普通物理学第七版 第八章 恒定电流的磁场

（3）计算氢原子在基态时电子的轨道磁矩。
解：（1）电子的运动相当于一个圆电流： I = ne
由圆电流中心的磁场公式，轨道中心的磁感应强
度为
B0

μ0 ne 2r
（2）轨道磁矩： μ IS neπr 2
轨道角动量：L mevr me 2πrnr 2menπr 2
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μ e L 2me
(内电路)


电源外Ek 0
ε lEk dl
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*三、欧姆（G.S.Ohm)定律
1. 一段含源电路和闭合电路的欧姆定律
一段导体的欧姆定律：
V1
I
V2
V1 V2 RI
导线的电阻： R ρ l S
电阻率： ρ
单位：•m
电导率： γ 1 ρ
单位：S/m
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二、磁感应强度 电流
磁场
电流
研究运动电荷在磁场中受力,实验表明：
（所1受）磁q力以大同小一不速同率，沿总不是同垂方直向通v 过P点时，
（2）q 以某一方向运动时时，所受磁力为零。 规定此方向为磁场的方向
（3）当q 垂直磁场的方向运动时所受磁场 力最大，且正比于q正比于v
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定义 B 的大小：
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真空中（SI）:
dB

μ0 4π
Idl sinθ r2
真空磁导率： μ0 4π 107 T m/A
毕奥–萨伐尔定律： (Biot-Savart law)
dB

μ0 4π
Idl
r2
er
任意线电流所激发的总的磁感应强度

B
dB

μ0
Idl er
例：简单闭合电路
IR
a。
电路中有如图所示电流I。
Ri
绕行一周，各部分的电势变化总和为0。
。b
ε
ε UR Ui 0
ε I
R Ri
推广至多个电源和电阻组成的回路，有
I Σε j
闭合电路的欧姆定律
ΣRj ΣRij
注意式中电动势正负取值的规定。
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例如计算如图闭合回路的电流。 I R1
dI γE dS
E dV dl
j

γE

1
E
ρ
欧姆定律的微分形式
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§8-2 磁感应强度 一、基本磁现象
1. 永磁铁， 磁极 至今未发现磁单极
2. 传导电流（ 运动电荷）之间的磁力， 电现象与磁现象密切相关
3. 物质磁性本质的假说， 分子电流
一切磁现象起源于运动电荷（电流）。
1.
圆心处，x=0，
B0

μ0 I 2R
2.
远离圆心处，x>>R，x=

r，B


μ 0IS 2πr 3
定义载流线圈的磁矩：m
B

μ0m 2πr 3

NIS
en
en
试 公与式电比偶 较极 ：子 轴线上p远处的电场强度 E 2πε0r 3
I 等效磁偶极子
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例8-3 载流直螺线管内部的磁场 设螺线管半径R，通有电流 I， 单位长度上匀绕 n匝 线圈，计算轴线上任一点P 的磁感应强度。
BQ
μ0 NIR 2 3
μ0 NIR 2
3
2R2


R
2

2
2R2


3R
2

2
4 4
0.712 μ0 NI R
轴线上中点附近的场强近似均匀。
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三、运动电荷的磁场


设电流元 Idl，横截面积S，载流子：q, v, n
第八章 恒定电流的磁场
§8-1 恒定电流 §8-2 磁感应强度
§8-3 毕奥–萨伐尔定律 §8-4 恒定磁场的高斯定理和安培环路定理
§8-5 带电粒子在电场和磁场中的运动 §8-6 磁场对载流导线的作用 §8-7 磁场中的磁介质 §8-8 有磁介质时的安培环路定理和高斯定理 磁
场强度 *§8-9 铁磁质
μB 9.2731024 A m2
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量。
电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
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§8-4 恒定磁场的高斯定理和安培环路定理 一、恒定磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
B

μ0nI 2
(cos β2
cos β1)
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螺线管电流轴线 上的磁感应强度
B

μ0nI 2
(cos β2
cos
β1 )
讨论
1. 若螺线管无限长，
l R, 有 β1 π，β2 0
B μ0nI
2. 左端点：β 1

π 2
, β2
0
1 B 2 μ0nI
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4π r 2
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二、应用毕奥-萨伐尔定律计算磁感应强度示例
例8-1 载流长直导线的磁场 设有长为L的载流直导 线(I )，计算场点P处的磁感应强度。
解： 电流元 Idl 在P点产生的磁感应强度：
大小：
dB

μ0 4π
Idz sinα r2
方向：
B

dB


μ0 4π
Idl sinα r2
单位时间内通过横截 面S的电荷即为电流 I：
I qnvS

r
电流元在P点产生的磁感应强度：
P
dB
μ0 4π
Idl er
r2

μ0 4π
qnSdl v er
r2
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电流元内带电粒子数目： d N nS d l
每个电荷量为q，以速度
v
运动的电荷产生的磁感
应强度为
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大小为
B0

μ0 NI 2R

2
μ0 NIR 2 R2 R2
3 2
0.677 μ0 NI R
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度为
BP 2
μ0 NIR 2
3
2R2


R
2

2
2
0.716 μ0 NI R
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在P点两侧各R/4处的Q1、Q2 两点处磁感应强度：
Bq

dB dN

μ0 4π
qv er
r2
（适用于v << c）
r
B


B
r
q
v
q
-
v
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例8-5 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核做匀速
圆周运动，具有相应的磁矩，称为轨道磁矩。设圆半
径为r，转速为n，求：（1）轨道中心的磁感应强度
的大小；（2）轨道磁矩µ 与轨道角动量L之间的关系；
一般形式（一段含源电路的欧姆定律）为
VA VB ΣIR ΣIRi Σε
注意等式右边各项正负号取法的规则。
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2. 欧姆定律的微分形式
dI V - (V dV ) dV
dR
R
dR ρ dl dl dS γdS
V E V dV
dS
dl
I
dI γ dV dS dl
电源把其它形式的能量转化为电势能。如化学电池、
发电机、热电偶、硅（硒）太阳能电池、核反应堆
等。
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电动势 ： ε dA dq
电动势 等于将单位正电荷从
电源负极沿内电路移到正极过
程中非静电场力做的功。
非静电场的场强：Ek


Fk q
ε Ek dl 标量，方向
设电路中有如图所示电流。 a。
R2
ε1, Ri1
。b
ε2 , Ri2
讨论
（1）如果 I > 0，电路中电流如图所示。 （2）如果 I < 0，电路中电流与图示方向相反。
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一段含源电路，A、B两端的电势差为
VA VB I1R1 ε1 I1Ri1 ε2 I2 R2 I2 Ri2 ε3 I2 Ri3
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三、磁感应线和磁通量 1. 磁场的定性描述——磁感应线（磁感线） • 磁感线上各点的切线方向表示 此处磁场的方向 • 磁感线的疏密反映磁场的强弱
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• 磁感应线的性质 磁感应线与闭合电流套连成无头无尾的闭合曲线 磁感应线绕行方向与电流成右手螺旋关系
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2. 磁通量
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磁通量：穿过磁场中任一给定曲面的磁感应线总数。
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几种典型的电流分布
电阻法勘探矿 藏时的电流
同轴电缆中 的漏电流
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电流与电流密度的关系


I j endS j dS
S
S
电流就是电流密度穿过某截面的通量。
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二、电源的电动势 导体内形成持续电流的条件： 载流子、电势差
电源——提供非静电力的装置，把正电荷从电势 低的地方（电源负极）移到到电势高的地方（电 源正极）。
解：在螺线管上任取一小段dl，相当于电流为Indl
的一个圆电流，在P点产生的 dB大小为
dB
μ0 R 2nI dl
3
2 R2 l2 2

方向：沿轴线朝右， 所有圆电流产生的dB 方向相同。
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B
dB
L
μ0 R2nIdl
L
2
R2 l2
3 2
利用 l = Rcotβ
dl
0
μ0I sinθ 4πr 2
2πR
μ0IR2 2 R2 x2
3 2
μ0 2π
IS
3
R2 x2 2

B 的方向与电流环绕方向呈右手旋
关系。
B
en
I
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讨论
B
μ0 IR 2
3
2 R2 x2 2
μ0 2π
IS
3
R2 x2 2
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B
dB

μ0 I 4πa
(sin
β1

sin
β2
)
变量代换：
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讨论
B
dB
L

μ0 I 4πa
(sin
β1

sin
β2
)
特例： a. 若导线无限长， 即 β1 π / 2, β2 π/2
B μ0 I (长直电流的磁场)
2πa
I
β2
方向由右手螺旋法判断。
B Fm qv
（4）磁场力总是垂直于B与v组成的平面 据此可以确定B的正向
单位 (SI)： T(特斯拉) ， Gs(高斯)
1T 1N s/(Cm), 1Gs 104 T
人体心电激发的磁场约 310-10 T，地球磁场 约510-5 T，电磁铁约几（十）T，超导磁铁约几 十T，原子核附近约104 T，脉冲星约108 T。
β1 P b. 半无限长直导线
B μ0 I 4πa
I P
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例8-2 载流圆线圈轴线上的磁场 半径为R的载流圆线 圈(I、R)，计算轴线上任一点P 的磁感应强度。
解： 选取坐标系和电流元，

电流元 Idl 在P点 产生的 dB的大小：
dB

μ0 4π
Idl r2
sin90

μ0 4π
§8-1 恒定电流 一、电流 电流密度
电流 I
I dq dt
标量，方向
电流密度矢量
dS
I
j dI dS
方向：正电荷运动的方向。 大小：等于单位时间内从垂直于电荷运动方向的 单位截面上流过的电荷量。
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几种典型的电流分布
粗细均匀的 金属导体
粗细不均匀 的金属导线
半球形接地电 极附近的电流
例8-4 在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所需 的不太强的均匀磁场。它是由一对相同半径的同轴载 流线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时， 试计算两线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。 解：设 两 个 线 圈 的 半 径 为 R ， 各 有N匝，每匝中的电流均为I， 且流向相同。
两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心O1、 O2处磁感应强度相等，
一、毕奥–萨伐尔(Biot-Savart) 定律

回顾求任意形状带电体产生的电场 E ：
E


dE


dq 4πε0r 3
r
r P
dq
类似方法计算任意形状线电流所激发的磁场：

电流元 Idl dB B dB
大小 方向
dB

Idl sinθ r2
dB // dl r
Idl r2
方向：

(
Idl

r
)
各电流元产生的 dB方向各不相同，
分 解dB
垂 平直 行于 于zz轴 轴的 的ddBBz
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由对称性，dB分量相互抵消。
B dB//


dB

sinθ

μ0 4π

Idl sinθ r2

μ0I sinθ 4πr 2
2 πR
通过面元dS的磁通量：
dΦ B cos θdS B dS
通过有限曲面S的磁通量：

Φ sdΦ sB cos θdS sB dS
单位(SI)： Wb( 韦伯), 1 T m2 1Wb
B dΦ dS
磁感应强度又称磁通量密度。
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§8-3 毕奥–萨伐尔定律
角动量和磁矩的方向恰好相反，
μ
e
L
2me
这一经典结论与量子理论导出的结 果相符。
L
e

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（3）由于电子的轨道角动量是满足量子化条件的， 在玻尔理论中，其量值等于（h/2）的整数倍。
氢原子在基态时，其轨道磁矩为：
μB

e 2me

h 2π


eh 4πme
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。