伴随矩阵的性质和应用

伴随矩阵的性质及其应用

摘要：

伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。 (1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。 本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质

1、 伴随矩阵的定义

定义 1.设ij A 是矩阵A =?????

??

????

?????nn n n n n a a a a a a

a a a Λ

Λ

M O M M M O M

M ΛΛΛΛ21222

2111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=?????

??

?

???

?????nn n n n n A A A A A A

A A A Λ

Λ

M O M M M O M

M ΛΛΛΛ

2

122221112

11称为A 的伴随矩阵。 定义2.设A 为n 阶方阵，如果有矩阵B 满足AB=BA=E,则B 就称为A 的逆矩阵，记为B=1-A 。

*注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。

2、伴随矩阵的性质

性质1.设A 为n 阶方阵，AA

*

=A *A=A E .

证明：由行列式按一列（行）展开:AA *=A *

A=?????

??

??????

???d d d 0

000000O M M O M M

ΛΛΛΛ

=d E, 其中d =A 。 性质2.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 非退化，即A

A A A *

1

,0=≠-且.

证明：若A ≠0，则A 可逆，且1

-A =A

A *

；反之，若A 可逆，则有AA -1 =E ，所以|AA -1|=|A||A -1|=1

故|A|=0.即A 非退化。

性质3.1.若A 为非奇异矩阵，则1*1*)()(--=A A . 证明：因为1

11)(--=

A k

kA ，由性质2两边取逆可得 1*)(-=A A A 故A A

A =

-1*)(， 另一方面，由性质2 有A A

A A A A A A 1

)()*()(1)*11*11

11=

?==------（， 由1*1*)()(--=A A .

性质3.2.设A 为n 阶矩阵，则秩A *=???

??-≤-==时，当秩时，当秩时　，当秩2011n A n A n A n .

证明：（1）当秩A=n 时，则,0≠A A 是可逆的，即有1-A 存在，所以 1*-=A A A .可见，秩*A =n 。

反之，当秩*A =n 时，*A 可逆时，则有1*)(-A 存在，所以

A =A 1*)(-A ,有A ≠0，因A=0，从而*A =0，这与秩*A =n 矛盾，所以A ≠0，于是秩

（A ）=n ；

（2）当秩（A ）=1-n 时，则A 必有一个1-n 阶子式不为0，即*A 中至少有一个元素不为0，所以，秩（*A ）1≥，另外秩（A ）=1-n .则A =0，于是，.0*==E A AA

从而，秩（A ）+秩（*A ）.1.1),**=≤≤）

这便知秩（故秩（A A n 反之，若秩（*A ）=1，则*A 中必有一个ij 0A ≠，即是说A 必有一个n-1阶子式不为零，故秩n-1A ≥但

不能有秩（A ）=n ，否则，有秩*A =n ，而n ，2≥这样与秩1)(*=A 矛盾，所以秩（A ）≠n ，则（A ）

≤1-n ，因此,秩（A ）=1-n .

（3）当秩（A ）<1-n 时，则A 中一切1-n 阶子式均为0，于是一切,0=ij A 0*=A 所以，这时有秩

,0)(*=A 反之，若秩,0)(*=A 则，即一切0,0ij *==A A 亦即A 的一切1-n 阶子式为0，所以秩（A ）

<1-n .

该性质可以用来求A 的伴随矩阵的秩，A 的秩可以直接求出，通过A 的秩可以直接求出A 的伴随矩阵.

性质4.秩A A 秩≤*. 性质5.*A =A

1

-n ，其中A 是n 阶方阵（n ≥2）.

证明：若A ≠0，Θ AA *=A E ，∴ *AA =A n

?A *A =A

n

?*A =A

1

-n

若A =0，这时秩A *≤1，∴*A =0，而也有*A =A 1

-n

综合得*A =A

1

-n .

性质6.若A 是n 阶非零实矩阵，0,*≠='A A A 则.

证明：用反证法，若，，则00*==='=E A AA A A A 令一方面，设A=n n ij a ?∈R ）（

AA '=*AA =?????

?

?

????????

?

?

????

?∑∑∑===n

i ni n

i i

a a 121

2

2n

1

i 2

i 1a Λ

Λ

Λ

ΛM ΛΛΛM M ΛΛΛM M ΛΛM Λ

ΛΛ

Λ=0 （2） 由（2）式主对角元素均等于0，可得),,,2,1,(,0n j i a ij Λ==此即A=0，这与非零矩阵的假设矛盾，0≠∴A .

条件A 是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设A=,11?

??

???-i i 则0,*=='A A A 但 性质7. 令A,B 为n 阶矩阵，则 （1）A 对称?对称；*A

（2）A 正交正交；*A ?

（3）若A 与B 等价，则也等价；与**B A （4）若A 与B 相似，则也相似；与**B A （5）若A 与B 合同，则也合同；与**B A （6）A=B **B A =?； （7）A 正定?正定；*A

（8）A 为可逆矩阵?为可逆矩阵；*A

（9）如果A 是可逆矩阵，那么A 为反对称?.*为反对称A 证明：这里只证（1），（2），其余的这里就不再证明了。 (1) 为对称矩阵****,)()(A A A A T T ∴==Θ;

(2) 因为A 是正交矩阵， 故

E E A A A A A A E AA T T T T =====******)()()(,?*A 是正交矩阵.

从该性质我们看到方阵有很多的性质是能“遗传”给它的伴随矩阵的，因此我们在不求矩阵伴随的时候就能通过原矩阵的性质去判断伴随矩阵的性质了。 性质8.T A A )()(***=.

性质9. 一切n n A ?（不一定A 非奇异）都有.)(2

**A A A n -=

证明：,1

*-=n A

A

（i ）当秩A=n 时，可逆，A A ,0≠用1-A 左乘式子A E A A =*两边得，1*-=A A A 用A 换A *得，

A A A

A A

A A A n n 2

1

1****)(

)()(---=== (ii)当秩A ≤n-1时，则秩,1*≤A ，从而秩（0),0**==A A 则A A

A 2

-n **0)(==,综合即证

.)(2

**A A

A n -=

该性质讨论了A 的伴随矩阵的伴随矩阵和A 的关系，一些问题会涉及此性质，应多加注意. 性质10.若A 为n 阶矩阵，则*)(aA =a 1-n A * . (a 为实数) 证明：设A=n n ij a ?)(再设()*aA =n n ij b ?)(，

那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式（n-1阶行列式），

其中每行提出公因子a 后，可得),....,2,1,(1n j i A a b ji n ij ==-，

由此即证*)(aA =a 1-n A *.

数乘矩阵的伴随矩阵可以用该性质很好的得出，本性质是一些选择、填空常考点.

性质11.设A,B 均为n 阶方阵，则

***)A B AB =（. 证明：当，，时，这时000≠≠≠B A AB 由公式，1*-=A A A 可得,)()**111*A B A A B B AB AB AB ===---（

当,)(,0E B B E A A AB λλλλ-===—）（时，考虑矩阵由于A 和B 都最多只有 限个特征值，因为存在无穷多个λ使0)(,0)(≠≠λλB A （3） 那么由上面的结论有（A(λ)B(λ)）*=)()(**λλA B （4） 令（A(λ)B(λ)*=*,))((B f n n ij ?λ（λ）A =)(*λn n ij g ?))((λ，则有

),,2,1,(),()(n j i g f ij ij Λ==λλ （5）由于有无穷多

个λ使（5）式成立，从而有无穷多个λ使（5）式成立，但 )(),(λλij ij g f 都是多项式，从而（3）式对一切λ都成立，特别令λ=0，这时有**

*

*

*

*

*

)0()0())0()0(()(A B A B B A AB ===.

该性质是一些题目的常考点，把求AB 的伴随矩阵转化为求A 的伴随矩阵和B 的伴随矩阵的问题，

可以很有效的解决问题.

性质12.如果矩阵A 可逆，令λ为它的特征值，α是A 的属于λ的特征向量，则*A 的特征值是

λ

1

-A ,α是*A 的属于λ

1

-A 的特征向量.

证明： 由于A 可逆，所以λ≠0，由于A α=λα，左边乘以*A 得，*A A α=λ*A α，故

*A α=αλ1-.

性质13.若A 为n 阶方阵且矩阵的行列式不为零，那么*A 可表示为A 的多项式形式.

证明：A 的特征多项式是.)(0111a a L a f n n n ++++=--λλλλ因为A 可逆，所以.0)1(0≠-=A a n 由哈密顿-凯莱定理知,0)(=A f 即

00111=++++--E a A a L A a A n n n

E A E a L A a A a n n n =+++-

---)(1

12110

右乘,*A 得：*12110

)(A E a L A a A a A n n n =+++-

---

故)()1(12111*E a L A a A A n n n n +++-=----.

该性质把A 的伴随矩阵转化为A 的多项式形式，这是求A 的伴随矩阵的简单有效方法.

3.伴随矩阵性质的应用

例1 设*

11*1)()(,300220111---????

?

?????=A A A A 的伴随矩阵，则求是. 解 ： 由性质1， 因为.),1*11*1A

A

A A A E A A A =

==?----有（ 本题，

6=A 所以???????

???

????

?

?=??????????=-210

0313106161

6130022011161)*1A （. 此题是求 A 的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂，可用性质1方便简捷的求出.

例2 若1,100110111-??

??

?

?????=A A 求. ，，，解：1100110011100110111*=??????????--=∴??????????=A A A Θ????

???

???--==-1001100112*

1

A A A 得，由性质. 此题比较常见，求A 的逆矩阵问题，可以根据性质2的公式求出.

例3已知3阶矩阵A 的逆矩阵为,3111211111??

??

?

?????=-A 试求伴随矩阵*A 的逆矩阵. 解：??????????=-3111211111A Θ ，??

??

?

?????----=∴-101022525)(*1A ,由性质3得，*11*)()(--=A A ,所以??

??

?

?????----=-101022525)(1

*A . 此题把求A 的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求A 的逆矩阵的伴随矩阵问题，这样根据性质3可以很容易的得出.

例4 若 *

,5203100022

1A A 则求????

??????=. 解 ： 16

16,415

203100

02)21(2

*3==-=

=A A A 得，由性质. 例5 已知A=**),200110121A 求（??

??

?

?????. 解：????

?

?????=200110121,A Θ， A =200110121,由性质10知 *

*)A （=400220242213==-A A A . 例6 若已知A *=*

2,100110011）求（A ????

?

?????--. 解 ： 由性质11可直接得??

???

?????--==?=40044004442)2(**2*A A A . 此题考查的是数与矩阵的乘积的伴随矩阵问题，用性质10可以很方便的得出.

例7 设A 为三阶矩阵，A 的特征值为1，5，7.试求行列式E A 2*-.

解 ： 因为A =,35751=??由性质13知，*A 的特征值分别为35,7,5.于是E A 2*-的特征值为35-2=33,7-2=5,5-2=3.故49535332*=??=-E A .

例8 求矩阵A 的伴随矩阵*A .

A=??

??

??????--201034011. 解 :矩阵A 的特征多项式为：)(λf =25423-+-=-λλλλA E ,因,020≠-=a 所以A 可逆，

由性质14知)54()1(213*E A A A +--=-=??

??

?

?????---113028026. 以上在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质；并在此基础

上讨论了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

经过这多时间对所学知识的掌握和了解，可以更加进一步了解伴随矩阵在数学中的地位和作用，在解决复杂的数学问题时，能够更加灵活运用它来解决实际问题其实数学知识不在于举多少例子，关键在于能够真正理解了其涵，并且能够熟练地把其运用到生活中创造它的价值. 无论是对于

教师还是学生来说，熟练掌握了这些性质和应用，就能够使自己对伴随矩阵的理解和认识更全面和更深刻。

参考文献

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