普通物理学第七版 第八章 恒定电流的磁场
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大学物理第八章 恒定电流的磁场
1. 电流密度(它与电流强度有何不同?)
I1 I 2
1
2
I
电荷通过时的疏密程度不同
电流密度：在垂直于电流的方向上单位面积上的电流强 dI 度，用 j 表示。其大小 j ds , j 的方 向：正电荷运动的方向。
6
3. I 与 j
ds
ds
取如图I的方向，任取一截面ds， 其法线与I间的夹角为α，那么该截面 的电流密度为何？ dI dI 据定义： j ds ds cos
通 电 以 后
一切磁现象都是运动电荷产生的
20
二. 磁场 磁感强度 1. 磁场 运动电荷或电流周围存在着磁场，运动电 荷或电流之间的相互作用是通过磁场来实现的。 2. 磁场的重要表现 力 磁场对运动电荷或载流导线有作用力
功 当载流导线在磁场中运动时，磁场施于载流 导线的力作功
21
3、磁感强度
2)导线无限长时，
l
1
r
a
B
B 0
2a
0
o
p
dB
I
1 0 2 I I B 0 2 0 4a 2a
3)导线半无限长时，
I
I
B
4a
0
I
36
2、载流圆线圈轴线上的磁场
分析： dB 相互抵消; B dB
L
应用 毕奥—萨伐尔定律：
dB//
22
B. 磁感强度
用运动电荷在磁场中所受作用力来定义
实验表明，当运动电荷速度 v 的方向与磁场方
向平行时，所受磁力 F 0 ；垂直时， 所受磁力最 磁场方向 大，为 Fmax 。 y v q 磁感强度 B 定义为 x Fmax Fmax B z 大小 方向 单位
第8章-恒定电流的磁场(1)解读
ຫໍສະໝຸດ 任意电流在场点的磁感应强度为：
B Bi ； B dB
磁场
i
叠加原理
二、运动电荷的磁场
设电流元 Idl，横截面积S，单位体积内 有n个定向运动的正电荷,每个电荷电量为q， 定向速度为v。
单位时间内通过横截面S的电量即为 电流强度I:
I qnvS
30
电流元在P点产生的磁感应强度
B半无限
1 2
B无限
B
P
B无限
0I 2r
例题2 圆电流中心的磁感应强度
dB
0 Idl 4R2
I
Idl
dB oR
B
0 Idl I 4R2
0 I 4R 2
dl
I
0I
2R
B
B 0I
2R
B N 0I
2R
N---分数和整数
原因：各电流元在中心产生的磁场方向相同 37
B
×
r
r
q
v
垂直于纸面向外
q
v
垂直于纸面向外
方向由右手定则确定
32
三、毕奥－萨伐尔定律的应用
例题1 直线电流的磁场
2
Idl
r
Ll
or
1
dB o Idl sin 4 r2
P
B
dB
o Idl sin 4r 2
方向
33
2
Idl
Idl
rˆ
Io
Idl
r 组成的平面
r
dB
.
B Bi ； B dB
磁场
i
叠加原理
二、运动电荷的磁场
设电流元 Idl，横截面积S，单位体积内 有n个定向运动的正电荷,每个电荷电量为q， 定向速度为v。
单位时间内通过横截面S的电量即为 电流强度I:
I qnvS
30
电流元在P点产生的磁感应强度
B半无限
1 2
B无限
B
P
B无限
0I 2r
例题2 圆电流中心的磁感应强度
dB
0 Idl 4R2
I
Idl
dB oR
B
0 Idl I 4R2
0 I 4R 2
dl
I
0I
2R
B
B 0I
2R
B N 0I
2R
N---分数和整数
原因：各电流元在中心产生的磁场方向相同 37
B
×
r
r
q
v
垂直于纸面向外
q
v
垂直于纸面向外
方向由右手定则确定
32
三、毕奥－萨伐尔定律的应用
例题1 直线电流的磁场
2
Idl
r
Ll
or
1
dB o Idl sin 4 r2
P
B
dB
o Idl sin 4r 2
方向
33
2
Idl
Idl
rˆ
Io
Idl
r 组成的平面
r
dB
.
普通物理学课件 第八章 恒定电流的磁场
L
r
∫ = μ0 β2 I cos β d β
4π β1 a
=
μ0I 4πa
(sin
β2
−
sin
β1 )
aβ
G
dB
P
例题8-2 载流圆线圈轴线上的磁场: 设有圆形线圈L， 半径为R，通以电流I。求轴线上一点磁感应强度。
I dl
R
I
O
G
r
dB
xθ P
解： 在场点P的磁感强度大小为
G dB
=
μ0
I
d
G l
en
dS
对整个曲面，磁通量：
GG
Φ = ∫SB ⋅ dS
dB
=
k
Idl
sin α
K (Idl ,
K r)
r2
其中 k=10-7 NA-2
令 k = μ0 , 4π
μ0 = 4π ×10−7 NA−2
dB = K
μ0 4π
Idl sinα r2
dB 的方向：
K dBK
⊥
K r
K
——满足右手螺旋关系
dB ⊥ Idl
Gdl • cGos θ = rdα
∫ ∫ ∫ B • dl = B cos θdl = Br dα
L
L
L
∫ ∫ =
μ 2 π 0
I rdα
= μ0I
2π dα
0 2π r
2π 0
= μ0I
单位时间内通过横截面S的电荷量即为电流强度I:
I = qnvS
电流元在P点产生的磁感应强度
dB = μ0 qnvSdl sinθ
3
第八章 恒定电流的磁场
大学物理第八章-修改
对磁现象的解释:
分子电流假说
1、分子电流假说 一切磁现象的根源是电流，磁性物质的分子
中存在回路电流，称为分子电流。
2、磁现象起源于电荷的运动。
8.2.2 安培定律（Ampere’s Law）
载流导线可以分成无数多个无限小段，从中
任取一微小段dl，按照该处电流方向定义线元矢 量 dl ，则电流与线元矢量的乘积Idl ，定义为该
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8.4.2 磁通量（Magnetic Flux）
通过给定曲面的磁感应 线的 数量，用Φm表示。
dmBdS
B co d s S B d S
rr
m S dm S B d S(8 .2 8 )
r en r
单位：韦伯（Wb）
B
闭合曲面磁通量
对闭合曲面，进入磁感应
线等于穿出r 磁感r应线，即
总与电流元的方向垂直，所以，
安培力不满牛顿第三定律。
2020/4/4
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8.3 磁场 毕奥-萨伐尔定律
8.3.1 磁场 磁感应强度
1、磁 场（Magnetic Field） 磁场是一种特殊形态的物质。
对外表现：
（1）磁场对引入磁场中的运动电荷或载流导体 有磁力的作用；
（2）载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力 对载流导体做功，可见，磁场具有能量。 这表明了磁场的物质性。
l2
r
方向相反，不沿同一直线，形 F 2 b
成力偶，对线圈产生力矩：
MBISsin
I
F
2
r
B
r
c en
l1r F1
r
F
2
d (c) r
B
方向是z 轴；S = l1l2 是线圈面积。a ( b ) I
普通物理学第八章恒定电流的磁场课后思考题
思考题9-1 为什么不能简单地定义B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向? 答：运动电荷磁力的方向不仅与磁感应强度B 的方向有关，还与电荷的运动方向、电荷的正负有关。
如果电荷运动的方向与磁场方向在同一直线上，此时电荷受力为零，因此不能定义B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向。
9-2 在电子仪器中，为了减小与电源相连的两条导线的磁场，通常总是把它们扭在一起。
为什么?答：可以将扭在一起的两条通电导线看成是交织在一起的两个螺线管。
管外的磁场非常弱；因两个螺线管的通电电流大小相等、方向相反，而且匝数基本相当，管内的磁场基本上可以相互抵消。
因此，与电源相连的两条导线，扭在一起时比平行放置时产生的磁场要小得多。
9-3 长为L 的一根导线通有电流I ，在下列情况下求中心点的磁感应强度：（1）将导线弯成边长为L /4的正方形线圈；（2）将导线弯成周长为L 的圆线圈，比较哪一种情况下磁场更强。
解：在本题图 (a)中，由于正方形线圈电流沿顺时针方向，线圈的四边在中心处产生的磁场大小相等，方向都是垂直纸面向里。
所以，正方形中心点的磁感应强度为四边直导线产生得磁感应强度的叠加。
由教材例题6-1可知，其大小应为0214(sin sin )4I B r μββπ=- 将/8r L =，1/4βπ=-，2/4βπ=代入上式得()00042sin 4 3.604I I IB r L Lμμπππ=== 在图6-2(b)中，通电线圈中心处产生的磁场方向也是垂直纸面向里，大小由教材例题6-2可知为0'2I B Rμ=其中，/2R L π=。
则00' 3.14I I B L Lμμπ==比较得'B B >。
9-4 在载有电流I 的圆形回路中，回路平面内各点磁场方向是否相同?回路内各点的B 是否均匀?答：根据毕奥一萨伐尔定律，用右手螺旋关系可以判定：载流圆形回路平面(a) (b)思考题9-3内各点的磁感应强度B 方向相同，都垂直于回路平面，但回路平面内各点．B 的大小不同，即B 的分布非均匀。
程守洙《普通物理学》讲义与视频课程-恒定电流的磁场【圣才出品】
截面的电荷量。
电流强度是有方向的标量。 方向：正电荷或正离子定向运动的方向。 单位：A，安培。 说明：电流是物理现象，它具有方向，但不是物理量，通常规定正电荷定向移动的方向 为正方向。 （2）电流密度 电流密度描述的是导体中电流的分布，是空间位置的矢量函数，单位：A/m2。 电流密度方向为正电荷运动的方向，大小等于垂直于电流方向的单位面积的电流，即
重难点导学
一、恒定电流 1．电流，电流密度 （1）电流 ①载流子 载流子是指电荷的携带者，如自由电子（金属导体）、空穴（半导体）、正负离子(电解 液)。
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②恒定电流
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电流的大小和方向不随时间而变化。
③电流强度
电流是电荷的定向运动，电流的大小用电流强度度量，电流强度是单位时间内通过导体
B
0I 2d
②导线半无限长，场点与一端的连线垂直于导线，有
B
0I 4d
③P 点位于导线延长线上，有
B＝0
（2）载流圆线圈轴线上的磁场
B
0 IR2
3
2(R2 x2 ) 2
0 2
IS
3
(R2 x2)2
①在圆心处，有
B 0I 2R
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第 8 章 恒定电流的磁场
8.1 本章要点详解
█电流，电流密度及电源的电动势 █欧姆定律 █磁现象的相关概念及磁感应强度 █毕奥-萨伐尔定律及应用 █稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理 █带电粒子在电场和磁场中的运动 █磁场对载流导线的作用 █磁场中的磁介质，磁化强度 █有磁介质时的安培环路定理
大学物理第八章恒定电流的磁场
Fe 2.磁性： 磁铁能吸引含有 Co 物质的性质。
Ni
3.磁极：磁铁上磁性最强的两端，分为
N S
北同 极，指向 方，
南异
斥 性相 。
吸
三.磁场
1.概念： 运动qυ电荷或电I流周围存在的物质，称为磁场。
2.对外表现
① qυ或 I 在磁场中受到力的作用。
②载流导线在磁场中移动，磁场力作功。
力的表现 功的表现
极。
然而，磁和电有很多相似之处。例如，同种电荷
互相推斥，异种电荷互相吸引；同名磁极也互相推
斥，异名磁极也互相吸引。用摩擦的方法能使物体带
上电；如果用磁铁的一极在一根钢棒上沿同一方向摩
擦几次，也能使钢棒磁化。但是，为什么正、负电荷 能够单独存在，而单个磁极却不能单独存在呢？多年 来，人们百思而不得其解。
dN B
dS
一些典型磁场的磁感线：
2.性质
①磁感线是无始无终的闭合曲线。
B
A
②任二条磁感线不相交。
B
③磁感线与电流是套合的，它们之间可用右手螺旋法 则来确定。
B
I
I
B
四.磁通量
1.定义：通过一给定曲面的磁感线的条数，称为通过该 曲面的磁通量。
电场强度通量：e S E dS
通过面元 dS的磁感线数： dN BdS BdS cos
3.电荷之间的磁相互作用与库仑相互作用的不同 ①电荷无论是静止还是运动的，它们之间都存在库仑 作用； ②只有运动的电荷之间才有磁相互作用。
四.磁感强度
电场 E 磁场 B
1.实验 在垂于电流的平面内放若干枚小磁针，发现：
①小磁针距电流远近不同，
N
受磁力大小不同。
②距电流等远处，小磁针受
稳恒电流磁场PPT课件
1.环路要经过所研究的场点； 2.环路的长度便于计算；
L B dl 0 I
3.环路上所有各点的磁感应强度大小相等，方向与环路 方向一致；
或环路上某一部分各点的磁感应强度方向与环路方向 垂直，该部分的积分为零。而另一部分各点的磁感应 强度大小相等，方向与环路方向一致。
第24页/共69页
例：密绕载流长直螺线管（可视为无限长）通有电流为
0I 4a
cos1
cos2
第9页/共69页
B
0I 4a
cos1
cos2
讨论:
1.无限长载流直导线的磁场：
1 0,
2
;
B
0I 2a
l 2
Idl
lr
o
I 1 a
dB
Px
任意点的磁场：B 0I 2r
2.半无限长载流直导线的磁场：
1 ,2 ;
B 0I (cos 1) 4R sin
T T 2r
B 0I
2r
0 ev 2r 2r
0ev 4r 2
方向如图所示。
第16页/共69页
例：一塑料圆盘，半径为R，电荷q均匀分布于表面， 圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度，求盘心 的磁感应强度。
解：将圆盘分划成许多圆环，
dq
q
R2
2rdr
2qrdr R2
,
qrdr
dI dq
a
c
B dl
b a c
B dl
d
B dl
B
dl
,
b
B dl
d d
B dl
0,
螺线 管外：Bb 外
B dl B
a
0,
dB
L B dl 0 I
3.环路上所有各点的磁感应强度大小相等，方向与环路 方向一致；
或环路上某一部分各点的磁感应强度方向与环路方向 垂直，该部分的积分为零。而另一部分各点的磁感应 强度大小相等，方向与环路方向一致。
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例：密绕载流长直螺线管（可视为无限长）通有电流为
0I 4a
cos1
cos2
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B
0I 4a
cos1
cos2
讨论:
1.无限长载流直导线的磁场：
1 0,
2
;
B
0I 2a
l 2
Idl
lr
o
I 1 a
dB
Px
任意点的磁场：B 0I 2r
2.半无限长载流直导线的磁场：
1 ,2 ;
B 0I (cos 1) 4R sin
T T 2r
B 0I
2r
0 ev 2r 2r
0ev 4r 2
方向如图所示。
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例：一塑料圆盘，半径为R，电荷q均匀分布于表面， 圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度，求盘心 的磁感应强度。
解：将圆盘分划成许多圆环，
dq
q
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,
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dI dq
a
c
B dl
b a c
B dl
d
B dl
B
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,
b
B dl
d d
B dl
0,
螺线 管外：Bb 外
B dl B
a
0,
dB
13-1稳恒电流的磁场课件
◆ 磁感应线：线上任一点的切线方向都和该点的磁场方向一致。
特征： （1）无头无尾的闭合曲线
(2) 磁力线不相交
永久磁铁的磁感线图
为了使磁感线也能够定量地描述磁场的强弱，我们规定：通过某点上垂直于 B 矢量的单位面积的磁感线条 数，在数值上等于该点 B 矢量的大小。
B dN dS
磁感应线密集
磁感应线稀疏
2. 磁感应强度的方向就是该点的磁场方向。 磁感强度B（简称B矢量）是表述磁场中各点磁场强弱和方向的物理量。
3. 磁感应强度 B 的单位是T，叫做“特斯拉”(Tesla)，简称特。
3. 磁源与磁感应线 ◆ 磁源：产生磁场的运动电荷或电流 ◆ 在有若干个磁源的情况下它们产生的磁场服从叠加原理：
BBi
电流与磁体之间的相互作用 I
NS
丹麦自然哲学家－奥斯特 电流的磁效应
现象：放在载流导线(即通有电流的导线)周围的磁针会受到力的作用而发生偏转，如果电流方向改变，那么， 偏转方向也要改变。
说明：磁针受到电流的作用力。
现象：
同向电流相互 吸引；
反向电流相互 排斥。
说明：
电流与电流之 间有相互作用 力。
结论：从微观上看，磁力都是运动电荷之间的相互作用的表现。
磁场与磁感应强度 1. 磁场及场源 运动电荷周围空间里存在着磁场，置于其中的另一个运动电荷受到的磁力实际上是该磁场对它的作用。
运动电荷
磁场
运动电荷
注意
运动电荷与静止电荷不同之处在于： 静止电荷的周围空间只存在静电场； 任何运动电荷或电流的周围空间，除了和静止电荷一样存在电场之外，还存在磁场。 电场对处于其中的任何电荷（不论运动与否）都有电力作用；而磁场则只对运动电荷有磁力作用。
特征： （1）无头无尾的闭合曲线
(2) 磁力线不相交
永久磁铁的磁感线图
为了使磁感线也能够定量地描述磁场的强弱，我们规定：通过某点上垂直于 B 矢量的单位面积的磁感线条 数，在数值上等于该点 B 矢量的大小。
B dN dS
磁感应线密集
磁感应线稀疏
2. 磁感应强度的方向就是该点的磁场方向。 磁感强度B（简称B矢量）是表述磁场中各点磁场强弱和方向的物理量。
3. 磁感应强度 B 的单位是T，叫做“特斯拉”(Tesla)，简称特。
3. 磁源与磁感应线 ◆ 磁源：产生磁场的运动电荷或电流 ◆ 在有若干个磁源的情况下它们产生的磁场服从叠加原理：
BBi
电流与磁体之间的相互作用 I
NS
丹麦自然哲学家－奥斯特 电流的磁效应
现象：放在载流导线(即通有电流的导线)周围的磁针会受到力的作用而发生偏转，如果电流方向改变，那么， 偏转方向也要改变。
说明：磁针受到电流的作用力。
现象：
同向电流相互 吸引；
反向电流相互 排斥。
说明：
电流与电流之 间有相互作用 力。
结论：从微观上看，磁力都是运动电荷之间的相互作用的表现。
磁场与磁感应强度 1. 磁场及场源 运动电荷周围空间里存在着磁场，置于其中的另一个运动电荷受到的磁力实际上是该磁场对它的作用。
运动电荷
磁场
运动电荷
注意
运动电荷与静止电荷不同之处在于： 静止电荷的周围空间只存在静电场； 任何运动电荷或电流的周围空间，除了和静止电荷一样存在电场之外，还存在磁场。 电场对处于其中的任何电荷（不论运动与否）都有电力作用；而磁场则只对运动电荷有磁力作用。
大学物理第8章稳恒磁场课件讲义
三、磁场中的高斯定理(磁通连续定理)
m
B
ds
s
sB ds 0
穿过任意闭合曲面的磁通量为零。
-------------------------------------------------------------------------------
三、磁通量
1.磁感线：(磁力线或 线) 磁感线的切线方向为该点磁场方向
B
S
B大小规定为：通过磁场中某点 处垂直于磁场方向的单位面积的
B N
磁感线条数。(磁场较强处的磁
S
感线较密)
-------------------------------------------------------------------------------
1965年的测量：地磁的S极在地理北极附近（北 纬75.5o，东经259.5o），地磁的N极在地理南
极附近（南纬66.6o,东经139.9o）。地理轴与 地磁轴的夹角约为11o。
-------------------------------------------------------------------------------
§8.2 磁场 磁感应强度
一、 基本磁现象
1.自然磁现象 天然磁石
磁性、磁体、磁极
S N
SN
同极相斥，异极相吸
2.电流的磁效应 1819－1820年丹麦物 理学家奥斯特首先发
现电流的磁效应。
-------------------------------------------------------------------------------
普通物理学第八章恒定电流的磁场课后思考题
思考题9-1 为什么不能简单地定义B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向? 答：运动电荷磁力的方向不仅与磁感应强度B 的方向有关，还与电荷的运动方向、电荷的正负有关。
如果电荷运动的方向与磁场方向在同一直线上，此时电荷受力为零，因此不能定义B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向。
9-2 在电子仪器中，为了减小与电源相连的两条导线的磁场，通常总是把它们扭在一起。
为什么?答：可以将扭在一起的两条通电导线看成是交织在一起的两个螺线管。
管外的磁场非常弱；因两个螺线管的通电电流大小相等、方向相反，而且匝数基本相当，管内的磁场基本上可以相互抵消。
因此，与电源相连的两条导线，扭在一起时比平行放置时产生的磁场要小得多。
9-3 长为L 的一根导线通有电流I ，在下列情况下求中心点的磁感应强度：（1）将导线弯成边长为L /4的正方形线圈；（2）将导线弯成周长为L 的圆线圈，比较哪一种情况下磁场更强。
解：在本题图 (a)中，由于正方形线圈电流沿顺时针方向，线圈的四边在中心处产生的磁场大小相等，方向都是垂直纸面向里。
所以，正方形中心点的磁感应强度为四边直导线产生得磁感应强度的叠加。
由教材例题6-1可知，其大小应为0214(sin sin )4I B r μββπ=- 将/8r L =，1/4βπ=-，2/4βπ=代入上式得()00042sin 4 3.604I I IB r L Lμμπππ=== 在图6-2(b)中，通电线圈中心处产生的磁场方向也是垂直纸面向里，大小由教材例题6-2可知为0'2I B Rμ=其中，/2R L π=。
则00' 3.14I I B L Lμμπ==比较得'B B >。
9-4 在载有电流I 的圆形回路中，回路平面内各点磁场方向是否相同?回路内各点的B 是否均匀?答：根据毕奥一萨伐尔定律，用右手螺旋关系可以判定：载流圆形回路平面(a) (b)思考题9-3内各点的磁感应强度B 方向相同，都垂直于回路平面，但回路平面内各点．B 的大小不同，即B 的分布非均匀。
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三、磁感应线和磁通量 1. 磁场的定性描述——磁感应线（磁感线） • 磁感线上各点的切线方向表示 此处磁场的方向 • 磁感线的疏密反映磁场的强弱
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• 磁感应线的性质 磁感应线与闭合电流套连成无头无尾的闭合曲线 磁感应线绕行方向与电流成右手螺旋关系
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2. 磁通量
磁通量：穿过磁场中任一给定曲面的磁感应线总数。
例：简单闭合电路
IR
a。
电路中有如图所示电流I。
Ri
绕行一周，各部分的电势变化总和为0。
。b
ε
ε UR Ui 0
ε I
R Ri
推广至多个电源和电阻组成的回路，有
I Σε j
闭合电路的欧姆定律
ΣRj ΣRij
注意式中电动势正负取值的规定。
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例如计算如图闭合回路的电流。 I R1
Idl r2
方向：
(
Idl
r
)
各电流元产生的 dB方向各不相同，
分 解dB
垂 平直 行于 于zz轴 轴的 的ddBBz
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由对称性，dB分量相互抵消。
B dB//
dB
sinθ
μ0 4π
Idl sinθ r2
μ0I sinθ 4πr 2
2 πR
电源把其它形式的能量转化为电势能。如化学电池、
发电机、热电偶、硅（硒）太阳能电池、核反应堆
等。
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电动势 ： ε dA dq
电动势 等于将单位正电荷从
电源负极沿内电路移到正极过
程中非静电场力做的功。
非静电场的场强：Ek
Fk q
ε Ek dl 标量，方向
返回 退出
B
dB
μ0 I 4πa
(sin
β1
sin
β2
)
变量代换：
返回 退出
讨论
B
dB
L
μ0 I 4πa
(sin
β1
sin
β2
)
特例： a. 若导线无限长， 即 β1 π / 2, β2 π/2
B μ0 I (长直电流的磁场)
2πa
I
β2
方向由右手螺旋法判断。
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真空中（SI）:
dB
μ0 4π
Idl sinθ r2
真空磁导率： μ0 4π 107 T m/A
毕奥–萨伐尔定律： (Biot-Savart law)
dB
μ0 4π
Idl
r2
er
任意线电流所激发的总的磁感应强度
B
dB
μ0
Idl er
μB 9.2731024 A m2
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量。
电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
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§8-4 恒定磁场的高斯定理和安培环路定理 一、恒定磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
一般形式（一段含源电路的欧姆定律）为
VA VB ΣIR ΣIRi Σε
注意等式右边各项正负号取法的规则。
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2. 欧姆定律的微分形式
dI V - (V dV ) dV
dR
R
dR ρ dl dl dS γdS
V E V dV
dS
dl
I
dI γ dV dS dl
dI γE dS
E dV dl
j
γE
1
E
ρ
欧姆定律的微分形式
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§8-2 磁感应强度 一、基本磁现象
1. 永磁铁， 磁极 至今未发现磁单极
2. 传导电流（ 运动电荷）之间的磁力， 电现象与磁现象密切相关
3. 物质磁性本质的假说， 分子电流
一切磁现象起源于运动电荷（电流）。
1.
圆心处，x=0，
B0
μ0 I 2R
2.
远离圆心处，x>>R，x=
r，B
μ 0IS 2πr 3
定义载流线圈的磁矩：m
B
μ0m 2πr 3ຫໍສະໝຸດ NISen
en
试 公与式电比偶 较极 ：子 轴线上p远处的电场强度 E 2πε0r 3
I 等效磁偶极子
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例8-3 载流直螺线管内部的磁场 设螺线管半径R，通有电流 I， 单位长度上匀绕 n匝 线圈，计算轴线上任一点P 的磁感应强度。
dl
0
μ0I sinθ 4πr 2
2πR
μ0IR2 2 R2 x2
3 2
μ0 2π
IS
3
R2 x2 2
B 的方向与电流环绕方向呈右手旋
关系。
B
en
I
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讨论
B
μ0 IR 2
3
2 R2 x2 2
μ0 2π
IS
3
R2 x2 2
例8-4 在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所需 的不太强的均匀磁场。它是由一对相同半径的同轴载 流线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时， 试计算两线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。 解：设 两 个 线 圈 的 半 径 为 R ， 各 有N匝，每匝中的电流均为I， 且流向相同。
两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心O1、 O2处磁感应强度相等，
β1 P b. 半无限长直导线
B μ0 I 4πa
I P
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例8-2 载流圆线圈轴线上的磁场 半径为R的载流圆线 圈(I、R)，计算轴线上任一点P 的磁感应强度。
解： 选取坐标系和电流元，
电流元 Idl 在P点 产生的 dB的大小：
dB
μ0 4π
Idl r2
sin90
μ0 4π
通过面元dS的磁通量：
dΦ B cos θdS B dS
通过有限曲面S的磁通量：
Φ sdΦ sB cos θdS sB dS
单位(SI)： Wb( 韦伯), 1 T m2 1Wb
B dΦ dS
磁感应强度又称磁通量密度。
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§8-3 毕奥–萨伐尔定律
B
μ0nI 2
(cos β2
cos β1)
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螺线管电流轴线 上的磁感应强度
B
μ0nI 2
(cos β2
cos
β1 )
讨论
1. 若螺线管无限长，
l R, 有 β1 π，β2 0
B μ0nI
2. 左端点：β 1
π 2
, β2
0
1 B 2 μ0nI
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§8-1 恒定电流 一、电流 电流密度
电流 I
I dq dt
标量，方向
电流密度矢量
dS
I
j dI dS
方向：正电荷运动的方向。 大小：等于单位时间内从垂直于电荷运动方向的 单位截面上流过的电荷量。
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几种典型的电流分布
粗细均匀的 金属导体
粗细不均匀 的金属导线
半球形接地电 极附近的电流
解：在螺线管上任取一小段dl，相当于电流为Indl
的一个圆电流，在P点产生的 dB大小为
dB
μ0 R 2nI dl
3
2 R2 l2 2
方向：沿轴线朝右， 所有圆电流产生的dB 方向相同。
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B
dB
L
μ0 R2nIdl
L
2
R2 l2
3 2
利用 l = Rcotβ
第八章 恒定电流的磁场
§8-1 恒定电流 §8-2 磁感应强度
§8-3 毕奥–萨伐尔定律 §8-4 恒定磁场的高斯定理和安培环路定理
§8-5 带电粒子在电场和磁场中的运动 §8-6 磁场对载流导线的作用 §8-7 磁场中的磁介质 §8-8 有磁介质时的安培环路定理和高斯定理 磁
场强度 *§8-9 铁磁质
B Fm qv
（4）磁场力总是垂直于B与v组成的平面 据此可以确定B的正向
单位 (SI)： T(特斯拉) ， Gs(高斯)
1T 1N s/(Cm), 1Gs 104 T
人体心电激发的磁场约 310-10 T，地球磁场 约510-5 T，电磁铁约几（十）T，超导磁铁约几 十T，原子核附近约104 T，脉冲星约108 T。
设电路中有如图所示电流。 a。
R2
ε1, Ri1
。b
ε2 , Ri2
讨论
（1）如果 I > 0，电路中电流如图所示。 （2）如果 I < 0，电路中电流与图示方向相反。
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一段含源电路，A、B两端的电势差为
VA VB I1R1 ε1 I1Ri1 ε2 I2 R2 I2 Ri2 ε3 I2 Ri3
（3）计算氢原子在基态时电子的轨道磁矩。
解：（1）电子的运动相当于一个圆电流： I = ne
由圆电流中心的磁场公式，轨道中心的磁感应强
度为
B0
μ0 ne 2r
（2）轨道磁矩： μ IS neπr 2
轨道角动量：L mevr me 2πrnr 2menπr 2
三、磁感应线和磁通量 1. 磁场的定性描述——磁感应线（磁感线） • 磁感线上各点的切线方向表示 此处磁场的方向 • 磁感线的疏密反映磁场的强弱
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• 磁感应线的性质 磁感应线与闭合电流套连成无头无尾的闭合曲线 磁感应线绕行方向与电流成右手螺旋关系
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2. 磁通量
磁通量：穿过磁场中任一给定曲面的磁感应线总数。
例：简单闭合电路
IR
a。
电路中有如图所示电流I。
Ri
绕行一周，各部分的电势变化总和为0。
。b
ε
ε UR Ui 0
ε I
R Ri
推广至多个电源和电阻组成的回路，有
I Σε j
闭合电路的欧姆定律
ΣRj ΣRij
注意式中电动势正负取值的规定。
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例如计算如图闭合回路的电流。 I R1
Idl r2
方向：
(
Idl
r
)
各电流元产生的 dB方向各不相同，
分 解dB
垂 平直 行于 于zz轴 轴的 的ddBBz
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由对称性，dB分量相互抵消。
B dB//
dB
sinθ
μ0 4π
Idl sinθ r2
μ0I sinθ 4πr 2
2 πR
电源把其它形式的能量转化为电势能。如化学电池、
发电机、热电偶、硅（硒）太阳能电池、核反应堆
等。
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电动势 ： ε dA dq
电动势 等于将单位正电荷从
电源负极沿内电路移到正极过
程中非静电场力做的功。
非静电场的场强：Ek
Fk q
ε Ek dl 标量，方向
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B
dB
μ0 I 4πa
(sin
β1
sin
β2
)
变量代换：
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讨论
B
dB
L
μ0 I 4πa
(sin
β1
sin
β2
)
特例： a. 若导线无限长， 即 β1 π / 2, β2 π/2
B μ0 I (长直电流的磁场)
2πa
I
β2
方向由右手螺旋法判断。
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真空中（SI）:
dB
μ0 4π
Idl sinθ r2
真空磁导率： μ0 4π 107 T m/A
毕奥–萨伐尔定律： (Biot-Savart law)
dB
μ0 4π
Idl
r2
er
任意线电流所激发的总的磁感应强度
B
dB
μ0
Idl er
μB 9.2731024 A m2
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量。
电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
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§8-4 恒定磁场的高斯定理和安培环路定理 一、恒定磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
一般形式（一段含源电路的欧姆定律）为
VA VB ΣIR ΣIRi Σε
注意等式右边各项正负号取法的规则。
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2. 欧姆定律的微分形式
dI V - (V dV ) dV
dR
R
dR ρ dl dl dS γdS
V E V dV
dS
dl
I
dI γ dV dS dl
dI γE dS
E dV dl
j
γE
1
E
ρ
欧姆定律的微分形式
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§8-2 磁感应强度 一、基本磁现象
1. 永磁铁， 磁极 至今未发现磁单极
2. 传导电流（ 运动电荷）之间的磁力， 电现象与磁现象密切相关
3. 物质磁性本质的假说， 分子电流
一切磁现象起源于运动电荷（电流）。
1.
圆心处，x=0，
B0
μ0 I 2R
2.
远离圆心处，x>>R，x=
r，B
μ 0IS 2πr 3
定义载流线圈的磁矩：m
B
μ0m 2πr 3ຫໍສະໝຸດ NISen
en
试 公与式电比偶 较极 ：子 轴线上p远处的电场强度 E 2πε0r 3
I 等效磁偶极子
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例8-3 载流直螺线管内部的磁场 设螺线管半径R，通有电流 I， 单位长度上匀绕 n匝 线圈，计算轴线上任一点P 的磁感应强度。
dl
0
μ0I sinθ 4πr 2
2πR
μ0IR2 2 R2 x2
3 2
μ0 2π
IS
3
R2 x2 2
B 的方向与电流环绕方向呈右手旋
关系。
B
en
I
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讨论
B
μ0 IR 2
3
2 R2 x2 2
μ0 2π
IS
3
R2 x2 2
例8-4 在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所需 的不太强的均匀磁场。它是由一对相同半径的同轴载 流线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时， 试计算两线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。 解：设 两 个 线 圈 的 半 径 为 R ， 各 有N匝，每匝中的电流均为I， 且流向相同。
两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心O1、 O2处磁感应强度相等，
β1 P b. 半无限长直导线
B μ0 I 4πa
I P
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例8-2 载流圆线圈轴线上的磁场 半径为R的载流圆线 圈(I、R)，计算轴线上任一点P 的磁感应强度。
解： 选取坐标系和电流元，
电流元 Idl 在P点 产生的 dB的大小：
dB
μ0 4π
Idl r2
sin90
μ0 4π
通过面元dS的磁通量：
dΦ B cos θdS B dS
通过有限曲面S的磁通量：
Φ sdΦ sB cos θdS sB dS
单位(SI)： Wb( 韦伯), 1 T m2 1Wb
B dΦ dS
磁感应强度又称磁通量密度。
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§8-3 毕奥–萨伐尔定律
B
μ0nI 2
(cos β2
cos β1)
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螺线管电流轴线 上的磁感应强度
B
μ0nI 2
(cos β2
cos
β1 )
讨论
1. 若螺线管无限长，
l R, 有 β1 π，β2 0
B μ0nI
2. 左端点：β 1
π 2
, β2
0
1 B 2 μ0nI
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§8-1 恒定电流 一、电流 电流密度
电流 I
I dq dt
标量，方向
电流密度矢量
dS
I
j dI dS
方向：正电荷运动的方向。 大小：等于单位时间内从垂直于电荷运动方向的 单位截面上流过的电荷量。
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几种典型的电流分布
粗细均匀的 金属导体
粗细不均匀 的金属导线
半球形接地电 极附近的电流
解：在螺线管上任取一小段dl，相当于电流为Indl
的一个圆电流，在P点产生的 dB大小为
dB
μ0 R 2nI dl
3
2 R2 l2 2
方向：沿轴线朝右， 所有圆电流产生的dB 方向相同。
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B
dB
L
μ0 R2nIdl
L
2
R2 l2
3 2
利用 l = Rcotβ
第八章 恒定电流的磁场
§8-1 恒定电流 §8-2 磁感应强度
§8-3 毕奥–萨伐尔定律 §8-4 恒定磁场的高斯定理和安培环路定理
§8-5 带电粒子在电场和磁场中的运动 §8-6 磁场对载流导线的作用 §8-7 磁场中的磁介质 §8-8 有磁介质时的安培环路定理和高斯定理 磁
场强度 *§8-9 铁磁质
B Fm qv
（4）磁场力总是垂直于B与v组成的平面 据此可以确定B的正向
单位 (SI)： T(特斯拉) ， Gs(高斯)
1T 1N s/(Cm), 1Gs 104 T
人体心电激发的磁场约 310-10 T，地球磁场 约510-5 T，电磁铁约几（十）T，超导磁铁约几 十T，原子核附近约104 T，脉冲星约108 T。
设电路中有如图所示电流。 a。
R2
ε1, Ri1
。b
ε2 , Ri2
讨论
（1）如果 I > 0，电路中电流如图所示。 （2）如果 I < 0，电路中电流与图示方向相反。
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一段含源电路，A、B两端的电势差为
VA VB I1R1 ε1 I1Ri1 ε2 I2 R2 I2 Ri2 ε3 I2 Ri3
（3）计算氢原子在基态时电子的轨道磁矩。
解：（1）电子的运动相当于一个圆电流： I = ne
由圆电流中心的磁场公式，轨道中心的磁感应强
度为
B0
μ0 ne 2r
（2）轨道磁矩： μ IS neπr 2
轨道角动量：L mevr me 2πrnr 2menπr 2