第六章--一阶电路

L
说明iL(0)记忆了- ∞<t<0的作用结果
五、 电感的储能特性
1、线性电感元件吸收的功率
P
ui
iL
di (t) L
dt
2、线性电感元件吸收的能量
1）从-∞到 t时刻，电感吸收的能量
W( L
t
)
t
-
pdt
t
-
i
u
d
t
t -
L
diidt dt
i(t) Lidi
i ( - )
1 2
Li2(t)
1 2
t2 2
)
7.5
i(4) 5 2.5(16 8 7.5) 3.75A
二、练习题1-10 Us(t)=Umcos(ωt), is(t)=Ie-αt, 求UL(t)，ic2(t)
C1 L
(1)i L
i s
Ieαt
is
+ UL- R C2 ic2
+ Us
U L
L di dt
α L I eα t
-
c
（t2）
Wc（t） 1
此时间内，电容吸收能量，反之，电容释放能量
例：电路如图(a)所示, 电容上的电流波形如图 (b)所示，求电压u（t），并画出波形
i
i/A
1）i函数
U 0.5F 图(a)
1
12 图(b)
0
t0
t/s
i(t)
t t
2
0 t 1 1t2
0
2t
2）u(t)
u(t 0
)
1 c
t
t0
i(ξ)d(ξ)
0 t 1：
u ( t ) u ( 0 ) 1 ti ( ξ ) d ( ξ ) 1 ξ2 t t2
C0
0.5 2 0
U(1 ) 1 V
1 t 2：
u(t) u(1) 1
t
i(ξ)d(ξ)
C1
u(1) 1
t
(
-
ξ
2
)
d
(
ξ
)
1
2
(ξ2
t 2ξ)
0.5 1
2
1
一般可认为：u（ - ∞）=0，则 Wc（- ） 0 Wc 1 CU（2 t） 2
2）从t1到t2时刻电容吸收的能量：
Wc
t2 t1
u.c
dudt dt
c udu u(t2 ) u ( t1 )
1 cu2(t
2
2
)
1 cu2(t )
2
1
Wc(
t 2
)
W
c(t1
)
电容充电时，
U（t2）
U（
t），即W 1
六、电容的储能特性
iC
1、线性电容元件吸收的功率
+U-
P ui ucdUc(t)
2、电容元件吸收的电场能量
dt
1）若t = - ∞到 t 时刻，电容吸收的能量
Wc
t
-
pd
t
t
-
u
id
t
t
-
u
.
c
d d
ud t
t
cudu u(t) u ( - )
1 2
c
u2(
t
)
1 2
c
u2(
-
)
Wc(t) Wc(-)
若电路换路时刻 t0 =0，则 电容电压的初始值为：Uc（0+） 电感电流的初始值为：iL（0+）
•初始条件：求解电路微分方程所需t0+ 时刻各电流电压值。
初始状态与初始条件的确定：
1、动态元件uc(t0＋) 和iL(t0＋)：
根据换路前的电路求出 uc(t0-) 和 iL(t0-)或uc(0-) 和 iL(0-) 。
(2
)ic 2
C2
dUc dt
C2
dUs dt
C2ω Umsin(ω t)
习题：1-5，1-7，1-8，1-9
答案：1 5
18
Uc(1) 5 V ,Uc(2) 5V ,Uc(4) 5V 4
(1)ic
c
duc dt
,
20~~42mmss,,icic
2mA 2mA
0 ~ 2ms, q 2t (2)q CU , 2 ~ 4ms, q 2t 8
含有三个或三个以上独立的动态元件为高阶电路。 （电路方程为高阶常系数微分方程）
1
$ 1-6 电容元件（9）——电容器的理想电路模型
一、电容器的组成：
上下两块金属板，中间是介质
++ i +-
-
（云母、电解质、绝缘纸等）
+-
二、作用原理：极板上加电压，分别聚集等量正负电荷，
并在介质中建立电场，具有电场能量。移去电源后，电
Li2(t 1
)
W (t L2
)
W (t L1
)
电流i增加时，
i(t ) 2
i
(
t 1
)，即W（L t2）
W（t ）
L
1
此时间内，电感吸收能量，反之，电感释放能量
电感器和电容器的几种电路模型：
1、电感器
R
R
L
L
LC
理想电感
2、电容器
C
考虑导线电阻 考虑高频影响
CG
L CG
理想电容
考虑漏电
考虑高频影响
5、初始状态与初始条件 t0+ 和 t0- ：若电路 在 t0 时刻换路，则 t0- 为换路前的一瞬
间， t0+ 为换路后最初的一瞬间（换路后的初始时刻）。
原始状态： t0- 时刻的电容电压u(t0-)和电感电流i(t0-) 值，它们反映了换路前电路所储存的能量。
•初始状态：t0+ 时刻的电容电压u(t0+)和电感电流i(t0+)值。
i(t)
dq(t) dt
c
du(t) dt
u(t)
1 c
t
i(t)dt
-----微分形式 （1）
1 c
0
i
(
t
)d
t
1 c
t
0
i
(
t
)
d
t
u
(0
)
1 c
t
0
i
(
t
)
d
t
——积分形式 （2）
若
t为 0
时
间
起
点
，
则
u
(
t)
u(t 0
)
1 c
t
t0
i(t)dt
五、电容电压的连续性和记忆性（重要性质）
1、连续性
荷继续保留，它是储存电荷或储存电场能量的器件
三、电容器的理想电路模型——电容元件
电容元件的图形符号：
C为电容参数，简称电容，正实常数 C=q(t) / u(t) 单位：法拉，法，F q(t) =Cu (t) 由此得库伏特性：
C
q
u
四、电容的伏安特性（设 I，U参考方向一致）
i (t) + C + u(t) -
• 过渡结束后，电路趋于稳态， L短路，C开路
3、动态电路方程— 因C和L伏安特性是微分或积分关系，
故建立的电路方程一定是动态电路方程（线性常微分方 程），求解线性常微分方程得到所求的变量响应。
(求解微分方程时，会产生积分常数，必须根据电路初始状 态及初始条件确定）
4、换路、暂态与稳态的概念
+
US
(t=t1) (t=0)
R C
uc
-
uc 稳
US 暂态 态
暂态
t
t1
换路：电路结构或参数发生突然变化。
暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
稳态：电路微分方程解中的暂态分量已衰减 到零。有两类稳态电路：
直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。 正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。 23
根据C和L的连续性
uc(t0＋) = uc(t0-) iL(t0＋)= iL(0-)
t0=0 iL（0+）= iL（0-）
Uc（0+）= Uc（0-）
2、电路中非动态元件的初始电流iL(0+)和电压Uc(0+)
1)画出 t0＋ 时刻的等效电路： 每一电感用一电流源替换，其值为 iL(t0＋)； 每一电容用一电压源替换，其值为 uc(t0＋)； 若独立源为时间函数，则取 t0＋ 时刻的函数值；
t2 4 t 2
U ( 2 ) 2 V
2t
u(t)
u(2)
1 C
t
2
i
(
ξ
)
d
(
ξ
)U
(
2
)
2V
2
3）U(t)波形如图：
1
12
$1-7 电感元件（12）——线圈的电路模型
一、线圈组成：导线绕制的线圈
（空心高频线圈、变压器中铁芯上绕制的线圈等）
二、作用原理：
i
1）当线圈通交流电流i ，产 生交流磁场，磁通链ψ （i
1
-3/2
t（ms）-1
2
t（ms）
$6-1 动态电路方程及其初始条件（123）
一、概念 1、动态电路——指含有电容或电感动态元件的线性电阻电
路。仅含一个电容或一个电感的电阻电路为一阶动态电路
2、动态电路特征——(根据C和L的伏安特性可知）
• 含有电容或电感的电阻电路稳态时， L短路，C开路
• 当电路结构或元件参数发生变化时(换路)，电路中的 C/L 有一个充电或放电过程——过渡过程 。
Li2(-)
W( L
t
)
W( L
-)
i(-)
0
W( L
-)
0
W（ L
t
）
1 2
Li（2 t）
2）从t1到t2时刻电感吸收的能量：
W ( L
t 1
,t
)
2
p t2 dt t1 Lid i(t2 ) i ( t1 )
it2 t1
u
d
t
i
1 2
Li2(
L t2 t1
t 2
)
d
d
1 2
iidt t
电感韦安特性：
ψ i
三、电感的伏安特性 (U,I参考方向一致)
i(t) L
+ u(t) -
U(t)
dΨ(t) dt(t)
L
di(t) dt
——微分形式（1）
i(t)
1 L
t
u(t)d L
t
0
u(t)dt
i(0)
1 L
t
0
u(t)dt
——积分形式（2）
上式可知：电感是动态元件，也是记忆元件
和ψ方向成右手螺旋法则）
（磁通链）2）简磁称通链韦 单位：韦伯，
3）根据电磁感应定律，线 圈中产生感应电压 ：
U
(
t
)
d
ψ( dt
t
)
二、电感元件 ——实际线圈的理想电路模型
图形符号：
i(t) L
+ u(t) -
L——自感系数或电感，是正实常数
L=ψ(t) / i(t) 单位：亨，H
(t) Li(t)
第六章 一阶电路
动态元件——元件的伏安关系涉及对电流、电压的微分或积分， 则称这种元件为动态元件，如电容、电感。
动态电路——包含至少一个动态元件的电路。
一阶动态电路—含有一个独立动态元件的电路。 （电路方程为 一阶常系数微分方程）
二阶动态电路——含有二个独立动态元件的电路。 （电路方程为二阶常系数微分方程）
2 1 0-3
1 V
i iL
U R
iL
t 2 1 0-3
1 2
1 234
0 -1
t（ms）
在t
2
-
4m
S
内,i L
t 4 103 2 103
A
U
UL
L iL dt
2 1 03 2 1 0-3
1V
i iL
U R
t 4 1 03 2 1 03
0.5A
I和U波形图如下：
i（A） U
0.5 1 3 4
应用举例：
一、练习题1-6：已知：L=4H，i（0）=0电压UL 的波形如图所示，试求当t=1S，t=2S，t=3S
和t=4S时的电感电流
i
i L
i( L
t 1
)
1 L
t
t1
U
L
d
t
+ U 4H
-
U/v
10
t/s
3
-10 2 4
(1)当0 t 2s时，U 10
i（t）
i(0)
1 L
t
0
Udt
0
1 4
10(t
0)
2.5t
i(1) 2.5A，i(2) 5A
U/v
10
(2)当2 t 3s时，U 0V
t/s
3 -10 2 4
i(t)
i(2)
1 L
t
2
Udt
i(2)
5A
i(3) i(2) 5A
(3)当3 t 4s时，U 10(4 t)
i(t)
i(3)
1 L
t
3
Udt
5
2.5(4t
2( A)
iL (0 ) iL (0 ) 2 A
由0＋等效电路可求得 i(0 ) 10 A
i (0+) 1Ω
10V
i1(0 ) 8A
uL (0 ) 8V
4Ω i1(0+)
2A
+ uL(0+)
-
二、一阶电路方程（描述动态过渡过程）
1、电阻电容串联电路（RC串联电路）
ic
根据KVL：
+
+
Us
由0＋等效电路可求得
100KΩ
iC(0+)
iC (0 ) (4 50 K ) 0.08(mA)
4V
100KΩ
例2：电路如图，已知电路换 i
路前已达稳态，求 uL(0＋) 、 i (0＋)、 i1(0＋) 和iL(0＋)。
1Ω
+ 4Ω
10V (t=0) i1
uL
iL -
解：
iL (0 )
10 1 4
2)对 t0＋ 等效电路求解，求出所需初始电流和电压。 25
例1：电路如图，已知 电路换路前已达稳态， 求 uc(0＋) 和 ic(0＋)。
25KΩ 5V
100KΩ
(t=0)
iC
+
uc - 100KΩ
解：
uC (0 )
100K 25K 100K
5
4(V )
uC (0 ) uC (0 ) 4V
0 ~ 2ms, p 2t (3) p ui, 2 ~ 4ms, p 2t 8
其它答案见书后
思考题：
一、在电感和电阻并联电路中，iL波形如图所示， 要求画出U和i的波形图。
+U -
在t 0 - 2mS时，
i
2Ω
2mH
iL