高考数学总复习第三单元 第二节 指数与指数函数精品课件
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高考理科数学总复习课件指数与指数函数
指数函数定义
指数函数性质
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称 为指数函数。
指数函数在其定义域内是单调的，当 a>1时单调递增，当0<a<1时单调递 减。
指数函数图像
指数函数的图像是一条过定点（0,1） 的曲线，当a>1时，图像在x轴上方且 向右上方延伸；当0<a<1时，图像在 x轴上方且向右下方延伸。
A. $c > b > a$ B. $b > c > a$ C. $a > c > b$ D. $a > b > c$
2. 函数$y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$的值域为( )
模拟试题训练
A. $(2, +infty)$ B. $[2, +infty)$ C. $(3, +infty)$ D. $[3, +infty)$
口增长率。
细菌繁殖模型
在适宜的条件下，细菌的数量会 呈指数增长。指数函数可以描述 细菌数量随时间的变化情况，有 助于预测细菌繁殖的速度和数量
。
化学反应速率
某些化学反应的速率与反应物的 浓度成正比，符合指数函数的规 律。通过测量反应速率和反应物 浓度的关系，可以研究化学反应
的动力学特性。
05
高考真题回顾与模拟训练
。
02
指数函数性质与图像分析
指数函数单调性
当底数a>1时，指数 函数y=a^x在全体实 数范围内单调递增；
指数函数的单调性与 其底数大小密切相关 ，底数决定了函数的 增减性。
当底数0<a<1时，指 数函数y=a^x在全体 实数范围内单调递减 ；
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
标轴没有公共点，则 f ( 2 )＝(
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
高中数学(指数与指数函数)复习和习题课件PPT
高中
数学
§第一节
指数与指数函数
（复习+习题练习）
指数函数与
对数函数
真题在线
知识清单
考点一 指数幂的性质与运算
1.定义
（1）正整数指数幂： = ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∈ ∗ .
个
1
（2）负整数指数幂：− = ≠ 0, ∈ ∗ .
（3）分数指数幂： =
2.幂函数的性质
(1)图像分布：幂函数的图像分布在第一、二、三象限，第四象限内无图像.幂函
数是偶函数时，图像分布在第一、二象限(图像关于y轴对称)；幂函数是奇函数时，图
像分布在第一、三象限(图像关于原点对称)；幂函数是非奇非偶函数时，图像只分布
在第一象限.
知识清单
考点二 幂函数
(2)过定点：所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图像都经过点(1，1).
典例精析
例
例
题
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
> 0, , ∈
0, , ∈ ∗ , > 1ሻ.
（4）零指数幂：0 = 1 ≠ 0 .
∗,
> 1 ;Biblioteka −=
1
ሺ >
知识清单
考点一 指数幂的性质与运算
2.有理数指数幂的性质
数学
§第一节
指数与指数函数
（复习+习题练习）
指数函数与
对数函数
真题在线
知识清单
考点一 指数幂的性质与运算
1.定义
（1）正整数指数幂： = ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∈ ∗ .
个
1
（2）负整数指数幂：− = ≠ 0, ∈ ∗ .
（3）分数指数幂： =
2.幂函数的性质
(1)图像分布：幂函数的图像分布在第一、二、三象限，第四象限内无图像.幂函
数是偶函数时，图像分布在第一、二象限(图像关于y轴对称)；幂函数是奇函数时，图
像分布在第一、三象限(图像关于原点对称)；幂函数是非奇非偶函数时，图像只分布
在第一象限.
知识清单
考点二 幂函数
(2)过定点：所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图像都经过点(1，1).
典例精析
例
例
题
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
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过关练习
巩固练习
过关练习
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过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
> 0, , ∈
0, , ∈ ∗ , > 1ሻ.
（4）零指数幂：0 = 1 ≠ 0 .
∗,
> 1 ;Biblioteka −=
1
ሺ >
知识清单
考点一 指数幂的性质与运算
2.有理数指数幂的性质
高考北师大版数学总复习课件：2.6指数与指数函数
第 六 节
指数与指数函数
考纲解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指 数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考向预测 1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重 点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同 时考查分类整合思想和数形结合思想． 2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数 交汇命题．
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n n 次方根是一个负数，这时， a 的 n 次方根用符号 a 表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反 n 数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方 n n 根用符号 － a 表示．正负两个 n 次方根可以合写为 ± a (a>0)．
7．若函数 f(x)＝ (a2－ 1)x 在 (－∞，＋∞ )上是减函数，求 a 的取值范围．
[解析] ∵0<a2－ 1<1，∴1<a2<2， ∴－ 2< a<－ 1 或 1<a< 2. 即 a 的取值范围是(－ 2，－1)∪(1， 2)．
幂式的化简与求值
[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算 性质进行运算．
1 C. － 1， 2
的单调递增区间是
B． [2，＋∞)
1 D. ， 2 2
[答案] D
[解析] 令 t＝－ x2＋ x＋ 2≥ 0，得函数定义域为 [－1,2]，所 以 t＝－ x
2
1 1 ＋ x＋ 2 在－ 1， 上递增， 在 ， 2上递减． 根据“同 2 2 1 的单调递增区间是 ， 2. 2
指数与指数函数
考纲解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指 数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考向预测 1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重 点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同 时考查分类整合思想和数形结合思想． 2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数 交汇命题．
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n n 次方根是一个负数，这时， a 的 n 次方根用符号 a 表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反 n 数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方 n n 根用符号 － a 表示．正负两个 n 次方根可以合写为 ± a (a>0)．
7．若函数 f(x)＝ (a2－ 1)x 在 (－∞，＋∞ )上是减函数，求 a 的取值范围．
[解析] ∵0<a2－ 1<1，∴1<a2<2， ∴－ 2< a<－ 1 或 1<a< 2. 即 a 的取值范围是(－ 2，－1)∪(1， 2)．
幂式的化简与求值
[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算 性质进行运算．
1 C. － 1， 2
的单调递增区间是
B． [2，＋∞)
1 D. ， 2 2
[答案] D
[解析] 令 t＝－ x2＋ x＋ 2≥ 0，得函数定义域为 [－1,2]，所 以 t＝－ x
2
1 1 ＋ x＋ 2 在－ 1， 上递增， 在 ， 2上递减． 根据“同 2 2 1 的单调递增区间是 ， 2. 2
高考数学总复习指数与指数函数PPT课件
1．设 a＝40.8，b＝80.46，c＝12－1.2，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
解析：选 A ∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c
＝12－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2，∴21.6＞21.38＞21.2. 即 a＞b＞c.
1．若函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第二、三、 四象限，则 a、b 的取值范围分别是________．
解析：因为函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第 二、三、四象限，所以0b＜－a1＜＜1－，1， 即0b＜＜a0＜. 1，
答案：a∈(0,1) b∈(－∞，0)
解析：令 t＝ax(a＞0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①当 0＜a＜1 时， x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时 f(t)在a，1a上为增函数． 所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16， 即 a＝－15或 a＝13.
答案：(2,3)
考点一
指数幂的化简与求值
[例 1]
化简：(1)a14ba123b4a23－a13bb213(a＞0，b＞0)；
(2)－287－23＋(0.002)－12－10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0.
[自主解答]
(1)
原
式
＝
a3b2a13b2312 ab2a－13b13
1．化简[(－2)6]12－(－1)0 的结果为(
)
A．－9
B．－10
C．9
D．7
解析：选 D [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8
高考数学指数与指数函数ppt课件
4
1．根式
(1)根式的概念 ①若__x_n_＝__a___，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N*.式子___n_a____
叫做根式，这里____n____叫做根指数，____a____叫做被开方数．
②a 的 n 次方根的表示：
xn＝a⇒xx＝＝_n_± a_，_n_当_a_n_为，奇当数n为且偶n∈数N且*n，∈nN>1*时时.，
(2)函数 y＝ax 与 y＝1ax(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称． (3)指数函数 y＝ax 与 y＝bx 的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越 大；在第二象限内，图象越高，底数越小．
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第三章 函数概念与基本初等函数
11
常见误区 解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对 a>1 及 0<a<1 进行 分类讨论．
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第三章 函数概念与基本初等函数
5
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*，且 n>1)．
a，n为奇数，
②n
an＝
____|a_|___＝a－，aa，≥a0<，0，
n为偶数.
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第三章 函数概念与基本初等函数
6
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：amn＝___n_a_m___ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)； 1
第三章 函数概念与基本初等函数
第6讲 指数与指数函数
数学
第三章 函数概念与基本初等函数
1
01
走进教材 自主回顾
2019高考数学总复习3.2 指数与指数函数 课件.ppt
2
8
2
8
2 x 1;
4
2
当 1 x 1时，不等式f x 2 1,即24x 1 2 1,
2
8
8
1 x 5. 28
总上可知：2 4
x
5 8
,原不等式的解集为x
|Байду номын сангаас
2 4
x
85 .
22
规律总结 上述问题的最终形式是解一个指数不等式，属于指
数函数的综合应用．求解该类问题的关键是，化简所给函数、方 程或不等式，使之能利用指数函数的性质，把原问题转化为熟悉 的问题加以解决．
23
变式训练４ 设集合A＝{x|1＜x≤2}，关于x的不等式
的解集为B，求使A∩B＝A的实数a的取值范
围22a．x 2ax a R
24
【解析】 y 2x是R上的增函数，
c的值． (2)由求得的c化简已知函数式，分段解不等式，最后求并
集，得不等式的解集．
21
解 1依题意，0 c 1,c2 c,
f c2 9 ,即c3 1 9 ,c 1 .
8
8
2
2由1得f x 212x4x11012xx121,.
当0 x 1 时，不等式f x 2 1，即1 x 1 2 1,
第二节 指数与指数函数
1
2
分析 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加
减，有括号的先算括号内的．整数指数幂的运算y性质及运 算规律扩充到分数指数幂后，其运算规则仍符合整数指数 幂的四则运算法则．
3
解
1 原式
2
6
3
211 115
a3 2 6b2 3 6
4ab0 4a.
5
人教A版高考数学复习指数与指数函数ppt课件
(2)方程的解可看作函数 y＝2x 和 y＝2－x 的图象交点的横 坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
[规律方法] 指数函数图象由其底数确定，在底数不确定时 要根据其取值范围进行分类讨论．从甲函数图象通过变换 得到乙函数的图象，通过顺次的逆变换，即可把乙函数的 图象变换为甲函数的图象．
指数与指数函数
1．根式 (1)根式的概念 ①若___x_n＝__a____，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且
n∈N*．式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被 开方数． ②a 的 n 次方根的表示：
xn＝a⇒xx＝＝_n_±a_（n__a当__n__为_（奇当数n且为n偶∈数N*且时n）∈，N*时）.
方法思想——解决与指数函数型有关的值域问题(换元法)
函数 f(x)＝14x－12x＋1 在 x∈[－3，2]上的值域
是____34_，__5_7_____．
[解析] 因为 x∈[－3，2]，若t2－t＋1＝t－122＋34．
当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57．
元”的范围．
2．指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键
点：(1，a)，(0，1)，－1，1a．
[做一做] 3．(2015·东北三校联考)函数 f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象
恒过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是( A )
A．y＝ 1－x
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*)．
②n
a，n为奇数， an＝___|_a_| _____＝a－，aa，≥a0<，0，
最新2019-指数函数与对数函数的图象和性质-PPT课件
解 由题意得 x＝－3 和 x＝2 是函数 f(x)的零点且 a≠0，则 0＝a·(－3)2＋(b－8)·(－3)－a－ab， 0＝a·22＋(b－8)·2－a－ab， 解得ba＝＝－ 5，3， ∴f(x)＝－3x2－3x＋18. (1)如图所示，由图象知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当 x＝0 时，y＝18； 当 x＝1 时，y＝12， ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
题型三 函数的图象及应用
例3 设函数f(x)＝x2＋bx＋c 2
(x≤0)， (x>0)，
若f(－4)＝f(0)，
f(－2)＝－2，求关于x的方程f(x)＝x的解的个数.
思维启迪 由两个已知条件求出b，c，再利用函数图象
或解方程求解．
解 方法一 由 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
可得146－－24bb＋＋c＝c＝－c，2， ∴b＝4，c＝2，
x2＋2x－a， (2)f(x)＝
x2－2x＋a，
x≥12a， x<12a，
当x≥12a时，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，
由a>2，x≥
1 2
a，得x>1，从而x>－1，故f(x)在x≥
1 2
a时单调
递增，f(x)的最小值为f(a2)＝a42；
当x<12a时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1)，
∴f(x)＝x2＋4x＋2 2
(x≤0)， (x>0)，
∴方程f(x)＝x等价于xx>＝0f，(x)＝2， 或xx≤2＋04，x＋2＝x. 即x＝2，或xx≤2＋03，x＋2＝0. ∴x＝2，或x＝－1，或x＝－2，
即fห้องสมุดไป่ตู้x)＝x有3个解．
高三数学复习 指数与指数函数 课件(共19张PPT)
2 D.(0,1) (1,)
解：当 a>1 时，由图(1)可知，不满足要求；
当 0<a<1 时，由图(2)可知，要方程有两个不等的实根，则 0<2a<1，
所以 a 的取值范围为(0，12)．
指数幂的运算 指数函数的图像及应用 指数函数的性质及应用
考点一·指数幂的运算
例1.化简
(a
2 3
2 x 3的值域是
0，1 9
，则f
( x)的单调增区间是
变式3.1已知定义在R上的函数f (x) 2 xm 1(m为实数）为偶函数， 记a f (log0.5 3),b f (log2 5),c f (2m),则a,b, c的大小为______
3.2当x (,1]时，不等式(m2 m) 4x 2x 0恒成立，则实数m 的取值范围是________
1．涉及与指数函数有关定义域、值域、单调性和图象等问 题时，一般要结合指数函数的图象，重视数形结合思想的运用．
2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的性质和底数 a 的取值有 关，与指数函数有关的含参数的问题要根据函数的性质进行分 类讨论，讨论的标准依“底数”的范围而定．
3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本 初等函数复合而成．解决与指数函数复合的有关函数，常常借 助换元法进行，但应注意换元后的新元的范围．
二、考情分析
1.考查指数函数的图像与性质及其应用。 2.以指数与指数函数知识为载体，考察指
数的运算和函数图像的应用。 3.以指数和指数函数为命题背景，重点考
察参数的计算
三、课前学习
1．指数 (1)n 次方根的定义
若_________，则称 x 为 a 的 n 次方根，“n ”是方根 的记号．
解：当 a>1 时，由图(1)可知，不满足要求；
当 0<a<1 时，由图(2)可知，要方程有两个不等的实根，则 0<2a<1，
所以 a 的取值范围为(0，12)．
指数幂的运算 指数函数的图像及应用 指数函数的性质及应用
考点一·指数幂的运算
例1.化简
(a
2 3
2 x 3的值域是
0，1 9
，则f
( x)的单调增区间是
变式3.1已知定义在R上的函数f (x) 2 xm 1(m为实数）为偶函数， 记a f (log0.5 3),b f (log2 5),c f (2m),则a,b, c的大小为______
3.2当x (,1]时，不等式(m2 m) 4x 2x 0恒成立，则实数m 的取值范围是________
1．涉及与指数函数有关定义域、值域、单调性和图象等问 题时，一般要结合指数函数的图象，重视数形结合思想的运用．
2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的性质和底数 a 的取值有 关，与指数函数有关的含参数的问题要根据函数的性质进行分 类讨论，讨论的标准依“底数”的范围而定．
3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本 初等函数复合而成．解决与指数函数复合的有关函数，常常借 助换元法进行，但应注意换元后的新元的范围．
二、考情分析
1.考查指数函数的图像与性质及其应用。 2.以指数与指数函数知识为载体，考察指
数的运算和函数图像的应用。 3.以指数和指数函数为命题背景，重点考
察参数的计算
三、课前学习
1．指数 (1)n 次方根的定义
若_________，则称 x 为 a 的 n 次方根，“n ”是方根 的记号．
《指数与指数函数》课件
2 特殊性质
e的值是无理数，e的倒数为0.3678… 。。
自然对数函数的定义
自然对数函数y=lnx是以常数e（约为2.7 18 2 8 ）为底数的对数函数。
自然对数函数的图像和性质
图像
性质
1 无界限性
自然对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是(∞,+∞)。
2 单调递增
自然对数函数具有单调递增性质，x越大， 自然对数的值越大。
对数和指数的关系
对数和指数是互为反函数的函数，可以用来互相转化，例如e^ (ln x)=x。
对数函数的图像和性质
图像
性质
1 穿过y轴
当x=1时，y=0，因此，对于任何底数a （a>0且a≠1），对数函数y=logax都穿过点 （1，0）。
2 单调递增
底数大于1时，对数函数单调递增；底数小 于1时函数单调递减。
对数函数的定义
对数函数是指数函数的反函数，其定义为y=logax，其中a>0且a≠1，x>0。
对数的性质
对于任意的a>0，a≠1，m 和n是正数，则有：
对数乘法公式
loga(m ·n)=logam +logan。
对数除法公式
loga(m /n)=logam −logan。
对数幂运算公式
loga(m ^ n)=nlogam 。
指数函数y=e^ x的图像是一条通过点(0,1)，从左往右逐渐增长的曲线。
指数函数的图像和性质
图像
性质
1 在零点处穿过y轴
e^ 0=1，因此该函数穿过y轴（0,1）。
2 单调递增
指数函数的导数恒大于0，因此函数单调递 增。
3 无零点
指数函数无论x取多少值，其函数值都不为0。
超实用高考数学专题复习教学课件：2.5指数与指数函数
当x逐渐增大时,图像逐渐下降
当x逐渐增大时,图像逐渐上升
函
数
y=ax(a>0,且a≠1)
0<a<1
定义域
R
值域
(0,+∞)
性 单调性
质 函数
a>1
在R上是 减函数
当x=0时, y=1
值变
当x<0时, y>1
化规律
当x>0时, 0<y<1
在R上是 增函数
;
当x<0时,0<y<1
当x>0时, y>1
;
10
8
+1=(-27)
5-2
2
3
1
+5002 -10(
5+2)+1
指数函数的图像及其应用(多考向探究)
考点2
考向1 指数函数型图像的判别
【例2】 (2020安徽马鞍山二模,理7)已知函数
为(
)
e -e -
f(x)= 2 ,则f(x)的图像大致
答案 A
解析 函数的定义域为{x|x≠0},故排除B,由函数的解析式易得f(x)=-f(-x),则
知,y=ax+b的图像必定不经过第一象限.故选A.
(2)由图像知f(x)是减函数,所以0<a<1,又由图
像在y轴上的截距小于1,则a-b<1,即-b>0,所以
b<0.故选D.
(3)①当0<a<1时,y=|ax-1|的图像如下图,
因为y=2a与y=|ax-1|的图像有两个交点,
1
所以0<2a<1.所以0<a< 2 .
2015高考总复习数学(文)课件：3.1指数式与指数函数
3．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝__________( a>0，r，s∈Q)． ar＋s
(2)(ar)s＝__________( a>0，r，s∈Q)． ars (3)(ab)r＝__________( a>0，b>0，r∈Q)． arbr
4．指数函数的图象与性质 指数 函数
y＝ax (a>1)
2 2 解：(1)原式＝ ×1＋ (2 ) × 2 ＋( 2 × 3 ) － ＝2 3 3
1 3
1 3 4
1 4
1 3
1 2 6
1 3
＋4×27＝110. (2)原式＝
a b a b a b
1 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3
＝a
1 1 1 3 2 6
考点 1 指数幂运算 例 1：计算：
(1)1.5
1 3
7 ×－60＋80.25× 4
1 2 1 2 1 3
2 2 ＋( 2 × 3) － ； 3
3
6
2 3
(2)
(a b 1 ) a b
6
2 3
a b
5
.
解题思路：根式的形式通常写成分数指数幂后再进行运算．
y＝ax (0<a<1)
图象
定义域 值域 性质
R (0 ，＋∞) ________ (0,1) ，即当 x＝0 时，y＝1 过定点________ 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数
1．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( C )
A．－ x＝ (－x ) (x>0)
1 4 C． x ＝ x
3 4
3
高中数学课件：23《指数函数》复习课件必修
保险精算
在债券市场中，指数函数被用来评估债券的价值，特别是贴现债券的价值。通过指数函数，可以更准确地计算债券的内在价值。
债券估价
放射性物质衰变的过程可以用指数函数来描述，这是物理学中的一个重要应用。通过指数函数，可以预测放射性物质剩余量随时间的变化。
放射性衰变
在电路中，电容的充电过程可以用指数函数来描述。通过指数函数，可以更准确地分析电路的工作状态。
解释
指数函数的加法性质
指数函数的乘法性质
对于任意的实数a和b，以及正实数x和y，有a^x * a^y = a^(x+y)。
解释
这是指数函数的基本运算性质之一，它表明当两个相同底数的指数函数相乘时，其指数相加。
指数函数的除法性质
对于任意的实数a和b，以及正实数x和y，有a^x / a^y = a^(x-y)。
高中数学精品课件23《指数函数》复习课件必修
目录
指数函数的基本概念指数函数的运算性质指数函数的应用习题与解答总结与回顾
01
CHAPTER
指数函数的基本概念
当 a > 1 时，函数 y = a^x 的值域为 (0, +∞)；当 0 < a < 1 时，函数 y = a^x 的值域为 (0,1)。
图像绘制
当 a > 1 时，指数函数的图像位于第一象限和第四象限；当 0 < a < 1 时，指数函数的图像位于第二象限和第三象限。
图像特征
02
CHAPTER
指数函数的运算性质
对于任意的实数a和b，以及正实数x，有a^(x+y) = a^x * a^y。
这是指数函数的基本运算性质之一，它表明当两个指数函数相加时，其底数不变，指数相加。
在债券市场中，指数函数被用来评估债券的价值，特别是贴现债券的价值。通过指数函数，可以更准确地计算债券的内在价值。
债券估价
放射性物质衰变的过程可以用指数函数来描述，这是物理学中的一个重要应用。通过指数函数，可以预测放射性物质剩余量随时间的变化。
放射性衰变
在电路中，电容的充电过程可以用指数函数来描述。通过指数函数，可以更准确地分析电路的工作状态。
解释
指数函数的加法性质
指数函数的乘法性质
对于任意的实数a和b，以及正实数x和y，有a^x * a^y = a^(x+y)。
解释
这是指数函数的基本运算性质之一，它表明当两个相同底数的指数函数相乘时，其指数相加。
指数函数的除法性质
对于任意的实数a和b，以及正实数x和y，有a^x / a^y = a^(x-y)。
高中数学精品课件23《指数函数》复习课件必修
目录
指数函数的基本概念指数函数的运算性质指数函数的应用习题与解答总结与回顾
01
CHAPTER
指数函数的基本概念
当 a > 1 时，函数 y = a^x 的值域为 (0, +∞)；当 0 < a < 1 时，函数 y = a^x 的值域为 (0,1)。
图像绘制
当 a > 1 时，指数函数的图像位于第一象限和第四象限；当 0 < a < 1 时，指数函数的图像位于第二象限和第三象限。
图像特征
02
CHAPTER
指数函数的运算性质
对于任意的实数a和b，以及正实数x，有a^(x+y) = a^x * a^y。
这是指数函数的基本运算性质之一，它表明当两个指数函数相加时，其底数不变，指数相加。
高三数学理(指数与指数函数)PPT共55页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
高三数学理（指数与指数函数）
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
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2
的图象．
.
• (2)由图象观察知，函数在(－∞，－2]上是单调增函数，在[－2，＋
∞)上是单调减函数．
•
(3)由图象观察知，x＝－2时，函数
y
1 x2
有最大值，最大
值为1，没有最小值．
2
规律总结 上述解法，通过化归与转化，把一个指数型函
数的问题转化为指数函数的图象，体现了化繁为简、化生为熟的 思想．另外，本例也可以不考虑去绝对值符号，而是直接用图象 变换作出，方法如下：
y
1
x
保留x0部分，将它沿y轴翻折得到x0部分
2
y
1 x 2
向左 平移2个单 位 y
1 2
x2
.
变式训练２函数 f x ax b的图象如右图，其中a、b为
常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
【解析】 ∵由图象显示函数是减函数，∴0<a<1.
又∵函数图象与y轴的交点在点(0,1)的下方，
∴图象是由 y a x 的图象向下平移所得，
∴－b<0，即b>0，故选C
【答案】 C
指数函数的性质及应用
已知函数
y
1
x2 6 x17
.
2
(1)求定义域及值域；(2)求函数的单调区间．
分析 上述函数是一个指数型函数的问题，可通过换元转化为指
数函数；利用指数函数的性质分别求定义域、值域和单调区 间．在求值域时，应先求指数的值域，再求指数式的值域；在求 单调区间时，注意利用复合函数的单调性．
变式训练1
1
已知x 2
1
x2
3,求
x2
3
x
2 3
2
的值.
x2 x 2 3
【解析】
1
x2
1
x2
1 3, x 2
1
x2
2
9,
x 2 x1 9, x x1 7,
x x1 2 49, x2 x2 47.
3
又 x2
3
x2
1
x2
1
x2
x
1
x 1
3 7 1
18,
x2 x2 2 47 2
变式训练４ 设集合A＝{x|1＜x≤2}，关于x的不等式
22ax 2ax a R 的解集为B，求使A∩B＝A的实数a的取值范围．
2
8
2
8
2 x 1;
4
2
当 1 x 1时，不等式f x 2 1,即24x 1 2 1,
2
8
8
1 x 5. 28
总上可知：2 4
x
5 8
,原不等式的解集为x
|
2 4
x
5 8
.
规律总结 上述问题的最终形式是解一个指数不等式，属于指数
函数的综合应用．求解该类问题的关键是，化简所给函数、方程或 不等式，使之能利用指数函数的性质，把原问题转化为熟悉的问题 加以解决．
f
x
1 2x 1
在
(－∞，＋∞)上单调递减，且无限趋于0，故
无最小值，故选A.
【答案】A
指数函数的综合应用
cx 10 x c,
(12分)
满足 f c2
已知函数 f 9.
x
x
1 c2
2
1c
x
1
(1)求常数c的8 值；(2)解不等式 f x 2 1 .
8
分析 (1)由题意判断c的取值范围，用 f c2 9 求常数c 8
的值．
(2)由求得的c化简已知函数式，分段解不等式，最后求并集，
得不等式的解集．
解 1依题意，0 c 1,c2 c,
f c2 9 ,即c3 1 9 ,c 1 .
8
8
2
2由1得f x 212x4x11012xx121,.
当0 x 1 时，不等式f x 2 1，即1 x 1 2 1,
解 1令ux x2 6x 17,ux x 32 8 8, x R，u 8,,
y
1 u 2
1 2
8 ,值域为 0,
1 28
.
2当x 3时, ux x2 6x 17为增函数，
又0 1 1, y 1 u 为减函数，
2
2
在3,上，函数y为减函数；
当x 3时，ux x2 6x 17为减函数,
解 1 原式
2
6
3
211 115
a3 2 6b2 3 6
4ab0 4a.
2 原式
a2
12
2 1 2
a 2 3
5
a6
6
a5 .
a2a3
规律总结 对于运算结果的形式，如果题目是以根式的形式给出的，
则结果一般用根式的形式表示；如果题目是以分数指数幂的形式给出 的，则结果一般用分数指数幂的形式表示．化简结果不要同时含有根 号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指数幂．
变式训练３ 若函数 f x 1 ，则该函数在(－∞，＋∞)
2x 1 上是( )
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
【解析】
(－令∞u，x＋∞ 2)上x 单1调，递则增f且uu(xu1)>.1因；为而u(f xu)在 1
u
在(1，＋∞)上单调递减．故
解 (1)由函数的解析式得
y 1 x2 2
1 2
x
2
x
2,
2x2 x 2.
其图象分成两部分：一部分是 的图象，由下列变换可得到：y
1
y
x
1 x2 x 2
2
向左 平移两个单位 y
1
x2
；
2
2
另一部分是 y 2x2 x 2的图象，由下列变换可得
到：y 2x 向左 平移两个单位 y 2x2 .如图实线部分为函数 y 1 x2
第二节 指数与指数函数
指数式的化简与求值
计算下列各式(式中字母均为正数)．
1
2a
2 3
b
1 2
6a
1 2
b
1 3
3a
1 6
b
5 6
;
2
a2 a3 a2
a
0.
分析 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号内的．整数指数幂的运算性质及y运算规律 扩充到分数指数幂后，其运算规则仍符合整数指数幂的四则 运算法则．
又0 1 1, y 1 u 为减函数，
2
2
在 ,3上，函数y为增函数.
综上可得，函数y
1
x2 6 x17
的单调增区间
2
为 ,3,单调减区间为3,.
规律总结 讨论指数型函数的性质，最终要利用指数函
数的性质和其他基本初等函数的性质来解决．其关键是准 确把握函数的结构，弄清复合函数中各函数的性质，然后 有机地把二者结合起来．判断单调性时，要注意复合函数 的规律．
3
3
ห้องสมุดไป่ตู้.
18 3
x2 x 2 3
指数函数的图象及应用
已知函数 y 1 x2 . 2
(1)作出函数的图象； (2)由图象指出单调区间； (3)由图象指出，当x取什么值时y有最值．
分析 由于函数解析式中含有绝对值，故要考虑去绝对值符号，
把函数解析式写成分段函数的形式，再作出图象，然后利用图 象寻求单调区间及最值．
的图象．
.
• (2)由图象观察知，函数在(－∞，－2]上是单调增函数，在[－2，＋
∞)上是单调减函数．
•
(3)由图象观察知，x＝－2时，函数
y
1 x2
有最大值，最大
值为1，没有最小值．
2
规律总结 上述解法，通过化归与转化，把一个指数型函
数的问题转化为指数函数的图象，体现了化繁为简、化生为熟的 思想．另外，本例也可以不考虑去绝对值符号，而是直接用图象 变换作出，方法如下：
y
1
x
保留x0部分，将它沿y轴翻折得到x0部分
2
y
1 x 2
向左 平移2个单 位 y
1 2
x2
.
变式训练２函数 f x ax b的图象如右图，其中a、b为
常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
【解析】 ∵由图象显示函数是减函数，∴0<a<1.
又∵函数图象与y轴的交点在点(0,1)的下方，
∴图象是由 y a x 的图象向下平移所得，
∴－b<0，即b>0，故选C
【答案】 C
指数函数的性质及应用
已知函数
y
1
x2 6 x17
.
2
(1)求定义域及值域；(2)求函数的单调区间．
分析 上述函数是一个指数型函数的问题，可通过换元转化为指
数函数；利用指数函数的性质分别求定义域、值域和单调区 间．在求值域时，应先求指数的值域，再求指数式的值域；在求 单调区间时，注意利用复合函数的单调性．
变式训练1
1
已知x 2
1
x2
3,求
x2
3
x
2 3
2
的值.
x2 x 2 3
【解析】
1
x2
1
x2
1 3, x 2
1
x2
2
9,
x 2 x1 9, x x1 7,
x x1 2 49, x2 x2 47.
3
又 x2
3
x2
1
x2
1
x2
x
1
x 1
3 7 1
18,
x2 x2 2 47 2
变式训练４ 设集合A＝{x|1＜x≤2}，关于x的不等式
22ax 2ax a R 的解集为B，求使A∩B＝A的实数a的取值范围．
2
8
2
8
2 x 1;
4
2
当 1 x 1时，不等式f x 2 1,即24x 1 2 1,
2
8
8
1 x 5. 28
总上可知：2 4
x
5 8
,原不等式的解集为x
|
2 4
x
5 8
.
规律总结 上述问题的最终形式是解一个指数不等式，属于指数
函数的综合应用．求解该类问题的关键是，化简所给函数、方程或 不等式，使之能利用指数函数的性质，把原问题转化为熟悉的问题 加以解决．
f
x
1 2x 1
在
(－∞，＋∞)上单调递减，且无限趋于0，故
无最小值，故选A.
【答案】A
指数函数的综合应用
cx 10 x c,
(12分)
满足 f c2
已知函数 f 9.
x
x
1 c2
2
1c
x
1
(1)求常数c的8 值；(2)解不等式 f x 2 1 .
8
分析 (1)由题意判断c的取值范围，用 f c2 9 求常数c 8
的值．
(2)由求得的c化简已知函数式，分段解不等式，最后求并集，
得不等式的解集．
解 1依题意，0 c 1,c2 c,
f c2 9 ,即c3 1 9 ,c 1 .
8
8
2
2由1得f x 212x4x11012xx121,.
当0 x 1 时，不等式f x 2 1，即1 x 1 2 1,
解 1令ux x2 6x 17,ux x 32 8 8, x R，u 8,,
y
1 u 2
1 2
8 ,值域为 0,
1 28
.
2当x 3时, ux x2 6x 17为增函数，
又0 1 1, y 1 u 为减函数，
2
2
在3,上，函数y为减函数；
当x 3时，ux x2 6x 17为减函数,
解 1 原式
2
6
3
211 115
a3 2 6b2 3 6
4ab0 4a.
2 原式
a2
12
2 1 2
a 2 3
5
a6
6
a5 .
a2a3
规律总结 对于运算结果的形式，如果题目是以根式的形式给出的，
则结果一般用根式的形式表示；如果题目是以分数指数幂的形式给出 的，则结果一般用分数指数幂的形式表示．化简结果不要同时含有根 号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指数幂．
变式训练３ 若函数 f x 1 ，则该函数在(－∞，＋∞)
2x 1 上是( )
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
【解析】
(－令∞u，x＋∞ 2)上x 单1调，递则增f且uu(xu1)>.1因；为而u(f xu)在 1
u
在(1，＋∞)上单调递减．故
解 (1)由函数的解析式得
y 1 x2 2
1 2
x
2
x
2,
2x2 x 2.
其图象分成两部分：一部分是 的图象，由下列变换可得到：y
1
y
x
1 x2 x 2
2
向左 平移两个单位 y
1
x2
；
2
2
另一部分是 y 2x2 x 2的图象，由下列变换可得
到：y 2x 向左 平移两个单位 y 2x2 .如图实线部分为函数 y 1 x2
第二节 指数与指数函数
指数式的化简与求值
计算下列各式(式中字母均为正数)．
1
2a
2 3
b
1 2
6a
1 2
b
1 3
3a
1 6
b
5 6
;
2
a2 a3 a2
a
0.
分析 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号内的．整数指数幂的运算性质及y运算规律 扩充到分数指数幂后，其运算规则仍符合整数指数幂的四则 运算法则．
又0 1 1, y 1 u 为减函数，
2
2
在 ,3上，函数y为增函数.
综上可得，函数y
1
x2 6 x17
的单调增区间
2
为 ,3,单调减区间为3,.
规律总结 讨论指数型函数的性质，最终要利用指数函
数的性质和其他基本初等函数的性质来解决．其关键是准 确把握函数的结构，弄清复合函数中各函数的性质，然后 有机地把二者结合起来．判断单调性时，要注意复合函数 的规律．
3
3
ห้องสมุดไป่ตู้.
18 3
x2 x 2 3
指数函数的图象及应用
已知函数 y 1 x2 . 2
(1)作出函数的图象； (2)由图象指出单调区间； (3)由图象指出，当x取什么值时y有最值．
分析 由于函数解析式中含有绝对值，故要考虑去绝对值符号，
把函数解析式写成分段函数的形式，再作出图象，然后利用图 象寻求单调区间及最值．