极限的求法总结

x0
x
练习2. 求 lim 1 sin x. x x
练习3. 求lim x sin 1 .
x0
x
练习4. 求 lim x sin 1 .
x
x
练习5. 求lim sin x . x0 x
7.利用左右极限求分段函数极限
例
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
x
0 ,
求
lim
f
( x).
x 0 x0
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x1
x
2
4x 1 2x
3
.
3.消去零因子法 ( 0 型 )
0
例4
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
n 2 3 3 5
2n 1 2n 1
lim 1 (1 1 ) 1 n 2 2n 1 2
例
lim(
x1
1 x 1
2
x2
) 1
lim( 1 2 ) lim( x 1 2 ) x1 x 1 x2 1 x1 x2 1 x2 1
lim
x1
x 1 x2 1
lim
x1
x
1 1
1 2
方法总结：
对于求无穷多项的极限和不符合四则运 算的极限，先通过变形在求极限;
n
1
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
lim 1 (1 n 2
1) n
1. 2
例
lim( 1 n 1 3
1 3
5
...
1 4n2
) 1
拆项
:
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
1 lim( n 1 3
1 3
5
...
1
4n2
) 1
lim 1 (1 1 1 1 ... 1 1 )
极限的求法总结
简介：求极限方法举例，列举21种 求极限的方法和相关问题
1.代入法求极限
例1.lim(x2 x 2) x2
例2.设有多项式Pn (x) a0xn a1xn1 ... an ,
求
lim
xx0
Pn
(
x).
lim
xx0
Pn
(x)
a0
( lim xx0
x)n
a1
(
lim
xx0
x) n1
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim wenku.baidu.com x2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
y y 1 x
1
o
y x2 1 x
8.分子（母）有理化求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
1)( x 3)( x
1) 1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
4.无穷小因子分出法求极限
例
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
n
lim n2 1 n
1
1 n2
1,
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
说明：这种n项和的极限有时也可以转化为定积分来计算， 这道题是不可以的。
lim x2 +4 2 lim ( x2 +4 2)( x2 +4 2)( x2 +9 3) x0 x2 +9 3 x0 ( x2 +4 2)( x2 +9 3)( x2 +9 3)
lim x2 ( x2 +9 3) 3 x0 x2 ( x2 +4 2) 2
9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限
2005年数学三考研试题 （第三大题15小题8分）
(15)
1 x
lim( x0 1
e
x
1 ). x
6.利用无穷小运算性质求极限
例 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
y sin x x
练习1. 求 lim x2 sin 1 .
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim a0 x n x b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an bm
0ab,00当,当n n
m, m,
,当n m,
lim
x
(x 1)82
lim x
x4
(2
1 x
)4
x78
(1
x82 (1
1 x
)82
1 x
)78
24
16
5.先变形再求极限
(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)
例
求
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.
练习1 练习2
求 lim 2x 2 5x 1. x1 x 2 4x 8
求 lim 2n 1 . n n2 n
练习3 练习4
lim (2x 3)20 (3x 2)30
x
(2x 1)50
(2x 1)4 (x 1)78
an
a0 x0n a1 x0n1 an Pn ( x0 ).
例3.
lim
x1
x
2 3x
5x 2
2
6
商的法则(代入法)
方法总结： 多项式函数与分式函数(分母不为0)用 代入法求极限;
2.由无穷大量和无穷小量的关系求极限
例
求
4x 1
lim
x1
x2
2x
. 3
解 lim(x2 2x 3) 0 商的法则不能用 x1 又 lim(4x 1) 3 0, x1 lim x2 2x 3 0 0. x1 4x 1 3
例 求极限 lim ( x2 3 x2 1) x
lim (
x
x2 3
x2 1) lim ( x2 3 x2 1)( x2 3
x
x2 3 x2 1
lim
2
0
x x2 3 x2 1
x2 1)
例 求 lim x2 +4 2 . x0 x2 +9 3
(分子分母有理化消去零因子)
说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法 是都换成最大的和最小的。
例 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim
n2 n n
1 1 1 1,
n
n
1
lim