x|1

D.{x|x<2}

5、已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1，或x≥4}.

(1)当a＝3时，求A∩B；

(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围.

6、已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.