2019人教版九年级上册数学课本知识点归纳

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人教版九年级上册数学知识点总结

人教版九年级上册数学知识点总结

人教版九年级上册数学知识点总结九年级上册知识点:二次根式考点1:无理数无限不循环的小数被称为无理数,其中常见的无理数包括π以及π的有理数倍数等。

考点2:二次根式的概念形如√a的式子被称为二次根式,其中a是一个非负数,且二次根式也是一个非负数。

若有限个二次根式的和等于0,则每个二次根式的被开方数必须是0.考点3:移因式于根号内、外的方法移因式于根号外的方法包括:当根号外的数是一个负数时,把负号留在根号外,然后把这个数平方后移到根号内;当根号内的数是一个正数时,直接把这个数平方后移到根号内。

移因式于根号内的方法包括:当根号内的数是正数时直接开方移到根号外,当根号内的数是负数时开方移到根号外后要添上负号。

考点4:最简二次根式最简二次根式满足被开方数的因数是整数,因式是整式,并且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

最简二次根式中一定不含有分母,且对于数或代数式,它们不能写成a×m的形式。

考点5:二次根式的化简与计算二次根式的化简实际上就是把二次根式化成最简二次根式,然后通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。

二次根式的加减运算可以表示为√a±√b=√(a±b),乘法运算可以表示为√a×√b=√(ab),除法运算可以表示为√a÷√b=√(a/b),乘方运算可以表示为(√a)^2=a,开方运算可以表示为√(a^2)=|a|。

考点6:方根与二次根式的异同点XXX表示一个正数a的算术平方根,而二次根式表示一个实数a的平方的算术平方根。

它们表示的意义是不同的。

当被开方数都是非负数时,方根和二次根式相等;当被开方数为负数时,方根无意义,而二次根式为虚数。

一元二次方程考点一:一元二次方程含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程被称为一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0,其中a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。

考点二:一元二次方程的解法一元二次方程的解法包括直接开平方法和配方法。

(完整word版)人教版数学九年级上册知识点整理

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ADC=180°.
知识点五:与圆有关的位置关系
5.点与圆
的位置关系
设点到圆心的距离为d.
⑴d<r?点在OO内;(2)d=r?点在OO上;(3)d>r?点在OO夕卜.
6.直线和 圆的位
m¥方
宀护¥方位置大糸
相离
相切
相交
图形
l®1
[GDI
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
dvr
知识点六:切线的性质与判定
解•
(2 )因式分解法:可化为(ax+m)(bx+ n)=0的方程,用因式分解法求
解•
(3 )公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x=
2.一元二次方
b曲4ac(b2-4ac>0).2a
程的解法
(4)配方法:当元二次方程的二次项糸数为1, 次项糸数为偶数时,
也可以考虑用配方法.

先用其他,再用公式
(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的 弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.
(4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角
(5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角.
(6)弦心距:圆心到弦的距离.
知识点二:垂径定理及其推论
2.垂径定
理及其推

定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
知识点三:二次函数的平移
4.平移与
解析式
的关系
x/_ov2向左(h<0)或向右(h>0)2向上(k>0)或向下(kv0)2
常”>y=a(x-h)—、y=a(x—h)2+k

最新人教版九年级数学上册知识点总结全套

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最新人教版九年级数学上册知识点总结全套数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一:一元二次方程的定义一元二次方程是指等号两边都是只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程。

注意以下几点:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。

知识点二:一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax2+ bx + c = 0(a≠0)。

其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。

知识点三:一元二次方程的根一元二次方程的根是指使方程左右两边相等的未知数的值。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一:直接开平方法解一元二次方程1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。

对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a。

2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。

3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。

知识点二:配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为:①把常数项移到等号的右边;②方程两边都除以二次项系数;③方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;④若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。

21.2.2 公式法知识点一:公式法解一元二次方程一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为x=b±b2-4ac2a,这个公式叫做一元二次方程的求根公式。

人教版数学九年级上册知识点整理

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6.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
d<r
知识点六:切线的性质与判定
7.切线
的判定
(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
8.切线
的性质
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性,如图所示,在以下五条结论中:
1弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD;
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个,另外三个结论一定成立,即推二知三
.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合,解题时往往需要添加辅助线,一般过圆心作弦的垂线,构造直角三角形.
(1)切线与圆只有一个公共点.
(2)切线到圆心的距离等于圆的半径.
(3)切线垂直于经过切点的半径.
*9.切线长
(1)定义:从圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
知识点七:三角形与圆
第二十一章 一元二次方程
知识点一:一元二次方程及其解法
1.一元二次方程的相关概念
(1)定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程.
(2)一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.

初中数学九年级上册知识点及公式总结大全(人教版)

初中数学九年级上册知识点及公式总结大全(人教版)

九年级数学(上)知识点(2)被开方数中不含有开得尽方的整数或整式。

3、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。

7、二次根式的加减:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,在合并同类二次根式,合并同类二次根式与合并同类项类似,将同类二次根式的“系数”相加减,被开方数和根指数不变。

注意:二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式,不是同类二次根式不能合并。

8、二次根式的混合运算:二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的。

在运算过程中,有理数(式)中的运算率及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。

9、比较两数大小的常用方法:(1)平方法:若a>0,b>0,且a²>b²,则a>b;(2)把跟号外的非负因式移到根号内,然后比较被开方数的大小。

第二十二章一元二次根式一.知识框二.知识概念1.一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程,叫做一元二次方程.2 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax +bx+c=0(a≠0).2这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.2.一元二次方程的解法:2(1)运用开平方法解形如(x+m) =n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.2(2)配方法:将一元二次方程变形为(x+p) =q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q <0,方程无实根.2 2(3)公式法:将方程化为一般形式ax +bx+c=0,当b -4ac≥0时,将a、b、c代入式子第二十三章旋转一.知识框架二.知识概念 1.旋转:在平面内,将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转。

数学人教版九年级上册因式分解(提公因式法)

数学人教版九年级上册因式分解(提公因式法)

练习
1.解下列方程:
2 2 2 ( 1 ) x x 0 ;(2) x 2 3 x 0 ; ( 3 ) 3 x 6 x 3 ;
2 2 2 ( 4 ) 4 x 121 0 ; ( 5 ) 3 x ( 2 x 1 ) 4 x 2 ; ( 6 ) ( x 4 ) ( 5 2 x ) .
2
2019/1/5
配方法
2 1 0 x 4 . 9 x 0
公式法
2 1 0 x 4 . 9 x 0
2 解: 4 . 9 x 1 0 x 0
100 x0 49 2 2 1 0 0 5 0 5 0 2 x x 0 4 9 4 9 4 9
1. 将方程左边因式分解,右边等于0; 2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一 元一次方程. 3. 分别解两个一元一次方程,它们的根就 是原方程的根.
2019/1/5
布置作业
• 教材习题21.2
2019/1/5
( 3x - 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x - 2 = 0 或 2x + 1 = 0,
2 1 x1 , x2 . 3 2
2019/1/5
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增 加了一倍,求小圆形场地的半径. 解:设小圆形场地的半径为r 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根.
2019/1/5
例3 解下列方程:
xx2 ; 1 x20
2
1 2 3 5 x 2 x x 2 x . 2 4 4 解:(1)因式分解,得 (2)移项、合并同类项,得

2019年人教版数学九年级上册-一元二次方程-第2课时 平均增长率、面积类、定价类问题

2019年人教版数学九年级上册-一元二次方程-第2课时 平均增长率、面积类、定价类问题
数学
第2课时
平均增长率、面积类、定价类问题
列一元二次方程解决平均增长率问题 1.某商品连续两次降价.单价由100元降至81元,若两次的降价的百分率一样,则 这个百分率为( (A)10% (B)20% (C)30% (D)40% A )
数学
2.(2017烟台改编)今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了
解得x≥50,
答:该果农今年收获樱桃至少50千克.
数学
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售,该果农去年 樱桃的市场销售量为100千克,销售均价为30元/千克,今年樱桃的市场销售量比去 年减少了m%,销售均价与去年相同;该果农去年枇杷的市场销售量为200千克,销售 均价为20元/千克,今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%,但销售均价比去年减 少了m%,该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃
当x=8时,26-2x=10<12,
答:所围矩形猪舍的长为10 m、宽为8 m.
数学
列一元二次方程解决销售问题
5.水果市场某批发商经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千 克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少 20千克.现要保证每天盈利6 000元,同时又要让顾客尽可能多得到实惠,那么每千 克应涨价多少元? 解:设涨价x元,则销售量为(500-20x)千克,据题意,得 (10+x)(500-20x)=6 000,解得x1=5,x2=10, 为了顾客尽可能多得到实惠,所以每千克应涨价5元, 答:每千克应涨价5元.
数学
(参考用时:40分钟)
1.(2017安徽)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百

2019年人教版九年级数学上册《因式分解法》

2019年人教版九年级数学上册《因式分解法》

4.(惠安·中考)解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.
通过本课时的学习,需要我们掌握: 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
2.解下列方程: (1)(x+2)(x-4)=0 【解析】(1) (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0
1.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
【解析】设这个数为x,根据题意,得
2x2=7x. 2x2-7x=0,
x(2x-7) =0, ∴x=0或2x-7=0.
2.用分解因式法解下列方程 1.
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.
认真思考下面大屏幕出示的问题,列出一元二次方程并
尽可能用多种方法求解.
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等, 这个数是几?你是怎样求出来的?
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得:
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
小亮做得对吗?
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一
21.2.3
因式分解法
1.了解因式分解法解一元二次方程的概念,并会用分解因式 法解某些一元二次方程. 2.通过因式分解法解一元二次方程的学习,树立转化的思想.
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法
配方法 公式法 2.什么叫因式分解?
x2=a (a≥0) (x+m)2=n (n≥0)
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.

人教版数学九年级上册课件22-第二十四章24.1.4圆周角

人教版数学九年级上册课件22-第二十四章24.1.4圆周角
答案 A
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为

AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知

ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.

(精)最新版人教版九年级数学上册全册知识点

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最新版人教版九年级数学全册知识点第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2) 且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为2的形式,ax +bx+c=0(a≠0)则这个方程就为一元二次方程.( 4)将方程化为一般形式:ax 2+bx+c=0 时,应满足( a≠0)21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法:用直接开平方法解形如(x- m)2=n (n ≥0) 的方程,其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算. 通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。

1.转化:将此一元二次方程化为 ax^2+bx+c=0 的形式 ( 即一元二次方程的一般形式)2.系数化 1:将二次项系数化为 13.移项:将常数项移到等号右侧4.配方:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形:将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方:左右同时开平方7.求解:整理即可得到原方程的根3、公式法公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△的值代入求根公式x=(b2- 4ac≥0) 就可得到方程的根。

=b2-4ac的值,当b2- 4ac≥0时,把各项系数a, b, c因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

人教版九年级数学上册知识点整理完整版

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人教版九年级数学上册知识点整理完整版一、代数与函数1.代数简介①常数:数值不变的量。

②变量:数量可能改变的量。

③代数式:由数、字母、加减乘除号、括号等符号组成的式子。

④同类项:指含有相同字母并且指数相同的项。

⑤合并同类项:指将同类项合并成一个项。

⑥因式分解:将代数式表示成幂或较简单的代数式,叫做因式分解。

⑦方程式&方程:一个代数式与另一个代数式在等号两边,称为方程式,且方程式构成了等式。

2.一次函数①函数:将自变量的某个取值代入函数中得到唯一的因变量的值,称为函数。

②自变量:输入的值③函数表达式:用代数式表示函数的式子称为函数表达式④一次函数:函数表达式中,最高次项是一次幂的函数叫一次函数,也叫线性函数。

⑤斜率:函数: y = kx + b ,函数图象的斜率 k,即为直线的斜率。

3.二次函数①二次函数:函数表达式中,最高次项是二次幂的函数,叫做二次函数。

②二次函数的一般式:f(x) = ax² + bx + c(a≠0)③二次函数的顶点:二次函数图象的转折点,称为顶点。

④二次函数的对称轴:图象关于 x = -b/ 2a 对称的直线,称为二次函数的对称轴。

⑤二次函数的最小值/最大值:二次函数)的顶点纵坐标所对应的函数值,是二次函数的最小值或最大值。

4.函数的研究①函数图象的基本性质:函数的零点、函数值的正负、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近线等。

②函数的零点:函数 f(x) = 0 的解叫做函数的零点。

即 f(x) = 0 时 x 的解。

③函数类型:函数分类标准通常有函数的定义域和值域、图象、函数表达式等。

二、图形的认识1.图形的一些概念①线段:由两个端点所组成的线段,叫做线段。

②射线:在一个端点处向一个方向上延伸的线段,叫做射线。

③直线:没有端点,在一个方向上延伸的线段,称为直线。

④平行线:永远不会相交的两条直线叫做平行线。

⑤垂直平分线:在一条直线上,垂直于该线段、且等分该线段的线,称为垂直平分线。

2019秋人教版九年级数学上册教材全解读.docx

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教材分析第二■-一章一元二次方程【知识网络】【知识解读】1.一元二次方程的定义只含有一个未知数,并且未知数的次数是二次的整式方程,叫做一元二次方程.它的一般形式:ax2+Z>x+c = O (a*o).(1)判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③方程是整式方程(即含有未知数的式子是整式).三者必须同时满足,否则就不是一元二次方程.(2)京+bx + c = O (a, b, c为常数,a.O)称为一元二次方程的一般形式,其中水0是定义中的一部分,不可缺少,否则就不是一元二次方程.履叫做二次项,a 叫做二次项系数,二者是不同的概念,不可混淆.2.一元二次方程的解法注意事项:解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键:用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0;用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式,正确写出a、b、c的值;用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为(mx-n) 25的形式;用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1,再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.解具体的一元二次方程时,要分析方程的特征,灵活选择方法.公式法是解一元二次方程的通法,而配方法又是公式法的基础(公式法是直接利用了配方法的结论).分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.一般说来,先特殊后一般,即先考虑分解因式法,后考虑公式法.没有特别说明,一般不用配方法.3.一元二次方程的实际应用方程是解决实际问题的有效模型和工具,解方程的技能训练要与实际问题相联系,在解决问题的过程中体会解方程的技巧,理解方程的解的含义. 利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系,找出题目中的已知量与未知量,分析已知量与未知量的关系,再通过等量关系,列出方程,求解方程,并能根据方程的解和具体问题的实际意义,检验解的合理性.列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答. 审:读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的等量关系;设:设元,也就是设未知数;列:列方程,这是非常重要的关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程;解:解方程,求出未知数的值;验:检验方程的解能否保证实际问题有意义;答:写出答语.相等关系的寻找应从以下几方面入手:①分清本题属于哪一类型的应用题,如行程问题,则其基本数量关系应明确(vt=s).②注意总结各类应用题中常用的等量关系.如工作量(工程)问题.常常是以工作量为基础得到相等关系(如各部分工作量之和等于整体1等).③注意语言与代数式之间的转化.题目中多数条件是通过语言给出的,我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式.④从语言叙述中寻找相等关系.如甲比乙大5应理解为“甲=乙+ 5”⑤在寻找相等关系时,还应从基本的生活常识中得出相等关系.总之,找出相等关系的关键是审题,审题是列方程的基础,找相等关系是列方程解应用题的关键.【易错点】一、忽视一元二次方程定义中的条件例1关于X的一元二次方程(a + l)x2 + x + a2-l = 0的一个根为0,则错解:...0是一元二次方程的根,.•.将x = 0代入方程得a? -1 = 0, ."= ±L剖析:因为方程为一元二次方程,所以二次项系数a-l#0,即a左一1。

人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)

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−n± p m人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的有关概念(一)一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程。

(二)一元二次方程的一般形式:ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中:二次项为ax 2;二次项系数为 a ;一次项为 bx ,一次项系数为 b ;常数项为 c 。

特殊形式:(三)一元二次方程中“未知数的最高次数是 2,二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。

(四)一元二次方程的解(根)1、概念:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。

2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边,看是否相等,若相等,则该数是这个方程的根;若不 相等,则该数不是这个方程的根。

3、关于一元二次方程根的三个重要结论(1)a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。

(2)a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。

(3)c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。

二、解一元二次方程(一)直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方,求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。

2、方程x 2 = p 的根(1) 当 p>0 时,根据平方根的意义,方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ,x 2 =− p 。

(2) 当 p=0 时,方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。

(3) 当 p<0 时,因为对任意实数 x ,都有x 2≥0,所以方程x 2 = p 无实数根。

2019年秋季人教版九年级数学上册第24章 圆知识点总结与练习 含答案

2019年秋季人教版九年级数学上册第24章  圆知识点总结与练习  含答案

圆1.圆的定义(1)在一个平面内,线段OA 绕它的一个端点O 旋转一周, 另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径,如右图所示。

(2)圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合,定点为圆心,定长为圆的半径。

说明:圆的位置由圆心确定,圆的大小由半径确定,半 径相等的两个圆为等圆。

2.圆的有关概念(1)弦:连结圆上任意两点的线段。

(如右图中 的CD )。

(2)直径:经过圆心的弦(如右图中的AB )。

直径等于半径的2倍。

(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧。

其中大于半圆的弧叫做优弧(4)圆心角:如右图中∠COD 就是圆心角。

3.与圆相关的角(1)与圆相关的角的定义①圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角:顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

③弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。

(2)与圆相关的角的性质①圆心角的度数等于它所对的弦的度数;②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; ③同弧或等弧所对的圆周角相等; ④半圆(或直径)所对的圆周角相等; ⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角;⑥两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等;⑦圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。

4.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦的弦心距相等。

(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等【例1】 下面四个命题中正确的一个是( )A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧B .过弦的中点的直线必过圆心C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D .弦的垂线平分弦所对的弧圆的认识A OB CD A【答案】C1.点与圆的位置关系如果圆的半径为r ,某一点到圆心的距离为d ,那么: (1)点在圆外 (2)点在圆上 (3)点在圆内 2.直线和圆的位置关系设r 为圆的半径,d 为圆心到直线的距离(1)直线和圆相离,直线与圆没有交点; (2)直线和圆相切,直线与圆有唯一交点; (3)直线和圆相交,直线与圆有两个交点。

2019秋人教版九年级数学上册课件:第24章圆24.2.2 直线和圆的位置关系(共30张PPT)教育精品.ppt

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8.已知⊙O的直径等于12 cm,圆心O到直线l的距离为
5 cm,则直线l与⊙O的公共点个数为( )
A.0个 B.1个
C
C.2个 D.无法确定
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9.(中考·湘西州)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3 cm,
AC=4 cm,以点C为圆心,以2.5 cm为半径画圆,则
⊙C与直线AB的位置关系是( )
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13.如图,⊙O的半径OC=5 cm,直线l⊥OC,垂足
为H,且l交⊙O于A,B两点,AB=8 cm,则l沿
OC所在的直线向下平移,当l与⊙O相切时,平移
的距离为( )
A.1 cm C.3 cm
B.2 cm D.B4 cm
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题型 1 直线和圆的位置关系在作图中应用 14.(中考·怀化)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°.

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6.(中考·梧州)已知半径为5的圆,其圆心到直线的
距离是3,此时直线和圆的位置关系为( )
A.相离 B.相切
C
C.相交 D.无法确定
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7.平面直角坐标系中有点A(3,4),以点A为圆心,5为半
径画圆,在同一坐标系中,直线y=-x与⊙A的位置
关系是( )
A.相离 C.相交
B.相切 DC.以上都有可能
直线c与⊙O_______公共点,则直线c与⊙O相离.
没有
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2.已知一条直线与圆有公共点,则这条直线与圆的位
置关系是( ) A.相离 B.D相切 C.相交 D.相切或相交
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3.若直线m与⊙O的公共点个数不小于1,则直线m与
⊙O的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C C.相交或相切 D.相离

2019年九年级数学上册 第二十二章 二次函数知识点总结 (新版)新人教版

2019年九年级数学上册 第二十二章 二次函数知识点总结 (新版)新人教版

第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数。

2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线。

4。

二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=,.5. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2。

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 越大,抛物线的开口越小;a 越小,抛物线的开口越大。

②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x 。

7.顶点决定抛物线的位置。

几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同。

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =.(3)抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点。

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳单选题1、定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在正方形OABC 中,点A (0,2),点C (2,0),则互异二次函数y =(x −m )2−m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是( )A .4,-1B .5−√172,-1C .4,0D .5+√172,-1 答案:D分析:分别讨论当对称轴位于y 轴左侧、位于y 轴与正方形对称轴x =1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况,列出它们有交点时满足的条件,得到关于m 的不等式组,求解即可. 解:由正方形的性质可知:B (2,2);若二次函数y =(x −m )2−m 与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况:当m ≤0时,则当A 点在抛物线上或上方时,它们有交点,此时有{m ≤0m 2−m ≤2, 解得:−1≤m <0;当0<m ≤1时,则当C 点在抛物线上或下方时,它们有交点,此时有{0<m ≤1(2−m )2−m ≥0, 解得:0<m ≤1;当1<m ≤2时,则当O 点位于抛物线上或下方时,它们有交点,此时有{1<m ≤2m 2−m >0, 解得:1<m ≤2;当m >2时,则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时,它们才有交点,此时有{m >2m 2−m ≥0(2−m )2−m ≤2 ,解得:2<m≤5+√17;2,−1.综上可得:m的最大值和最小值分别是5+√172故选:D.小提示:本题考查了抛物线与正方形的交点问题,涉及到列一元一次不等式组等内容,解决本题的关键是能根据图像分析交点情况,并进行分类讨论,本题综合性较强,需要一定的分析能力与图形感知力,因此对学生的思维要求较高,本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等.2、如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,若−2< x1<−1,则下列四个结论:①3<x2<4,②3a+2b>0,③b2>a+c+4ac,④a>c>b.正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B分析:根据二次函数的对称性,即可判断①;由开口方向和对称轴即可判断②;根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值,即可判断③;根据抛物线的开口方向、对称轴,与y轴的交点以及a-b+c<0,即可判断④.∵对称轴为直线x=1,-2<x1<-1,∴3<x2<4,①正确,∵−b= 1,2a∴b=- 2а,∴3a+2b= 3a-4a= -a,∵a>0,∴3a+2b<0,②错误;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2 - 4ac > 0,根据题意可知x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,∴a+c<b,∵a>0,∴b=-2a<0,∴a+c<0,∴b2 -4ac > a+ c,∴b2>a+c+4ac,③正确;∵抛物线开口向上,与y轴的交点在x轴下方,∴a>0,c<0,∴a>c,∵a-b+c<0,b=-2a,∴3a+c<0,∴c<-3a,∴b=–2a,∴b>c,以④错误;故选B小提示:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,解题的关键是掌握数形结合思想的应用,注意掌握二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数的对称性.3、抛物线y=x2+3上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1<y2,则下列结论正确的是( )A.0≤x1<x2B.x2<x1≤0C.x2<x1≤0或0≤x1<x2D.以上都不对答案:D分析:根据二次函数图象及性质,即可判定.∵抛物线y=x2+3开口向上,在其图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且y1<y2,∴|x1|<|x2|,∴0≤x1<x2,或x2<x1≤0,或x2>0,x1≤0且x2+x1>0,或x2<0,x1>0且x2+x1<0,故选:D.小提示:本题考查了二次函数的图象及性质,熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键.4、如图,某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN,其中点P在AC上,点NM分别在BC,AB上,记PM=x,PN=y,图中阴影部分的面积为S,若NP在一定范围内变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是()A.反比例函数关系,一次函数关系B.二次函数关系,一次函数关系C.一次函数关系,反比例函数关系D.一次函数关系,二次函数关系答案:D分析:先求出AM=PM,利用矩形的性质得出y=﹣x+m,最后利用S=S△ABC-S矩形PMBN得出结论.设AB=m(m为常数).在△AMP中,∠A=45°,AM⊥PM,∴△AMP为等腰直角三角形,∴AM=PM,又∵在矩形PMBN中,PN=BM,∴x+y=PM+PN=AM+BM=AB=m,即y=﹣x+m,∴y与x成一次函数关系,∴S =S △ABC -S 矩形PMBN =12m 2-xy =12m 2-x (﹣x +m )=x 2-mx +12m 2, ∴S 与x 成二次函数关系.故选D .小提示:本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用,解题的关键是掌握根据题意求出y 与x 之间的函数关系式.5、二次函数y =x 的图象经过的象限是( )A .第一、二象限B .第一、三象限C .第二、四象限D .第三、四象限答案:A分析:由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标,进而求解.∵y =x 2, ∴抛物线开口向上,顶点坐标为(0,0),∴抛物线经过第一,二象限.故选:A .小提示:本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.6、关于x 的方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x 1、x 2,若x 2=2x 1,则4b −9ac 的最大值是( )A .1B .√2C .√3D .2答案:D分析:根据一元二次方程根与系数的关系,求得两根之和和两根之积,再根据两根关系,求得系数的关系,代入代数式,配方法化简求值即可.解:由方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x 1、x 2可得,a ≠0,x 1+x 2=−b a ,x 1x 2=c a ∵x 2=2x 1,可得3x 1=−b a ,2x 12=c a ,即2(−b 3a )2=c a 化简得9ac =2b 2 则4b −9ac =−2b 2+4b =−2(b 2−2b)=−2(b −1)2+2故4b −9ac 最大值为2故选D小提示:此题考查了一元二次方程根与系数的关系,涉及了配方法求解代数式的最大值,根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键.7、已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧,现将该抛物线先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到的抛物线正好经过坐标原点,则k的值是()A.−5或2B.−5C.2D.−2答案:B分析:根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行解答即可.解:函数y=x2+kx−k2向右平移3个单位,得:y=(x−3)2+k(x−3)−k2;再向上平移1个单位,得:y=(x−3)2+k(x−3)−k2+1,∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴0=(0−3)2+k(0−3)−k2+1即k2+3k−10=0解得:k=−5或k=2∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧∴x=−k>02∴k<0∴k=−5故选:B.小提示:此题主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.8、在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=ax+b的图象不可能是( )A.B.C.D.答案:D分析:根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可.解:当a>0,b>0时,y=ax2+bx的开口上,与x轴的一个交点在x轴的负半轴,y=ax+b经过第一、二、三象限,且两函数图象交于x的负半轴,无选项符合;当a>0,b<0时,y=ax2+bx的开口向上,与x轴的一个交点在x轴的正半轴,y=ax+b经过第一、三、四象限,且两函数图象交于x的正半轴,故选项A正确,不符合题意题意;当a<0,b>0时,y=ax2+bx的开口向下,与x轴的一个交点在x轴的正半轴,y=ax+b经过第一、二、四象限,且两函数图象交于x的正半轴,C选项正确,不符合题意;当a<0,b<0时,y=ax2+bx的开口向下,与x轴的一个交点在x轴的负半轴,y=ax+b经过第二、三、四象限,B选项正确,不符合题意;只有选项D的两图象的交点不经过x轴,故选D.小提示:本题考查二次函数与一次函数图象的性质,解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论.9、已知二次函数y=mx2−4m2x−3(m为常数,m≠0),点P(x p,y p)是该函数图象上一点,当0≤x p≤4时,y p≤−3,则m的取值范围是()A.m≥1或m<0B.m≥1C.m≤−1或m>0D.m≤−1答案:A分析:先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标,再分两种情况:m>0或m<0,根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可.解:∵二次函数y=mx2−4m2x−3,∴对称轴为x=2m,抛物线与y轴的交点为(0,−3),∵点P(x p,y p)是该函数图象上一点,当0≤x p≤4时,y p≤−3,∴①当m>0时,对称轴x=2m>0,此时,当x=4时,y≤−3,即m⋅42−4m2⋅4−3≤−3,解得m≥1;②当m<0时,对称轴x=2m<0,当0≤x≤4时,y随x增大而减小,则当0≤x p≤4时,y p≤−3恒成立;综上,m的取值范围是:m≥1或m<0.故选:A.小提示:本题考查了二次函数的性质,关键是分情况讨论.10、如图,某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O与水面的距离CO是2m,则当水位上升1.5m时,水面的宽度为()A.0.4mB.0.6mC.0.8mD.1m答案:C分析:根据题意可建立平面直角坐标系,然后设函数关系式为y=ax2,由题意可知A(−0.8,−2),代入求解函数解析式,进而问题可求解.解:建立如图所示的坐标系:设函数关系式为y=ax2,由题意得:A(−0.8,−2),∴−2=0.8×0.8×a,,解得:a=−258∴y=−25x2,8x2,当y=-0.5时,则有−0.5=−258解得:x=±0.4,∴水面的宽度为0.8m;故选C.小提示:本题主要考查二次函数的应用,熟练掌握二次函数的应用是解题的关键.填空题11、已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式−3m2+3m+2022的值为______.答案:2019分析:先将点(m,0)代入函数解析式,然后求代数式的值即可得出结果.解:将(m,0)代入函数解析式得,m2-m-1=0,∴m2-m=1,∴-3m2+3m+2022=-3(m2-m)+2022=-3+2022=2019.所以答案是:2019.小提示:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值,解题的关键是将点(m,0)代入函数解析式得到有关m的代数式的值.12、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=−x2+2mx+m−2(m为常数,且m>0)与直线y=2交于A、B两点.若AB=2,则m的值为______.答案:√21−12分析:设A(x1,2),B(x2,2),抛物线y=−x2+2mx+m−2中,令y=2,得x2−2mx−m+4=0,利用根与系数关系求得AB,可建立关于m的方程并解出即可.解:设A(x1,2),B(x2,2),抛物线y=−x2+2mx+m−2中,令y=2,得:−x2+2mx+m−2=2,即:x2−2mx−m+4=0∴x1+x2=2m,x1x2=−m+4,∴AB=|x2−x1|=√(x2+x1)2−4x1x2=√(2m)2−4(−m+4)=2,∴m2+m−5=0,解得:m1=√21−12,m2=−√21−12(舍去),所以答案是:√21−12.小提示:本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握这三个知识点的综合应用是解题关键.13、平移二次函数的图象,如果有一个点既在平移前的函数图象上,又在平移后的函数图象上,我们把这个点叫做“关联点”.现将二次函数y=x2+2x+c(c为常数)的图象向右平移得到新的抛物线,若“关联点”为(1,2),则新抛物线的函数表达式为_______.答案:y=(x−3)2−2分析:将(1,2)代入y=x2+2x+c,解得c=-1,设将抛物线y=x2+2x-1=(x+1)2-2,向右平移m个单位,则平移后的抛物线解析式是y=(x+1-m)2-2,然后将(1,2)代入得到关于m的方程,通过解方程求得m的值即可.解:将(1,2)代入y=x2+2x+c,得12+2×1+c=2,解得c=-1.设将抛物线y=x2+2x-1=(x+1)2-2,向右平移m个单位,则平移后的抛物线解析式是y=(x+1-m)2-2,将(1,2)代入,得(1+1-m)2-2=2.整理,得2-m=±2.解得m1=0(舍去),m2=4.故新抛物线的表达式为y=(x-3)2-2.故答案是:y=(x−3)2−2.小提示:本题主要考查了二次函数图象与几何变换,二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式,解题的关键是理解“关联点”的含义.14、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在正常水位的情况下,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.则当水位下降m=________时,水面宽为5m?答案:1.125分析:以抛物线的顶点为原点建立坐标系,则可以设函数的解析式是y=ax2,然后求得水面与抛物线的交点坐标,利用待定系数法求解抛物线的解析式,再利用点的坐标特点即可求解.解:如图,建立如下的坐标系:水面与抛物线的交点坐标是(-2,-2),(2,−2),设函数的解析式是y=ax2,则4a=-2,解得a=−12,则函数的解析式是y=−12x2.当水面宽为5米时,把x=52代入抛物线的解析式可得:y=12×(52)2=258=3.125,∴3.125−2=1.125(米),所以答案是:1.125.小提示:本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的性质,建立合适的平面直角坐标系,求得水面与抛物线的交点是解题的关键.15、根据物理学规律,如果不考虑空气阻力,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间的函数关系是ℎ=−5t2+20t,当飞行时间t为___________s时,小球达到最高点.答案:2分析:将函数关系式转化为顶点式即可求解.根据题意,有ℎ=−5t2+20t=−5(t−2)2+20,当t=2时,ℎ有最大值.所以答案是:2.小提示:本题考查二次函数解析式的相互转化及应用,解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用.解答题16、某公司电商平台,在2021年五一长假期间,举行了商品打折促销活动,经市场调查发现,某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数,下表仅列出了该商品的售价x,周销售量y,周销售利润W(元)的三组对应值数据.(2)若该商品进价a(元/件),售价x为多少时,周销售利润W最大?并求出此时的最大利润;(3)因疫情期间,该商品进价提高了m(元/件)(m>0),公司为回馈消费者,规定该商品售价x不得超过55(元/件),且该商品在今后的销售中,周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系,若周销售最大利润是4050元,求m的值.答案:(1)y=−3x+300;(2)售价60元时,周销售利润最大为4800元;(3)m=5分析:(1)①依题意设y=kx+b,解方程组即可得到结论;(2)根据题意得W=(−3x+300)(x−a),再由表格数据求出a=20,得到W=(−3x+300)(x−20)=−3(x−60)2+4800,根据二次函数的顶点式,求出最值即可;(3)根据题意得W=−3(x−100)(x−20−m)(x⩽55),由于对称轴是直线x=60+m2>60,根据二次函数的性质即可得到结论.解:(1)设y=kx+b,由题意有{40k+b=180 70k+b=90,解得{k=−3b=300,所以y关于x的函数解析式为y=−3x+300;(2)由(1)W=(−3x+300)(x−a),又由表可得:3600=(−3×40+300)(40−a),∴a=20,∴W=(−3x+300)(x−20)=−3x2+360x−6000=−3(x−60)2+4800.所以售价x=60时,周销售利润W最大,最大利润为4800;(3)由题意W=−3(x−100)(x−20−m)(x⩽55),其对称轴x=60+m2>60,∴0<x⩽55时上述函数单调递增,所以只有x=55时周销售利润最大,∴4050=−3(55−100)(55−20−m).∴m=5.小提示:本题考查了二次函数在实际生活中的应用,重点是掌握求最值的问题.注意:数学应用题来源于实践,用于实践,在当今社会市场经济的环境下,应掌握一些有关商品价格和利润的知识,总利润等于总收入减去总成本,然后再利用二次函数求最值.17、“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜,提供如下信息:①统计售价与需求量的数据,通过描点(图1),发现该蔬菜需求量y1(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线,其表达式为y1=ax2+ c,部分对应值如表:221.③1~7月份该蔬菜售价x1(元/千克),成本x2(元/千克)关于月份t的函数表达式分别为x1=12t+2,x2=1 4t2−32t+3,函数图象见图2.请解答下列问题:(1)求a,c的值.(2)根据图2,哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大?并说明理由.(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价,以及按此价格出售获得的总利润.答案:(1)a=−15,c=9(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大,见解析(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克,按此价格出售获得的总利润为8000元分析:(1)运用待定系数法求解即可;(2)设这种蔬菜每千克获利w元,根据w=x售价−x成本列出函数关系式,由二次函数的性质可得结论;(3)根据题意列出方程,求出x的值,再求出总利润即可.(1)把{x=3,y=7.2,{x=4,y=5.8代入y需求=ax2+c可得{9a+c=7.2,①16a+c=5.8.②②-①,得7a=−1.4,解得a=−15,把a=−15代入①,得c=9,∴a=−15,c=9.(2)设这种蔬菜每千克获利w元,根据题意,有w=x售价−x成本=12t+2−(14t2−32t+3),化简,得w=−14t2+2t−1=−14(t−4)2+3,∵−14<0,t=4在1≤t≤7的范围内,∴当t=4时,w有最大值.答:在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.(3)由y供给=y需求,得x−1=−15x2+9,化简,得x2+5x−50=0,解得x1=5,x2=−10(舍去),∴售价为5元/千克.此时,y供给=y需求=x−1=4(吨)=4000(千克),把x=5代入x售价=12t+2,得t=6,把t=6代入w=−14t2+2t−1,得w=−14×36+2×6−1=2,∴总利润=w⋅y=2×4000=8000(元).答:该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克,按此价格出售获得的总利润为8000元.小提示:此题主要考查了函数的综合应用,结合函数图象得出各点的坐标,再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键.18、一隧道内设双行公路,隧道的高MN为6米.下图是隧道的截面示意图,并建立如图所示的直角坐标系,它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的,矩形的长DE是8米,宽CD是2米.(1)求该抛物线的解析式;(2)为了保证安全,要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离.若行车道总宽度PQ (居中,两边为人行道)为6米,一辆高3.2米的货运卡车(设为长方形)靠近最右边行驶能否安全?请写出判断过程;(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG ,使H 、G 两点在抛物线上,A 、B 两点在地面DE 上,设GH 长为n 米,“脚手架”三根木杆AG 、GH 、HB 的长度之和为L ,当n 为何值时L 最大,最大值为多少? 答案:(1)y=-14x 2+4;(2)能安全通过,见解析;(3)n=4时,L 有最大值,最大值为14分析:(1)根据题意和函数图象,可以设出抛物线的解析式,然后根据抛物线过点F 和点M 即可求得该抛物线的解析式;(2)先求出抛物线的解析式,再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度,便可判断该车辆能安全通过.(3)射出H 的坐标,用n 表示出L ,利用二次函数的性质求解即可.解:(1)由题意得M (0,4),F (4,0)可设抛物线的解析式为y=ax 2+4,将F (4,0)代入y=ax 2+4中,得a=-14, ∴抛物线的解析式为y=-14x 2+4; (2)当x=3,y=74, 74+2-12=3.25>3.2,∴能安全通过; (3)由GH=n ,可设H (n 2,−n 216+4),∴GH+GA+BH=n+(−n 216+4)×2+2×2=−18n 2+n +12,∴L=−18n 2+n +12,∵a <0,抛物线开口向下,∴当n=-b=4时,L有最大值,最大值为14.2a小提示:本题考查了二次函数的实际应用,解题的关键是要注意自变量的取值范围必须使实际问题有意义.。

2019年九年级数学上册第二十四章圆知识点总结新版新人教版

2019年九年级数学上册第二十四章圆知识点总结新版新人教版

第二十四章 圆24.1.1 圆知识点一 圆的定义圆的定义:第一种:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 所形成的图形叫作圆。

固定的端点O 叫作圆心,线段OA 叫作半径。

第二种:圆心为O ,半径为r 的圆是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合。

比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。

知识点二 圆的相关概念(1) 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。

(2) 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

(3) 等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。

(4) 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直径知识点一 圆的对称性圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二 垂径定理(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。

如图所示,直径为MD ,AB 是弦, 且CD ⊥AB ,垂径定理的直径垂直弧如上图所示,直径MD 与非直径弦AB 相交于点C , CD ⊥ABAC=BC AM=BMAD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。

24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 弦、弧、圆心角的关系(1) 弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。

(2) 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。

(3) 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、C ⌒⌒ ⌒ ⌒弦不一定相等。

2019年九年级数学上册第二十四章圆知识点总结素材(新版)新人教版

2019年九年级数学上册第二十四章圆知识点总结素材(新版)新人教版

圆一、知识回顾圆的周长: C=2πr 或C=πd 、圆的面积:S=πr ²圆环面积计算方法:S=πR ²-πr ²或S=π(R ²-r ²)(R 是大圆半径,r 是小圆半径)二、知识要点 一、圆的概念集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 固定的端点O 为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。

2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内;2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上;3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点;2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点;3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点;A四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒ 无交点 ⇒ d R r >+; 外切(图2)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+; 相交(图3)⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+; 内切(图4)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-; 内含(图5)⇒ 无交点 ⇒ d R r <-;五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

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2019人教版九年级上册数学课本知识点归纳第二十一章 二次根式一、二次根式1.二次根式:把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式, “” 表示二次根号。

2.最简二次根式:若二次根式满足:①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

这样的二次根式叫做最简二次根式。

3.化简:化二次根式为最简二次根式(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。

(2)如果被开方数是整数或整式,先将他分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。

5.代数式:运用基本运算符号,把数和表示数的字母连起来的式子,叫代数式。

6.二次根式的性质(1))0()(2≥=a a a )0(≥a a(2)==a a 2)0(<-a a(3))0,0(≥≥∙=b a b a ab (乘法)(4))0,0(≥≥=b a b a b a (除法)二、二次根式混合运算1.二次根式加减时,可以把二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。

2.二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)。

第二十二章一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。

二、降次----解一元二次方程1.降次:把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程,都是要一元二次方程降次)2、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。

3、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法解一元二次方程的步骤是:①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。

4、公式法:公式法是用求根公式,解一元二次方程的解的方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x当ac b 42->0时,方程有两个实数根。

当ac b 42-=0时,方程有两个相等实数根。

当ac b 42-<0时,方程没有实数根。

5、因式分解法:先将一元二次方程因式分解,化成两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解叫因式分解法。

这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“∆”来表示,即ac b 42-=∆四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出a b x x -=+21,a c x x =21。

第二十三章 旋转一、旋转1、定义:把一个图形绕某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。

2、性质(1)对应点到旋转中心的距离相等。

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

⑶旋转前后的图形全等。

二、中心对称1、定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。

2、性质(1)关于中心对称的两个图形是全等形。

(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。

(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

3、判定:如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形:把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心。

5、关于原点对称的点的特征:两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)6、关于x轴对称的点的特征:两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y 的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)。

7、关于y轴对称的点的特征:两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x 的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)。

第二十四章圆一、圆的相关概念1、圆的定义:在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示:以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义(1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。

(如图中的AB)(2)直径:经过圆心的弦叫做直径。

(如图中的CD)直径等于半径的2倍。

(3)半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

(4)弧、优弧、劣弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。

弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)三、垂径定理及其推论1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆的对称性1、圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

六、圆周角定理及其推论1、圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

七、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有:d<r⇔点P在⊙O内;d=r⇔点P在⊙O上;d>r⇔点P在⊙O外。

八、过三点的圆1、过三点的圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件):圆内接四边形对角互补。

九、反证法先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法。

十、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系,具体如下:(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:直线l与⊙O相交⇔d<r;直线l与⊙O相切⇔d=r;直线l与⊙O相离⇔d>r;十一、切线的判定和性质1、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。

十二、切线长定理1、切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

十三、三角形的内切圆1、三角形的内切圆:与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心:三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。

十四、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系:如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。

2、圆心距:两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么两圆外离⇔d>R+r两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r)两圆内切⇔d=R-r(R>r)两圆内含⇔d<R-r(R>r)4、两圆相切、相交的重要性质:如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

十五、正多边形和圆1、正多边形的定义:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系:只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。

十六、与正多边形有关的概念1、正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

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