《数值计算方法》 课后题 答案(曾金平)湖南大学

由上表可知原方程的根 α ≈ x14 = 1.11419677734375 该问题得精确解为 α = 1.114157140871 ，故实际误差为 0.0000396
3 2
3．判断用等价方程 x = φ ( x ) 建立的求解的非线性方程 f ( x) = x − x − 1 = 0 在 1.5 附近的根的 简单迭代法 xk +1 = φ ( xk ) 的收敛性，其中
2
Δ( f ( x)) x ≈ f '( x)δ ( x) f ( x) f ( x)
解得 δ ( x) ≈
δ ( f ( x)) f ( x) δ ( f ( x)) x 2
xf '( x)
=
xi2 x
=
δ ( f ( x))
2
=0.5%
5．下面计算 y 的公式哪个算得准确些？为什么？
2
（1）已知 x << 1 ， （A） y = （A） y = （2）已知 x >> 1 ，
由迭代法收敛定理，对任意初值 x ∈ [1.3,1.6] ，迭代格式 xk +1 = 1 + （B） φ ( x) = (1 + x2 ) 3 ，则 φ (1.3) = 1.390755416 ，
解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两 个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法 时应尽量避免上述情况发生。 （1） （A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 （2） （B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。 （3） （A）中 sin 2 x 使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。 （4） （A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 6．用消元法求解线性代数方程组
2x2 1 1− x ， （B） y = ； − (1 + 2 x)(1 + x) 1+ 2x 1+ x
2 x( x + 1 1 + x− ) x x
， （B） y =
x+
1 1 − x− ； x x
2sin 2 x 1 − cos 2 x （A） y = ， （B） y = ； （3）已知 x << 1 ， x x 1 （4） （A） y = 9 − 80 ， （B） y = 9 + 80
−x
= 0； （4） x 2 − e − x = 0 ；
则 f (0) = 1 ， f ( −1) = -0.4597 ， 由 f ( x ) 的连续性知在 x ∈ [ −1, 0] 解： （1） 设 f ( x ) = x + cos x ， 内， f ( x ) =0 有根。
5
同题（1）的方法可得： （2） ， （3） ， （4）的零点附近的含根区间分别为 [ 0,1] ； ⎢ 0,
⎧ x1 + 1015 x2 = 1015 ⎨ ⎩ x1 + x2 = 2
假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
1 16 16 ⎧ ⎪0.100 × 10 x1 + 0.100 × 10 x2 = 0.100 × 10 ⎨ 1 1 1 ⎪ ⎩0.100 × 10 x1 + 0.100 × 10 x2 = 0.200 × 10
点数解该方程用消元法计算结果不可靠。 7．计算函数 f ( x) = x − 3 x + 3 x − 1 和 g ( x) = (( x − 3) x + 3) x − 1在x = 2.19 处的函数值（采用
3 2
3
十进制三位浮点数计算） 。哪个结果较正确？ 解： f ( 2.19) = 0.480 × 10 × 0.219 × 10 − 3 × 0.480 × 10 + 0.657 × 10 − 1
6
（B） φ ( x) = 1 + x ； （C） φ ( x) = （A） φ ( x) = 1 + 1/ x ；
2 3 2
1 x −1
解：取 1.5 附近区间 [1.3,1.6] 来考察。 （A） φ ( x) = 1 + 而 φ (1.3) = 1.59171596 ， 因此，当 x ∈ [1.3,1.6] 时，
= 0.489
（2）
∑3
i =6
1
i
=
1 1 1 1 1 1 + + + + + = 0.001 + 0.004 + 0.012 + 0.037 + 0.111 + 0.333 36 35 34 33 32 3
= 0.489
9．已知三角形面积 S = 证明： δ ( S ) ≤ 证 明 ：
1 π ab sin C ，其中 0 < C < 。 2 2
am .b1b2
bn
型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效
≈ fl ( fl (0.3197 ×102 + 0.2456 × 101 ) + 0.1352)
= fl (0.3443 × 10 + 0.1352)
2
=0.3457 × 10 2 （2）31.97+（2.456+0.1352）
≈ fl (0.3197 ×102 + fl (0.2456 × 101 )) 2 1 = fl (0.3197 × 10 + 0.2591× 10 )
用二分法计算结果列表如下：
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ak
0 1 1 1 1 1.0625 1.09375 1.109375 1.109375 1.11328125 1.11328125 1.11328125
bk
2 2 1.5 1.25 1.125 1.125 1.125 1.125 1.1171875 1.1171875 1.115234375 1.1142578125
⎡ π⎤ ； [ 0,1] ⎣ 2⎥ ⎦
2．用二分法求方程 x sin x − 1 = 0 在 [ 0, 2] 内的根的近似值并分析误差。 解 ： 令
f ( x ) = x sin x − 1
，
则
有
f (0) = −1 < 0
，
f (2) = 0.8186 > 0
，
f '( x) = sin x + x cos x > 0 ， x ∈ [ 0, 2]
δ (a) + δ (b) + δ (C ) 。
自
n
由
变
ຫໍສະໝຸດ Baidu
量
的
误
差
对
函
数
值
的
影
响
公
式
：
δ ( f ( x1 , x2 , , xn )) ≈ ∑
i =1
xi f ( x1 , x2 ,
∂f ( x1 , x2 , , xn ) ∂xi
, xn )
δ ( xi ) 。 得
δ ( S (a, b, C )) =
=0.3456 × 10 2 易见 31.97+2.456+0.1352=0.345612 × 10 2 ，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为 1%，测量边长所允许的相对误差限为多 少？ 解：设该正方形的边长为 x ，面积为 f ( x) = x ，由 δ ( f ( x)) =
xk
1 1.5 1.25 1.125 1.0625 1.09375 1.109375 1.1171875 1.11328125 1.115234375 1.1142578125 1.11376953125
f ( xk )
-0.1585 0.4962 0.1862 0.015051 -0.0718 -0.02835 -0.00664 0.004208 -0.001216 0.001496 0.001398 -0.000538
而当 x = 2.19 时 x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 的精确值为 1.6852，故 g ( x ) 的算法较正确。 8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算） ： （1）
∑3
i =1
6
1
i 6
；(2)
∑3
i =6
1
1
i
。
解： （1）
∑3
i =1 1
1
i
1 1 1 1 1 1 = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 0.333 + 0.111 + 0.037 + 0.012 + 0.004 + 0.001 3 3 3 3 3 3
1 ，显然当 x > 0 时， ϕ ( x ) 单调递减， x2
φ (1.6) = 1.390625 ，
φ ( x) ∈ [1.3,1.6] 。
2 2 ≤ 3 < 0.92 < 1 ， 3 x 1.3 1 ， ( k = 0,1, 2, ) 收敛。 xk2
又当 x ∈ [1.3,1.6] 时， φ '( x ) = −
4
（2） f ( x) = x 时
δ ( x4 ) ≈
x 4 ( x ) ' δ ( x) = 4δ ( x) = 4* 2% = 8% x4
2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他 们各有几位有效数字。 （2） x = 12.10 ； （3） x = 12.100 。 （1） x = 12.1 ； 解：由教材 P 9 关于 x = ± a1a2 数字位数分别为：3，4，5 3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； 哪个较精确？ 解： （1）31.97+2.456+0.1352 （2）31.97+（2.456+0.1352）
a ∂S (a, b, C ) b ∂S (a, b, C ) C ∂S (a, b, C ) δ (a) + δ (b) + δ (C ) S ( a , b, C ) ∂a S ( a , b, C ) ∂b S ( a , b, C ) ∂C
δ (S ) =
a b C ⋅ b sin C ⋅ δ ( a ) + ⋅ a sin C ⋅ δ (b) + ⋅ ab cos C ⋅ δ (C ) ab sin C ab sin C ab sin C
12 13 14
1.11376953125 1.114013671875 1.1141357421875
1.1142578125 1.1142578125 1.1142578125
1.114013671875 1.1141357421875 1.11419677734375
-0.000199 -0.0000297 0.000055
习题一
1．设 x >0 相对误差为 2%，求 x ， x 4 的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：
δ ( f ( x)) =
1
Δ( f ( x)) x ≈ f '( x)δ ( x) 得 f ( x) f ( x)
x时
（1） f ( x ) =
δ ( x) ≈
x 1 1 ( x ) ' δ ( x) = δ ( x) = * 2% = 1% ； 2 2 x
1 1 1 1
= 0.105 × 10 2 − 0.144 × 10 2 + 0.657 × 10 1 − 1
= 0.167 × 101
g ( 2.19) = ((−0.81) × 0.219 × 101 + 3) × 0.219 × 101 − 1
= 0.123 × 10 1 × 0.219 × 10 1 − 1 = 0.169 × 101 1 1 即 f ( x) = 0.167 × 10 ， g ( x) = 0.169 × 10
= δ ( a ) + δ (b) +
C δ (C ) tgC
≤ δ (a) + δ (b) + δ (C )
（当 0 < C <
π
2
时， C < tgC ） ，命题得证。
4
习题二
1．找出下列方程在 x = 0 附近的含根区间。 （1） x + cos x = 0 ； （2） 3x − cos x = 0 ； （3） sin( x) − e
所以函数 f ( x ) 在 ( 0，2 ) 上严格单调增且有唯一实根 x∗ 。 本题中求根使得误差不超过 10 −4 ，则由误差估计式
| α − x k |≤
b−a 2−0 −4 ，所需迭代次数 k 满足 k +1 < 10 ，即取 k ≥ 13.28 便可，因此取 k = 14 。 k +1 2 2
(1) (2)
1
（1） （ - 2） 得 0.100 × 10 x2 = 0.100 × 10 ， 即 x2 = 0.100 × 10 ， 把 x2 的值代入 （1） 得 x1 = 0.000 ；
16 16
把 x2 的值代入（2）得 x1 = 0.100 × 10
1
⎧ x1 = 0.100 ×101 ⎧ x1 = 0.100 ×101 ⎪ ⎪ 不满足（2）式，解 ⎨ 不满足（1）式，故在十进制三位浮 解⎨ 1 1 ⎪ ⎪ ⎩ x 2 = 0.000 × 10 ⎩ x 2 = 0.100 × 10