2021北京市东城区初三二模数学试卷(word版含答案)
2020-2021学年北京市东城区中考数学第二次模拟试题及答案解析
北京市东城区最新第二学期统一练习（二）初三数学学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟.2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为A．63.510⨯B．73.510⨯C．53510⨯D．80.3510⨯2．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数22-的点P应落在线段A．A O上B．OB上C．B C上D．C D上3．一个不透明的盒子中装有6个除颜色外完全相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是A．13B．25C．12D．234. 下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是A B C D5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是A B C D6 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于A．18°B．36°C．54°D．64°7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5人数 1 1 2 1A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.88．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是A．4 B．3 C．2D．19. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省A．1元B． 2元C．3元D．4元10. 某班有20位同学参加乒乓球、羽毛球比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：2242ax ax a -+=．12．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是． 13. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，请你添加一个条件，使得△ABP ∽△ACB ，这个条件可以是．14.九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．15．定义运算“*”，规定x *y =a （x +y ）+xy ，其中a 为常数，且1*2=5，则2*3= ．16．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：0112sin 6012(3π)()4-︒-+.18．已知023a b =≠，求代数式22422a b a b a ab-++的值． 19．如图，已知∠ABC =90°，分别以AB 和BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ，连接AE ，CD . 求证：AE =CD ．20．列方程或方程组解应用题：为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要108元，买3件A 商品和4件B 商品需要94元.问：打折后，若买5件A 商品和4件B 商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？21.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的等腰三角形．（要求：画出三个．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）DCBADCBADCBA22．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 于点E ．（1）求证：∠BAM =∠AEF ；（2）若AB =4，AD =6，4cos 5BAM ∠=，求DE 的长.23.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D . （1）求反比例函数的解析式；（2）经过点C 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数的图象交于P 点，当k ＞0时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 24.阅读下列材料：2013年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年.这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2013年全年,本市空气质量一级优的天数有41天；二级良天数135天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平.2014年全年， PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米.，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2013年的71天增加了22天.2015年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2014年增加了14天. 本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2015年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天. 根据以上材料解答下列问题：（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全年达到二级良的天数为天；（2）选择统计表或统计图，将2013—2015年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来.25. 如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ； （2）若AC =1010sin CAF ∠=，求BE 的长．26. 阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =1，∠A =α，求sin2α（用含sin α，cos α的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB = 2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出sin 2α=CD OC=21sin AC ⋅α=21cos sin αα⋅=ααcos sin 2⋅．图1 图2阅读以上内容，回答下列问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1. (1)如图3，若BC =13，则 sin α=，sin2α=； 图3(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sin α，cos α的式子表示）．27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）. （1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.28. 【问题】在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点E 在直线BC 上（B ,C 除外），分别经过点E 和点B 做AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系. 【探究发现】某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；图1【数学思考】那么当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 的延长线”；“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；图2【拓展应用】当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE =nBC （01n ＜＜），直接写出ABC S △：AEF S △的值．请备用图29. 定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是；②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ，使22PA PB +的值最小，直接写出此最小值.初三数学参考答案及评分标准 2016.6题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A BD AAC CCBB二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号 1112131415 16答案22(1)a x -1k >-且0k ≠ABD C∠=∠答案不唯一92%11(9,2)；(2016,672)三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：0112sin 6012(3π)()4-︒-+. 解：原式32314+…………4分=33- …………5分18. 解：22422a b a b a ab-++=224(2)(2)a b a a b a a b -++=2a ba -…………3分 023a b=≠Q ， ∴设2,3.a k b k ==…………4分∴ 原式=-2.…………5分19. 证明：Q △ABD 和△BCE 为等边三角形，∴∠ABD =∠CBE =60°，BA=BD ，BC=BE.…………2分∴∠ABD+∠ABC =∠CBE+∠ABC ，即∠CBD =∠ABE.…………3分∴△CBD ≌△EBA.（SAS ） …………4分∴AE=CD. …………5分20.解：设打折前一件商品A 的价格为x 元，一件商品B 的价格为y 元.…………1分依据题意，得631083494x y x y +=⎧⎨+=⎩.…………3分 解得：1016x y =⎧⎨=⎩.…………4分所以5×10+4×16-86=28（元）答：比打折前节省了28元. …………5分 21.满足条件的所有图形如图所示：…………5分注意：画出一个给2分，二个给4分，三个给5分. 22.解：（1）∵矩形ABCD ，∴∠B =∠BAC =90°. ∵EF ⊥AM ，∴∠AFE =∠B =∠BAD =90°.∴∠BAM +∠EAF =∠AEF+∠EAF =90°. ∴∠BAM =∠AEF.…………2分（2）在Rt △ABM 中，∠B =90°，AB =4，cos ∠BAM =45， ∴AM =5.∵F 为AM 中点， ∴AF =52. ∵∠BAM =∠AEF ， ∴cos ∠BAM = cos ∠AEF =45. ∴sin ∠AEF =35. 在Rt △AEF 中，∠AFE =90°，AF =52，sin ∠AEF =35， ∴AE =256. ∴DE=AC-AE =6-256=116. …………5分 23.解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，，∴BC =2.∴D （1,2）. ∵反比例函数my x=的图象经过点D ， ∴21m =. ∴2m =.∴2y x=. …………3分（2）233p x <<. …………5分 24.解：（1）172；133.…………2分 PM2.5的年均浓度（单位：微克/立方米）PM2.5的优良天数2013年 89.5 204 2014年 85.9 204 2015年80.622325.（1）证明：连结BD .∵AB 是O e 的直径， ∴90ADB ∠=︒.∴90DAB DBA ∠+∠=︒. ∵AB AC =，∴2ABD ABC ∠=∠，12AD AC =. ∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠FAB =90°.∴90FAC CAB ∠+∠=︒. ∴FAC ABD ∠=∠.∴2.ABC CAF ∠=∠…………2分⑵解：连接AE.∴∠AEB =∠AEC =90°.∵10sin CAF ABD CAF CBD CAE ∠∠=∠=∠=∠， ∴10sin sin ABD CAF ∠=∠=∵90210ABD AC ∠=︒=，∴10AD =10sin AD AB ABD==∠=BC . ∵9010AEC AC ∠=︒=， ∴sin 2CE AC CAE =⋅∠=.∴1028BE BC CE =-=-=.…………5分26.解：（1）sin α=13，sin2α=429. …………2分 （2）∵AC =cos α，BC =sin α，∴CD =AC BC AB ⨯=sin cos αα⋅. ∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，BD =sin 2α.∴OD =12- sin 2α. ∴tan2α=CD OD =22sin cos 2sin cos 112sin sin 2αααααα⋅⋅=--. …………5分 27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）， ∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩， ∴21.b c =-⎧⎨=-⎩， ∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）.∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+.令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分（3）414m <≤或4m =-. …………7分28.解：【探究发现】：相等.…………1分【数学思考】证明：在AC 上截取CG=CE ，连接GE. ∵∠ACB =90°,∴∠CGE =∠CEG =45°.∵AE ⊥EF ，AB ⊥BF ，∴∠AEF =∠ABF =∠ACB =90°, ∴∠FEB +∠AEF =∠AEB =∠EAC +∠ACB. ∴∠FEB =∠EAC.∵CA=CB ，∴AG=BE ，∠CBA =∠CAB =45°. ∴∠AGE =∠EBF =135°.∴△AGE ≌△EBF.∴AE=EF.…………5分【拓展应用】ABC S △：AEF S △=1：（222n n ++）…………7分 29.解：（1）图象略；是.…………2分（2）①2.…………4分②M （3,3）.…………6分 5 …………8分。
【中考冲刺】2021年北京市东城区中考数学模拟试卷(附答案)
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法．利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
12． ．
【分析】
设这种商品的年平均增长率为x，根据题意列方程即可．
【详解】
解：设这种商品的年平均增长率为x，
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．3
【分析】
根据题意A、B的纵坐标相同，先根据A的横坐标求得纵坐标，把纵坐标代入解析式，解关于x的方程即可求得．
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为 ，圆的半径为 ，则 与 满足的数量关系是（）
A． B． C． D．
二、填空题
9．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当 时， 随着 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是______．
∴需要测量线段AB的长度，
故选C.
【点睛】
本题考查了圆中三角形的相似，熟练运用同圆或等圆中，同弧或等弧上的圆周角相等是解题的关键.
8．D
【分析】
利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【详解】
解：扇形的弧长是： ，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： =2πr，
故答案是：y=x2+2或y=x2-2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
北京市东城区中考二模数学试题(word版含答案)(最新编写)
5
∴ BE= 3,AE= 4. ∴ EC=BC-BE =8-3=5 .
∵平行四边形 ABCD, ∴ CD=AB=5. ∴ △CED 为等腰三角形 .……2 分 ∴∠ CDE =∠ CED ．
xOy 中，已知二次函数
y
2
ax +2 ax
c 的图像与 y 轴交于
点 C (0,3) ，与 x 轴交于 A、 B 两点，点 B 的坐标为 (-3,0)
（ 1） 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； （ 2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线
1:2 的两部分，求出此时点 M 的坐标；
（ 3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点 最大面积是多少？并求出 此时点 P 的坐标 .
（ 2） ∵ 正整数 m 满足 8 2m 2 ，
∴ m 可取的值为 1 和 2 ．
又∵ 二次函数 y (1 m) x2 (4 m)x 3 ，
∴ m =2 ．…… 4 分 ∴ 二次函数为 y -x2 2x 3 ．
∴ A 点、 B 点的坐标分别为（ -1,0）、（ 3,0）． 依题意翻折后的图象如图所示． 由图象可知符合题意的直线 y kx 3 经过点 A、B．
在 Rt CDE 中,CE 设⊙ O的半径为 r, CO 2 CE 2 EO 2
3. 4分 则在 Rt CE O中,
即 ( 6-r) 2 r 2 3, 解得 r
6 .
4
22．解： (1) i 4 1， i 2011 -i i 2012
5分
1…… 3 分
(2)方程 x2 2 x 2 0 的两根为
2022年北京东城区数学二模(Word版含答案)
＝1＋2－3＋1……………………………………………………………4分
＝1………………………………………………………………………………5分
18．解：6－4x≥3x－8
－7x≥－14………………………………………………………………………………2分
x≤2………………………………………………………………………………3分
①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；
②当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．
23．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC=90°，在CB上截取CD=CA，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，以点A为圆心，AE长为半径作圆⊙A．
（1）求证：BC是⊙A的切线；
（2）若AC=5，BD=3，求DE的长．
24．某研究中心建立了自己的科技创新评估体系，并对2021年中国城市的科技创新水平进行了评估．科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成（以下简称：综合指数、总量指数和效率指数）．该研究中心对2021年中国城市综合指数得分排名前40的城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 (a≠0)的对称轴是直线x＝3.
（1）求抛物线与y轴的交点坐标；
（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（3）若抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB≤4，求a的取值范围．
27．在△ABC中，AB=AC，∠CAB＝2α，在△ABC的外侧作直线AP（90°－α＜∠PAC＜180°－2α），作点C关于直线AP的对称点D，连接AD、BD，BD交直线AP于点E．
21．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
北京市东城区初三数学二模试题及答案
、填空题〔4个小题，每题4分，共16分〕x 19.假设分式 ---- 的值为零，那么x 的值等于 _________ x 2 2022年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题〔8个小题，每题4分，共32分〕 以下各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 4的平方根是〔〕A . 2B . — 2C . ± 2D . 162.卜列图形中，是轴对称图形的是〔 〕A .直角三角形B . 平行四边形C .梯形D . 等边三角形3.在反比例函数 y -的图象上的一个点的坐标是 〔〕x A . 2,- B . 〔— 2, 1〕C . 〔2, 1〕D . 〔-2,2〕22x4•如果把分式中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值〔〕x y A •扩大3倍 C .缩小6倍B .缩小3倍 D •不变5.学校篮球集训队9名队员进行定点投篮训练，将9名队员在17、8、8、9、9、9、10、12,这组数据的众数和中位数分别是 A . 9.9 B . 9, 8 6. 如图，扇形OAB 是一个圆锥的侧面展开图， C . 9, 8.5 假设小正方形方格的边长为分钟投进篮筐的球数由小到大排序后为 〔 〕D . 8, 9 1,那么这个圆锥的底面半径为 N ,那么MN 等于〔6 91216 A .-B .-C . —D . ---5555&如图①是长方形纸带，/DEF =20 ° ，将纸带沿 EF 折叠成图②，再沿 BF 折叠成图③，那么图③中的/CFE 的度数是〔 〕A . 110°B . 120 °C . 140°D . 150 °7.如图，在△ ABC 中,① ②第8题图10.假设.x 2 (y 3)20，那么-的值为y11.如图，宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰 好为"2〞和"8〞〔单位：cm 〕，那么该圆的半径为14. x 2- 9= 0，求代数式 x 2(x + 1)-x(/— 1)-x - 7 的值.15.解方程：x 2 + 2x — 2= 0.12 .如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的为 ________ . 三、解答题〔5个小题，每题5分，共25分〕L 形模板如图放置，那么矩形 ABCD 的周长13.计算:9 ( n 4)0 sin30 .16.化简：玄a 2 a 21 a2 2a17. 关于x的一元二次方程x2—mx—3 = 0,⑴假设x=—1是这个方程的一个根，求m的值；⑵对于任意的实数m,判断方程的根的情况，并说明理由.18. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC,/ B =Z ACD . ⑴请再写出图中另外一对相等四、解答题〔2个小题，每题5分，共10分〕的角；〔2〕假设AC= 6, BC = 9,试求AD 的长.第18题图19•在一个不透明的口袋里，装着只有颜色不同的白、红、黑三种颜色的小球各一个•甲先从袋中随机摸出一球，看清颜色后放回，乙再从袋中随机摸出一球.〔1〕画树状图〔或列表〕，表示甲、乙摸球的所有可能结果.〔2〕求乙摸到与甲相同颜色球的概率.五、解答题〔3个小题，每题5分，共15分〕20. 某校把一块沿河的三角形废地〔如图〕开辟为生物园，/ ACB = 90 ° , / CAB = 60°, AB= 24m .为便于浇灌，学校在点C处建了一个蓄水池，利用管道从河中取水•每铺设1m管道费用为50元, 求铺设管道的最低费用〔精确到1元〕.〔J3 1.73〕第20题图21. 如图，O O 是厶ABC 的外接圆，AB 是O O 的直径, 延长线于 E , CF 丄AB 于F ，且CE = CF . ⑴求证：DE 是O O 的切线；(2)假设 AB = 6, BD = 3,求 AE 和 BC 的长.22. 请设计一种方案：把正方形 ABCD 剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，画出必要的示意 图.(1) 使拼成的三角形是等腰三角形.(图①)(2) 使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形.(图②)D 是AB 延长线上的一点， AE 丄CD 交DC 的第21题图六、解答题〔3个小题，共22分〕23. 〔此题总分值7分〕点A 、B 、C 在同一直线上，在直线 AC 的同侧作厶ABE 和厶BCF ，连结 AF , CE .取AF 、CE 的中点 M 、N ，连结 BM , BN , MN .〔1〕 ________________________________________________________________________________ 假设厶ABE 和厶FBC 是等腰直角三角形， 且/ ABE = Z FBC = 90° 〔如图①〕,那么厶MBN 是 ______________ 三角形. 〔2〕在厶 ABE 和厶 BCF 中，假设 BA = BE , BC = BF ，且/ ABE = Z FBC = a,〔如图②〕，那么厶 MBN 是 三角形，且/ MBN = __________ . 〔3〕假设将〔2〕中的△ ABE 绕点B 旋转一定角度〔如图③〕，其他条件不变，那么〔2〕中的结论是否成立？假设成 立，给出你的证明；假设不成立，写出正确的结论并给出证明.第23题图24. 〔此题总分值7分〕定义｛a , b , c ｝为函数y = ax 2 + bx + c 的“特征数〞.女口：函数y = x 2— 2x + 3的“特征数〞 是｛1,— 2, 3｝，函数y = 2x + 3的“特征数〞是｛0, 2, 3｝，函数y = — x 的“特征数〞是｛0, — 1, 0｝.析式是 ________ .⑵在〔1〕中，平移前后的两个函数分别与 y 轴交于A 、B 两点，与直线x = .3分别交于D 、C 两点，判 断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长.2 1⑶假设⑵中的四边形与“特征数〞 是｛1, 2b,b -｝的函数图象的有交点， 求满足条件的实数 b 的取值范围.〔1〕将“特征数〞是 的函数图象向下平移 2个单位长度，得到一个新函数，这个新函数的解① ②第24题图25. 〔此题总分值8 分〕如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC, DC 丄BC, AB= 10, AD = 6, DC = 8, BC=12, 点E在底边BC上，点F在AB 上.⑴假设EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为X,试用含x的代数式表示△ BEF的面积.⑵是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？假设存在，求出此时BE的长；假设不存在，请说明理由.⑶假设线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1 : 2两局部，将△ BEF的面积记为Si，五边形AFECD 的面积记为S2,且Si :慈=k,求出k的最大值.第25题图2022年北京市东城区中考数学二模试卷答案、选择题1. C2. D3. C4. D5. A6. B7. C8. B 二、填空题2 —9. 1 10. — 11.13 12. 8.53 4三、解答题1113 .解：原式 一3 1 —2 2=—214. 解：原式=x 3+ x 2 — x 3+ x — x — 7=x 2— 7.•/ x 2— 9 = 0, x 2= 9.原式=9— 7 = 2 .15. 解:(x + 1)2= 3,x + 1 = ± . 3 .•- x i = — 1 + .3 , X 2=— 1 — .. 3 .(a 2)(a 2) 1a 2 a(a 2)a17 .解：(1) •/ x =— 1是方程的一个根，•-1 + m — 3= 0 解得m = 2⑵方程为x 2— mx — 3= 0A = b 2—4ac = m 2 + 12•••对于任意实数 m , m 2?0,「. m 2+ 12>0.•••对于任意的实数 m ,方程有两个不相等的实数根. 四、解答题 18. (1) / ACB = / CAD(或/ BAC =/ ADC)(2) I / B =Z ACD ，又/ ACB = / CAD , • △ ABCDCA .ACBC ，即 AC 2= BC • AD .ADAC•/ AC = 6, BC = 9, • 62= 9 • AD ,16.解：原式a 2 4 1 a 2 a 2 2a/1\ /1\虹黑曲灶歸第19题答图〔白，黑〕、〔红，白〕、〔红，红卜〔红，黑〕、〔黑，白卜〔黑，红〕、21. 证明：(1)连结OC , •••AE 丄CD , CF 丄 AB , 又••• CE = CF , •••/ 1 = / 2.• OA = OC , ••/ 2=/ 3.••/ 1 = / 3. • OC // AE . • OC 丄 CD . ••DE 是O O 的切线.(2)解：T AB = 6, 1 OB OC AB 3 .2在 Rt △ OCD 中，OC = 3, OD = OB + BD = 6, • / D = 30°,/ COD = 60° . 在 Rt △ ADE 中，AD = AB + BD = 9, 19 AE -AD -.2219.解得AD = 4. 〔1〕树状图如图:五、 20. ⑵P 〔甲、乙颜色相同〕- 9 解答题解：过C 点作CD 丄AB 于点 CAB = 60°, 〔AB 2由/ACB = 90°,/ 又 AB = 24,得 AC 在 Rt △ CDA 中，CDsin CADAC••• CD = AC • sin / CAD = 12•铺设管道的最低费用= 50 12.3 得/ ABC = 30°. 6、3m-CD ~ 519 元. 第20题答图所有可能的结果有〔白，白卜 〔里里〕黑/|\白虹煦在厶OBC中，•••/ COD = 60°, OB = OC,BC = OB= 3.22. 解：答案不唯一.⑴第22题答图六、解答题23. 解：⑴等腰直角.(2) 等腰，.(3) 结论仍然成立.证明：在厶ABF和厶EBC中，BA BE,ABF EBC,BF BC,•••△ABF ◎△ EBC..AF = CE.Z AFB = Z ECB .•/ M , N分别是AF、CE的中点,•FM =CN.•△ MFB 也NCB.••• BM = BN ./ MBF = Z NBC .•••/ MBN = Z MBF +Z FBN = Z FBN + Z NBC =Z FBC =• AD // BC , AB = 2.•/ x =、3 ,• AB // CD .•四边形ABCD 为平行四边形.• D 〔、3 , 2〕.由勾股定理可得BC = 2.•••四边形ABCD 为平行四边形, •四边形ABCD 为菱形.•周长为& 1■ ■ JC :/ 42 2 1⑶二次函数为：:y x 2bx b224•解：〔1〕y ——X 3〔2〕由题意可知y 1向下平移两个单位长度得 .3 —X AB = 2, BC = 2得C 点坐标为〔一 3 ,0〕,1,化为顶点式为：y (x b)2 1 , 2•••二次函数的图象不会经过点 B 和点C .设二次函数的图象与四边形有交点，当二次函数的图象经过点 A 时,D 时，将D( ,3 , 2)代入二次函数，解得 b . 3s -b 的取值范围： b . 32要使k 取最大值，只需 S 1取最大值. 4与(1)同理，FG -(12 x), 5 1 2 2 24S BE FG -x x(2 x 12) 1 2 5 5 72 1 当x = 6时，S 1取最大值 •此时k —,5 4•- k 的最大值是1 . 4 将A(0, 1)代入二次函数，解得 b 弓(不合题意，舍去25.解：(1)由得梯形周长= 过点A 作AK 丄BC 于点 36,咼=8，面积=72.由题意， K ，那么△ BF = 18-X .过点 F 作 FG丄BC 于点G , 可得FG (18x ).512 236 BE FG —X x(8 x 12)2 5 52 36BFG BAK .S BEF (2)不存在 由⑴2X 5 整理得：(x - 9)2=— 9,此方程无解.不存在线段EF 将直角梯形ABCD 的周长和面积同时平分.⑶由易知，线段 EF 将直角梯形ABCD 的周长分为1 : 2两局部，只能是与 FA + AD + DC + CE 的比是 1 : 2.72 S 1 第25题答图当二次函数的图象经过点 合题意，舍去).所以实数。
2024年北京东城区初三二模数学试卷和答案
东城区2023—2024学年度第二学期初三年级统一测试（二）数 学 试 卷 2024．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是2． 4月18日是国际古迹遗址日．在国家考古遗址公园联盟联席会上发布的《2023年度国家考古遗址公园运营报告》显示，圆明园等全国55家国家考古遗址公园2023年接待游客总量超6700万人次，同比增长135%．其中，将67 000 000用科学记数法表示应为A ． 86.710⨯B ． 76.710⨯C ． 66710⨯D ． 80.6710⨯3.在下列各式中，从左到右计算结果正确的是A ．=B ． ()2211x x -=-C. 2=- D ． 12111x x x -+=++4. 若实数x 的取值范围在数轴上的表示如图所示, 在下列结论中，正确的是A ． x x =B ． 1x +0＜≤3C ． 24x -≤2≤D ． 2x 1＜≤45. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是A ． 5B ． 6C ． 8D ． 106. 一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是A ． 6πB ． 9πC ． 45πD ． 54π7. 在一个不透明的盒子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，除颜色不同外，其它 没有任何差异.小明将小球摇匀，从中随机摸出2个小球恰好是1个红球和1个绿球的概率是 A.13 B. 49 C ，12D. 238.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，点E 是BC 的中点. 设AB =c ，AC =b ,AD =h ,BD =m ,CD =n , m ＜n ，且2h mn =，有以下三个结论：①22c m mn =+；② 点A,B,C 在以点E 为圆心，()12m n +为半径的圆上；③ 2223b m h +＞.上述结论中，所有正确结论的序号是A ．① ② B, ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9． 若分式21x -有意义，则实数x 的取值范围是 ．10． 因式分解：244ma ma m ++= ．11．当a = ,b = 时，可以说明“若,a b ＞则22a b ＞”是假命题(写出一组a ,b 的值即可)．12． 在平面直角坐标系xOy 中，若点()2,4是函数()110y k x k =≠和()220k y k x =≠的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点坐标是 ．13．若250m m +-=，则代数式2211110m m m m -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值为 ．14．若关于x 的一元二次方程()210x m x m -++=的两个实数根的差等于2,，则实数m 的值是 ．15． 下图是2015-2023年我国主要可再生能源发电装机容量（亿千瓦）统计图．根据上述信息，下列推断合理的是（填写序号）．①2015-2023年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大；②2015-2023年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定；③2015-2023年，我国水电发电装机容量一直高于风电发电装机容量．16．现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，场地圆心A的坐标为（）.机器人在该场地中（含边界），根据指令[s，α]（s≥0，0º＜α＜180º）完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离s，再在原地逆时针旋转角度α,执行任务.机器人在坐标原点处，且面对x轴正方向，（1）若给机器人下达指令[4，90º]，则机器人至少重复执行________次该指令能回到原点O 处；（2）若给机器人下达指令[s，α]，使机器人重复执行该指令回到原点．且s最大，则应给机器人下达的指令是________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．()131tan 602.2-︒⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭18．解不等式组：()21461 1.3x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩＜5，≥ 19．如图，已知⊙O 及⊙O 外一点P ．求作：⊙O 的切线PA ，PC ．作法：①连接OP ；②分别以点O ,P 为圆心，大于12OP 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ,N ，作直线MN 交OP 于点B ；③以点B 为圆心，OB 的长为半径画圆，交⊙O 于点A ，C （点A 位于OP 的上方）；④作直线PA ，PC ；则直线PA ，PC 就是所求作的直线．（1）利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）设线段OP 交⊙O 于点E ，连接OA ，AC ，CE ．若∠ACE =34°，则∠AOP=°,∠APC = °．20． 如图，在四边形ABCD 中，点E 在BC 上，AE ∥CD ，∠ACB =∠DAC ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，EF=EG.（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若CD=4，∠B =45°，∠CEG =15°，求AB 的长．21．列方程或方程组解应用题如图1，正方形ABCD 是一块边长为30 cm 的灰色地砖，在A ，B ，C ，D 四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为3 0002cm （不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积．22． 在平面直角坐标系xOy 中，函数y =kx +b (k ≠0)的图象经过点A (1，0)和B (2，1)．(1)求该函数的解析式；(2)当x ＞3时，对于x 的每一个值，函数y =mx +12的值小于函数y =kx +b (k ≠0)的值，当x ＜1 时，对于x 的每一个值，函数y =mx +12的值小于0，直接写出m 的值．23． 某校举办“学生讲堂”，1班为了选出一位同学代表班级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100）分别是95,94,88．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ． 评委给甲同学打分如下：10，10，9，8，8，8，7，7，6，5b．评委给乙、丙两位同学打分的折线图：c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表：根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出表中m，n的值；（2）在面试中，如果评委给某个同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；（3）在笔试和面试两项成绩中，按笔试成绩占40%，面试成绩占60%，计算甲、乙、丙的综合成绩，综合成绩最高的是______（填“甲”、“乙”或“丙”）.24．如图，在△ABC中， AB = AC，CD⊥BC于点C，交△ABC的外接圆于点D.连接BD，AE⊥BD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：∠BAF=∠ABF；（2）当AE=1，BE=2时，求线段EF的长及△ABC的外接圆的半径长．25．如图，在等边△ABC中，AB=5cm，点D是BC的中点，点E是AB上一个动点，连接CE，DE．设B，E两点间的距离为x cm，CE+DE CD =y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：m的值为________（保留一位小数）;（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y的图象；（3）结合函数图象，解决问题（保留一位小数）：①当y =5时， B ，E 两点间的距离约为 cm ；②当y =4x 时，B ，E 两点间的距离约为 cm ．26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2224y ax amx am =-+-（0a ＞）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）若对于该抛物线上的三个点1(2,)A m y -，2(2,)B m y ，3(22,)C m y -，总有321y y y >>，求实数m 的取值范围．27．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC ＝90°．点D 是AC 边上的动点，DBA α=∠()045α︒＜＜，点C 关于直线BD 的对称点为E ，连接AE ． 直线AE 与直线BD 交于点F ．（1）补全图形；∠的大小；（2）求EFB（3）用等式表示线段FA，FB，FE之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于线段PQ和直线l，称线段PQ的中点到直线l的距离为线段PQ关于直线l的平均距离，记为t．已知点A(3，0)，B(0，3)．(1)线段AB关于x轴的平均距离t为________；(2)若点M在x轴正半轴上，点N在y轴正半轴上，且MN=2，则线段MN关于直线AB的平均距离t的最小值为________；(3)已知点P是半径为1的⊙O上的动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，直接写出线段PQ关于x轴的平均距离t的取值范围．东城区2023—2024学年度第二学期初三年级统一测试（二） 数 学 答 案 2024．5一、选择题（每题2分，共16分）题号12345678答案A B D B C C D D二、填空题(每题2分，共16分）9．1x ≠10．()2+2m a 11．答案不唯一，如0,1ab ==- 12.（-2，-4）13. 2 14．13-或 15．①② 16．（1）4 （2）[120º]三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17.()131tan 602.2-︒⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭28=--+ ——————————————————————————4分6.=+ ———————————————————— 5分18. 解：()21461 1.3x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩＜5，①≥②解不等式①，得.x ＞2 —————————————————————————2分解不等式②，得43x ≥-—————————————————————————4分∴原不等式组的解集为.x ＞2 ——————————————————— 5分19. 解：（1）补全图形如下：------------------3分（2） 68, 44. ----------------------------------5分20. （1）证明：∵∠ACB =∠DAC ，∴AD ∥BC .∵AE ∥CD ，∴四边形AECD 是平行四边形.------------------------2分(2) ∵四边形AECD 是平行四边形，CD=4，∴AE=C D=4.----------------------------------------------3分∵EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，EF=EG ,∴∠BAE =∠CAE ，∠BFE =∠CGE =90°.∵∠B =45°，∠CEG =15°,∴∠BEF =45°, ∠ECA=75°.∴∠BAC =60°，BF =EF . ----------------------------4分∴∠BAE =∠CAE=30°.在Rt △AFE 中，122EF AE ==,根据勾股定理，得AF =.∴2BF EF ==.∴2AB =+------------------5分21. 解：设一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积分别为2cm x ，2cm y ．根据题意列方程组，得43000,900.x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组，得700,200.x y =⎧⎨=⎩答：一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积分别为7002cm ，2002cm ．-----5分22. 解：(1) 将点A (1，0)和B (2，1)代入()0y kx b k =+≠，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩∴该函数的解析式为1y x =-．-------------3分(2)m ＝12．------------------------------------5分23. 解：（1）m =78，n=8.5. -------------2分（2）丙．-------------4分（3）乙．-------------6分24. 解：（1）∵CD ⊥BC ，∴∠BCD =∠ACB ＋∠ACD =90°.∵AE ⊥BD ，∴∠AEB =90°.∴∠BAF ＋∠ABD =90°.∵»»AD AD =，∴∠ACD =∠ABD .∴∠ACB =∠BAF .∵AB ＝AC ，∴∠ABF =∠ACB .∴∠BAF =∠ABF. -----------------------------------------------------------------------3分（2）∵∠BAF =∠ABF ，∴BF ＝AF.设EF =x ，则BF =1x +.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝90°，由勾股定理，得222+=BE EF BF ,即 2222+=(1)x x +.解得32x =. ∴3=2EF . 在Rt △AEB 中，∠AEB ＝90°，AE =1，BE =2，∴AB .∵∠BCD =90°，∴BD 是圆的直径.----------------------------------------------------------------------------5分连接AD ，则∠DAB =90°.由cos ∠ABD ＝=AB BE BD AB ，得52BD ＝.∴△ABC 的外接圆的半径长为54.-----------------------------------------------------------6分25.解：（1）m = 4.3 .------------------1分（2）图象如下，--------------------3分（3）①0，3.4 . -------------------------5分②1.1 .-----------------------------6分26. 解：（1）∵()222244y ax amx am a x m =-+-=--，∴该抛物线的顶点坐标为（m , -4）. ------------------------------------------------2分 (2)由（1）可知，抛物线的对称轴为直线x m =.∵0a ＞，∴抛物线的开口向上.∴当x m ＜时，y 随着x 的增大而减小，当x m ≥时，y 随着x 的增大而增大，-------3分设12x m =-，22x m =，322x m =-,①当m ≤-2时，321x x x m ＜≤＜.321y y y ∴＞≥,不符合题意，舍去； ②当m -2＜≤0时，312x x x m ≤＜＜.312y y y ∴≥＞,不符合题意，舍去；③当0m ＜＜2时，132x x m x ＜＜＜.设点2(2,)B m y 关于对称轴x m =的对称点为22(,)B x y '，则20x '=.（i ）当0m ＜≤1时，132x x x m '＜≤＜.132y y y ∴＞≥,不符合题意，舍去；（ii ）当m 1＜＜2时，123x x x m '＜＜＜.123y y y ∴＞＞,符合题意； 当m ≥2时，132x m x x ＜≤＜.设点1(2,)A m y -关于对称轴x m =的对称点为11(,)A x y '，则12x m '=+，22x m =.∴'2122x m x m ==+≥∴21y y ≥,不符合题意，舍去.综上所述，实数m 的取值范围是1 2.m << ---------------------------------------6分27.解 ：1（）补全图形如下，…………………………………………………………………1分（2）如图，连接BE .FBC ABC DBA ∠=∠-∠∵，90.FBC α∴∠=- ,C BDE ∵点关于直线的对称点为.BE BC ∴=90.EBF FBC α∴∠=∠=-902.ABE EBF DBA α∴∠=∠-∠=- ∵,BA BC =.BE BA ∴=18045.2EBA EAB α-∠∴∠==+ 45.EFB EAB DBA ∴∠=∠-∠=o …………………………4分3.FE FA +=（）猜想：,.FE G EG FA BG 证明：延长至使得=，连接.,AEB EAB ∠∠∵=AEB EAB ∴-∠=-∠ 180180..GEB FAB ∴∠∠=,,GE FA EB AB ∵==.GEB FAB ∴∆≅∆45.G EFB ∴∠=∠=o.GBF ∴∠ =90cos FB EFB FG ∠==∴.FG ∴=,FG EG FE FA =+=+∵FE FA ∴+=.………………………7分28. 解：(1)32.------------------2分.-----------------4分≤t ．---------------7分。
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北京2012年东城区初三数学二模试题word版(含答案)北京市东城区2021--2021学年第二学期初三综合练习〔二〕数 学 试 卷考生须知1.本试卷共5页，共五道大题，25道小题，总分值120分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题〔此题共32分，每题4分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 9的算术平方根是A ．-9B ．9C ．3D ．±32. 如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是3. 以下运算正确的选项是 A ．532a a a =+ B ．532a a a =⋅C ．3332)(b a ab =D ．5210a a a=÷4. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为奇数的概率为A．16B．14C．13D．125. 如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形6. 在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的香蕉价格进行调查．四个城市5个月香蕉价格的平均值均为元，方差分别为2S甲＝，2S乙＝，2S丙＝，2S丁＝．一至五月份香蕉价格最稳定的城市是A．甲B．乙C．丙D．丁7. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，DEF△的周长为1，那么BCF△的周长为A．1 B．2 C．3 D．48. 如右图，正方形ABCD的顶点2A，2(B，顶点C D、位于第一象限，直线:(02)l x t t=≤将正方形ABCD分成两局部，记位于直线l左侧阴影局部的面积为S，那么S关于t的函数图象大致是二、填空题〔此题共16分，每题4分〕9. 使二次根式41x 有意义的x的取值范围是．10. 一个扇形的圆心角为120°，半径为1，那么这个扇形的弧长为．11. 观察以下等式：1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7=25，4+5+6+7+8+9+10=49，……照此规律，第5个等式为．12. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON＝90°，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，与正方形ABCD的边交于点G、H, 那么由OE、OF 、EF ⌒及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影局部)的面积S= ． 三、解答题〔此题共30分，每题5分〕13. 027(4)6cos302-π-+-．14. 解方程组212x y x y +=⎧⎨-=⎩，．15. ：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、CA 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线． 求证：AB =DC ．16. 先化简，再求值：2212111x x x x -+⎛⎫-÷⎪-⎝⎭，其中2x =-．17. 列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园〔图中阴影局部〕，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与反比例函数k=的图像交于点A(-3,4),AC⊥x轴于点C.yx(1)求此反比例函数的解析式；(2)当直线AB绕着点A转动时,与x轴的交点为B(a,0),并与反比例函数ky=图象的另x一支还有一个交点的情形下,B CEAD 求△ABC 的面积S 与a 之间的函数关系式. 并写出自变量a 的取值范围．四、解答题〔此题共20分，每题5分〕19．在母亲节来临之际，某校团委组织了以“学会生存，感恩父母〞为主题的教育活动，在学校随机调查了假设干名同学平均每周在家做家务的时间，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图： 根据上述信息答复以下问题：〔1〕a= ，b= ; 〔2〕在扇形统计图中，B 组所占圆心角的度数为 ;〔3〕全校共有1000名学生，估计该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有多少人？组别 做家务的时间 频数 频率 A 1≤t ＜2 3 0．06 B 2≤t ＜4 20 c C 4≤t ＜6 a 0．30 D 6≤t ＜8 8 bEt ≥840．0820． 如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC ⊥于点E ，53cos =B ，求tan CDE ∠的值．21．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的O ⊙与AD ，AC 分别交于点E ，F ，∠ACB =∠DCE ．〔1〕请判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；〔2〕假设 DE:EC=12 2BC =，求⊙O 的半径．22. 阅读并答复以下问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x=-在实x=-时，突发奇想：21数范围内无解，如果存在一个数i，使21i=-，那么当21x=-的两个根．x=-时，有x=±i，从而x=±i是方程21据此可知：(1) i可以运算，例如：i3=i2·i=-1×i=-i，那么i4= ，i2021=______________，i2021=__________________；(2)方程2220-+=的两根为x x〔根用i表示〕．五．解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕23. 关于x的方程2-+-+=．m x m x(1)(4)30〔1〕假设方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；〔2〕假设正整数m满足822->，设二次函数m2=-+-+的图象与x轴交于A B、两点，将(1)(4)3y m x m x此图象在x轴下方的局部沿x轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象答复：当直线3y kx=+与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值〔只需要求出两个满足题意的k值即可〕．24. ：等边ABC∆中，点O是边AC,BC的垂直平分线的交点，M,N分别在直线AC, BC上，且60∠=．MON(1)如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN 、MN三者之间的数量关系；〔2〕如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请你加以证明；假设不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN 、MN三者之间的数量关系．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数2+2=+y ax ax c的图像与y轴交于点(0,3)C，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(-3,0)〔1〕求二次函数的解析式及顶点D的坐标；〔2〕点M是第二象限内抛物线上的一动点，假设直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两局部，求出此时点M的坐标；〔3〕点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.北京市东城区2021--2021学年第二学期初三综合练习〔二〕数学试卷参考答案一、选择题〔此题共32分，每题4分〕题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 CDBDADBC二、填空题〔此题共16分，每题4分〕题 号 9101112答案14x ≥23π 567891011121381++++++++= 2π-三、解答题：〔此题共30分，每题5分〕 13.解：原式=33316+242-⨯分=1……5分 14. 解：+①②得：23x x += 1x =．……2分将1x =代入②得：12y -=，1y =……4分11x y =⎧∴⎨=-⎩ ……5分15. 证明：∵AC 平分BCD BC ∠，平分ABC ∠， ∴ACB DBC =∠∠……2分在ABC △与DCB △中，ABC DCB ACB DBC BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ABC ∴△DCB ≌△……4分AB DC∴=．……5分16. 解：原式=()()()()()()22111111111x x x x x x x x x x x x -+---+÷==+--·……3分当2x =-时，原式=211.22-+=-……5分 17. 解：据题意，得1(8)(6)862x x --=⨯⨯． 解得12122x x==，．1x 不合题意，舍去． 2x ∴=．18．解: (1)∵4=3k -12k =-∴12y x-=……2分 (2)∵BC =a -(-3)=a +3 AC =4, ∴14(3)2ACBSa ∆=⨯⨯+ ……4分=2a +6 (a >-3)……5分四、解答题〔此题共20分，每题5分〕19．解：〔1〕 15，0.16；……2分〔2〕144︒；……3分〔3〕271000[(1584)50]100054050⨯++÷=⨯=〔人〕……5分 答：该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有540人20．解： 在△ABE 中，AE BC ⊥，5AB =，53cos =B∴BE=3,AE=4.∴EC=BC-BE =8-3=5. ∵平行四边形ABCD, ∴CD=AB=5.∴△CED 为等腰三角形.……2分∴∠CDE =∠CED ． ∵ AD//BC, ∴∠ADE =∠CED ． ∴∠CDE =∠ADE ．在Rt △ADE 中,AE =4,AD=BC =8,41tan .82CDE ∴∠== 21．解：〔1〕直线CE 与O ⊙相切 证明：∵矩形ABCD ， ∴BC//AD ,∠ACB =∠DAC ． ∵,ACB DCE ∠=∠ ∴.DAC DCE ∠=∠……1分连接OE,那么.DAC AEO DCE ∠=∠=∠90,90.90.2DCE DEC AEO DEC OEC ∠+∠=∴∠+∠=∴∠=分∴直线CE 与O ⊙相切．22222 AB 2(2)tan 2,2tan 2, 6.3,2tan D 2tan D 1., 3.4 ,CO 66-r)3, 5ACB BC BC AB BC ACB AC ACB DCE CE DE DC CE Rt CDE CE O Rt CE O CE EO r r ∠===∴=⋅∠==∠=∠∴∠=∴=⋅∠=∆=∆=+=+=分在中分设⊙的半径为r, 则在中即解得分22．解：(1)4i =1，2011i =-i 20121i =……3分(2)方程2220x x -+=的两根为1+i和1-i……5分五．解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕23.解：〔1〕2(4)12(1)m m ∆=---2(2)m =+．……2分由题意得，2(2)m +＞0且10m -≠ ．∴ 符合题意的m 的取值范围是21m m ≠-≠且的一切实数． ……3分 〔2〕∵ 正整数m满足822m ->，∴ m 可取的值为1和2 ．又∵ 二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+，∴ m =2．……4分∴ 二次函数为2-23y xx =++．∴ A 点、B 点的坐标分别为〔-1,0〕、〔3,0〕．依题意翻折后的图象如下图．由图象可知符合题意的直线3y kx =+经过点A 、B ．可求出此时k 的值分别为3或-1． (7)分注：假设学生利用直线与抛物线相切求出k =2也是符合题意的答案． 24. 解： (1)AM CN MN=+……2分〔2〕AM CN MN =+……3分OEDBC AM N N' 证明：过点O 作,,OD AC OE BC ⊥⊥易得,120,OD OE DOE =∠= 在边AC 上截得DN’=NE ,连结ON ’, ∵ DN ’=NE , OD =OE , ∠ODN ’=∠OEN'.DON EON ∴∆≅∆……4分∴ON’=OE. ∠DON ’=∠NOE .120,DOE ∠=60,MON ∠=∴∠MOD +∠NOE=600.∴∠MOD +∠DON ’=600. 易证'MON MON ∆≅∆.……5分∴MN’=MN.'.,,()(),.MN MD DN MD NE MD AM AD AM CE NE CE CN MN AM CE CE CN AM CN AM CN MN ∴=+=+=-=-=-∴=-+-=-∴=+(3).MN CN AM =+……7分25．解：〔1〕由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩… 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，所求二次函数的解析式为：2--23y x x =+……2分顶点D 的坐标为〔-1，4〕.……3分E Mxy O ABC D〔2〕易求四边形ACDB 的面积为9. 可得直线BD 的解析式为y=2x+6设直线OM 与直线BD 交于点E ，那么△OBE 的面积可以为3或6. ① 当1=9=33OBES∆⨯时，易得E 点坐标〔-2，-2〕，直线OE 的解式为y=-x .设M 点坐标〔x ，-x 〕，212---2 3.-1-13-11322x x x x x =++==（舍），∴-113-113(M ++， ……4分② 当1=9=63OBES∆⨯时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为〔-1，4〕……5分〔3〕连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ，因为点P 在抛物线上，所以232n mm =-+-，所以PBPO OPB OBS S S S =+-△C △C △△C ……6分 111()222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭ ……7分因为3<0m -<，所以当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值xy O ABCDM27.8……8分所以当点P 的坐标为315(,)24 时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8。
2023年北京市东城区中考二模数学试题(含答案解析)
2023年北京市东城区中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．据报道：中国铁路营业里程从2012年的9.8万公里增长到2022年的15.5万公里，其中高铁从0.9万公里增长到4.2万公里，稳居世界第一．将数字155000用科学记数法表示应为（）A ．60.15510⨯B ．51.5510⨯C ．61.5510⨯D ．315510⨯2．如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．圆柱D ．圆锥3．在平面直角坐标系中，已知点()()3,2,5,2A B ，将线段AB 平移得到线段CD ，若点A 的对应点C 的坐标是()1,2-，则点B 的对应点D 的坐标是（）A ．()1,2B ．()2,1-C ．()9,2D ．()2,14．下列正多边形中，一个内角为120︒的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在ABC 中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点,E BD 和CE 交于点O ，则下列结论不正确．．．的是（）A ．12∠=∠B ．1590∠+∠=︒C ．34∠∠=D ．534∠=∠+∠6．下列运算结果正确的是（）A ．22()a a -=B ．623a a a ÷=C ．22(2)4a a -=-D ．34a a +=7．小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分．若将三项得分依次按2:4:4的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为（）A ．8.3分B ．8.4分C ．8.5分D ．8.6分8．两个变量满足的函数关系如图所示．①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x 分钟，离家的距离为y 米；②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x 秒，瓶内水的体积为y 毫升；③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x 天，完成的修路长度为y 米．在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题16．将15个编号为1~15的小球全部放人甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不（2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是_________．三、解答题求作：直线PA，使得PA作法：（1）连接OP，分别以点,C D两点；（2）作直线CD，交OP（3）以点B为圆心，以OB（4）作直线PA．直线PA即为所求作．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：由作法可知，点B(1)求证：四边形ADCE (2)连接,BE DE ，若tan (1)求m 的值；(2)点M 是图像G 上一点，过点M 作MB ⊥23．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点连接,,OC DF F C ∠=∠．(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若2,2OE BE BF ==，求O 半径的长．24．2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，(1)建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为,x y ．由矩形的面积为得()2x y m +=，即2my x =-+．满足要求的限内交点的坐标；(2)画出函数图象：函数4(0)y x x=>的图象如图所示，而函数到．请在同一平面直角坐标系xOy 中画出直线(3)平移直线y x =-，观察函数图象：当直线平移到与函数4(0)y x x=>的图象有唯一交点点的纵坐标为_________；(4)得出结论：若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长两边的长分别为_________米、_________26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线(1)求出该抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）(2)当0a >时，对于任意的正数t ，若点1y _________2y （填“>”“<”或“=”）；(3)已知点()()0,3,7,3A B ．若该抛物线与线段27．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=与点A 关于直线DE 对称，连接DF ．作射线(1)用含α的代数式表示DCP ∠；(1)如图1，点G 是等边ABC 的中心，作G 交AB 于点中心胦射；，在平面直角坐标系xOy 中，直线34y x =-+参考答案：BAC BDC ∠=∠，进而可得90ADC BDC ∠=︒-∠．【详解】解：连接BD ，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，CBCB =，∴28BAC BDC ∠==∠︒，∴90ADC BDC ∠=︒-∠62=︒故答案为：62【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．13．AB DE =或C F ∠=∠或ABC DEF ∠=∠（填写一个即可）【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解．【详解】解：∵AC DF ∥，∴A D ∠=∠，∵AC DF =，∴当添加AB DE =时，则可根据“SAS ”判定ABC DEF ≌△△；当添加C F ∠=∠时，则可根据“ASA ”判定ABC DEF ≌△△；当添加ABC DEF ∠=∠时，则可根据“AAS ”判定ABC DEF ≌△△；故答案为AB DE =或C F ∠=∠或ABC DEF ∠=∠（填写一个即可）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．14．0.9【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率．【详解】解：根据题意得：该产品的合格率大约为0.9，（2）证明：由作法可知，点∵OP 为B 的直径，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）∴OA PA ⊥．∵点A 在O 上，∵PA 是O 的切线（切线的判定定理）故答案为：90；直径所对的圆周角是直角；切线的判定定理．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，线段垂直平分线的尺规作图等等，灵活运用所学知识是解题的关键．20．22a -；1【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算即可．【详解】解：12a a a ⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭()(()22222a a a a a a a ++⎛⎫=-÷ ⎪++⎝⎭+∵CE DE =，AB 是O 的直径，∴AB CD ⊥，∴90DEF ∠=︒，∴90F EDF ∠+∠=︒，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，（2）将8个不同品种的玉米在低海拔区产量从大到小排序：9843，8650，7996 7437，6517，5398，中位数为770575067605.52+=；根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势可以判断在高海拔地区更加稳定；故答案为：7605.5，高；（3）a选用了两个不同品种的玉米，没有控制变量，故a不选，（3）解：将点()2,2代入2m y x =-+得：解得：8m =，即4y x =-+，当0x =时，4y =，∴直线2m y x =-+与y 轴交点的纵坐标为（4）解：联立4y x =和2m y x =-+并整理得：∴221441402b ac m ⎛⎫∆---⨯⨯≥ ⎪⎝⎭==时，两个函数有交点，解得：8m ≥，∴周长m 的最小值为8米，可得4+4xy x y =⎧⎨=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，∴矩形相邻两边的长分别为2米、2米；【点睛】本题考查的是反比例函数的综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、函数的平移等，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，难度不大．26．(1)()3,91a -+(2)<(3)29a =-或27a ≥∵APF 是等边三角形，∴,60AF AP PAF =∠=︒，∴60PAF BAF BAF BAD BAF ∠+∠=︒+∠=∠+∠，∴PAB FAD ∠=∠，∵DA BA =，∴()SAS DAF BAP ≌，∠的角平分线交（2）如下图，OEF与线段EF相交所得的弦关于点E 则D≥>．DF r DG作OF MN ⊥与O 交于点F ，再过F 作MN 最大为直径，最小应大于0，所以，OH d =．当O 与H 重合时，d =细致审题是解本题的关键．。
北京市东城区2021年中考数学模拟真题含答案(附解析)
北京市东城区2021年中考数学模拟真题含答案（附解析）一、单选题1、已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y＝ax+b经过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限．【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得a＜0，b＞0，c＜0，∴y＝ax+b过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限，∴C是正确的．故选：C．【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．2、甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲45 94 93 5.3乙45 94 95 4.8A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C 不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．3、已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0【分析】根据a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况，本题得以解决．【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，∴a+c＝2b，b＝，∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，∴b＜0，∴b2﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，即b＜0，b2﹣ac≥0，故选：D．【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b和b2﹣ac的正负情况．4、小明总结了以下结论：①a（b+c）＝ab+ac；②a（b﹣c）＝ab﹣ac；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确；②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．故选：C．【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5、如图，从点C观测点D的仰角是（）A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC【分析】根据仰角的定义进行解答便可．【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，故选：B．【点评】本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．6、如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2故选：C．【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．7、小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x ＝﹣1，∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．8、式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，解得x≥1，故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．9、如果收入100元记作+100元，那么支出100元记作（）A．﹣100元B．+100元C．﹣200元D．+200元【分析】根据正数与负数的意义，支出即为负数；【解答】解：收入100元+100元，支出100元为﹣100元，故选：A．【点评】本题考查正数与负数的意义；能够理解正数与负数的实际意义是解题的关键．10、观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【解答】解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．二、填空题1、若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为﹣3 ．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p，∴﹣2﹣1+0＝p，解得：p＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2、分式的值为0，则x的值是 1 ．【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0且x≠0，∴x＝1．故答案为1．【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．3、不等式组的最小整数解是0 ．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝3x；（2）当y＝﹣2时，n的值为 1 ．【分析】（1）根据约定的方法即可求出m；（2）根据约定的方法即可求出n．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：m＝x+2x＝3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3＝m+n＝y．当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．解得x＝﹣1．∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．5、分解因式：x2y+2xy+y＝y（x+1）2．【分析】首先提取公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可．【解答】解：原式＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2，故答案为：y（x+1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．6、小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12＝s02（填“＞”，“＝”或”＜”）【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则s12＝S02．故答案为＝．【点评】本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．三、解答题(难度：中等)1、小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为4，5，6 ；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为23 首．【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式，即可得到结论．【解答】解：（1）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4组x4x4x4（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+④﹣③得，3x2≤28，∴x2≤，∴x1+x2+x3+x4≤+14＝，∴x1+x2+x3+x4≤23，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．2、某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表组别时间/小时频数/人数A组0≤t＜1 2B组1≤t＜2 mC组2≤t＜3 10D组3≤t＜4 12E组4≤t＜5 7F组t≥5 4请根据图表中的信息解答下列问题：（1）求频数分布表中m的值；（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．【分析】（1）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值；（2）分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图；（3）画出树状图，即可得出结果．【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5；（2）B组的圆心角＝360°×＝45°，C组的圆心角＝360°或＝90°．补全扇形统计图如图1所示：（3）画树状图如图2：共有12个等可能的结果，恰好都是女生的结果有6个，∴恰好都是女生的概率为＝．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、频数分布表的应用，要熟练掌握．3、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4、计算：（π﹣2019）0+4sin60°﹣+|﹣3|【分析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3＝1+2﹣2+3＝4．【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的规定、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质．5、在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，∴弧＝×2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG ⊥AC交FP于G，①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤综上所述，m≤或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE＝＝＝，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE＝AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤，∵t＞0∴0＜t≤．【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．6、为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，解得x＝7，所以乙工程队每天掘进5米，（天）答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．7、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．【分析】（1）将点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y＝ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y＝4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F 与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分＝﹣S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M＝t，可直接求出S＝＝OO2×O2M＝t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N＝（6﹣t），由S＝＝﹣可求出S与t的函数表达式．【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），∵点C（0，4）在抛物线上，∴4＝﹣27a，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3）（x﹣9）＝﹣x2+x+4，∵CD垂直于y轴，C（0，4），令﹣x2+x+4＝4，解得，x＝0或x＝6，∴点D的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，∵点F是抛物线y＝﹣x2+x+4的顶点，∴F（3，），∴FH＝﹣4＝，∵GH∥A1O1，∴△FGH∽△FA1O1，∴，∴，解得，GH＝1，∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，∴S重叠部分＝﹣S△FGH＝A1O1•O1F﹣GH•FH＝＝；（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，∵C2O2∥DE，∴△OO2M∽△OED，∴，∴，∴O2M＝t，∴S＝＝OO2×O2M＝t×t＝t2；②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，将点D（6，4）代入y＝kx，得，k＝，∴y OD＝x，将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝，b＝﹣t+4，∴直线A2C2的解析式为：y＝x﹣t+4，联立y OD＝x与y＝x﹣t+4，得，x＝x﹣t+4，解得，x＝﹣6+2t，∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4+t），故点M到O2C2的距离为6﹣t，∵C2N∥OC，∴△DC2N∽△DCO，∴，∴，∴C2N＝（6﹣t），∴S＝＝﹣＝OA•OC﹣C2N（6﹣t）＝×3×4﹣×（6﹣t）（6﹣t）＝﹣t2+4t﹣6；∴S与t的函数关系式为：S＝．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．8、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴PA＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△PAB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．9、如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．【分析】（1）先判断出∠GCB+∠CBG＝90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，即可得出结论；（2）设AB＝CD＝BC＝2a，先求出EA＝EB＝AB＝a，进而得出CE＝a，再求出BG＝a，CG═a，再判断出△CQD≌△BGC（AAS），进而判断出GQ＝CQ，即可得出结论；（3）先求出CH＝a，再求出DH＝a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM＝a，再用勾股定理求出GH＝a，最后判断出△QGH∽△GCH，得出HN＝＝a，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CQD＝∠CGB＝90°，∴△CQD≌△BGC（AAS），∴CQ＝BG＝a，∴GQ＝CG﹣CQ＝a＝CQ，∵DQ＝DQ，∠CQD＝∠GQD＝90°，∴△DGQ≌△CDQ（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DH⊥CE于H，S△CDG＝•DQ＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CHD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠QGH＝∠HCG，∴△QGH∽△GCH，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△DGQ≌△CDQ是解本题的关键．。
2021北京初三二模数学汇编：代数综合(第26题)
2021北京初三二模数学汇编代数综合（第26题）一、解答题1．（2021·北京东城·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax 与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的对称轴；（2）点B 是点A 关于对称轴的对称点，求点B 的坐标；（3）已知点P (0，2)，Q 1,1a ，若线段PQ 与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．2．（2021·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中， 12,,,M a y N a t y 为抛物线2y x x 上两点，其中0t ．（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若1t ，点M ，点N 在抛物线上运动，过点M 作y 轴的垂线，过点N 作x 轴的垂线，两条垂线交于点Q ，当MNQ △为等腰直角三角形时，求a 的值；（3）记抛物线在M ，N 两点之间的部分为图象G （包含M ，N 两点），若图象G 上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t 的取值范围．3．（2021·北京海淀·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m 与y 轴的交点为A ，过点A 作直线l 垂直于y 轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ．点 11,M x y ， 22,N x y 图形G 上任意两点．①当0m 时，若12x x ，判断1y 与2y 的大小关系，并说明理由；②若对于122,2x m x m ，都有12y y ，求m 的取值范围．4．（2021·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点 11,P x y ， 22,Q x y 为抛物线2221(0)y ax ahx ah a 上的两点．（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；（2）若对于102x ，245h x h ，都有12y y ，求h 的取值范围．5．（2021·北京石景山·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2y x bx c ．（1）当2b 时，①若4c ，求该函数最小值；②若23x ，则此时x 对应的函数值的最小值是5，求c 的值；（2）当2c b 时，若对于任意的x 满足2b x b 且此时x 所对应的函数值的最小值是12，直接写出b 的值．6．（2021·北京昌平·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23(0)y ax bx a a 与x 轴的交点为点A （1，0）和点B ．（1）直接写出抛物线的对称轴和点B 的坐标；（2）分别过点P （t ，0）和点Q （t ＋2，0）作x 轴的垂线，交抛物线于点M 和点N ，记抛物线在M ，N 之间的部分为图象G （包括M ，N 两点），记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值是m ，最小值为n ①当a ＝2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出m －n 的最小值；②若存在实数t ，使得m －n ＝2，直接写出a 的取值范围7．（2021·北京顺义·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线242y ax ax (0)a 与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）当05x 时，y 的最小值是－2，求当05x 时，y 的最大值；（3）抛物线上的两点P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ），若对于11t x t ，223t x t ，都有12y y ，直接写出t 的取值范围．8．（2021·北京平谷·统考二模）已知抛物线224(0)y ax ax a a ，（1）直接写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）已知该抛物线经过12A(0,),B(2,)y y 两点，①直接写出12,y y 的大小关系；②过B 点垂直于x 轴的直线交x 轴于点C ，若四边形AOCB 的面积小于或等于6，直接写出a 的取值范围．9．（2021·北京房山·统考二模）已知抛物线2(0)y ax bx a 经过点(3,3)A ．点11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线上两个不同的点，且满足12x x ，122x x ．（1）用含a 的代数式表示b ；（2）当12y y 时，求抛物线的对称轴及a 的值；（3）当12y y 时，求a 的取值范围．10．（2021·北京门头沟·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx 的对称轴为直线x =2．（1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其中12x x ．①当213x x 时，结合函数图象，求出n 的值；②把直线PB 上方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5时，满足44y ，求n 的取值范围．11．（2021·北京丰台·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 250y ax bx a a 的对称轴是直线1x ．（1）用含a 的式子表示b ；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）若抛物线与y 轴的一个交点为 0,4 ，且当m x n 时，y 的取值范围是5y n ，结合函数图象，直接写出一个满足条件的n 的值和对应m 的取值范围．参考答案1．（1）32x ；（2）点B 的坐标为 3,1；（3）10a 或2a 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；（2）先求出点A 的坐标，再求出其对称性即可求解；（3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解．【详解】解：（1）由抛物线231y ax ax ，可知3322a x a．∴抛物线的对称轴为直线32x ．（2）∵抛物线231y ax ax 与y 轴交于点A ，令x =0，y =1∴点A 的坐标为 0,1．∵点B 是点A 关于直线32x的对称点，∴点B 的坐标为 3,1．（3）∵点A 0,1，点B 3,1，点P 02,，点Q 1,1a ，∴点P 在点A 的上方，点Q 在直线1y 上．①当0a ＞时，11a ＞，点Q 在点A 的右侧．（i ）如图1，当13a ＜，即2a ＜时，点Q 在点B 的左侧，结合函数图象，可知线段PQ 与抛物线没有公共点；（ii ）如图2，当13a ≥，即2a 时，点Q 在点B 的右侧，或与点B 重合，结合函数图象，可知线段PQ 与抛物线恰有一个公共点②当0a ＜时，11a ＜，点Q 在点B 的左侧．（i ）如图3，当011a ≤＜，即10a ＜时，点Q 在点A 的右侧，或与点A 重合，结合函数图象，可知线段PQ 与抛物线恰有一个公共点；（ii ）如图4，当10a ＜，即1a ＜-时，点Q 在点A 的左侧，结合函数图象，可知线段PQ 与抛物线没有公共点．综上所述，a 的取值范围是10a ＜或2a ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求解．2．（1）(0,0)，(1,0) ；（2）32a 或12a ；（3）02t 【分析】（1）令y =0代入2y x x ，进而即可求解；（2）先用a 表示出M ，N 的坐标，根据MNQ △为等腰直角三角形，90MQN ，列出方程，进而即可求解；（3）先表示出顶点坐标为：(1124 ，-)，222,,,2M a a a N a t a at t a t ，分4种情况分类讨论：①当图象G 不包含顶点，a ＞12 时，2(21)1t a t ，②当图象G 不包含顶点，a+t ＜12时，2(21)1t a t ，③当图象G 包含顶点，a+t ＞12 ，a ≤12 ，11()22a t a 时，④当图象G 包含顶点，a+t ≥12 ，a ＜12 ，11()22a t a 时，进而即可得到答案．【详解】解：（1）∵20x x 时，10x ，21x ，∴抛物线2y x x 与x 轴的交点坐标为(0,0)，(1,0) ；（2）当1t 时，M ，N 两点的坐标分别为 2,M a a a ，21,32N a a a ，∵MNQ △为等腰直角三角形，90MQN ，∴NQ MQ ，∵(1)1MQ a a ， 223222NQ a a a a a ，∴221a ．解得32a 或12a ．（3）对于抛物线2y x x ，其顶点坐标为：(1124 ，-)，222,,,2M a a a N a t a at t a t ①当图象G 不包含顶点，a ＞12 时，2(21)1t a t ，即：2121t a t，∴210t t，∵t ＞0，∴0＜t ＜1；②当图象G 不包含顶点，a+t ＜12 时，2(21)1t a t ，即：2121t a t，∴212()212t a t t t t，解得：-1＜t ＜1，∵t ＞0，∴0＜t ＜1；③当图象G 包含顶点，a+t ＞12 ，a ≤12 ，11(22a t a 时，2212()14a at t a t ，即： 24430a t a t ，∴ 23210a t a t ，∴32a t （舍去）或12a t ，即：12a t ∵a ≤12 且11()22a t a ，即：a ≤12且210a t ，∴12t ≤12 且12102t t，∴1≤t ≤2；④当图象G 包含顶点，a+t ≥12 ，a ＜12 ，11(22a t a 时，21()14a a ，即：24430a a ，∴32a 或12a （舍去），即：32a ，∵a+t ≥12 且11()22a t a ，即：32 +t ≥12且310t ，∴1≤t ≤2；综上所述：02t ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像上点的坐标特征，运用分类讨论思想方法，是解题的关键．3．（1）直线x m ；（2）①12y y ；见解析；②22m 【分析】（1）直接利用对称轴公式2b x a即可求出．（2）①当0m 时，二次函数解析式是2y x =，对称轴为y 轴．由此可得图形G 上的点的横纵坐标x 和y ，满足y 随x 的增大而减小，即可求出12y y ．②通过计算可知，点(24)(24)P m Q m ，，，为抛物线上关于对称轴x m 对称的两点，分类讨论当m 变化时，y 轴与点P ，Q 的相对位置：Ⅰ当y 轴在点P 左侧时（含点P ），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M ，N 的纵坐标相同，此时12y y ，不符题意；Ⅱ当y 轴在点Q 右侧时（含点Q ），作出图形，即可得出点M ，N 分别和点P ，Q 重合，此时12y y ，不符题意；Ⅲ当y 轴在点P ，Q 之间时（不含P ，Q ），作出图形，即可得出经翻折后，点N 在l 下方，点M ，P 重合，在l 上方，此时12y y ，符合题意．即有202m m ，即22m ．【详解】（1）抛物线222y x mx m 的对称轴为直线22m x m ；（2）①当0m 时，二次函数解析式是2y x =，对称轴为y 轴；∴图形G 如图．∴图形G 上的点的横纵坐标x 和y ，满足y 随x 的增大而减小；∵12x x ，∴12y y ．②通过计算可知，(24)(24)P m Q m ，，，为抛物线上关于对称轴x m 对称的两点，下面讨论当m 变化时，y 轴与点P ，Q 的相对位置：Ⅰ如图，当y 轴在点P 左侧时（含点P ），经翻折后，得到点M ，N 的纵坐标相同，12y y ，不符题意；Ⅱ如图，当y 轴在点Q 右侧时（含点Q ），点M ，N 分别和点P ，Q 重合，12y y ，不符题意；Ⅲ如图，当y 轴在点P ，Q 之间时（不含P ，Q ），经翻折后，点N 在l 下方，点M ，P 重合，在l 上方，12y y ，符合题意．此时有202m m ，即22m ．综上所述，m 的取值范围为22m ．【点睛】本题为二次函数综合题．考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难．利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键．4．（1）1x ；（2）43h 或5h 【分析】（1）将1h 代入解析式，然后将二次函数一般式化成顶点式求解；（2）设抛物线上四个点的坐标为 0A A y ，， 2B B y ，， 4C C h y ，， 5D D h y ，，利用二次函数性质分情况讨论求解．【详解】解：（1）当1h 时，抛物线的表达式为221y ax ax a ．∴ 21+1y a x ．∴抛物线的对称轴为直线1x ．（2）设抛物线上四个点的坐标为 0A A y ，， 2B B y ，， 4C C h y ，， 5D D h y ，．∵0a ，∴1y 的最小值必为A y 或B y ．①由a<0可知，当522h ≤≤时，存在2y ≥1y ，不符合题意．②当2h 时，总有42h ．∵当x h 时，y 随x 的增大而减小，∴B C D y y y ．当43h 时，4h h h ≥．∴A C D y y y ，符合题意．当423h 时，4h h h ＜．∴A C y y ，不符合题意．③当52h 时，∵当x h 时，y 随x 的增大而增大，∴C D y y ，A B y y ．当5h 时，50h ≤．∴D A y y ，符合题意．当552h 时，50h ．∴D A y y ，不符合题意．综上所述，h 的取值范围是43h 或5h ．【点睛】本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键．5．（1）①3；②5；（2）2b 或者2 【分析】（1）①确定函数的解析式，根据解析式的特点求其最小值即可；②判断对称轴与自变量的取值范围大小关系，根据位置关系，利用函数的增减性计算即可；（2）分b ≥0和b ＜0两种情形求解即可．【详解】解：（1）①当b =-2，c =4时，二次函数变形为：224y x x 213x ，当1x 时函数的最小值为3；②∵抛物线为22y x x c ．此时抛物线开口向上，对称轴为1x ．∴当1x 时，y 随x 增大而增大．∵1＜23x ，∴取值范围位于对称轴的右侧，∴当2x 时，5y 最小，∴25222c ．∴5c ．（2）当b ≥0时，∵二次函数22y x bx b 的对称轴为x =02b ＜，∴02b ＜＜2b x b ，∴取值范围位于对称轴的右侧，∴当x =b 时，函数有最小值，∴22212b b b ，解得b =2或b =-3（舍去）；当b ＜0时，∵二次函数22y x bx b 的对称轴为x =02b ＞，当对称轴位于取值范围2b x b 内时，，∴x =2b 时，函数有最小值，∴28480b b ，此时无解；当对称轴不位于取值范围2b x b 内时，，∴2b x b 位于对称轴的左侧，∵y 随x 增大而减小，∴x =b +2时，函数有最小值，∴2(2)(2)212b b b b ，整理，得2440b b ；解得b =2 b =2 ；∴2b 或者2 【点睛】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性，指定取值范围内的最值，准确判定对称轴与指定取值范围的关系是解题的关键．6．（1）对称轴为直线2x ；点B 坐标（3，0）；（2）①见解析；2；②02a 或20a 【分析】（1）将点A 坐标代入抛物线解析式得到b 和a 的关系，再根据抛物线对称轴的表达式求出对称轴，由,A B 两点关于对称轴对称即可求得B 点坐标；（2）根据题意，以及抛物线的顶点坐标，分情况画图，再根据抛物线的性质即可以求出m n 的最小值．（3）根据抛物线的顶点坐标，观察图象即可得出正确答案．【详解】解：（1）把点A （1，0）代入23(0)y ax bx a a ，可得4b a ，抛物线的对称轴为直线4222b a x a a．∵点A 和点B 关于2x 对称， 点B 坐标（3，0）．（2）①当a ＝2时， 243213y ax ax a x x ，与x 轴交点坐标为（1，0）、（3，0），与y 轴交点坐标为（0，6），顶点坐标(2,2) ．当x t 时，2286t t y ，当2x t 时， 222282622t t y t ，当0t 时，如下图：2286t t m ，222n t ，88m n t 80 ∵，m n 随t 的增大而减小，当0,t m n 的最小值为8，，当01t 时，如下图，2286t t m ，2n ， 2228822t t m t n ，20 ∵，01t 时，m n 随t 的增大而减小，当1t 时，m n 的最小值为2，当12t 时，如下图222m t ，2n ，22m t n ，20 ∵，12t m n ，随t 的增大而增大，当1t 时，m n 的最小值大于2，当2t 时，如下图：222m t ，2286n t t ，88m n t 80 ∵，2t 时，m n 随t 的增大而增大，当2,t m n 的最小值为10，综上，m n 的最小值为2.② 22432y ax ax a a x a ，抛物线的顶点坐标为 2,a ，顶点到x 轴的距离为a ，如图，当2m n 时，a 的取值范围是02a 或20a ．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了抛物线的性质，掌握抛物线的性质及图像法解题是解本题的关键．7．（1）A （0，2）；对称轴是x ＝2；（2）7；（3）0t 或1t ．【分析】（1）把x ＝0代入抛物线解析式，即可求出点A 坐标，将抛物线配方成顶点式，即可求出对称轴；（2）根据抛物线开口向上，当05x 时，y 的最小值是－2，抛物线对称轴为x ＝2，即可求出a =1，根据抛物线性质即可求出当x ＝5时，y 有最大值，7y ；（3）根据已知条件分点P 、Q 都在对称轴x =2左侧、右侧、P 在对称轴x =2左侧，点Q 在对称轴x =2右侧三种情况分类讨论，综合比较即可求解．【详解】解：（1）令x ＝0则y ＝2，∴．点A 坐标为（0，2）．∵242y ax ax ＝2(44)24a x x a ＝2(2)24a x a ，∴二次函数图象的对称轴是x ＝2；（2）∵a ＞0，∴抛物线开口向上，∵当05x 时，y 的最小值是－2，抛物线对称轴为x ＝2，∴2－4a ＝－2，解得a ＝1.∴二次函数表达式为242y x x ，∴在05x 时，当x ＝5时，y 有最大值，254527y ；（3）∵点P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ），且11t x t ，223t x t ，都有12y y ，∴①当点P 、Q 都在对称轴x =2左侧时，12y y ，此时t +3≤2，解得t ≤-1；②当点P 、Q 都在对称轴x =2右侧时，12y y ，此时t ≥2；③当点P 在对称轴x =2左侧，点Q 在对称轴x =2右侧时，且12y y ，此时2-（t +1）≥（t +3）-2或2-t ≤（t +2）-2，解得t ≤0,或t ≥1，综上所述，0t 或1t ．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键．8．（1）对称轴x ＝1；顶点坐标为（1，－4）；（2）①12y y ；②17a ．【分析】（1）根据二次函数对称轴方程及顶点坐标公式即可得答案；（2）①根据二次函数的对称轴方程及二次函数的对称性可得12y y ；②根据点A 、B 坐标及①中结论可得A B=2，AB //x 轴，进而可证明四边形ABCO 为矩形，根据矩形的面积可得OA 的长，可得A （0，－3）或A （0，3），根据x =0时y =a -4分别得出y =-3和y =3时a 的值即可得答案．【详解】（1）∵224(0)y ax ax a a ，∴对称轴为直线x ＝22a a=1，∵24(4)(2)4a a a a=-4，∴顶点坐标（1，－4）．（2）①∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴点A （0，y 1）关于对称轴对称的点的坐标为（2，y 1），∵抛物线经过12A(0,),B(2,)y y 两点，∴12y y ．②如图，∵12A(0,),B(2,)y y ，12y y ，∴AB ＝2，AB//x 轴，∵BC ⊥x 轴，∴四边形ABCO 为矩形，∴当矩形ABCO 的面积为6时，AO ＝3，∴A （0，－3）或A （0，3），∵当x =0，y =a -4，∴当A （0，－3）时，a －4＝－3，解得：a ＝1，当A （0，3）时，a －4＝3，解得：a ＝7，∵四边形AOCB 的面积小于或等于6，∴17a ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及图形上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．9．（1）13b a ；（2）1x ，1a ；（3）1a 且0a 【分析】（1）代入A 点坐标即可整理出用a 表示b 的式子；（2）根据12y y ，122x x ，可知对称轴为x =1，结合（1）可以求出a 的值；（3）将M 、N 的坐标代入抛物线解析式213)y ax a x（，运用22121122(13)(13)y y ax a x ax a x ，化简整理求出a 的取值单位．【详解】（1）解：∵过(33)A ，，∴933a b ．∴13b a ．（2）解：∵122x x ，12y y ，∴对称轴为：直线1212x x x+．即：31122b a a a．∴1a ．（3）解：将点11()M x y ，，22()N x y ，代入213)y ax a x （得，2111(13)y ax a x ，2222(13)y ax a x ∴22121122(13)(13)y y ax a x ax a x 121212()()(13)()a x x x x a x x 12()(213)x x a a 12()(1)x x a ∵12x x ，12y y ，∴120x x ，120y y ．∴10a ．∴1a 且0a ．【点睛】本题考查了抛物线解析式的有关知识，同过作差法比较的小是解决这个问题的难点．10．（1）2；（2）①54；②42n 【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求出b 值；（2）①根据二次函数图象的轴对称性，即可得出答案；②根据x 、y 的取值范围，即可得n 的取值范围．【详解】（1）∵抛物线223y x bx 的对称轴为直线x =2，∴b =2．（2）①∴抛物线的表达式为2=+43y x x ．∵A （x 1，y ），B （x 2，y ），∴直线AB 平行x 轴．∵213x x ，∴AB =3．∵对称轴为x =2，∴AC =12．∴当12x 时，54y n ．②当y =n =-4时，0≤x ≤5时，41y ；当y =n=-2时，0≤x ≤5时，24y ；∴n 的取值范围为42n ．【点睛】本题是一道二次函数综合题.考查了二次函数的图象与性质.解题的关键在于要按要求画出函数图象，并结合二次函数的图象和性质进行解题．11．（1）2b a ；（2）（1，5 ）；（3）421n m ,【分析】（1）利用对称轴即可表示出a 、b 之间的关系；（2）利用抛物线的顶点坐标的公式即可求出；（3）利用图象的特点进行解答即可．【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线1x ，∴12b a．∴2b a ．（2）∵抛物线2250a y ax x a a （）的对称轴为直线1x ，∴525a a a y ．∴抛物线的顶点坐标为（1，5 ）．（3）抛物线与y 轴有一交点为A （0，-4），代入y =a 2x -2ax +a -5得-4=a -5,故a =1,∴抛物线的解析式为y =2x -2x -4,∵当m x n 时，y 的取值范围为5y n ，令y =-5得-5=2x -2x -4，解得121x x ，∴有一种情况自变量的最小值为n 与函数值的最小值也为n ，由y=2x -2x-4和y=x 得2x -2x -4=x ，即2x -3x -4=0，解得124,15,x x 此时（1，-5）包含在内，故舍去．综上所述：满足条件m 、n 的为421n m ，【点睛】本体属于二次函数的综合题目，利用数形结合的方法，准确利用二次函数的性质进行解题时本题关键．。
2021东城初三二模答案 (1)
东城区2021-2021学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试题卷参考答案及评分标准 2018.5 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C D D A C B二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9. x ＞0 10. ()()()()21212121--，，，-，，，，-（写出一个即可） 11. 212. ()1,1m -- 13. ()2 1.8250x x ++= 14. 120 ；3 000 15. 2216. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）3=3-2-8+23⨯17.解：原式 --------------------------------------------------------------------4分 =3-5-------------------------------------------------------------------------------------------------- 5分18. 解：移项，得 ()1213x -＜， 去分母，得 23x -＜，移项，得x ＜5.∴不等式组的解集为x ＜5. --------------------------------------------------------------------3分--------------------------------5分19. 证明：（1） ∵DE 垂直平分AB ,∴ 90AED ∠=︒.∴AED C ∠=∠.∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △∽△.--------------------------------------------------------------------2分(2) ABC Rt △中，8AC =，6BC =，∴10AB =.∵DE 平分AB ，∴5AE =.∵ADE ABC △∽△，∴DE AE BC AC= . ∴568DE = . ∴154DE = . ---------------------------------------------------------------------5分 20. 解：（1） 依题意，得()20,640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞， 解得k k ≠＜9且0. ----------------------------------------------------------------------2分(2) ∵k 是小于9的最大整数，∴=8k .此时的方程为28610x x -+=. 解得11=2x ，21=4x . ---------------------------------------------------------------------5分21 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠.∵ECF α=∠，∴ BCD ECF ∠=∠.∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到，∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分(2) 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥.∴+90ACB EBC ∠=︒∠.∵=EB EC ，∴=EBC BCE ∠∠.由（1）可知，∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠.∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥. ---------------------------------------------------------------------5分22. 解：（1）12k =，222P ⎭，，或222P ⎛-- ⎝⎭，;---------------------------3分 (2) 1k ≥. ---------------------------------------------------------------------5分23. （1）证明：∵AB 是O 的直径， ∴90ACB ∠=︒.∴90DCB ∠=︒.∴90CDB FBC ∠+∠=︒.∵ AB 是O 的直径，MB AB ⊥， ∴MB 是O 的切线. ∵CF 是O 的切线，∴FC FB =.∴=FCB FBC ∠∠.∵90FCB DCF ∠+∠=︒ ,∴=CDB DCF ∠∠.∴=CF DF . ---------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）可知，ABC △是直角三角形，在Rt ABC △中，=10AB ，=6BC ， 根据勾股定理求得=8AC .在Rt ABC △和Rt ADB △中，A A ACB ABD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，，∴Rt ABC △∽Rt ADB △. ∴AB AC AD AB=. ∴10810AD = . ∴252AD =. 由（1）知，∵=CF DF ，=CF BF ，∴=DF BF .∵=AO BO，∴OF是ADB△的中位线.∴125.24OF AD==---------------------------------------------------------------------5分24. 解：(1)四；---------------------------------------------------------------------1分（2）如图：---------------------------------------------------------------------3分（3）5432000ab.------------------------------------------------------5分25. 解：42y xx⎛⎫=+⎪⎝⎭；----------------------------------------------1分810，；--------------------------------------------------------3分如图；----------------------------------------------------------4分28，.-----------------------------------------------------------5分26. 解：（1）把点(10)-，和(45)，分别代入23(0)y ax bx a=+-≠，得0--35164-3a ba b=⎧⎨=+⎩，，解得12a b==-，．∴抛物线的表达式为223y x x=--．-------------------------------------------------------------2分（2）设点()45B ，关于x 轴的对称点为B '，则点B '的坐标为()45，-.∴直线AB 关于x 轴的对称直线为直线AB '.设直线AB '的表达式为y mx n =+，把点(10)-，和(45)-，分别代入y mx n =+，得054m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，，解得11m n =-=-，．∴直线AB '的表达式为1y x =--．即直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式为1y x =--. --------------------------------------4分（3）如图，直线AB '与抛物线223y x x =--交于点C .设直线l 与直线AB '的交点为N '，则 'PN PN =．∵PM PN <，∴'PM PN <.∴点M 在线段'NN 上（不含端点）．∴点M 在抛物线223y x x =--夹在点C 与点B 之间的部分上．联立223y x x =--与1y x =--，可求得点C 的横坐标为2．又点B 的横坐标为4，∴点P 的横坐标P x 的取值范围为24P x <<． --------------------------------------------------7分27. 解：(1)120°. ---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒，∴60.ACP BCP ∠+∠=︒∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒，∴.ACD BCP ∠=∠在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------------------------------4分（3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N .∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒，∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴3= 3.2BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =+)3AD CD =+ 322= 3.=----------------------------------------------------------7分28. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方，∴.d MF =∴.AF d CF ≤≤∵=4AF CF ，∴d 4≤ ---------------------------------------------------------------------------------- 5分② 1.t ≤ ------------------------------------------------------------------------8分。
2021北京各区初中数学二模分类汇编27号题及答案
2021北京各区初中数学二模分类汇编27号题及答案门头沟 27. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC. （1）根据题意补全图形，猜想?MEC与?MCE的数量关系并证明；（2）连接FB，判断FB 、FM之间的数量关系并证明.ADFEBC西城27. 如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.平谷27．正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，作∠CBD的角平分线BE，分别交CD，OC于点E，F．（1）依据题意，补全图形（用尺规作图，保留作图痕迹）；图1 备用图 ADOBC（2）求证：CE=CF；（3）求证：DE=2OF．顺义27．在等边△ABC外侧作直线AM，点C关于AM的对称点为D，连接BD交AM于点E,连接CE，CD，AD．（1）依题意补全图1，并求?BEC的度数；（2）如图2 ，当?MAC?30?时，判断线段BE与DE之间的数量关系，并加以证明；（3）若0???MAC?120?，当线段DE?2BE时，直接写出?MAC的度数．AAEDMB图1CMB图2C东城27. 如图所示，点P位于等边△ABC的内部，且∠ACP=∠CBP．(1) ∠BPC的度数为________°；(2) 延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．①依题意，补全图形；②证明：AD+CD=BD；(3) 在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．房山27. 已知AC=DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作D B⊥MN，垂足为B，连接CB. （1）直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系;（2）① 如图1，猜想AB，BD与BC之间的数量关系，并说明理由；② 如图2，直接写出AB，BD与BC之间的数量关系；（3）在MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD=30°，BD=2 时，直接写出BC的值.MMABNACDCBND图1图2昌平27.如图，在△ABC中，AB=AC>BC，BD 是AC边上的高，点C关于直线BD的对称点为点E，连接BE.（1）①依题意补全图形；②若∠BAC=?，求∠DBE的大小（用含?的式子表示）；（2）若DE=2AE，点F是BE中点，连接AF，BD=4，求AF的长.ADBBCADC （备用图）海淀27．如图，在等边△ABC中， D,E分别是边AC,BC上的点，且 ,?DBC?30? ，点C与点F关于BD对称，连接CD?CEAF,FE，FE交BD于G.（1）连接DE,DF，则DED,F之间的数量关系是；AF（2）若?DBC??，求?FEC的大小; （用?的式子表示）（2）用等式表示线段BG,GF和FA之间的数量关系，并证明.BGD石景山27．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．（1）若点N是线段MB的中点，如图1．① 依题意补全图1；② 求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ=DP，求CE的长．AECNBMCABNMC图1怀柔27.在△ABC中，AB=BC=AC，点M为直线BC上一个动点（不与B，C重合），连结AM，将线段AM绕点M顺时针旋转60°，得到线段MN，连结NC.BMCMBCAA第27题图1 第27题图2 (1)如果点M在线段BC上运动. ①依题意补全图1；②点M在线段BC上运动的过程中，∠MCN的度数是否确定？如果确定，求出∠MCN的度数；如果不确定，说明理由；(2)如果点M在线段CB的延长线上运动，依题意补全图2，在这个过程中，∠MCN的度数是否确定？如果确定，直接写出∠MCN的度数；如果不确定，说明理由.朝阳27.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE= AD，∠EAD=90°，CE交AB于点F，CD=DF. （1）∠CAD= 度；（2）求∠CDF 的度数；（3）用等式表示线段CD和CE之间的数量关系，并证明.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
北京东城北京二中学2021-2022学年中考数学模拟试题含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°2．根据文化和旅游部发布的《“五一”假日旅游指南》，今年“五一”期间居民出游意愿达36.6%，预计“五一”期间全固有望接待国内游客1.49亿人次，实现国内旅游收入880亿元．将880亿用科学记数法表示应为（）A．8×107B．880×108C．8.8×109D．8.8×10103．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠1）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=1；④当y=﹣2时，x的值只能取1；⑤当﹣1＜x＜5时，y＜1．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）A．4cm B．8cm C．（a+4）cm D．（a+8）cm5．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（）A．30°B．50°C．40°D．70°6．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为（）A．116B．18C．316D．147．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a3B．（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2C．（﹣a）2•a3=a6D．5a+2b=7ab8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．9．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．3 C．5 D．1或5 10．3的相反数是（）A．﹣3 B．3 C．13D．﹣1311．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．12．正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（）A．30°B．60°C．120°D．180°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为_____．14．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=_______________________．15．分解因式：x2y﹣xy2=_____．16．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于__________．17．－3的倒数是___________18．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠B=120°，点E是AD边上的一个动点（不与A，D重合），EF∥AB交BC 于点F，点G在CD上，DG=DE．若△EFG是等腰三角形，则DE的长为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2﹣2ax 与x 轴相交于O 、A 两点，OA=4，点D 为抛物线的顶点，并且直线y=kx+b 与该抛物线相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，B 点的横坐标是﹣1．（1）求k ，a ，b 的值；（2）若P 是直线AB 上方抛物线上的一点，设P 点的横坐标是t ，△PAB 的面积是S ，求S 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当PB ∥CD 时，点Q 是直线AB 上一点，若∠BPQ+∠CBO=180°，求Q 点坐标．20．（6分）解方程：3x x --239x -=1 21．（6分）一次函数y ＝x 的图象如图所示，它与二次函数y ＝ax 2－4ax ＋c 的图象交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D ．①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD ＝AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．22．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B 、C 两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）23．（8分）如图，一次函数y1=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数2kyx图象的一个交点为M（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B到直线OM的距离．24．（10分）已知：关于x的方程x2﹣（2m+1）x+2m=0（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两根为x1，x2，且|x1|=|x2|，求m的值．25．（10分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC 相似时，求点D的坐标．26．（12分）如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．27．（12分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝12∠BAC＝60°，于是BCAB＝2BDAB＝3迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）若AD＝2，BD＝3，请计算线段CD的长；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．（3）证明：△CEF是等边三角形；（4）若AE＝4，CE＝1，求BF的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解析】分析：依据AB∥EF，即可得∠BDE=∠E=45°，再根据∠A=30°，可得∠B=60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°．详解：∵AB∥EF，∴∠BDE=∠E=45°，又∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°，故选C．点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．2、D【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】880亿=880 0000 0000=8.8×1010，故选D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3、A【解析】根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立．【详解】由函数图象可得，a＞1，b＜1，即a、b异号，故①错误，x=-1和x=5时，函数值相等，故②错误，∵-1522ba-+=＝2，得4a+b=1，故③正确，由图象可得，当y=-2时，x=1或x=4，故④错误，由图象可得，当-1＜x＜5时，y＜1，故⑤正确，故选A ．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 4、B【解析】【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．【详解】∵原正方形的周长为acm ， ∴原正方形的边长为4a cm ， ∵将它按图的方式向外等距扩1cm ， ∴新正方形的边长为（4a +2）cm ， 则新正方形的周长为4（4a +2）=a+8（cm ）， 因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm ，故选B ．【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式．5、A【解析】利用三角形内角和求∠B ，然后根据相似三角形的性质求解.【详解】解：根据三角形内角和定理可得：∠B=30°，根据相似三角形的性质可得：∠B′=∠B=30°. 故选：A.【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是本题的解题关键.6、C【解析】列举出所有情况，看两次摸出的小球的标号的和等于6的情况数占总情况数的多少即可．解：共16种情况，和为6的情况数有3种，所以概率为．故选C．7、B【解析】A选项:利用同底数幂的除法法则，底数不变，只把指数相减即可；B选项:利用平方差公式，应先把2a看成一个整体，应等于（2a）2-b2而不是2a2-b2，故本选项错误；C选项:先把（-a）2化为a2，然后利用同底数幂的乘法法则，底数不变，只把指数相加，即可得到；D选项:两项不是同类项，故不能进行合并．【详解】A选项:a6÷a2=a4，故本选项错误；B选项:（2a+b）（2a-b）=4a2-b2，故本选项正确；C选项:（-a）2•a3=a5，故本选项错误；D选项:5a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误；故选：B．【点睛】考查学生同底数幂的乘除法法则的运用以及对平方差公式的掌握，同时要求学生对同类项进行正确的判断．8、D【解析】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB=32A=∠B=45°，分当0＜x≤3（点Q在AC上运动，点P在AB上运动）和当3≤x≤6时（点P与点B重合，点Q在CB上运动）两种情况求出y与x的函数关系式，再结合图象即可解答.【详解】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB=32A=∠B=45°，当0＜x≤3时，点Q在AC上运动，点P在AB上运动（如图1），由题意可得2x，AQ=x，过点Q作QN⊥AB于点N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN=22x，所以y=12AP QN⋅=21212=222x x x⨯（0＜x≤3），即当0＜x≤3时，y随x的变化关系是二次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3≤x≤6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2），由题意可得PQ=6-x，AP=32，过点Q作QN⊥BC于点N，在等腰直角三角形PQN中，求得QN=22(6-x)，所以y=12AP QN⋅=12332(6)=9222x x⨯⨯--+（3≤x≤6），即当3≤x≤6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故选D.【点睛】本题考查了动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由函数的解析式对应其图象，由此即可解答．9、D【解析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选D．【点睛】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．10、A【解析】试题分析：根据相反数的概念知：1的相反数是﹣1．故选A．【考点】相反数．11、D【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选D．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12、C【解析】求出正三角形的中心角即可得解【详解】正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°，故选C．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，掌握正多边形的中心角的求解是解题的关键二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、2．【解析】把x＝m代入方程，求出2m2﹣3m＝2，再变形后代入，即可求出答案．【详解】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，∴代入得：2m2﹣3m﹣2＝0，∴2m2﹣3m＝2，∴6m2﹣9m+2026＝3（2m2﹣3m）+2026＝3×2+2026＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，解此题的关键是能求出2m2﹣3m＝2．14、72°．【解析】解：∵OB=OC，∠OBC=18°，∴∠BCO=∠OBC=18°，∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×18°=144°，∴∠A=12∠BOC=12×144°=72°．故答案为72°．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是本题的解题关键．15、xy（x﹣y）【解析】原式=xy（x﹣y）．故答案为xy（x﹣y）．16、224πcm【解析】解：它的侧面展开图的面积=12•1π•4×6=14π（cm1）．故答案为14πcm1．点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17、1 3 -【解析】乘积为1的两数互为相反数，即a的倒数即为1a，符号一致【详解】∵－3的倒数是1 3 -∴答案是1 3 -18、1或【解析】由四边形ABCD 是菱形，得到BC ∥AD ，由于EF ∥AB ，得到四边形ABFE 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF ∥AB ，于是得到EF=AB=3，当△EFG 为等腰三角形时，①EF=GE=3时，于是得到DE=DG=12AD÷32=1，②GE=GF 时，根据勾股定理得到DE=33． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是菱形，∠B=120°，∴∠D=∠B=120°，∠A=180°-120°=60°，BC ∥AD ，∵EF ∥AB ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴EF ∥AB ，∴EF=AB=3，∠DEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=120°，∵DE=DG ，∴∠DEG=∠DGE=30°，∴∠FEG=30°，当△EFG 为等腰三角形时，当EF=EG 时，EG=3，如图1，过点D 作DH ⊥EG 于H ，∴EH=123 在Rt △DEH 中，DE=0cos30HE =1， GE=GF 时，如图2，过点G作GQ⊥EF，∴EQ=12EF=32，在Rt△EQG中，∠QEG=30°，∴EG=1，过点D作DP⊥EG于P，∴PE=12EG=12，同①的方法得，3当EF=FG时，由∠EFG=180°-2×30°=120°=∠CFE，此时，点C和点G重合，点F和点B重合，不符合题意，故答案为13【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握各性质是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）k=1、a=2、b=4；（2）s=﹣32t2﹣152t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；（3）Q（﹣73，53）【解析】（1）根据题意可得A（-4，0）代入抛物线解析式可得a，求出抛物线解析式，根据B的横坐标可求B点坐标，把A，B坐标代入直线解析式，可求k，b（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，设出P点坐标，可求出N点坐标，即可以用t表示S．（3）由PB∥CD，可求P点坐标，连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA 于T，根据P的坐标，可得∠POA=45°，由OA=OC可得∠CAO=45°则PO⊥AB，根据抛物线的对称性可知R在对称轴上．设Q点坐标，根据△BOR∽△PQS，可求Q点坐标．【详解】（1）∵OA=4∴A（﹣4，0）∴﹣16+8a=0∴a=2，∴y=﹣x2﹣4x，当x=﹣1时，y=﹣1+4=3，∴B（﹣1，3），将A（﹣4，0）B（﹣1，3）代入函数解析式，得340k bk b-+⎧⎨-+⎩＝＝，解得14 kb=⎧⎨=⎩，直线AB的解析式为y=x+4，∴k=1、a=2、b=4；（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，如图1，由（1）知直线AB是y=x+4，抛物线是y=﹣x2﹣4x，∴当x=t时，y P=﹣t2﹣4t，y N=t+4PN=﹣t2﹣4t﹣（t+4）=﹣t2﹣5t﹣4，BH=﹣1﹣t，AM=t﹣（﹣4）=t+4，S△PAB=12PN（AM+BH）=12（﹣t2﹣5t﹣4）（﹣1﹣t+t+4）=12（﹣t2﹣5t﹣4）×3，化简，得s=﹣32t2﹣152t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；∴﹣4＜t＜﹣1（3）y=﹣x2﹣4x，当x=﹣2时，y=4即D（﹣2，4），当x=0时，y=x+4=4，即C（0，4），∴CD∥OA∵B（﹣1，3）．当y=3时，x=﹣3，∴P（﹣3，3），连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA于T，如图2，可证R 在DT 上∴PN=ON=3∴∠PON=∠OPN=45°∴∠BPR=∠PON=45°，∵OA=OC ，∠AOC=90°∴∠PBR=∠BAO=45°，∴PO ⊥AC∵∠BPQ+∠CBO=180，∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC过点Q 作QS ⊥PN ，垂足是S ，∴∠SPQ=∠BOR ∴tan ∠SPQ=tan ∠BOR ，可求2，2，设Q 点的横坐标是m ，当x=m 时y=m+4，∴SQ=m+3，PS=﹣m ﹣1 23122m m +=--，解得m=﹣73． 当x=﹣73时，y=53， Q （﹣73，53）． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题.20、2x =-【解析】【分析】先去分母，把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程，再验根.【详解】解：去分母得：()2x x 33x 9+-=- 解得：x 2=-检验：把x 2=-代入2x 950-=-≠所以：方程的解为x 2=-【点睛】本题考核知识点：解方式方程. 解题关键点：去分母，得到一元一次方程，.验根是要点.21、（1）点C （1，）；（1）①y ＝x 1－x ； ②y ＝－x 1＋1x ＋．【解析】试题分析：（1）求得二次函数y ＝ax 1－4ax ＋c 对称轴为直线x ＝1，把x ＝1代入y ＝x 求得y=，即可得点C 的坐标；（1）①根据点D 与点C 关于x 轴对称即可得点D 的坐标，并且求得CD 的长，设A （m ，m ） ，根据S △ACD ＝3即可求得m 的值，即求得点A 的坐标，把A.D 的坐标代入y ＝ax 1－4ax ＋c 得方程组，解得a 、c 的值即可得二次函数的表达式.②设A （m ，m ）（m<1），过点A 作AE ⊥CD 于E ，则AE ＝1－m ，CE ＝－m ，根据勾股定理用m 表示出AC 的长，根据△ACD 的面积等于10可求得m 的值，即可得A 点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a ＞0，则点D 在点C 下方，求点D 的坐标；第二种情况，若a ＜0，则点D 在点C 上方，求点D 的坐标，分别把A 、D 的坐标代入y ＝ax 1－4ax ＋c 即可求得函数表达式.试题解析：（1）y ＝ax 1－4ax ＋c ＝a （x －1）1－4a ＋c ．∴二次函数图像的对称轴为直线x ＝1．当x ＝1时，y ＝x ＝，∴C （1，）．（1）①∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴D （1，－），∴CD ＝3.设A （m ，m ） （m<1），由S △ACD ＝3，得×3×（1－m ）＝3，解得m ＝0，∴A （0，0）.由A （0，0）、 D （1，－）得解得a ＝，c ＝0.∴y ＝x 1－x.②设A（m，m）（m<1），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝1－m，CE＝－m，AC＝＝（1－m），∵CD＝AC，∴CD＝（1－m）.由S△ACD＝10得×（1－m）1＝10，解得m＝－1或m＝6（舍去），∴m＝－1．∴A（－1，－），CD＝5.若a＞0，则点D在点C下方，∴D（1，－），由A（－1，－）、D（1，－）得解得∴y＝x1－x－3.若a＜0，则点D在点C上方，∴D（1，），由A（－1，－）、D（1，）得解得∴y＝－x1＋1x＋.考点：二次函数与一次函数的综合题.22、B、C两地的距离大约是6千米．【解析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC 的长．【详解】于点D．解：过B作BD AC在Rt ABD 中，BD AB sin BAD 40.8 3.2(∠=⋅=⨯=千米)， BCD 中，CBD 903555∠=-=，CD BD tan CBD 4.48(∠∴=⋅=千米)，BC CD sin CBD 6(∠∴=÷≈千米)．答：B 、C 两地的距离大约是6千米．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．23、（1）22y x =-（2255 【解析】（1）根据一次函数解析式求出M 点的坐标，再把M 点的坐标代入反比例函数解析式即可；（2）设点B 到直线OM 的距离为h ，过M 点作MC ⊥y 轴，垂足为C ，根据一次函数解析式表示出B 点坐标，利用△OMB 的面积=12×BO×MC 算出面积，利用勾股定理算出MO 的长，再次利用三角形的面积公式可得12OM•h ，根据前面算的三角形面积可算出h 的值．【详解】解：（1）∵一次函数y 1=﹣x ﹣1过M （﹣2，m ），∴m=1．∴M （﹣2，1）．把M （﹣2，1）代入2k y x =得：k=﹣2． ∴反比列函数为22y x=-． （2）设点B 到直线OM 的距离为h ，过M 点作MC ⊥y 轴，垂足为C ．∵一次函数y 1=﹣x ﹣1与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标是（0，﹣1）． ∴OMB 1S 1212∆=⨯⨯=． 在Rt △OMC 中，2222OM=OC +CM 1+25= ∵OMB 15S OM h h=122∆=⋅⋅=，∴2555= ∴点B 到直线OM 255 24、 (1)详见解析；（2）当x 1≥0，x 2≥0或当x 1≤0，x 2≤0时，m=12；当x 1≥0，x 2≤0时或x 1≤0，x 2≥0时，m=﹣12． 【解析】 试题分析：（1）根据判别式△≥0恒成立即可判断方程一定有两个实数根； （2）先讨论x 1，x 2的正负，再根据根与系数的关系求解．试题解析：（1）关于x 的方程x 2﹣（2m+1）x+2m=0，∴△=（2m+1）2﹣8m=（2m ﹣1）2≥0恒成立，故方程一定有两个实数根；（2）①当x 1≥0，x 2≥0时，即x 1=x 2，∴△=（2m ﹣1）2=0，解得m=12； ②当x 1≥0，x 2≤0时或x 1≤0，x 2≥0时，即x 1+x 2=0，∴x 1+x 2=2m+1=0，解得：m=﹣12； ③当x 1≤0，x 2≤0时，即﹣x 1=﹣x 2，∴△=（2m ﹣1）2=0，解得m=12； 综上所述：当x 1≥0，x 2≥0或当x 1≤0，x 2≤0时，m=12；当x 1≥0，x 2≤0时或x 1≤0，x 2≥0时，m=﹣12． 25、（1）y=﹣2x 2+x+3；（2）∠ACB=41°；（3）D （78，7532）． 【解析】试题分析：()1把点,A B 的坐标代入即可求得抛物线的解析式.()2作BH ⊥AC 于点H ，求出BH 的长度，即可求出∠ACB 的度数.()3延长CD 交x 轴于点G ，△DCE ∽△AOC ，只可能∠CAO =∠DCE .求出直线CD 的方程，和抛物线的方程联立即可求得点D 的坐标.试题解析：（1）由题意，得309330,42a b a b -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得21a b =-⎧⎨=⎩． ∴这条抛物线的表达式为223y x x =-++．（2）作BH ⊥AC 于点H ，∵A 点坐标是（－1，0），C 点坐标是（0，3），B 点坐标是（32，0）， ∴，AB=52，OC=3，∵BH AC OC AB ⋅=⋅，即∠BAD=532BH =⨯，∴4BH =． Rt △ BCH中，BH =BHC =90º，∴sin 2ACB ∠=． 又∵∠ACB 是锐角，∴45ACB ∠=︒．（3）延长CD 交x 轴于点G ，∵Rt △ AOC 中，AO=1，，∴cos AO CAO AC ∠==． ∵△DCE ∽△AOC ，∴只可能∠CAO =∠DCE ．∴AG = CG ．∴122cos AC GAC AG AG ∠===． ∴AG=1．∴G 点坐标是（4，0）．∵点C 坐标是（0，3），∴3:34CD l y x =-+． ∴233423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩ 解得787532x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，03x y =⎧⎨=⎩（舍）. ∴点D 坐标是775,.832⎛⎫ ⎪⎝⎭26、证明见解析.【解析】试题分析：由1=2∠∠，可得,CAB EAD ∠=∠,,AC AE AB AD ==则可证明ABC ADE ≅，因此可得.BC DE = 试题解析：1=2∠∠，12,EAB EAB ∴∠+∠=∠+∠即CAB EAD ∠=∠,在ABC 和ADE 中，{AC AECAB EAD AB AD=∠=∠=(),ABC ADE SAS ∴≅.BC DE ∴=考点：三角形全等的判定．27、（1）见解析；（2）CD =3；（3）见解析；（4）【解析】试题分析：迁移应用：（1）如图2中，只要证明∠DAB=∠CAE ，即可根据SAS 解决问题；（2）结论：．由△DAB ≌△EAC ，可知BD=CE ，在Rt △ADH 中，DH=AD•cos30°=2AD ，由AD=AE ，AH ⊥DE ，推出DH=HE ，由，即可解决问题；拓展延伸：（3）如图3中，作BH ⊥AE 于H ，连接BE ．由BC=BE=BD=BA ，FE=FC ，推出A 、D 、E 、C 四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC 是等边三角形；（4）由AE=4，EC=EF=1，推出AH=HE=2，FH=3，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得HFBF=cos30°，由此即可解决问题．试题解析：迁移应用：（1）证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠CAE，在△DAE和△EAC中，DA=EA，∠DAB=∠EAC，AB=AC，∴△DAB≌△EAC，（2）结论：CD=3AD+BD．理由：如图2-1中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD=CE，在Rt△ADH中，3，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，∵3AD+BD=233．拓展延伸：（3）如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C关于BM对称，∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC=∠AEC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等边三角形，（4）∵AE=4，EC=EF=1，∴AH=HE=2，FH=3，在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，∴HFBF=cos30°，∴2332．。
2021年北京市东城区中考二模数学试题
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
4.99
4.56
4.33
4.23
4.53
4.95
A． B． C． D．
3．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．﹣2B．﹣ C．0D．
4．已知点 在抛物线 上，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
5．如图，小明从A处出发沿北偏东 方向行走至B处，又从B处沿南偏东 方向行走至C处，则 等于（）
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的长．
22．在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ，直线 与x轴交于点 ．
（1）求 的值；
（2）已知点 ，过点P作平行于x轴的直线，交直线 于点C，过点P作平行于y轴的直线交反比例函数 的图象于点D，当 时，结合函数的图象，求出n的值．
23．教育未来指数是为了评估教育系统在培养学生如何应对快速多变的未来社会方面所呈现的效果．现对教育未来指数得分前35名的国家和地区的有关数据进行收集、整理、描述和分析后，给出了部分信息．
（以上数据来源于《国际统计年鉴（2018）》和国际在线网）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国香港的教育未来指数得分排名世界第______；
（2）在35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图中，包括中国香港在内的少数几个国家和地区所对应的点位于虚线l的上方，请在图中用“○”画出代表中国香港的点；
14九年级数学二模
东城区2021—2022学年度第二学期初三年级统一测试（二）数 学 试 卷 2022.6一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．国家速滑馆又称“冰丝带“，是2022年北京冬季奥运会唯一新建的冰上竞赛场馆．它采用全冰面设计，冰面面积达12000平方米．将12000用科学记数法表示应为 A ．0.12×105 B ．1.2×104 C ．1.2×105 D ．12×103 2．如图是某一几何体的展开图，该几何体是A ．三棱柱B ．四棱柱C ．圆柱D ．圆锥 3．如图，点O 在直线AB 上，OC ⊥OD ．若∠BOD ＝30°，则∠AOC 的大小为A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D5．方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是A ．12x y =⎧⎨=⎩，．B ． 32x y =-⎧⎨=-⎩，．C ．21x y =⎧⎨=⎩，．D ．23x y =⎧⎨=⎩，．6．下列运算结果正确的是A ．32a a -=B ．248a a a ⋅=C ．()()2224a a a +-=-D ．()22a a -=-7．在平面直角坐标系中，将M （4，5）向左平移3个单位，向上平移2个单位，则平移后的点的坐标是A ．（1，3）B ．（7，7）C ．（1，7）D ．（7，3）8．从1980年初次征战冬奥会，到1992年取得首枚冬奥会奖牌，再到2022年北京冬奥会金牌榜前三，中国的冰雪体育事业不断取得突破性成绩．历届冬奥会常被分成两大类：冰项目和雪项目．根据统计图提供的信息，有如下四个结论：①中国队在2022年冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以来最多的一次； ②中国队在2022年冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次； ③中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数逐年提高；④中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在2022年首次超越冰上项目奖牌数． 上述结论中，正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分式1+x x的值为0，则x =_________． 10．分解因式：221218x x -+＝___________________．11．写出一个当x ＞0时，y 随x 增大而增大的函数表达式_________． 12．计算222a a a+--的结果是 ．13．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm ，则蜡烛火焰的高度是 cm ．14．不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为 ．15．如图，在边长为1的正方形网格中，点A 、B 、D 在格点上，以AB 为直径的圆过C 、D 两点，则sin ∠BCD 的值为____________．16. 在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是 ．三、解答题（本题共68分，第17—21题，每小题5分，第22—23题，每小题6分，第24题5分，第25—26题，每小题6分，第27—28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：202211(1)()453--++︒．18．解不等式6438x x -≥-，并写出其正整数解．19．如图，在△ABC 中，AB AC =．求作：直线AD ，使得AD //BC ．小明的作法如下：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交BA 的延长线于点E ，交线段AC 于点F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧在∠EAC 的内部相交于点D ； ③画直线AD ．直线AD 即为所求.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：由作法可知：AD 平分∠EAC ．∴∠EAD =∠DAC （ ）．（填推理的依据） ∵AB =AC ， ∴∠B =∠C .∵∠EAC =∠B +∠C ， ∴∠EAC =2∠B .∵∠EAC =2∠EAD ，∴∠EAD = ． ∴AD ∥BC （ ）．（填推理的依据）20．已知关于x 的一元二次方程22021x kx k --=+．（1）不解方程，判断此方程根的情况；（2）若x =2是该方程的一个根，求代数式2285k k -++的值．21．如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DA ，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．（1）求证：四边形AEBD 是菱形；（2）若DCtan ∠DCB ＝3，求菱形AEBD 的边长．BCA22．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线(0)ky k x=≠经过点(21)A -，，直线l ：2y x b =-+经过点(2,2)B - ． （1）求k ，b 的值；（2）过点P (n ，0)(n ＞0)作垂直于x 轴的直线与双曲线(0)ky k x=≠交于点C ，与直线l 交于点D ． ①当n =2时，判断CD 与CP 的数量关系；②当CD ≤CP 时，结合图象，直接写出n 的取值范围．23．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠BAC =90°，在CB 上截取CD =CA ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AD ，以点A 为圆心，AE 长为半径作圆⊙A ． （1）求证：BC 是⊙A 的切线；（2）若AC =5，BD =3，求DE 的长．24．某研究中心建立了自己的科技创新评估体系，并对2021年中国城市的科技创新水平进行了评估．科技创新综合．．指数和科技创新效率．．指数组成（以下简称：综合指数、总量指数和效率．．指数由科技创新总量指数）．该研究中心对2021年中国城市综合指数得分排名前40的城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．综合指数得分的频数分布表（数据分成6组：65.0≤x＜70.0，70.0≤x＜75.0，75.0≤x＜80.0，80.0≤x＜85.0，85.0≤x＜90.0，90.0≤x＜95.0）；b．综合指数得分在70.0 70.4 70.6 70.7 71.0 71.0 71.1 71.2 71.8 71.9 72.5 73.8 74.0 74.4 74.5 74.6c. 40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：（数据来源于网络《2021 年中国城市科技创新指数报告》）根据以上信息，回答下列问题：1．综合指数得分的频数分布表中：m=_______；2．40个城市综合指数得分的中位数为______________；3．以下说法正确的是________；①某城市科技创新效率指数得分排名第1，某市的总量指数得分大约是86.2分；②大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数．25．小强用竹篱笆围一个面积为94平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程． （1）建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x 米，则矩形小花园的另一边长为 米（用含x 的代数式表示），若总篱笆长为y 米，请写出总篱笆长y （米）关于边长x （米）的函数关系式 ； （2）列表；＝ ，；（3）描点、画出函数图象：如图，在平面直角坐标系xOy 中，将表中未描出的点(2，a )，(92，b )补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；（4）解决问题：根据以上信息可得，当x ＝ 时，y 有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为 米．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+1y ax bx =+(a ≠0)的对称轴是直线x ＝3.（1）求抛物线与y 轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）；（3）若抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，且AB ≤4，求a 的取值范围．27．在△ABC中，AB=AC，∠CAB＝2α，在△ABC的外侧作直线AP（90°－α＜∠P AC＜180°－2α），作点C关于直线AP的对称点D，连接AD、BD，BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接CE，求证：∠ACE＝∠ABE；（3）过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE、2EF、DE之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P（3，0）的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G，l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点.（1）如图1，已知A（2，2）B（3，3），写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d（AB，x轴）=__________；（2）已知点C（3,2），⊙CC关于x轴的最佳射影距离d(⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；（3）直接写出点D（0l的最佳射影距离d（点D，l）的最大值．图1 备用图A P。
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东城区2021-2021 学年第二学期九年级统一测试（二）数学试卷2018.5 一、选择题(本题共16 分，每小题2 分)下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的1.长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11 省市，面积约2 050 000 平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000 用科学记数法表示应为（）A.205 万B. 205⨯104C. 2.05⨯106D. 2.05⨯1072.在平面直角坐标系xOy 中，函数y = 3x +1的图象经过（）A.第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限3.在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不．可．能．是多边形的是（）A.圆锥B. 圆柱C. 球D. 正方体4.七年级1 班甲、乙两个小组的14 名同学身高（单位：厘米）如下：甲组158 159 160 160 160 161 169 乙组158 159 160 161 161 163 165以下叙述错．误．的是（）A.甲组同学身高的众数是160B. 乙组同学身高的中位数是161C. 甲组同学身高的平均数是161D. 两组相比，乙组同学身高的方差大5.在平面直角坐标系xOy 中，若点P (3, 4)在e O 内，则e O 的半径r 的取值范围是（）A.0＜r＜3 B. r＞4 C. 0＜r＜5 D. r＞56. 如果3a2 +5a -1 = 0 ，那么代数式5a (3a + 2)-(3a+2)(3a - 2)的值是（）A. 6B. 2C. - 2D. - 67.在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是（）A.图2B. 图1 与图2C. 图1 与图3D. 图2 与图38.有一圆形苗圃如图1 所示，中间有两条交叉过道AB，CD，它们为苗圃e O 的直径，且AB⊥CD. 入口K 位于»AD 中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x，与入口K 的距离为y，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2 所示，则该园丁行进的路线可能是（）A. A →O →DB. C→A→O → BC. D →O →CD. O→D→B→C二、填空题(本题共 16 分，每小题 2 分)9．若分式 x x 2+ 2的值为正，则实数 x 的取值范围是 .10．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离为 1，到 y 轴的距离为 2.写出一．个．符合条件的点 P 的坐标 .11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8. e O 是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点 A 在优弧 BC 上，则 tan ∠ABC 的值为.第 11 题图第 15 题图12. 抛物线 y = mx 2+ 2mx +1 （ m 为非零实数）的顶点坐标为.13．自2008 年9 月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018 年5 月8 日5 时52 分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50 亿立方米. 已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的2 倍多1.82 亿立方米，求河北四库来水量. 设河北四库来水量为x 亿立方米，依题意，可列一元一次方程为.14.每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为；若该社区有10 000 人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为.15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，P 分别在x 轴、y 轴上，∠APO = 30︒. 先将线段PA 沿y 轴翻折得到线段PB ，再将线段PA 绕点P顺时针旋转30°得到线段PC ，连接BC . 若点A 的坐标为(-1, 0) ，则线段BC 的长为.16.阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：小东的作法如下：老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是.三、解答题(本题共 68 分，第 17-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26-27， 每小题 7 分，第 28 题 8 分)17．计算： -3 - 2sin 60︒+ (-2)3+ 12 .18． 解不等式1- (2 - x )＞ 4(x - 2) 3，并把它的解集表示在数轴上.19. 如图，在Rt △ABC 中， ∠C = 90︒ ， AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 AB 于点 E .(1)求证： △ADE ≌△ABC ;(2)当 AC = 8 ， BC = 6 时，求 DE 的长.20. 已知关于 x 的一元二次方程kx 2- 6x +1 = 0 有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围；(2)写出满足条件的k 的最大整数值，并求此时方程的根.21．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =α，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF，连接DF.（1）求证：BE=DF；（2）连接AC，若EB=EC ，求证：AC ⊥CF .22.已知函数y =1的图象与函数y =kx (k ≠ 0)的图象交于点P (m, n). x（1）若m = 2n ，求k 的值和点P 的坐标；（2）当m ≤ n 时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.23．如图，AB 为e O 的直径，直线BM ⊥AB 于点B .点C 在e O 上，分别连接BC ，AC ，且AC 的延长线交BM 于点D . CF 为e O 的切线交BM 于点F.（1）求证：CF =DF ；（2）连接OF . 若AB = 10 ，BC = 6 ，求线段OF 的长.24．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国. 十九大报告再次明确，到2035 年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键.截止到2013 年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1 全国森林面积和森林覆盖率表2 北京森林面积和森林覆盖（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：(1)从第次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率；(2)补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；(3)第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为a，全国森林覆盖率21.63%记为b，到2018 年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到27.15%，那么全国森林面积可以达到万公顷（用含a 和b 的式子表示）.25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4 平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整：建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x 米，篱笆长为y 米.则y 关于x 的函数表达式为;列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了x 与y 的几组值，如下表：描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当x = 时，y 有最小值.由此，小强确定篱笆长至少为米.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax2 +bx - 3(a ≠ 0)经过点A(-1, 0)和点B (4，5)．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM＜PN 时，求点P 的横坐标xP的取值范围．27.如图所示，点P 位于等边△ABC 的内部，且∠ACP=∠CBP．(1)∠BPC 的度数为°；(2)延长BP 至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．①依题意，补全图形；②证明：AD+CD=BD；(3)在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．28.研究发现，抛物线y =1x2 上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：y =-1的4距离相等.如图1 所示，若点P 是抛物线y =1x2 上任意一点，PH⊥l 于点H，4则PF =PH .基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d，称d 为点M 关于抛物线y =1x2 的4关联距离；当2≤d≤4 时，称点M 为抛物线y =1x2 的关联点.4（1）在点M1 (2，0)，M2(1，2)，M3(4，5)，M4(0，-4)中，抛物线y =1x2 的4关联点是；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点A(t，1) ，点A(t+1，3)C( t.①若t=4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线y =1x2 的关联距离4d 的取值范围；②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线y =1x2 的关联点，则t 的取值范4围是.东城区 2017-2018 学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试题卷参考答案及评分标准 2018.5一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CACDDACB二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9. x ＞010. (2，1)，(2，-1)，(-2，1)，(-2，-1)（写出一个即可） 11. 212.(-1,1- m )13. x + (2x +1.82) = 5014. 120 ；3 00015. 216. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共 68 分，17-24 题，每题 5 分，第 25 题 6 分，26-27 题，每 小题 7 分，第 28 题 8 分）17.解：原式=3-2⨯3 -8+2 2------------------------4 分= 3 - --------------------------------------------------- 5 分18. 解：移项，得1(x - 2)＜1 ，3去分母，得 x - 2＜3 ， 移项，得 x ＜5. ∴不等式组的解集为 x ＜5. --------------------------------3 分23⎩ -------------------5分19.证明：（1）∵DE垂直平分AB,∴ ∠AED = 90︒.∴∠AED =∠C .∵∠A =∠A ，∴ △ADE∽△ABC .----------------------------------------------2 分(2) Rt△ABC 中，AC = 8 ，BC = 6 ，∴AB = 10 .∵ DE 平分AB ，∴A E = 5.∵ △ADE∽△ABC ，DE AE∴=.BC AC∴ DE=5.6 8∴DE =154. --------------------------------------------------5 分⎧⎪k ≠ 0,20. 解：（1）依题意，得⎨⎪∆=(-6)2 - 4k＞0解得k＜9且k ≠0 . ------------------------------------------2 分(2) ∵ k 是小于9 的最大整数，∴ k=8 .⎨⎩此时的方程为8x 2- 6x +1 = 0 .1 1 解得 x 1 = 2， x 2 = 4.---------------------------------------------5 分21 . (1) 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BC =DC ，∠BAD =∠BCD = α . ∵∠ECF = α ， ∴ ∠BCD =∠ECF .∴ ∠BCE =∠DCF .∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到， ∴ CE =CF .在△BEC 和△DFC 中，⎧BC = DC ， ⎪∠BCE = ∠DCF ⎪CE = CF ， ∴ △BEC ≌ △DFC (SAS ).∴ BE =DF . ----------------------------------------------------2 分 (2) 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ ∠ACB =∠ACD ， AC ⊥ BD . ∴ ∠ACB +∠EBC = 90︒. ∵ EB =EC ， ∴ ∠EBC =∠BCE . 由（1）可知， ∵ ∠EBC =∠DCF ， ∴ ∠DCF +∠ACD = ∠EBC + ∠ACB = 90︒ .∴∠ACF = 90︒.∴ AC ⊥CF . --------------------------------------------------------5 分22. 解：（1）k =1，P⎛2，2 ⎫，或P⎛- 2，-2 ⎫;------------------------3 分2 2 ⎪ 2 ⎪⎝⎭⎝⎭(2) k≥1. ----------------------------------------------5 分23. （1）证明：∵ AB 是e O 的直径，∴∠ACB = 90︒.∴∠DCB = 90︒.∴∠CDB +∠FBC = 90︒.∵ AB 是e O 的直径，MB⊥AB ，∴MB 是e O 的切线.∵ CF 是e O 的切线，∴FC =FB .∴∠FCB=∠FBC .∵∠FCB +∠DCF = 90︒,∴∠CDB=∠DCF .∴CF =DF . -----------------------------------------------------3 分（2）由（1）可知，△ABC 是直角三角形，在Rt△ABC 中，AB=10 ，BC=6 ，⎩根据勾股定理求得 AC =8 . 在Rt △ABC 和Rt △ADB 中，⎧∠A = ∠A ， ⎨∠ACB = ∠ABD ∴ Rt △ABC ∽ Rt △ADB . ABAC ∴=.ADAB∴10 = 8 . AD 1025∴ AD = .2由（1）知，∵ CF =DF ， CF =BF ， ∴ DF =BF . ∵ AO =BO ，∴ OF 是△ADB 的中位线. ∴ OF = 1 AD =25 . -----------------------------------------------5 分2424. 解：(1)四；---------------------------------------------------------------------1 分（2）如图：-----------------------------------------------------------------3 分（3）543a2000b.------------------------------------------5 分25. 解：y = 2⎛x +4 ⎫；----------------------------1 分x ⎪⎝⎭8 ，10 ；--------------------------------3 分如图；--------------------------------4 分2，8. -------------------------5 分⎩ 26. 解：（1）把点(-1，0) 和(4，5) 分别代入y = ax 2 + bx - 3(a ≠ 0) ，⎧ 0 = a - b - 3，得 ⎨⎩5 = 16a + 4b - 3解得 a =1，b = -2 ． ∴抛物线的表达式为y = x 2 - 2x - 3． ---------------------------------------------2 分（2）设点 B (4，5) 关于 x 轴的对称点为 B ' ，则点 B ' 的坐标为(4，-5) .∴直线 AB 关于 x 轴的对称直线为直线 AB ' . 设直线 AB ' 的表达式为 y = mx + n ， 把点(-1，0) 和(4，- 5) 分别代入 y = mx + n ，⎧ 0 = -m + n ，得 ⎨-5 = 4m + n ，解得 m = -1，n = -1．∴直线 AB ' 的表达式为 y = -x -1．即直线 AB 关于 x 轴的对称直线的表达式为 y = -x -1. -----------------4 分（3）如图，直线 AB ' 与抛物线 y = x 2- 2x - 3交于点C .设直线l 与直线AB'的交点为N '，则PN ' =PN ．∵PM <PN ，∴PM <PN ' .∴点M 在线段NN'上（不含端点）．∴点M 在抛物线y =x2 - 2x - 3 夹在点C 与点B 之间的部分上．联立y =x2 - 2x - 3与y =-x -1，可求得点C 的横坐标为2．又点 B 的横坐标为4，∴点P 的横坐标xP 的取值范围为2 <xP< 4 ．-------------------------7 分⎨ ⎩27. 解：(1)120°. ------------------------2 分(2)①∵如图 1 所示.②在等边△ABC 中， ∠ACB = 60︒ ，∴ ∠ACP + ∠BCP = 60︒.∵ ∠ACP =∠CBP∴ ∠CBP + ∠BCP = 60︒.∴ ∠BPC = 180︒ - (∠CBP + ∠BCP ) = 120︒.∴∠CPD =180︒ - ∠BPC = 60︒. ∵ PD =PC∴ △CDP 为等边三角形.∵ ∠ACD + ∠ACP = ∠ACP + ∠BCP = 60︒∴ ∠ACD = ∠BCP .在△ACD 和△BCP 中，⎧ AC = BC ， ⎪∠ACD = ∠BCP ，⎪CD = CP ， ∴ △ACD ≌△BCP (SAS ).∴ AD = BP .∴ AD + CD = BP + PD = BD . ----------------------------------------------4 分（3）如图 2，作 BM ⊥AD 于点 M ， BN ⊥DC 延长线于点 N .∵ ∠ADB =∠ADC - ∠PDC = 60︒∴ ∠ADB =∠CDB = 60︒.∴ ∠ADB =∠CDB = 60︒.∴ BM =BN = BD = 3. 2又由（2）得， AD + CD = BD =2 ∴ S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD= 1 AD g BM + 1 CD g BN2 2=3 ( A D + CD ) = 2 3 ⨯ 2 2 ---------------------------7 分28. (1) M 1，M 2 ；-------------------------------------------------2 分（2）①当t = 4 时， A (4，1)， B (5，1) ， C (5，3) ， D (4，3)，此时矩形 ABCD 上的所有点都在抛物线 y = 1 x 2 的下方，4∴ d = MF .∴ AF ≤d ≤CF .3 = 3.3 ∵ AF =4，CF = ∴ 4≤d ≤ 29 . ------------------------------------------ 5 分 ② -2 3≤t ≤2 1. ---------------------------------8 分 29。