上海市交大附中高一期末数学试卷(含答案)

交大附中高一期末数学试卷

2016.06

一. 填空题

1. 无限循环小数0.036化成最简分数为

2.

函数y =的定义域是

3. 若{}n a 是等比数列，18a =，41a =，则2468a a a a +++=

4. 函数()tan cot f x x x =+的最小正周期为

5. 已知,a b R ∈且2lim(

)31

n an bn

n n →∞+-=+，则22a b += 6. 用数学归纳法证明“111

12321

n n +++⋅⋅⋅+<-*(,1)n N n ∈>”时，由n k =(1)k >不

等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数共 项

7. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、

C 的对边分别为a 、b 、c ，

若a =2c =，120A ︒=， 则ABC S ∆=

8. 函数()arcsin(cos )f x x =，5[,]46

x ππ

∈的值域为

9. 数列{}n a 满足

12225222

n n

a a a n ++⋅⋅⋅+=+，*

n N ∈，则n a = 10. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[sin1][sin 2][sin3][sin10]+++⋅⋅⋅+= 11. 已知2

25sin

sin 240αα+-=，α为第二象限角，则cos

2

α

=

12. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学 科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形 规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是

13. 数列{}n a 满足：,21(0.5),2n

n n

q n k a n k

⎧=-⎪=⎨=⎪⎩，*

k N ∈， {}n a 的前n 项和记为n S ，若lim 1n n S →∞

≤，则实数q 的

取值范围是

14. 已知数列{}n a 满足：1a m =*

()m N ∈，10.531n

n n

a a a +⎧=⎨+⎩ n n a a 当为偶数时当为奇数时，若61a =，

写出m 所有可能的取值

二. 选择题

15. 设a 、b 、c 是三个实数，则“2

b a

c =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 16. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>>≤

局部图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为（ ） A. 3sin(2)26y x π=+ B. 3sin(2)26y x π

=- C. 3sin(2)23y x π=

+ D. 3sin(2)23

y x π=- 17. 若数列{}n a 对任意2n ≥()n N ∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面给出关于数 列{}n a 的四个命题：① {}n a 可以是等差数列；② {}n a 可以是等比数列；③ {}n a 可以既 是等差又是等比数列；④ {}n a 可以既不是等差又不是等比数列； 则上述命题中，正确的个数为（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

18. 若数列{}n a 前12项的值各异，且12n n a a +=对任意的*

n N ∈都成立，则下列数列中可

取遍{}n a 前12项值的数列为（ ）

A. 31{}k a +

B. 41{}k a +

C. 51{}k a +

D. 61{}k a +

三. 解答题

19. 已知函数()cos 2sin 22f x a x x a b =-++(0)a ≠，[0,]2

x π

∈，值域为[5,1]-，

求常数a 、b 的值；

20. 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了他们的工资标准：A 公司允诺第 一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B 公司允诺第一年月 工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：

（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资分别是多少； （2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？

21. 如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，

1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥，点P 在

边AB 上，设MOD θ∠=；

（1）若30θ︒

=，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的三角形铁皮PMN 面积的最大值；

22. 在xOy 平面上有一点列111(,)P a b 、222(,)P a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n P a b 、⋅⋅⋅，对每个正整数n ， 点n P 位于函数1000()6

x

a

y =(06)a <<的图像上，且点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一 个以n P 为顶角顶点的等腰三角形； （1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式；

（2）若对每个自然数n ，以n b 、1n b +、2n b +为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围； （3）设12n n B b b b =⋅⋅⋅*

()n N ∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{}n B 的 最大项的项数是多少？试说明理由；

23. 设递增数列{}n a 共有k 项，定义集合{|,1}k i j A x x a a i j k ==+≤<≤，将集合k A 中 的数按从小到大排列得到数列{}n b ；

（1）若数列{}n a 共有4项，分别为11a =，23a =，34a =，46a =，写出数列{}n b 的各 项的值；

（2）设{}n a 是公比为2的等比数列，且10.52a <<，若数列{}n b 的所有项的和为4088， 求1a 和k 的值；

（3）若5k =，求证：{}n a 为等差数列的充要条件是数列{}n b 恰有7项；