常用不定积分表
不定积分基本公式表课堂使用
cos x sin x
cos x sin xdx
sinx cos x C.
基础教学
15
例 9 求
1 dx.
cos2 x sin2 x
解
1
dx
cos2 x sin2 x dx
cos2 x sin2 x
cos2 x sin2 x
1 dx 1 dx
cos2 x
sin2 x
1
6
二、不定积分的基本运算法则
法则 1 两个函数的代数和的不定积分等于这 两个函数不定积分的代数和，即
[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g(x)dx.
基础教学
7
证 根据不定积分定义，只须验证上式右端的 导数等于左端的被积函数.
f (x)dx g(x)dx
f (x)dx g(x)dx
(6) sinxdx cos x C；
(7) sec2 xdx tan x C；
(8) csc2 xdx cot x C；
(9) secx tan xdx secx C；
(10) csc x cot xdx csc x C；
基础教学
2
(11)
dx arcsinx C arccos x C；
1
5 1
x2
C
2
x3
x C.
5 1
7
(2)
1 dx x
2
1
x 2dx
1
1 1
x 2 C
1 1
1
2x2 C
2
2 x C.
基础教学
5
例 3 求不定积分 2 x e xdx .
解
2 x e xdx (2e) x dx
常用不定积分公式
常用不定积分公式1. 基本积分公式：对于n不等于-1的任意实数，有∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
2. 幂函数积分公式：∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为大于0且不等于1的常数，C为常数。
3.基本三角函数积分公式：(1) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(4) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(5) ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C(6) ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C4.基本指数函数积分公式：(1) ∫e^x dx = e^x + C(2) ∫a^x(ln(a)/a^x) dx = a^x + C，其中a为大于0且不等于1的常数，C为常数。
5.基本对数函数积分公式：(1) ∫1/x dx = ln，x， + C(2) ∫ln(x) dx = x(ln，x， - 1) + C6.基本双曲函数积分公式：(1) ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C(2) ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C(3) ∫sech^2(x) dx = tanh(x) + C(4) ∫csech^2(x) dx = -coth(x) + C(5) ∫sech(x)tanh(x) dx = -sech(x) + C(6) ∫csech(x)coth(x) dx = -csech(x) + C7. 部分积分法：对于两个可导函数u(x)和v(x)，有∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx。
8. 代换法：对于一个可导函数u(g(x))，有∫u'(g(x))g'(x) dx =∫u'(u) du。
【免费下载】不定积分表
(b 0) (b 0)
2n 3 2(n 1)a2
(b 0) (b 0)
dx
( x2 a2 )n1
25．
26．
27．
28．
dx
＝
x(ax2 b)
dx ＝ 1 a
x2(ax2 b) bx b
dx x3(ax2 b)
dx
＝
＝
1 ln 2b
2a
x2 a2 ) C
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
不定积分常用公式大全
不定积分常用公式大全有很多的同学是非常的想知道，不定积分常用公式有哪些，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！不定积分常用公式有哪些1）∫0dx=c 不定积分的定义2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本积分公式14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;不定积分解题技巧个人经验首先，要知道一下，不定积分其实就是求导的逆运算，就像下面的公式；只不过在后面加上常数C，因为加上C与不加C的导数结果一样，毕竟，常数的导数为0嘛。
下图是书上的公式以验证词步骤。
其次，我们要谈论对第一类换元法的理解，所谓的第一类换元其实就是一种拼凑利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。
（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）分布积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，我认为比较好的记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
不定积分公式表
不定积分公式表一、基本积分公式。
1. 幂函数积分公式。
- ∫ x^ndx=(1)/(n + 1)x^n+1+C（n≠ - 1）- 例如：∫ x^2dx=(1)/(3)x^3+C，∫ x^5dx=(1)/(6)x^6+C。
2. 指数函数积分公式。
- ∫ a^xdx=frac{a^x}{ln a}+C（a>0,a≠1）- 特别地，当a = e时，∫ e^xdx=e^x+C。
3. 对数函数积分公式。
- ∫(1)/(x)dx=lnx+C4. 三角函数积分公式。
- ∫sin xdx=-cos x + C- ∫cos xdx=sin x + C- ∫sec^2xdx=tan x + C，因为(tan x)'=sec^2x- ∫csc^2xdx=-cot x + C，因为(cot x)' =-csc^2x- ∫sec xtan xdx=sec x + C，因为(sec x)'=sec xtan x- ∫csc xcot xdx=-csc x + C，因为(csc x)'=-csc xcot x5. 反三角函数积分公式。
- ∫(1)/(√(1 - x^2))dx=arcsin x + C=-arccos x + C_1- ∫(1)/(1+x^2)dx=arctan x + C=-text{arccot}x + C_1二、换元积分法相关公式（凑微分法）1. 常见凑微分形式。
- ∫ f(ax + b)dx=(1)/(a)∫ f(ax + b)d(ax + b)（a≠0）- 例如：∫sin(2x+1)dx=(1)/(2)∫sin(2x + 1)d(2x+1)=-(1)/(2)cos(2x + 1)+C。
- ∫ x^n - 1f(x^n)dx=(1)/(n)∫ f(x^n)d(x^n)- 例如：∫ x^2sin(x^3)dx=(1)/(3)∫sin(x^3)d(x^3)=-(1)/(3)cos(x^3)+C。
常用的24个不定积分公式及证明
常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。
所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。
4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。
对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。
6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。
不定积分59例
不定积分59例1、⎰⎰+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11)2(222、⎰⎰+=++-==+--C x C x dx x xdx 21)21(11)21(213、⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 4、()()()C x e e x dx dx e dx x e xxx x +-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰ln 21ln 2121ππππ5、()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 26、⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 222222227、()⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 228、⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 3111111113222424 9、()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin 10、()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121 11、()C a x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+⎰⎰arctan 11122212、()()Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰arcsin 1222()()⎰⎰=-n n n n dx x f ndx x x f 11 13、()()()()C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰3211212122131111211121114、()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131 15、⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 12216、⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos 17、⎰⎰⎰+=+-=-==C x C x x xd dx x x xdx sec ln cos ln cos cos cos sin tan 18、⎰⎰⎰+-=+===C x C x x xd dx x x xdx cos ln sin ln sin sin sin cos cot 19、()()()⎰⎰⎰++=++=++=C x x x x x x d dx x x x x x xdx tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec 20、()()()⎰⎰⎰+-=--=--=C x x xx x x d dx x x x x x xdx cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc21、()⎰⎰+==C x xxd dx x x ln ln ln ln ln 1 22、()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 23、()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e xx x x x 1ln 111 24、()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx x x x x x 1ln 111 25、()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x x xxx arctan 112226、()C e x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰212212121127、⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a ax dx )()(21112122 C ax a x a ++-=ln 2128、dx x x dx x x x dx x x x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+--+=+--2222213113112 ()()C x x x xdx x x d x +-+-=+-++-=⎰⎰arctan 31ln 211311212222 29、()()⎰⎰⎰⎰+--+-+-=+---=+--413525221526222152422222x dxx x x x d dx x x x dx x x x ()C x x x +--+-=21arctan 2352ln 21230、()C x x x xd x dx x xdx +-=⋅-=-=⎰⎰⎰2sin 412122cos 21212122cos 1sin 2 31、()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin32、⎰⎰⎰⎰+====C x x xd x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot 33、C x x xx d xdx dx x x x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222 34、()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ 35、dx x a ⎰-22解法一：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21解法二：三角形上面是圆顶的面积很容易求，地下的三角形加上上面的扇形。
不定积分表
Calculus高级不定积分表1.⎰⎰-=vdu uv udv 11. ⎰+-=C u udu u csc cot csc2.C n u du u n n++=+⎰1112. C u udu +=⎰sec ln tan 3.C u u du +=⎰ln 13.C x udu +=⎰sin ln cot4.C e du e u u +=⎰ 14.C u u udu ++=⎰tan sec ln sec 5.C a a du a uu+=⎰ln 15.C u u udu +-=⎰cot csc ln csc 6.C u udu +-=⎰cos sin 16.0,sin 122>+=--⎰a C au x a du7.C u udu +=⎰sin cos 17.C a u a u a du +=+-⎰122tan 1 8.C u udu +=⎰tan sec 2 18.C au a a u u du +=--⎰122sec 1 9.C u udu +-=⎰cot csc 2 19.C a u a u a u a du +-+=-⎰ln 212210.C u udu u +=⎰sec tan sec 20.C a u a u a a u du ++-=-⎰ln 2122 含有0,22>+a u a 21.()C u a u a u a u du u a +++++=+⎰2222222ln 22 22.()()C u a u a u a u a u du u a u +++-++=+⎰2242222222ln 828 23.C uu a a a u a du u u a +++-+=+⎰222222ln24.()C u a u u u a du u u a +++++-=+⎰2222222ln 25.()C u a u u a du +++=+⎰2222ln 26.()C u a u a u a u u a du u +++-+=+⎰22222222ln 22 27.C u a u a a u a u du+++-=+⎰2222ln 1 28.C u a u a u a udu ++-=+⎰222222 29.()C u a a u ua du++=+⎰2222322 含有0,22>-a u a 30.C a u a u a u du u a ++-=--⎰122222sin 22 31.()C a u a u a a u u du u a u ++--=--⎰142222222sin 828 32.C u u a a a u a du u u a +-+--=-⎰222222ln 33.C a u u a u du u u a +---=--⎰122222sin 1 34.C a u a u a u u a du u ++--=--⎰1222222sin 22 35.C u u a a a u a u du+-+-=-⎰2222ln 1 36.C u a ua u a u du +--=-⎰2222221 37.()()C a u a u a a u u du u a ++---=--⎰1422222322sin 8352838.()C u a a u ua du+-=-⎰2222322 含有0,22>-u a u 39.C a u u a a u u du a u +-+--=-⎰2222222ln 22 40.()C a u u a a u a u u du a u u +-+---=-⎰2242222222ln 828 41.C ua a a u du u a u +--=--⎰12222cos 42.C a u u ua u du u a u +-++--=-⎰2222222ln 43.C a u u a u du +-+=-⎰2222ln 44.C a u u a a u u a u du u +-++-=-⎰22222222ln 22 45.C u a a u a u u du +-=-⎰22222246.()C a u a u a u du+--=-⎰2222322含有()bu a + 47.()C bu a a bu a b bu a udu ++-+=+⎰ln 12 48.()()[]C bu a a bu a a bu a b bu a du u ++++-+=+⎰ln 24212232 49.()C bu a u a bu a u du ++=+⎰ln 150.()C ubu a a b au bu a u du +++-=+⎰ln 122 51.()()C bu a b bu a b a bu a udu ++++=+⎰ln 122252.()()C ubu a a bu a a bu a u du ++-+=+⎰ln 1122 53.()C bu a a bu a a bu a b bu a du u +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=+⎰ln 212322 54.()()C bu a a bu b du bu a u ++-=+⎰23223152 55.()C bu a a bu b bu a udu ++-=+⎰2322 56.()C bu a abu u b a b bu a du u ++-+=+⎰43815222332 57.()()0,tan 20,ln 11<+-+-=>+++-+=+-⎰a C a bu a aa C a bu a a bu a a bu a u du 58.⎰⎰+++=+bua u du a bu a du u bu a 2 59.⎰⎰+++-=+bua u dub u bu a du u bu a 22 60.()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=+⎰⎰-du bu a u na bu a u n b du bu a u n n n 123322 61.()()⎰⎰++-++=+-bu a du u n b na n b bu a u bu a du u n n n 1122122 62.()()()⎰⎰+----+-=+--bu a u du n a n b u n a bu a bu a u du n n n1112321 含有三角函数 63.C u u udu +-=⎰2sin 4121sin 264.C u u udu ++=⎰2sin 4121cos 2 65.C u u udu +-=⎰tan tan 2 66.C u u udu +--=⎰cot cot 267.C u u udu ++-=⎰cos )sin 2(31sin 23 68.C u u udu ++=⎰sin )cos 2(31cos 23 69.C u u udu ++=⎰cos ln tan 21tan 23 70.C u u udu +--=⎰sin ln cot 21cot 23 71.C u u u u udu +++=⎰tan sec ln 21tan sec 21sec 3 72.C u u u u udu +++-=⎰sin sec ln 21cot csc 21csc 3 73.⎰⎰---+-=du n n u n udu n n n 21sin 1cos sin 1sin 74.⎰⎰---+=udu nn u u n udu n n n 21cos 1sin cos 1cos 75.⎰⎰----=udu u n udu n n n 21tan tan 11tan 76.⎰⎰-----=udu u n udu n n n 21cot cot 11cot 77.⎰⎰----+-=udu n n u u n udu n n n 22csc 12csc cot 11sec 78.⎰⎰----+--=udu n n u u n udu n n n 22csc 12csc cot 11csc 79.()()()()C b a u b a b a u b a budu au +++---=⎰2sin 2sin sin sin 80.()()()()C b a u b a b a u b a budu au ++++--=⎰2sin 2sin cos cos 81.()()()()C b a u b a b a u b a budu au +++----=⎰2cos 2cos cos sin 82.C u u u udu u +-=⎰cos sin sin83.C u u u udu u ++=⎰sin cos cos84.⎰⎰-+-=udu un u u udu u n n n cos cos sin 1 85.⎰⎰--=udu u n u u udu u n n n cos sin cos 186.⎰⎰⎰--+-+-+-++=+-++-=udu u mn m m n u u udu u m n n m n u u uduu m n m n m m m n m n 211211cos sin 1cos sin cos sin 1cos sin cos sin 含有反三角函数 87.C u u u udu +-+=--⎰2111sin sin 88.C u u u udu +--=--⎰2111cos cos 89.()C u u u udu ++-=--⎰2111ln 21tan tan 90.C u u u u udu u +-+-=--⎰41sin 412sin 212191.C u u u u udu u +---=--⎰41cos 412cos 212192.C u u u udu u +-+=--⎰2tan 21tan 12193.1,1sin 11sin 21111-≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎰⎰+-+-n u du u u u n udu u n n n 94.1,1cos 11cos 21111-≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎰⎰+-+-n u du u u u n udu u n n n 95.1,1tan 11tan 21111-≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰⎰+-+-n u du u u u n udu u n n n 含有指数与对数函数 96.()C e au adu ue au au+-=⎰112 97.⎰⎰--=du e u a n e u a du e u au n au n au n 11 98.()C bu b bu a b a e budu e au au+-+=⎰cos sin sin 22 99.()C bu b bu a b a e budu e au au+++=⎰sin cos cos 22 100.C u u u udu +-=⎰ln ln101.()()[]C u n n u udu u n n+-++=+⎰1ln 11ln 21 102.C u du u u +=⎰ln ln ln 1含有双曲三角函数103.C u udu +=⎰cosh sinh104.C u udu +=⎰sinh cosh105.C u udu +=⎰cosh ln tanh 106.C u udu +=⎰sinh ln coth 含有22u au -,0>a 107.C a u a a u au a u du u au +⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⎰1222cos 2222 108.C a u a a u au a au u du u au u +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---=--⎰132222cos 226322 109.C a u a a u au du u u au +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--⎰122cos 22 110.C a u a u au du +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎰12cos 2 111.C a u a a u au u au udu +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=--⎰122cos 22 112.()C a u a a u au a u u au duu +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=--⎰12222cos 232232 113.C au u au uau u du +--=-⎰2222。
不定积分表
Y z .L i u .2013.09 卷终 公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。
虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。
在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。
如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。
积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。
而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组，151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式：反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰。
而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦，然后利用第一个积分式即可得到结论。
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。
我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，积分即得。
不定积分最全公式
常见不定1）∫0dx=c2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;1.∫adx = ax+C (a 为常数)2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C3.∫cos(x)dx = sin(x)+C4.∫tan(x)dx = -loge |cos(x)|+C = loge|sec(x)|+C5.∫cot(x)dx = loge|sin(x)|+C6.∫sec(x)dx = loge|sec(x)+tan(x)|+C7. ∫sin 2(x)dx= 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2= 1 x - 1 sin(2x)+C 2 48. ∫cos 2(x)dx= 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2= 1 x + 1 sin(2x)+C 2 49. ∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C10.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C11.∫sin(ax)sin(bx)dx= sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)12.∫sin(ax)cos(bx)dx= - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)13.∫cos(ax)cos(bx)dx= sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)14.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C15.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C16.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C17.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C18.∫e x dx = e x +C∫ ?a? dx = a log |x| ? (a 为常数) x仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
不定积分基本公式表
(11)
dx 1 x2
arcsinx C arccos x C；
(12)
1 x
dx
2
arctan x C arc cot x C .
例1 解
求不定积分
1 dx. x
1 被积函数 的定义域为 x 0. x
1 因为 (ln x ) , 所以 当 x > 0 时， x
其中每一项虽然都应有一个积分常数， 但是由于 任意常数之和还是任意常数，所以只需在最后 写出一个积分常数 C 即可.
2 5 x e C 1 2( cos x C 2 ) 2 x 2 C 3 5 5 4 2 x e 2 cos x x (C 1 2C 2 2C 3 ) 5 5 4 2 x e 2 cos x x C . 5
三、直接积分法
求积分时，如果直接用求积分的两个运算法 则和基本公式就能求出结果， 或对被积函数进行 简单的恒等变形 (包括代数和三角的恒等变形) ， 在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能 求出结果，这种求不定积分的方法成为直接积分
法．
例5
求
(1 x ) 3 dx. 2 x
解
2 3 (1 x ) 3 1 3 x 3 x x dx dx 2 2 x x
2
于是物体的运动规律为
2 3 4 s(t ) t t . 3 3
1 2 dx
1 1 2
C 2x C
例3
求不定积分
2 x e x dx .
解
2 x e x dx ( 2e) x dx
常用不定积分公式24个
常用不定积分公式24个不定积分是微积分中的一个重要分支，对于求解复杂函数的积分有很大的帮助，以下是常用的24个不定积分公式：1. $\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq-1）$2. $\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$3. $\int e^xdx=e^x+C$4. $\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$5. $\int \sin xdx=-\cos x+C$6. $\int \cos xdx=\sin x+C$7. $\int \mathrm{sec}^2xdx=\tan x+C$8. $\int \mathrm{cosec}^2xdx=-\cot x+C$9. $\int \mathrm{sec}x\tan xdx=\mathrm{sec}x+C$10. $\int \mathrm{cosec}x\cot xdx=-\mathrm{cosec}x+C$11. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$12. $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$13. $\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$14. $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C$15. $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\sqrt{x^2+a^2}+C$16. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$17. $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$18. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$19. $\int \frac{x}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln|a^2+x^2|+C$20. $\int \frac{a}{a^2+x^2}dx=\ln|a^2+x^2|+C$21. $\int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$22. $\int \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\sqrt{a^2+x^2}-a\ln|a+\sqrt{a^2+x^2}|+C$23. $\int \frac{1}{a+cos x}dx=\frac{2}{\sqrt{a^2-1}}\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-1}{a+1}}\tan\frac{x}{2}\right)+C(a>1)$24. $\int \frac{1}{1-cos x}dx=-\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C$以上是24个常用的不定积分公式，学好这些公式，对于学好微积分有很大的帮助。
三角函数不定积分公式表
三角函数不定积分公式表三角函数不定积分公式表————————————在数学中，三角函数是一类重要的函数，可以用来描述物体的角度和距离。
三角函数也可以用来计算不定积分。
掌握三角函数不定积分公式表是很有必要的。
## 一、三角函数不定积分公式表1. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$2. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$3. $\int \tan x \, dx = \ln|\sec x| + C$4. $\int \sec x \, dx = \ln|\sec x+\tan x| + C$5. $\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x - \cot x| + C$6. $\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$7. $\int \sec^2x \, dx = \tan x + C$8. $\int \csc^2x \, dx = -\cot x + C$## 二、如何使用三角函数不定积分公式表1. 确定积分项的形式：在做三角函数不定积分时，首先要确定所要求积分项的形式，即是否是三角函数，是正弦函数还是余弦函数，或者是其他形式。
2. 将积分项写成标准形式：接下来，可以将积分项写成标准形式，即三角函数不定积分公式表中所列出的公式形式。
例如，如果要求积分 $\int 2\sin x\, dx$，可以将其写成 $\int \sin x\, dx$ 的形式。
3. 根据公式表选择合适的公式：根据步骤2的结果，在三角函数不定积分公式表中选择合适的公式。
例如，在上面的例子中，可以选择第一个公式 $\int \sin x\, dx = -\cos x + C$ 。
4. 计算结果并添加常数项：最后，根据所选择的公式计算结果，并添加常数项 $C$ 。
例如，在上面的例子中，可以得到 $2\int \sin x\, dx = -2\cos x + C$ 。