固体物理(2011) - 第4章 能带论 1 布洛赫定理与布洛赫波
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对于
2 i
l1 N1
2 e
对于
2 i
l2 N2
3 e
—— 整数
2 i
l3 N3
l1 l3 l2 —— 引入矢量 k b1 bBaidu Nhomakorabea b3 N1 N2 N3 —— 倒格子基矢 满足 a i b j 2 ij
平移算符的本征值
将
1 e
对于任意函数
和
微分结果一样
T H H T
——T 和 H 存在对易关系，选取 H 的本征函数，使它同时 成为各平移算符的本征函数
H E T1 1 , T 2 2 , T 3 3
平移算符的本征值
引入周期性边界条件
三个方向
上的原胞数目
总的原胞数
对于
1 e
2. 紧束缚近似：晶体势场的周期起伏很大，晶体中的电子比较 紧地束缚于某一原子附近，周期势场可以看成是对原子势场的 微扰。
1 Bloch定理与Bloch波
周期平移对称性晶格对电子状态影响的重要物理 结果
单电子近似出发点 布洛赫定理：
先理解前提和结果 + 理解过程+实例 平移算符：周期性边界条件 布洛赫波 定理的物理意义 倒格矢的角色 其实从1d来理解就足够了
但是，慢一些，要是电子一个一个地通过双缝呢？ 额，这个波是个什么波呢？ —— 几率波！ 嗯，好，光也是光子几率波！ 怪不得光学一直那么精确，原来几乎就是量子力学的啊
还可以更高级么？ 当然可以！———— 路径积分
—— 布洛赫函数
—— 晶格周期性函数 满足布洛赫定理
有否更简单的证明方法？
平移算符本征值的物理意义
1） 1
e
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
2）平移算符本征值量子数
k
—— 原胞之间电子波 函数位相的变化
—— 简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同
第一布里渊区体积
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点
每个代表点的体积
Vc 状态密度 3 ( 2 )
( 2 ) N 简约布里渊区的波矢数目 N 3 ( 2 )
3
简化证明思路
不失一般性，选1D证明，然后推广 平面波是完备的 选一个平面波，将H作用上去，得到一个子空间 在子空间中对角化H 需要对各个子空间进行标记 于是发现只需要1st BZ中的平面波就足够了 然后完善上述证明
3）简约波矢改变一个倒格子矢量 G n n 1 b 1 n 2 b 2 n 3 b 3
平移算符的本征值
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应， 将简约波矢的取值限制第一布里渊区
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
把一个多粒子（电子、离子实）体系问题简化为一 个多电子体系问题。
单光子问题
第二步简化——单电子近似：认为每一个电子都是处于相
同的其它电子和离子实所形成的平均势场中运动。
准
利用哈特里—福克自洽场方法，多电子问题简化为单电子问 题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中 运动。
第三步简化 —— 周期势场近似：所有离子势场和其它电子 的平均场是周期性势场 固体能带理论的核心问题 —— 求解一个在周期势场中的单电 子问题 晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动
这个单电子其实也是个准粒子——布洛赫电子
布洛赫定理
布洛赫定理 —— 势场 函数满足薛定谔方程
2
具有晶格周期性时，电子的波 V (r )
V (r Rn ) V (r )
2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
—— 方程的解具有以下性质
话题：建立量子力学的简略步骤
学过光学是吧？ 光学有Cos，Sin，或者Exp[i k x]，是吧 造成了杨氏双缝干涉。。甚至n缝干涉。。。。。 更高级的当然是惠更斯-菲涅尔原理 好，现在电子来了 电子也要过杨氏双缝。。。 不要怀疑，实验也做出了干涉条纹！ 要衍射环也弄得出来！ 那好，电子也是波，Cos，Sin，Exp尽管用。。。
ik R n (r Rn ) e (r )
—— 布洛赫定理
为一矢量
—— 当平移晶格矢量 —— 波函数只增加了位相因子
根据布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
—— 布洛赫函数
晶格周期性函数 u k ( r R ) u k ( r )
平移算符 的性质
作用于任意函数 ——
平移算符作用于周期性势场
各平移算符之间对易
对于任意函数
T T T T
平移任意晶格矢量 对应的平移算符
m3 m1 m2 T ( R m ) T1 ( a 1 )T 2 ( a 2 )T 3 ( a 3 )
平移算符和哈密顿量对易
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 电子的能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
能带论的电子是准电子
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础
能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别
—— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动 9 能带论的局限性
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
作用于电子波函数
e
ik ( m1a1 m2a2 m3a3 )
(r )
ik R m (r Rm ) e (r )
—— 布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出 电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意格矢 势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1 , T 2 , T 3
—— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导 体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍 性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
其实得从Drude的经典电子气体讲起 然后到Thomas-Fermi的量子电子气体 然后加上晶格周期性。。。
能带理论中的近似方法： 第一步简化 —— 绝热近似（Born－Oppenheimer近似）：离 子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为 离子是固定在瞬时位置上 (静态近似)。
2 波动方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V (r ) V (r Rn )
2
两个具体近似方案
• QED！
1. 近自由电子近似：晶体势场的周期起伏比较弱，周期势能可 以看成是对自由电子平面波情况的微扰。
周期方形波怎么构成？ —— F. T.
2 i
l1 N1
2 e
对于
2 i
l2 N2
3 e
—— 整数
2 i
l3 N3
l1 l3 l2 —— 引入矢量 k b1 bBaidu Nhomakorabea b3 N1 N2 N3 —— 倒格子基矢 满足 a i b j 2 ij
平移算符的本征值
将
1 e
对于任意函数
和
微分结果一样
T H H T
——T 和 H 存在对易关系，选取 H 的本征函数，使它同时 成为各平移算符的本征函数
H E T1 1 , T 2 2 , T 3 3
平移算符的本征值
引入周期性边界条件
三个方向
上的原胞数目
总的原胞数
对于
1 e
2. 紧束缚近似：晶体势场的周期起伏很大，晶体中的电子比较 紧地束缚于某一原子附近，周期势场可以看成是对原子势场的 微扰。
1 Bloch定理与Bloch波
周期平移对称性晶格对电子状态影响的重要物理 结果
单电子近似出发点 布洛赫定理：
先理解前提和结果 + 理解过程+实例 平移算符：周期性边界条件 布洛赫波 定理的物理意义 倒格矢的角色 其实从1d来理解就足够了
但是，慢一些，要是电子一个一个地通过双缝呢？ 额，这个波是个什么波呢？ —— 几率波！ 嗯，好，光也是光子几率波！ 怪不得光学一直那么精确，原来几乎就是量子力学的啊
还可以更高级么？ 当然可以！———— 路径积分
—— 布洛赫函数
—— 晶格周期性函数 满足布洛赫定理
有否更简单的证明方法？
平移算符本征值的物理意义
1） 1
e
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
2）平移算符本征值量子数
k
—— 原胞之间电子波 函数位相的变化
—— 简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同
第一布里渊区体积
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点
每个代表点的体积
Vc 状态密度 3 ( 2 )
( 2 ) N 简约布里渊区的波矢数目 N 3 ( 2 )
3
简化证明思路
不失一般性，选1D证明，然后推广 平面波是完备的 选一个平面波，将H作用上去，得到一个子空间 在子空间中对角化H 需要对各个子空间进行标记 于是发现只需要1st BZ中的平面波就足够了 然后完善上述证明
3）简约波矢改变一个倒格子矢量 G n n 1 b 1 n 2 b 2 n 3 b 3
平移算符的本征值
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应， 将简约波矢的取值限制第一布里渊区
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
把一个多粒子（电子、离子实）体系问题简化为一 个多电子体系问题。
单光子问题
第二步简化——单电子近似：认为每一个电子都是处于相
同的其它电子和离子实所形成的平均势场中运动。
准
利用哈特里—福克自洽场方法，多电子问题简化为单电子问 题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中 运动。
第三步简化 —— 周期势场近似：所有离子势场和其它电子 的平均场是周期性势场 固体能带理论的核心问题 —— 求解一个在周期势场中的单电 子问题 晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动
这个单电子其实也是个准粒子——布洛赫电子
布洛赫定理
布洛赫定理 —— 势场 函数满足薛定谔方程
2
具有晶格周期性时，电子的波 V (r )
V (r Rn ) V (r )
2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
—— 方程的解具有以下性质
话题：建立量子力学的简略步骤
学过光学是吧？ 光学有Cos，Sin，或者Exp[i k x]，是吧 造成了杨氏双缝干涉。。甚至n缝干涉。。。。。 更高级的当然是惠更斯-菲涅尔原理 好，现在电子来了 电子也要过杨氏双缝。。。 不要怀疑，实验也做出了干涉条纹！ 要衍射环也弄得出来！ 那好，电子也是波，Cos，Sin，Exp尽管用。。。
ik R n (r Rn ) e (r )
—— 布洛赫定理
为一矢量
—— 当平移晶格矢量 —— 波函数只增加了位相因子
根据布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
—— 布洛赫函数
晶格周期性函数 u k ( r R ) u k ( r )
平移算符 的性质
作用于任意函数 ——
平移算符作用于周期性势场
各平移算符之间对易
对于任意函数
T T T T
平移任意晶格矢量 对应的平移算符
m3 m1 m2 T ( R m ) T1 ( a 1 )T 2 ( a 2 )T 3 ( a 3 )
平移算符和哈密顿量对易
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 电子的能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
能带论的电子是准电子
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础
能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别
—— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动 9 能带论的局限性
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
作用于电子波函数
e
ik ( m1a1 m2a2 m3a3 )
(r )
ik R m (r Rm ) e (r )
—— 布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出 电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意格矢 势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1 , T 2 , T 3
—— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导 体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍 性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
其实得从Drude的经典电子气体讲起 然后到Thomas-Fermi的量子电子气体 然后加上晶格周期性。。。
能带理论中的近似方法： 第一步简化 —— 绝热近似（Born－Oppenheimer近似）：离 子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为 离子是固定在瞬时位置上 (静态近似)。
2 波动方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V (r ) V (r Rn )
2
两个具体近似方案
• QED！
1. 近自由电子近似：晶体势场的周期起伏比较弱，周期势能可 以看成是对自由电子平面波情况的微扰。
周期方形波怎么构成？ —— F. T.