2013年高考理科数学广东卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(广东卷)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013广东，理1)设集合M ＝{x |x 2
＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2
－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )．
A ．{0}
B ．{0,2}
C ．{－2,0}
D ．{－2,0,2}
2．(2013广东，理2)定义域为R 的四个函数y ＝x 3
，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．(2013广东，理3)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )．
A ．(2,4)
B ．(2，－4)
C ．(4，－2)
D ．(4,2) 4．(2013广东，理4)
则X 的数学期望E (X )＝( )．
A ．32
B ．2
C ．5
2 D ．3
5．(2013广东，理5)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )．
A ．4
B ．143
C ．16
3 D ．6
6．(2013广东，理6)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．
A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n
B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n
C ．若m ⊥n
，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 7．(2013广东，理7)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，
离心率等于
3
2
，则C 的方程是( )． A ．2214x -= B ．22145x y -= C ．221
25x y -= D ．2212x =
8．(2013广东，理8)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三
条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( )．
A ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∉S
B ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∈S
C ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∈S
D ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∉S
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
(一)必做题(9～13题)
9．(2013广东，理9)不等式x 2
＋x －2＜0的解集为__________．
10．(2013广东，理10)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝__________. 11．(2013广东，理11)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为__________． 12．(2013广东，理12)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝__________.
13．(2013广东，理13)给定区域D ：44,4,0.x y x y x +≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
令点集T ＝{(x 0，y 0)
∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定__________条不同的直线．
(二)选择题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．(2013广东，理14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数
方程为,,
x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为
__________．
15．(2013广东，理15)(几何证明选讲选做题)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝
__________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(2013广东，理16)(本小题满分12分)
已知函数π()12f x x ⎛
⎫=
- ⎪⎝⎭
，x ∈R .
(1)求π6f ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫
⎪⎝⎭
，求
π23f θ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
.
17．(2013广东，理17)(本小题满分12分)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
18．(2013广东，理18)(本小题满分14分)如图(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，
E分别是AC，AB上的点，CD＝BE，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥
A′BCDE，其中A′O
图(1) 图(2)
(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．
19．(2013广东，理19)(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，
21212
33
n n S a n n n +=---，n ∈N *. (1)求a 2的值；
(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有
1211174
n a a a +++< .
20．(2013广东，理20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：
x －y －2＝0
的距离为
2
.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．
21．(2013广东，理21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2(k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k∈
1
,1
2
⎛⎤
⎥
⎝⎦
时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(广东卷)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．答案：D
解析：∵M ＝{－2,0}，N ＝{0,2}， ∴M ∪N ＝{－2,0,2}． 2．答案：C
解析：y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数；y ＝x 2
＋1为偶函数； y ＝2x 为非奇非偶函数．所以共有2个奇函数，故选C ． 3．答案：C
解析：由i z ＝2＋4i ，得z ＝
24i (24i)(i)
i i (i)
++⋅-=
⋅-＝4－2i ， 故z 对应点的坐标为(4，－2)．
4．答案：A 解析：E (X )＝1×
35＋2×310＋3×110＝1510＝32
. 5．答案：B
解析：方法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示，
其中上、下底面分别是边长为1,2的正方形，且DD 1⊥面ABCD ，上底面面积S 1＝12＝1，下底面面积S 2＝22＝4. 又∵DD 1＝2，
∴V 台＝
1
3(S 1＋S 2)h
＝13(1143
.
方法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．
在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1都为正方形， AB ＝2，A 1B 1＝1，
且D 1D ⊥平面ABCD ，D 1D ＝2.
分别延长四棱台各个侧棱交于点O ， 设OD 1＝x ，因为△OD 1C 1∽△ODC ， 所以
111OD D C OD DC =，即1
22
x x =+，解得x ＝2.
1111ABCD A B C D V -＝V 棱锥O －ABCD －1111O A B C D V -棱锥 ＝
13×2×2×4－13×1×1×2＝143
. 6．答案：D
解析：选项A 中，m 与n 还可能平行或异面，故不正确； 选项B 中，m 与n 还可能异面，故不正确；
选项C 中，α与β还可能平行或相交，故不正确； 选项D 中，∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α. 又n ∥β，∴α⊥β.故选D ． 7．答案：B
解析：由曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3. 由离心率32e =
，知32
c a =，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2
＝9－4＝5，
所以双曲线C的方程为
22
1 45
x y
-=.
8．答案：B
解析：由(x，y，z)∈S，不妨取x＜y＜z，
要使(z，w，x)∈S，则w＜x＜z或x＜z＜w.
当w＜x＜z时，w＜x＜y＜z，
故(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.
当x＜z＜w时，x＜y＜z＜w，故(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.
综上可知，(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)
9．答案：{x|－2＜x＜1}
解析：x2＋x－2＜0即(x＋2)(x－1)＜0，
解得－2＜x＜1，故原不等式的解集为{x|－2＜x＜1}．
10．答案：－1
解析：y′＝k＋1
x
.
因为曲线在点(1，k)处的切线平行于x轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得y′|x＝1＝0，故k＋1＝0，即k＝－1. 11．答案：7
解析：i＝1，s＝1，i≤4，s＝1＋0＝1；
i＝2，s＝1，i≤4，s＝1＋1＝2；
i＝3，s＝2，i≤4，s＝2＋2＝4；
i＝4，s＝4，i≤4，s＝4＋3＝7；
i＝5，此时i＞4，故s＝7.
12．答案：20
解析：因为数列{a n}的等差数列，
所以由等差数列的性质得a3＋a8＝a5＋a6＝a4＋a7＝10.
所以3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a5＋a4＋a6＋a7＝2×10＝20.
13．答案：6
解析：由区域D：
44,
4,
0,
x y
x y
x
+≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩
画出可行域如图所示．
满足条件的(x0，y0)有(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线．
(二)选择题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．
答案：
πsin
4
ρθ⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
解析：∵曲线C
的参数方程为,
x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，
∴其普通方程为x 2
＋y 2
＝2.
又点(1,1)在曲线C 上，∴切线l 的斜率k ＝－1.
故l 的方程为x ＋y －2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2
，即πsin 4ρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
15．
答案：解析：连接OC ．∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC ．
又BC ＝CD ，∴AB ＝AD ＝6，∠BAC ＝∠CAD ． 又CE 为圆O 的切线，则OC ⊥CE . ∵∠ACE 为弦切角，∴∠ACE ＝∠B ． ∴∠ACE ＋∠CAD ＝90°.∴CE ⊥AD ．
又AC ⊥CD ，∴CD 2
＝ED ·AD ＝2×6＝12，
即CD
＝∴BC
＝三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．解：
(1)πππ6612f ⎛⎫⎛⎫
-
=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ππ144⎛⎫
-== ⎪⎝⎭
.
(2)πππ223312f θθ⎛⎫⎛
⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
π24θ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭＝cos 2θ－sin 2θ.
因为cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以sin θ＝45-.
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425-，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2
θ＝725
-.
所以π23f θ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭＝cos 2θ－sin 2θ
＝72417252525
⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 17．解：(1)样本均值为171920212530132
=2266+++++=.
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为2163=，故推断该车间12名工人中有12×1
3
＝4名优秀工人．
(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝1148212C C 16
C 33
=.
18．解：(1)由题意，得OC ＝3，AC
＝AD
＝
如图，连结OD ，OE ，在△OCD 中， 由余弦定理可得
OD
=.
由翻折不变性可知A ′D
＝
所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2
，所以A ′O ⊥OD ． 同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ， 所以A ′O ⊥平面BCDE .
(2)传统法：过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连结A ′H ， 因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ． 所以∠A ′HO 为二面角A ′CDB 的平面角． 结合题图(1)可知，H 为AC 中点，故OH
＝2
，从而A ′H
2=，
所以cos ∠A ′HO
＝
5
OH A H =
'所以二面角A ′－CD －B
的平面角的余弦值为
5
. 向量法：以O 点为原点，建立空间直角坐标系O －xyz 如图所示．
则A
，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，
所以CA ' ＝(0,3
，DA '
＝(－1,2
．
设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，
则0,0,CA DA ⎧⋅'=⎪⎨⋅'=⎪⎩ n n
即30,20,
y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩
解得,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩
令x ＝1，得n ＝(1，－1
．
由(1)知，OA '
＝(0,0
为平面CDB 的一个法向量，
所以cos 〈n ，OA '
〉＝5OA OA ⋅'=
='
n n ，
即二面角A ′－CD －B
19．解：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23
， 又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.
(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－2
3
n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2
－23
(n －1)，
两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2
－3n ＋1)－(2n －1)－23
，
整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，
即
111n n a a n n
+-=+.又21121a a
-=，
故数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为111a =，公差为1的等差数列，
所以n a n
＝1＋(n －1)×1＝n .所以a n ＝n 2
.
(3)当n ＝1时，117
1<4a =；
当n ＝2时，1211157
1444a a +=+=<；
当n ≥3时，
21111111n a n n n n n =<=-(-)-， 此时12111
n
a a a +
++ ＝222111*********+
<1434423341n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ＝1117171+4244
n n +-=-<.
综上，对一切正整数n ，有121117
4
n a a a +++< . 20．解：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2
＝4cy ，
2=，结合c ＞0，解得c ＝1.
所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .
(2)抛物线C 的方程为x 2
＝4y ，即y ＝
14x 2，求导得y ′＝1
2
x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)221212,44x x y y ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
其中， 则切线PA ，PB 的斜率分别为
12x 1，1
2x 2， 所以切线PA 的方程为y －y 1＝12
x
(x －x 1)，
即y ＝12
x x －212x ＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0， 同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，
因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)，
所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0.
所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解．
所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，
所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.
联立方程002220,4,
x x y y x y --=⎧⎨=⎩ 消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02
＝0.
由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02，
所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 02＋x 02－2y 0＋1.
又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2.
所以y 02＋x 02－2y 0＋1＝2y 02＋2y 0＋5 ＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭. 所以当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92
. 21．解：(1)当k ＝1时，
f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，
令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2，
当x 变化时，
(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )，
令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(2k )，
令g (k )＝ln(2k )－k ，k ∈1,12⎛⎤
⎥⎝⎦， 则g ′(k )＝1k －1＝1k k
-≥0， 所以g (k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递增． 所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e ＜0.
从而ln(2k )＜k ，所以ln(2k )∈(0，k )．
所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )＜0；
当x ∈(ln(2k )，＋∞)时，f ′(x )＞0；
所以M ＝max{f (0)，f (k )}
＝max{－1，(k －1)e k －k 3}．
令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1，
则h ′(k )＝k (e k －3k )，
令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3≤e－3＜0.
所以φ(k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递减，
而12ϕ⎛⎫
⎪⎝⎭·φ(1)＝32⎫⎪⎭(e －3)＜0， 所以存在x 0∈1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦使得φ(x 0)＝0，且当k ∈01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，φ(k )＞0， 当k ∈(x 0,1)时，φ(k )＜0，
所以φ(k )在01,2x ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．
因为17>028h ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，h (1)＝0， 所以h (k )≥0在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当k ＝1时取得“＝”． 综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3
.。