上海市交大附中高一期末数学试卷(含答案)

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2020年上海交通大学附属中学高一数学理上学期期末试题含解析

2020年上海交通大学附属中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若∈（），且3cos2=sin（），则sin2的值为A．一 B． C．一 D.参考答案：A2. 奇函数在是增函数，且，若函数对所有的，都成立，求实数的取值范围（）B. C. 或 D. 或或参考答案：D略3. 设A={}, B={}, 下列各图中能表示从集合A到集合B的映射是( )参考答案：D4. 使根式分别有意义的的允许值集合依次为M、F,则使根式有意义的的允许值集合可表示为（）A、 B、 C、 D、参考答案：B5. 已知函数，则f[f（﹣1）]=（）A．0 B．1 C．2 D．参考答案：C【考点】分段函数的应用．【分析】由已知中函数，将x=﹣1代入可得答案．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=1，∴f[f（﹣1）]=f（1）=2，故选：C6. 如果集合中只有一个元素，则的值是（）A.0B.0或1C.1D.不能确定参考答案：B7. 如果sin α + cos α > tan α + cot α，那么角α的终边所在的象限是（）（A）一或二（B）二或三（C）二或四（D）一或四参考答案：C8. 已知表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则参考答案：D【分析】利用线面平行、线面垂直的判定定理与性质依次对选项进行判断，即可得到答案。

【详解】对于A，当时，则与不平行，故A不正确；对于B，直线与平面平行，则直线与平面内的直线有两种关系：平行或异面，故B不正确；对于C，若，则与不垂直，故C不正确；对于D，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故D正确；故答案选D【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系相关定理的应用，属于中档题。

9. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A. B.C. D.参考答案：D试题分析：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱，下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱．考点：三视图．10. 如图在三棱锥中,E?F是棱AD上互异的两点,G?H是棱BC上互异的两点,由图可知①AB与CD互为异面直线;②FH分别与DC?DB互为异面直线;③EG与FH互为异面直线;④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是 ( )A.①③B.②④C.①②④D.①②③④参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为______________________参考答案：12. 集合的非空真子集的个数为_____________.参考答案：6略13. 函数的图像恒过的点是______________参考答案：（1,－1）14. 下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；（4）y=1+x和y=表示相等函数．（5）若函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]，则函数f（2x）的定义域为．其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）参考答案：（5）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），如函数y=﹣，在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，不能说f（x）是增函数；（2），若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0，a＞0或a＜0，a=b=0时，与x轴没有交点，（3），y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞），（﹣∞，﹣1]；（4），y=1+x和y=的对应法则、值域不一样，表示不相等函数．（5），若函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]?0≤x﹣1≤1，则函数f（2x）满足0≤2x≤1，定义域为．【解答】解：对于（1），如函数y=﹣，在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，不能说f（x）是增函数，故错；对于（2），若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0，a＞0或a＜0，a=b=0时，与x轴没有交点，故错，对于（3），y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，故错；对于（4），y=1+x和y=的对应法则、值域不一样，表示不相等函数，故错．对于（5），若函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]?0≤x﹣1≤1，则函数f（2x）满足0≤2x≤1，定义域为，故正确．故答案为：（5）15. 直线被圆截得的弦长为．参考答案：16. 把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是____参考答案：一条直线两点17. 已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，则m的取值范围是______．参考答案：【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点满足，则平面区域内必存在一个C点在直线的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．【详解】作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为，直线的斜率为，斜截式方程为，要使平面区域内存在点满足，则点必在直线的下方，即，解得，并且A在直线的上方；，可得，解得，故m的取值范围是：故答案为【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年上海交大附中高一(下)期末数学试卷

2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）计算：arcsin （sin 5π6 ）=___ ．2.（填空题.3分）关于未知数x.y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) .则此方程组的解x+y=___ ．3.（填空题.3分）设 a ⃗=(32，sinα) . b ⃗⃗=(cosα，13) .且 a ⃗ || b ⃗⃗ .则cos2α=___ ． 4.（填空题.3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π3 .则a=___ ． 5.（填空题.3分）已知平面向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |= √3 .| b ⃗⃗ |=2. a ⃗•b ⃗⃗ =-3.则| a ⃗+2b ⃗⃗ |=___ ． 6.（填空题.3分）设S 1=12.S 2=12+22+12.S 3=12+22+32+22+12.….S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12．希望证明S n =n(2n 2+1)3.在应用数学归纳法求证上式时.第二步从k 到k+1应添的项是___ ．（不用化简）7.（填空题.3分）已知 a ⃗ + b ⃗⃗ + c ⃗ = 0⃗⃗ .且| a ⃗ |=3.| b ⃗⃗ |=4.| c ⃗ |=5.则 a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗ • c ⃗ + c ⃗ • a ⃗ =___ . a ⃗ • b⃗⃗ =___ ． 8.（填空题.3分）若数列{a n }为无穷等比数列.且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2.则a 1的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设数列{a n }是公比为q 的等比数列.则 |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =___ ． 10.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（5.5）. b ⃗⃗ =（λ.1）.若 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ - b ⃗⃗ 的夹角是锐角.则实数λ的取值范围为___ ．11.（填空题.3分）如图.已知O 为矩形ABCD 内的一点.且OA=2.OC=4.AC=5.则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．12.（填空题.3分）已知平面直角坐标系内定点A （1.1）.动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为___ ．13.（单选题.3分）要得到函数y=3sin （2x+ π3 ）的图象.只需将函数y=3sin2x 的图象（）A.向左平移 π3 个单位长度 B.向右平移 π3 个单位长度 C.向左平移 π6 个单位长度 D.向右平移 π6 个单位长度14.（单选题.3分）O 是平面上一定点.A 、B 、C 是平面上不共线的三个点.动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) .λ∈[0.+∞）.则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心15.（单选题.3分）已知数列{a n }为等差数列.a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0.设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.当{b n }的前n 项和S n 最小时.n 的值有（） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个16.（单选题.3分）设O 为△ABC 所在平面内一点.满足2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -7 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（） A.6 B. 83 C. 127 D.417.（问答题.0分）解关于x 、y 的一元二次方程组 {ax +3y =−a −3x +(a −2)y =−2 .并对解的情况进行讨论．18.（问答题.0分）已知x∈R .设 m ⃗⃗⃗ =（ √3 cosx.sinx-cosx ）. n ⃗⃗ =（2sinx.sinx+cosx ）.记函数f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ ．（1）求函数f （x ）的最小值.并求出函数f （x ）取最小值时x 的值；（2）设△ABC 的角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.若f （C ）=2.c=2 √3 .求△ABC 的面积S 的最大值．19.（问答题.0分）已知△ABC 内接于⊙O .AB=c.BC=a.CA=b.⊙O 的半径为r ．（1）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .试求∠BOC 的大小；（2）若A 为动点.∠BAC=60°. AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .试求λ+μ的最大值．20.（问答题.4分）已知平方和公式：12+22+…+n 2= n (n+1)(2n+1)6.其中n∈N*．（1）记f （n ）=（-3n+1）2+…+（-5）2+（-2）2+12+42+…+（3n-2）2.其中n∈N*.求f （20）的值；（2）已知 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 .求自然数n 的值；（3）抛物线y=kx 2、x 轴及直线AB ：x=a 围成了如图（1）的阴影部分.AB 与x 轴交于点A.把线段OA 分成n 等份.作以 an为底的内接矩形如图（2）.阴影部分的面积为S.等于这些内接矩形面积之和．a n×k×（ a n）2 +a n×k×（ 2a n）2 +a n×k×（ 3a n）2+…+ a n×k×（ n−1na ）2. 当n→+∞时的极限值S=n→∞[k•（ 1n）2+k•（ 2n）2+k•（ 3n）2+…+k•（n−1n ）2]2• an= n→∞ 12+22++(n−1)2n 3 •ak= n→∞(n−1)•n•(2n−1)6n 3 •ak= 13 ak ．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2=x．抛物线y= √x、x轴及直线AB：x=4围成了图中的阴影部分.请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）21.（问答题.0分）设数列{a n}的前n项和为S n.2S n+a n=3.n∈N*.数列{b n}满足：对于任意的）n-1+3n-3成立．n∈N*.都有a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n=a n b n.问：数列{c n}中是否存在三项.使得它们构成等差数列？若存在.求出这三项；若不存在.请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）计算：arcsin （sin 5π6 ）=___ ．【正确答案】：[1] π6【解析】：由题意利用反正弦函数的定义.特殊角的三角函数值.求得结果．【解答】：解：arcsin （sin 5π6 ）=arcsin 12 = π6 . 故答案为： π6 ．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义.特殊角的三角函数值.属于基础题． 2.（填空题.3分）关于未知数x.y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) .则此方程组的解x+y=___ ．【正确答案】：[1] 307【解析】：推导出 {2x +y =63x −2y =0 .由此能求出x+y 的值．【解答】：解：∵关于未知数x.y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) . ∴ {2x +y =63x −2y =0 .解得 {x =127y =187 . ∴x+y= 307．故答案为： 307 ．【点评】：本题考查方程的解求法.考查增广矩阵等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（填空题.3分）设 a ⃗=(32，sinα) . b ⃗⃗=(cosα，13) .且 a ⃗ || b ⃗⃗ .则cos2α=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：由平面向量的共线定理列方程求出sin2α的值.再求cos2α的值．【解答】：解：由 a ⃗=(32，sinα) . b ⃗⃗=(cosα，13) .且 a ⃗ || b ⃗⃗ . 则sinαcosα- 32 × 13 =0. 所以sinαcosα= 12 . 所以sin2α=1；所以2α= π2 +2kπ.k∈Z ；所以cos2α=0．故选：0．【点评】：本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题.是基础题． 4.（填空题.3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π3 .则a=___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：由题意化简函数f （x ）.将函数的对称轴代入可得辅助角的值.进而求出正切值.可得a 的值．【解答】：解：由题意显然a≠0.当a ＞0时.f （x ）= √a 2+1 sin （x+α）.且tanα= 1a . 因为函数的一条对称轴为x= π3.所以 π3+α= π2+kπ.k∈Z . 所以α= π6+kπ.k∈Z . 则tanα=tan （ π6+kπ）= √33. 所以 √33= 1a.解得：a= √3 ；当a ＜0.则f （x ）=- √a 2+1 sin （x+α）.且tanα= 1a . 下面运算相同. 综上所述.可得a= √3 . 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查三角函数的化简即正弦函数的性质.属于基础题．5.（填空题.3分）已知平面向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |= √3 .| b ⃗⃗ |=2. a ⃗•b ⃗⃗ =-3.则| a ⃗+2b ⃗⃗ |=___ ．【正确答案】：[1] √7【解析】：求出（a⃗+2b⃗⃗）2.开方即为| a⃗+2b⃗⃗ |．【解答】：解：（a⃗+2b⃗⃗）2= a⃗2+4a⃗•b⃗⃗+4b⃗⃗2 =3-12+16=7.∴| a⃗+2b⃗⃗ |= √7．故答案为：√7．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.属于基础题．6.（填空题.3分）设S1=12.S2=12+22+12.S3=12+22+32+22+12.….S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n= n(2n2+1).在应用数学归纳法求证上式时.第二步从k到k+1应添的项是___ ．（不用化简）3【正确答案】：[1]（k+1）2+k2【解析】：分别写出n=k与n=k+1时S n中的项.然后确定从k到k+1应添的项．【解答】：解：当n=k时.S n=12+22+32+…+k2+…+32+22+12.那么.当n=k+1时.S k+1=12+22+32+…k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12．从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2.故答案为：（k+1）2+k2．【点评】：本题考查数学归纳法证题的步骤.考查逻辑思维能力与推理论证能力.是基础题．7.（填空题.3分）已知a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗ .且| a⃗ |=3.| b⃗⃗ |=4.| c⃗ |=5.则a⃗• b⃗⃗ + b⃗⃗• c⃗ + c⃗• a⃗ =___ . a⃗• b⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-25; [2]0【解析】：首先.根据a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗得到c⃗=−(a⃗+b⃗⃗) .然后.根据| c⃗ |=5.求解a⃗•b⃗⃗=0 .然后.再求解a⃗• b⃗⃗ + b⃗⃗• c⃗ + c⃗• a⃗的值．【解答】：解：∵ a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗ .∴ c⃗=−(a⃗+b⃗⃗) .∵| c⃗ |=5.∴（a⃗+b⃗⃗）2=25.∴| a⃗|2+2a⃗•b⃗⃗+|b⃗⃗|2 =25.∵| a⃗ |=3.| b⃗⃗ |=4.∴9+2 a⃗•b⃗⃗ +16=25.a ⃗•b⃗⃗=0 . ∴ a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗ • c ⃗ + c ⃗ • a ⃗ = a ⃗ • b ⃗⃗ + c ⃗ •（ a ⃗ + b ⃗⃗ ） = a ⃗•b ⃗⃗ -（ a ⃗+b ⃗⃗ ）2 =0-25=-25．故答案为：-25；0．【点评】：本题重点考查了平面向量的基本运算.数量积的运算性质等知识.属于中档题． 8.（填空题.3分）若数列{a n }为无穷等比数列.且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2.则a 1的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-4.-2）∪（-2.0）【解析】：设公比为q.由题意可得0＜|q|＜1.且 a11−q =-2.解不等式可得所求范围．【解答】：解：数列{a n }为无穷等比数列.且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2.设公比为q.可得0＜|q|＜1.且 a11−q =-2.则q=1+ a12 .由0＜|1+ a12 |＜1.解得-4＜a 1＜-2或-2＜a 1＜0. 故答案为：（-4.-2）∪（-2.0）．【点评】：本题考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题． 9.（填空题.3分）设数列{a n }是公比为q 的等比数列.则 |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：利用三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n }是公比为q 的等比数列. ∴ |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =a 1a 5a 9+a 4a 8a 3+a 2a 6a 7-a 7a 5a 3-a 8a 6a 1-a 4a 2a 9 = a 13q 12 + a 13q 12 + a 13q 12 - a 13q 12 - a 13q 12 - a 13q 12 =0．故答案为：0．【点评】：本题考查三阶行列式的值的求法.考查三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．10.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（5.5）. b ⃗⃗ =（λ.1）.若 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ - b ⃗⃗ 的夹角是锐角.则实数λ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-7.1）∪（1.7）【解析】：可先求出 a ⃗+b ⃗⃗=(λ+5，6)，a ⃗−b ⃗⃗=(5−λ，4) .根据题意即可得出 {(λ+5)(5−λ)+24＞04(λ+5)−6(5−λ)≠0.然后解出λ的值即可．【解答】：解： a ⃗+b ⃗⃗=(λ+5，6)，a ⃗−b ⃗⃗=(5−λ，4) . ∵ a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b⃗⃗ 的夹角是锐角. ∴ (a ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)＞0 .且 a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 不共线. ∴ {(λ+5)(5−λ)+24＞04(λ+5)−6(5−λ)≠0 .解得-7＜λ＜7且λ≠1.∴实数λ的取值范围为（-7.1）∪（1.7）．故答案为：（-7.1）∪（1.7）．【点评】：本题考查了向量坐标的加法和减法运算.向量数量积的计算公式.共线向量的坐标关系.考查了计算能力.属于基础题．11.（填空题.3分）如图.已知O 为矩形ABCD 内的一点.且OA=2.OC=4.AC=5.则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]- 52【解析】：建立坐标系.设O （m.n ）.C （a.b ）.根据条件得出O.C 的坐标之间的关系.再计算 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：以A 为原点.以AB.AD 为坐标轴建立平面直角坐标系. 设O （m.n ）.B （a.0）.D （0.b ）.则C （a.b ）. ∵OA=2.OC=4.AC=5.∴ {a 2+b 2=25m 2+n 2=4(m −a )2+(n −b )2=16 .整理可得：am+bn= 132 ．又 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-m.-n ）. OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-m.b-n ）. ∴ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m （m-a ）+n （n-b ）=m 2+n 2-（am+bn ）=4- 132 =- 52 ．故答案为：- 52 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.属于中档题．12.（填空题.3分）已知平面直角坐标系内定点A （1.1）.动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为___ ．【正确答案】：[1]24π【解析】：本题先将B 固定.得到C 的轨迹.C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环.即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】：解：因为动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.所以B 点的轨迹是以A 为圆心.2为半径的一个圆. 又因为动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.所以C 点轨迹是以B 为圆心.3为半径的一个圆. 当B 点在圆上运动时.C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环.其中大圆的半径为5.小圆的半径是1.所以C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为52π-12π=24π．【点评】：本题考查根据曲线的轨迹方程求面积.考查学生的直观想象能力和作图能力.易错点是把覆盖的面积看成一整个圆.属于中档题．13.（单选题.3分）要得到函数y=3sin（2x+ π3）的图象.只需将函数y=3sin2x的图象（）A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向右平移π6个单位长度【正确答案】：C【解析】：由于函数y=3sin（2x+ π3）=3sin2（x+ π6）.故只要将函数y=3sin2x的图象相左平移π6个单位即可实现目标．【解答】：解：由于函数y=3sin（2x+ π3）=3sin2（x+ π6）.故只要将函数y=3sin2x的图象相左平移π6个单位.即可得到函数y=3sin（2x+ π3）的图象．故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.属于中档题．14.（单选题.3分）O 是平面上一定点.A 、B 、C 是平面上不共线的三个点.动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) .λ∈[0.+∞）.则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心【正确答案】：B【解析】：先根据 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量.确定 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的方向与∠BA C 的角平分线一致.再由OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) 可得到 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）.可得答案．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量 ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的方向与∠BAC 的角平分线一致又∵ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) .∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|） ∴向量 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与∠BAC 的角平分线一致 ∴一定通过△ABC 的内心故选：B ．【点评】：本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．15.（单选题.3分）已知数列{a n }为等差数列.a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0.设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.当{b n }的前n 项和S n 最小时.n 的值有（） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【正确答案】：B【解析】：根据等差数列的性质.可推得a 100=0.进而可得数列{a n }为递增数列.a 99＜0.a 101＞0.根据题意.b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.当n≤97时.b n ＜0；当n=98.n=99.n=100时.b n =0；当n≥101时.b n ＞0．所以{b n }的前n 项和S n 最小时.n=97或n=98或n=99或n=100.共4个．【解答】：解：∵数列{a n }为等差数列 ∴a 1+a 199=a 2+a 198=…=a 99+a 101=2a 100. 又∵a 1+a 2+a 3+…+a 199=0. 即199a 100=0. ∴a 100=0．又∵a 1＜0.∴数列{a n }为递增数列. ∴a 99＜0.a 101＞0.∵b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.∴{b n }的前n 项和S n =a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n+1a n+2. 当n≤97时.b n ＜0.当n=98.n=99.n=100时.b n =0. 当n≥101时.b n ＞0.∴{b n }的前n 项和S n 最小时.n=97或n=98或n=99或n=100.共4个．故选：B ．【点评】：本题主要考查等差数列的性质.考查数列的前n 项和的最值.考查学生运算和推理的能力.属于中档题．16.（单选题.3分）设O 为△ABC 所在平面内一点.满足2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -7 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（） A.6 B. 83 C. 127 D.4【正确答案】：D【解析】：先设 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .于是得到点O 是△A 1B 1C 1的重心.则 S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1 =k.再结合三角形面积公式即可求出△ABC 的面积与△BOC 的面积.进而得到答案．【解答】：解：不妨设 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .如图所示.根据题意则 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ .即点O 是△A 1B 1C 1的重心.所以有 S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1 =k. 又因为 S △OBCS△OB 1C 1=OB•OCOB1•OC 1=121 . S △OABS△OA 1B 1=OA•OB OA1•OB 1=114 . S △OACS△OA 1C 1=OA•OC OA1•OC 1=16 .那么 S △OBC =121k . S △OAB =114k . S △OAC =16k .S △ABC =S △OAB +S △OAC −S △OBC =(114+16−121)k =421k . 故△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为 421k 121k =4 ．故选：D ．【点评】：本题考查了向量的数乘运算.重心的性质.三角形的面积公式.考查了转化与化归的数学思想.属于难题．17.（问答题.0分）解关于x 、y 的一元二次方程组 {ax +3y =−a −3x +(a −2)y =−2 .并对解的情况进行讨论．【正确答案】：【解析】：（1）若 a1 = 3a−2 = −a−3−2（a-2≠0）.解得a.可得方程组有无数个解．（2）若 a1 = 3a−2 ≠−a−3−2（a-2≠0）.解得a.可得方程组无解．（3）若a=2时.方程组化为： {2x +3y =−5x =−2 .解出即可判断出结论．．若a-2≠0. a1 ≠ 3a−2 .解出可得方程组有唯一解．【解答】：解：（1）若 a1 = 3a−2 = −a−3−2（a-2≠0）.则a=3.此时两条直线重合.方程组有无数个解．（2）若 a1 = 3a−2 ≠−a−3−2（a-2≠0）.则a=-1.此时两条直线平行.方程组无解．（3）若a=2时.方程组化为： {2x +3y =−5x =−2 .解得 {x =−2y =−13 ．若a-2≠0. a 1≠ 3a−2.则a≠3.-1.2.此时两条直线相交.方程组有唯一解 {x =−a−4a+1y =−1a+1．【点评】：本题考查了方程组的解法、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题． 18.（问答题.0分）已知x∈R .设 m ⃗⃗⃗ =（ √3 cosx.sinx-cosx ）. n ⃗⃗ =（2sinx.sinx+cosx ）.记函数f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ ．（1）求函数f （x ）的最小值.并求出函数f （x ）取最小值时x 的值；（2）设△ABC 的角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.若f （C ）=2.c=2 √3 .求△ABC 的面积S 的最大值．【正确答案】：【解析】：结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f （x ）=2sin （2x- π6 ）．（1）根据正弦函数的图象可知.当2x- π6= −π2+2kπ时.f （x ）可取得最小值．（2）易知C= π3 .由余弦定理得.cosC= a 2+b 2−c 22ab .再利用基本不等式的性质可求出ab 的最大值.然后根据S △ABC = 12 absinC 即可得解．【解答】：解：f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ =2 √3 sinxcosx+（sinx-cosx ）（sinx+cosx ）= √3 sin2x-cos2x=2sin （2x- π6 ）．（1）∵x∈R .∴2x - π6 ∈R .当2x- π6 = −π2 +2kπ.即x= −π6 +kπ.k∈Z 时.f （x ）min =2×（-1）=-2．故f （x ）的最小值为-2.此时x= −π6 +kπ.k∈Z ．（2）∵f （C ）=2.∴2sin （2C- π6 ）=2.∴2C - π6 = π2 +2π.k∈Z .即C= π3 +kπ.k∈Z ． ∵C∈（0.π）.∴C= π3 ．由余弦定理知.cosC= a 2+b 2−c 22ab .即 12 = a 2+b 2−122ab ≥ 2ab−122ab .当且仅当a=b 时.取等号．∴ab≤12.∴S △ABC = 12 absinC≤ 12×12×√32= 3√3 ．故△ABC 的面积S 的最大值为 3√3 ．【点评】：本题考查平面向量与解三角形的综合运用.包含平面向量数量积的运算、二倍角公式、余弦定理以及基本不等式的性质等基础考点.考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力.属于中档题．19.（问答题.0分）已知△ABC 内接于⊙O .AB=c.BC=a.CA=b.⊙O 的半径为r ．（1）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .试求∠BOC 的大小；（2）若A 为动点.∠BAC=60°. AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .试求λ+μ的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .得∴- OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .等式两边同时平方.即可求得cos∠BOC=- √32 .进而求得∠BOC= 56π ．（2）因为⊙O 中.∠BAC=60°.所以∠BOC=120°. AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .等式两边同时平方.可得λ2+μ2=λμ+1.根据均值不等式.即可求得λ+μ≤2．【解答】：解：（1）∵ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ . ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=（2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2. ∵AO=OB=OC=r .∴r 2=4r 2+2•2• √3 r 2•cos∠BOC+3r 2. 计算得cos∠BOC=- √32 . 由题.∠BOC∈（0.π）. ∴∠BOC= 56π ．（2）由题.⊙O 中.∠BAC=60°. ∴∠BOC=120°. AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=（ λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2. ∴r 2=λ2r 2+2•λ•μr 2•cos120°+μ2r 2. ∴λ2+μ2=λμ+1.根据题意.可知λ＞0.μ＞0. ∴（λ+μ）2=3λμ+1≤3• (λ+μ)24+1.（当且仅当λ=μ时等式成立）.∴（λ+μ）2≤4 ∴λ+μ≤2．∴λ+μ的最大值为2．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的应用及基本不等式的应用．考查学生转化的思想.属于中档题．20.（问答题.4分）已知平方和公式：12+22+…+n 2=n (n+1)(2n+1)6.其中n∈N*．（1）记f （n ）=（-3n+1）2+…+（-5）2+（-2）2+12+42+…+（3n-2）2.其中n∈N*.求f （20）的值；（2）已知 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 .求自然数n 的值；（3）抛物线y=kx 2、x 轴及直线AB ：x=a 围成了如图（1）的阴影部分.AB 与x 轴交于点A.把线段OA 分成n 等份.作以 an 为底的内接矩形如图（2）.阴影部分的面积为S.等于这些内接矩形面积之和．an ×k×（ an ）2 +an ×k×（ 2an ）2 +an ×k×（ 3an ）2+…+ an ×k×（ n−1na ）2. 当n→+∞时的极限值S=n→∞[k•（ 1n ）2+k•（ 2n ）2+k•（ 3n ）2+…+k•（n−1n ）2]2• a n=n→∞12+22++(n−1)2n 3 •ak= n→∞(n−1)•n•(2n−1)6n 3 •ak= 13 ak ．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y 2=x ．抛物线y= √x 、x 轴及直线AB ：x=4围成了图中的阴影部分.请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）【正确答案】：【解析】：（1）直接利用关系式的应用求出函数的值．（2）利用合比性质的应用求出n 的值．（2）首先求出被积函数原函数.进一步求出定积分的值．【解答】：解：（1）f （20）=（-59）2+（-56）2+...+（-5）2+（-2）2+12+42+...+（58）2. =12+22+32+...+592-[32+62+92+ (572)=12+22+32+…+592-[（3×1）2+（3×2）2+（3×3）2+…+（3×19）2] =12+22+32+…+592-[9×（12+22+32+…+192）] =59×(59+1)×(2×59+1)6 -9× 19×(19+1)(2×19+1)6=47980；（2） 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 .由合比性质可知 12+32+⋯+(2n+1)2+22+42+⋯+(2n )222+42+⋯+(2n )2 = 49+4848. 所以(2n+1)[(2n+1)+1][2(2n+1)+1]64×n (n+1)(2n+1)6= 9748 .解得n=72.所以自然数n 的值为72．（3）S= ∫√x 40dx = 23x 32|04=163．【点评】：本题考查的知识要点：数列的求和.合比性质.定积分.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设数列{a n}的前n项和为S n.2S n+a n=3.n∈N*.数列{b n}满足：对于任意的n∈N*.都有a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13）n-1+3n-3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n=a n b n.问：数列{c n}中是否存在三项.使得它们构成等差数列？若存在.求出这三项；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）将n换为n-1.运用数列的递推式.结合等比数列的定义和通项公式.可得所求通项；（2）a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13）n-1+3n-3中的n换为n-1.乘以13.相减可得所求通项公式；（3）求得c n=a n b n= 2n−13n−1.讨论单调性.假设存在三项c s.c p.c r成等差数列.其中s.p.r∈N*.运用等差数列中项性质和不等式的性质.推理运算.即可得到所求结论．【解答】：解：（1）由2S n+a n=3. ①得2S n-1+a n-1=3.（n≥2）. ②由① - ② 得2a n+a n-a n-1=0.即a n= 13a n-1（n≥2）．对① 取n=1得.a1=1≠0.所以a n≠0.所以{a n}为等比数列.首项为1.公比为13.即a n=（13）n-1.n∈N*．（2）由a n=（13）n-1.可得对于任意n∈N*．有b n+ 13 b n-1+（13）2b n-2+…+（13）n-1b1=（13）n-1+3n-3. ③则b n-1+ 13 b n-2+（13）2b n-3+…+（13）n-2b1=（13）n-2+3n-6.n≥2. ④则13 b n-1+（13）2b n-2+（13）3b n-3+…+（13）n-1b1=（13）n-1+n-2.n≥2. ⑤由③ - ⑤ 得b n=2n-1（n≥2）.对③ 取n=1得.b1=1也适合上式. 因此b n=2n-1.n∈N*．（3）由（1）（2）可知c n =a n b n = 2n−13n−1 . 则c n+1-c n =2n+13n - 2n−13n−1 = 4(1−n )3n. 所以当n=1时.c n+1=c n .即c 1=c 2.当n≥2时.c n+1＜c n .即{c n }在n≥2且n∈N*上单调递减. 故c 1=c 2＞c 3＞c 4＞c 5＞….假设存在三项c s .c p .c r 成等差数列.其中s.p.r∈N*. 由于c 1=c 2＞c 3＞c 4＞c 5＞….可不妨设s ＜p ＜r.则2c p =c s +c r （*）. 即2(2p−1)3p−1 = 2s−13s−1 + 2r−13r−1. 因为s.p.r∈N*.且s ＜p ＜r.则s≤p -1且p≥2. 由数列{c n }的单调性可知.c s ≥c p-1.即 2s−13s−1 ≥ 2p−33p−2. 因为c r =+ 2r−13r−1 .＞0. 所以 2(2p−1)3p−1 = 2s−13s−1 + 2r−13r−1 ＞ 2p−33p−2 . 即以2(2p−1)3p−1 ＞ 2p−33p−2.化简得p ＜ 72 .又p≥2且p∈N*.所以p=2或p=3.当p=2时.s=1.即c 1=c 2=1.由r≥3时.c r ＜c 2=1. 此时c 1.c 2.c r 不构成等差数列.不合题意．当p=3时.由题意s=1或s=2.即c s =1.又c p =c 3= 59 . 代入（*）式得c r = 19 ．因为数列{c n }在n≥2且n∈N*上单调递减.且c 5= 19 . r≥4.所以r=5．综上所述.数列{c n }中存在三项c 1.c 3.c 5或c 2.c 3.c 5构成等差数列．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法.注意运用数列的递推式.考查等差数列中项性质.以及分类讨论思想方法.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。

上海市交大附中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)

交大附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 已知a 、b 为常数，若24lim 123n an bn n →∞++=+，则a b += 2. 已知数列4293n a n=-，若对任意正整数n 都有n k a a ≤，则正整数k = 3. 已知4cos()5πα-=，且α为第三象限角，则tan α的值等于 4. 将无限循环小数0.145化为分数，则所得最简分数为5. 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为6. 已知数列{}n a 满足：3122123n n a a a a n+++⋅⋅⋅+=（n *∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则5S =7. 三角方程sin2cos x x =在[0,]π内的解集合为8. 将正整数按下图方式排列，2019出现在第i 行第j 列，则i j += 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅9. 已知()sin(2)3f x x π=+，若对任意x ∈R ，均有()()()f a f x f b ≤≤，则||a b -的最小值为10. 已知数列{}n a 满足11(3)(2)0n n n n a a a a ++--⋅-=，若13a =，则4a 的所有可能值的和为11. 如图△ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，M 为 AB 边上的动点，MD AC ⊥，D 为垂足，则MD MC +的最小值为12. 设01a <<，数列{}n a 满足1a a =，1n a n a a +=，将{}n a 的前100项从大到小排列的得到数列{}n b ，若k k a b =，则k 的值为二. 选择题13. 设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“lim 0n n a →∞=”是“lim 0n n S →∞=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列n b n *∈N ）也是等比数列，若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（） A. 12n n a a a b n ⋅⋅⋅⋅⋅=是等差数列 B. 12n n a a a b n++⋅⋅⋅+=是等差数列C. n b =D. n b = 15. 下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（） A. 22tan21tan 2xy x =- B. 1cot y x = C. sin 21cos2x y x =+ D. 1cos2sin 2x y x -= 16. 设1cos 10n n a n π=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，在1220,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数是（） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20三. 解答题17. 已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值.18. 已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=.（1）若{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 单调递增，求1a 的取值范围.19.函数2()6cos )32xf x x ωω=-（0ω>）在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且为△ABC 正三角形.（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若0()f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.20. 如图是某神奇“黄金数学草”的生长图，第1阶段生长为竖直向上为1米的枝干，第2，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，，且与旧枝成120°，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依次生长，直到永远.（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；（精确到0.01米）（2）求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米）（3）求“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n a 满足11a =，1n n n a a d +-=，n *∈N .（1）若3n n d =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若4cos()n d n π=+，求数列{}n S 的通项公式；（3）若{|,}{1,2}n D x x d n *==∈=N ，是否存在数列{}n d 使得1720a =，17195S =？若存在，写出{}n d 前16项的值，若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 22. 93.34 4. 8555.6. 1307. 5{}626πππ，，8. 1289.2π 10. 69 11. 32 12. 50二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）2n a n =；（2）6k =.18.（1）21n a n =-；（2）1(0,2)a ∈.19.（1）4πω=；（2）()[f x ∈-.20.（1）(3)1f = （2）761[1][1](13)f ⨯-+-= （3）lim ()n f n →∞=. 21.（1）312n -；（2）2232225322122n n n n k S n n n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪-+=-⎪⎩，*k ∈N ；（3）116~d d ：2，1，2，1，2，1211,,1⋅⋅⋅个。

2023届上海市交大附中数学高一上期末统考试题含解析

当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
17、（1）1；（2）见解析；（3）[-1，3）.
【解析】(1)根据解得，再利用奇偶性的定义验证，即可求得实数的值；(2)先对分离常数后，判断出为递减函数，再利用单调性的定义作差证明即可；(3)先用函数的奇函数性质，再用减函数性质变形，然后分离参数可得，在内有解，令，只要 .
【详解】（1）依题意得，，故，此时，
对任意均有，
所以是奇函数，所以 .
（2）在上减函数，证明如下：任取，则
所以该函数在定义域上是减函数
（3）由函数为奇函数知，
，
又函数单调递减函数，从而，
即方程在内有解，
令，只要，
，且，∴
∴当时，原方程在内有解
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数值域的应用，属于难题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
A. B.
C. D.
4．函数的最小正周期是
A. B.
C. D.
5．sin1830°等于（）
A. B.
C. D.
6．已知，，且，则的最小值为（）
A.4B.9
C.10D.20.3，c=0.30.3，则a，b，c三者的大小关系是（）
A. B.
C. D.
8．若，，则下列结论正确的是（）
由条件（2） .可知函数可能为指数型函数.

2024届上海交大附中数学高一下期末考试模拟试题含解析

2024届上海交大附中数学高一下期末考试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设m ,n 为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，给出下列命题: ①若//m α，//m n ，则//n α； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确命题的序号是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④2．如图，AB 是圆O 的直径，点C D 、是半圆弧的两个三等分点，AC a =，AD b =，则AO =（）A ．b a -B ．12a b - C ．12a b -D ．22b a -3．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为 A ．B ．C ．D ．4．下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+5．函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．6．设向量a ，b 满足10a b +=，6a b -=，则•a b =（）A ．1B ．2C ．3D ．57．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论中错误的是（）A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值8．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）A ．B ．C ．D ．9．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +10．如果直线l 过点（2，1），且在y 轴上的截距的取值范围为（﹣1，2），那么l 的斜率k 的取值范围是（）A ．（12-，1） B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，12-）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020-2021学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（共6小题）.1．设集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，则实数m的取值范围是．2．设a，b，c为正实数，则的最小值为．3．若函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝，则f[f（x）]＝．4．（8分）若函数y＝f（x）的解析式为，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝．5．（8分）所有0到1之间且分母不大于10的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为．6．（8分）已知a，b为正实数，则的取值范围是．二、选择题（共2小题）.7．（8分）已知h＞0，则“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h”且|b﹣1|＜h的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件8．（8分）已知f（x）＝3x2﹣x+4，g（x）为多项式，若f（g（x））＝3x4+18x3+50x2+69x+48，那么g（x）的各项系数和可能为（）A．8B．9C．10D．11三、解答题（共3题，共42分）9．（16分）已知a为一个给定的实数，函数．（1）若a＝1，t为正实数，利用单调性的定义证明：“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，求实数a的取值范围．10．（10分）求证：二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．11．（16分）若数列{a n}对任意连续三项a i，a i+1，a i+2，均有，则称该数列为“跳跃数列”．（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1，2，3，4，5，…；②等比数列：；（2）跳跃数列{a n}满足对任意正整数n均有，求首项a1的取值范围．参考答案一、填空题（共6小题）.1．设集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，则实数m的取值范围是．解：因为集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，所以2∈M，或3∈M或M＝∅，当2∈M时，4﹣2m+6＝0，解得m＝5；当3∈M时，9﹣3m+6＝0，解得m＝5；当M＝∅时，△＝（﹣m）2﹣24＜0，解得，所以实数m的取值范围为．故答案为：．2．设a，b，c为正实数，则的最小值为．解：设a+b＝u，b+c＝v，c+a＝t，则u＞0，v＞0，t＞0，则a+b+c＝（u+v+t），a＝（u﹣v+t），b＝（u+v﹣t），c＝（﹣u+v+t），＝++，＝（+++++﹣3）＝[（+）+（+）+（+）﹣3]≥（2+2+2﹣3）＝，当且仅当u＝v＝t，即a＝b＝c时取得等号，则≥．所以的最小值为：．故答案为：．3．若函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝，则f[f（x）]＝1．解：若x为有理数，则f（x）＝1，所以f（f（x））＝f（1）＝1，若x是无理数，则f（x）＝0，则f（f（x））＝f（0）＝1，故答案为：1．4．（8分）若函数y＝f（x）的解析式为，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝4044．解：因为＝，所以f（﹣x）+f（x）＝+＝2，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝2021×2+2＝4044．故答案为：40445．（8分）所有0到1之间且分母不大于10的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为．解：结合题意，把[0，1]分成10份，则＝＝0.6，＝0.7，故所求的数在（0.6，0.7）之间，＝，＝≈0.667＞＝0.625故所求的数在（0.6，0.625）之间，而＜，不合题意，故分母小于7时均不合题意，故的后一项是，故答案为：．6．（8分）已知a，b为正实数，则的取值范围是[，1）．解：＝，令＝x＞0，f（x）＝，则f′（x）＝＝，令5x﹣2﹣1＞0，化为：17x2﹣10x﹣7＞0，解得x＞1．∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递减，x＞1时，函数f（x）单调递增．又f（0）＝，f（1）＝，x→+∞时，f（x）→1．∴f（x）∈[，1）．∴的取值范围是[，1）．二、选择题（每小题8分，共16分）7．（8分）已知h＞0，则“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h”且|b﹣1|＜h的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h得|a﹣b|＝|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h”的必要条件；不妨令h＝1，a＝0.5，b＝﹣0.3，|a﹣1|＝0.5＜1，而|b﹣1|＝1.3＞1，因而“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h”的充分条件．故选：B．8．（8分）已知f（x）＝3x2﹣x+4，g（x）为多项式，若f（g（x））＝3x4+18x3+50x2+69x+48，那么g（x）的各项系数和可能为（）A．8B．9C．10D．11解：由题意得g（x）的表达式是二次式，设g（x）＝ax2+bx+c，∴f（g（x））＝3（ax2+bx+c）2﹣（ax2+bx+c）+4＝3a2x4+6abx3+（3b2+6ac﹣a2）x2+（6bc﹣b）x+3c2﹣c+4＝3x4+18x3+50x2+69x+48，∴，解得，∴a+b+c＝8．故选：A．三、解答题（共3题，共42分）9．（16分）已知a为一个给定的实数，函数．（1）若a＝1，t为正实数，利用单调性的定义证明：“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，求实数a的取值范围．【解答】证明：（1）a＝1时，y＝f（x）＝x+，（充分性）：若0＜t≤1，设0＜x1＜x2≤t≤1，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）•＞0，所以f（x1）＞f（x2），故函数在区间（0，t]上是严格减函数，（必要性）：若函数在区间（0，t]上是严格减函数，设0＜x1＜x2≤t，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）•＞0，因为x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以x1x2﹣1＜0，所以0＜t≤1，故“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，当a＞0时，根据对勾函数的性质知，函数在x＝时取得最小值，不符合题意；当a≤0时，f（x）＝x+在∈（0，+∞）上单调递增，没有最小值，符合题意．故a≤0．10．（10分）求证：二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．【解答】证明：∵g（x）＝x3+x2+x+是在R上严格增的多项式函数，且k（x）＝x3+x+也是在R上严格增的多项式函数，显然，二次函数y＝x2＝g（x）﹣k（x），∴二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．11．（16分）若数列{a n}对任意连续三项a i，a i+1，a i+2，均有，则称该数列为“跳跃数列”．（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1，2，3，4，5，…；②等比数列：；（2）跳跃数列{a n}满足对任意正整数n均有，求首项a1的取值范围．解：（1）根据“跳跃数列”的定义，得：①等差数列：1，2，3，4，5，…不是跳跃数列；②等比数列：1，﹣，，﹣，，…是跳跃数列．（2）a n+1﹣a n＝（19﹣﹣5a n），a n+2﹣a n+1＝（﹣5a n﹣19）（19﹣﹣5a n），a n+2﹣a n＝（a n﹣2）（a n﹣3）（19﹣﹣5a n），①若a n+1＞a n，则a n+1＞a n+2＞a n，此时a n∈（，2）；②若a n+1＜a n，则a n+1＜a n+2＜a n，此时a n∈（3，）；若a n∈（，2），则a n+1＝∈（3，），∴a n∈（﹣2，2），若a n∈（3，），则a n+1＝∈（﹣2，2），∴a n∈（3，），∴a1∈（﹣2，2）∪（3，），此时对任何正整数n，均有a1∈（﹣2，2）∪（3，）．。

上海交大附中高一数学下学期年末试卷解析

上海交大附中高一数学下学期年末试卷解析【解析】【解析】的三个内角A.B.C成等差数列，所以，，又，所以，.设为边上的中点,那么,又,所以，，即，故△ABC为等边三角形，选.【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】i=1，S=0 S= ,i=2 S= ,i=3 S= + ,i=4 S= + + ,i=1007=1006+ 1，所以判断框内应填入的条件是i1006，应选D.【解析】【二】填空题【解析】【解析】【解析】【解析】【三】解答题(2)∵，，= =7【解析】【解析】(Ⅰ)设与夹角为，，而，，即又，所成与夹角为.(Ⅱ)∵所以.【解析】且对任意都有，且.所以对，对.于是.(2)由于对，对，所以二次函数的对称轴满足：，所以.由(1)知，，所以，于是.(3)因为的最大值为10，所以在的最大值为10，又因为二次函数开口向上且对称轴满足：，所以在单调递减，所以，于是.又由(1)知，，所以联立解得，所以的表达式为.【解析】【解析】证明：当角的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，而余弦线(正弦线)的长等于r(r=1)，所以|sin|+|cos|=1.与当今〝教师〞一称最接近的〝老师〞概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问«示侄孙伯安»诗云：〝伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

〞于是看，宋元时期小学教师被称为〝老师〞有案可稽。

清代称主考官也为〝老师〞，而一般学堂里的先生那么称为〝教师〞或〝教习〞。

可见，〝教师〞一说是比较晚的事了。

如今体会，〝教师〞的含义比之〝老师〞一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称〝教师〞为〝教员〞。

当角的终边落在四个象限时，设角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，过P 作PMx轴于点M(如图)，〝师〞之概念，大体是从先秦时期的〝师长、师傅、先生〞而来。

其中〝师傅〞更早那么意指春秋时国君的老师。

2024届上海交大附属中学高一数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2024届上海交大附属中学高一数学第二学期期末质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a =（） A ．8B ．16C ．32D ．642．在数列{a n }中，若a 112=，且对任意的n ∈N *有112n na n a n ++=，则数列{a n }前10项的和为（） A ．509256B ．511256C ．756512D ．7555123．如果直线l 过点（2，1），且在y 轴上的截距的取值范围为（﹣1，2），那么l 的斜率k 的取值范围是（）A ．（12-，1） B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，12-）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）4．若函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，且在y 轴上的截距为2，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，则ON 在OM 方向上的投影为（）A ．2929B ．2929-C ．55-D ．555．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( ) A ．()()22215x y -+-= B ．()()22125x y ++-= C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-=6．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（） A ．22(1)(1)2x y ++-= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=7．已知0a >，0b >，1a b +=，则14y a b=+的最小值是（） A ．72B ．4C ．9D ．58．函数()1,0252sin 2,0,6x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( ) A ．10102,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．552,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10101,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭9．已知,,a b c ∈R ，且a b >，则（） A ．ac bc >B ．22a b >C ．11a b< D ．33a b >10．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5D ．m =3, n = 5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年上海交大附中高一(下)期末数学试卷及答案

2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）计算：arcsin（sin）＝．2．（3分）关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，则此方程组的解x+y ＝．3．（3分）设，，且∥，则cos2α＝．4．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则a＝．5．（3分）已知平面向量，满足||＝，||＝2，＝﹣3，则||＝．6．（3分）设S1＝12，S2＝12+22+12，S3＝12+22+32+22+12，…，S n＝12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n＝，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k到k+1应添的项是．（不用化简）7．（3分）已知++＝，且||＝3，||＝4，||＝5，则•+•+•＝，•＝．8．（3分）若数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，则a1的取值范围是．9．（3分）设数列{a n}是公比为q的等比数列，则＝．10．（3分）已知向量＝（5，5），＝（λ，1），若+与﹣的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为．11．（3分）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则＝．12．（3分）已知平面直角坐标系内定点A（1，1），动点B满足||＝2，动点C满足||＝3，则点C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为．二、选择题13．（3分）要得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度14．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心15．（3分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199＝0，设b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个16．（3分）设O为△ABC所在平面内一点，满足2﹣7﹣3＝，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）A．6B．C．D．4三.解答题：17．解关于x、y的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．18．已知x∈R，设＝（cos x，sin x﹣cos x），＝（2sin x，sin x+cos x），记函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小值，并求出函数f（x）取最小值时x的值；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，c＝2，求△ABC的面积S的最大值．19．已知△ABC内接于⊙O，AB＝c，BC＝a，CA＝b，⊙O的半径为r．（1）若+2+＝，试求∠BOC的大小；（2）若A为动点，∠BAC＝60°，＝，试求λ+μ的最大值．20．（4分）已知平方和公式：12+22+…+n2＝，其中n∈N*．（1）记f（n）＝（﹣3n+1）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（3n﹣2）2，其中n∈N*，求f（20）的值；（2）已知＝，求自然数n的值；（3）抛物线y＝kx2、x轴及直线AB：x＝a围成了如图（1）的阴影部分，AB与x轴交于点A，把线段OA分成n等份，作以为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S，等于这些内接矩形面积之和．×k×（）2×k×（）2×k×（）2+…+×k×（a）2，当n→+∞时的极限值S＝[k•（）2+k•（）2+k•（）2+…+k•（）2]2•＝•ak＝•ak＝ak．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2＝x．抛物线y＝、x轴及直线AB：x＝4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）21．设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n＝a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）计算：arcsin（sin）＝．【分析】由题意利用反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，求得结果．【解答】解：arcsin（sin）＝arcsin＝，故答案为：．【点评】本题主要考查反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题．2．（3分）关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，则此方程组的解x+y＝．【分析】推导出，由此能求出x+y的值．【解答】解：∵关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，∴，解得，∴x+y＝．故答案为：．【点评】本题考查方程的解求法，考查增广矩阵等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（3分）设，，且∥，则cos2α＝0．【分析】由平面向量的共线定理列方程求出sin2α的值，再求cos2α的值．【解答】解：由，，且∥，则sinαcosα﹣×＝0，所以sinαcosα＝，所以sin2α＝1；所以2α＝+2kπ，k∈Z；所以cos2α＝0．故选：0．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题，是基础题．4．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则a＝．【分析】由题意化简函数f（x），将函数的对称轴代入可得辅助角的值，进而求出正切值，可得a的值．【解答】解：由题意显然a≠0，当a＞0时，f（x）＝sin（x+α），且tanα＝，因为函数的一条对称轴为x＝，所以+α＝+kπ，k∈Z，所以α＝+kπ，k∈Z，则tanα＝tan（+kπ）＝，所以＝，解得：a＝；当a＜0，则f（x）＝﹣sin（x+α），且tanα＝，下面运算相同，综上所述，可得a＝，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简即正弦函数的性质，属于基础题．5．（3分）已知平面向量，满足||＝，||＝2，＝﹣3，则||＝．【分析】求出（）2，开方即为||．【解答】解：（）2＝＝3﹣12+16＝7，∴||＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6．（3分）设S1＝12，S2＝12+22+12，S3＝12+22+32+22+12，…，S n＝12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n＝，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2．（不用化简）【分析】分别写出n＝k与n＝k+1时S n中的项，然后确定从k到k+1应添的项．【解答】解：当n＝k时，S n＝12+22+32+…+k2+…+32+22+12，那么，当n＝k+1时，S k+1＝12+22+32+…k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12．从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2，故答案为：（k+1）2+k2．【点评】本题考查数学归纳法证题的步骤，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．7．（3分）已知++＝，且||＝3，||＝4，||＝5，则•+•+•＝﹣25，•＝0．【分析】首先，根据++＝得到，然后，根据||＝5，求解，然后，再求解•+•+•的值．【解答】解：∵++＝，∴，∵||＝5，∴（）2＝25，∴|＝25，∵||＝3，||＝4，∴9+2+16＝25，，∴•+•+•＝•+•（+）＝﹣（）2＝0﹣25＝﹣25．故答案为：﹣25；0．【点评】本题重点考查了平面向量的基本运算，数量积的运算性质等知识，属于中档题．8．（3分）若数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，则a1的取值范围是（﹣4，﹣2）∪（﹣2，0）．【分析】设公比为q，由题意可得0＜|q|＜1，且＝﹣2，解不等式可得所求范围．【解答】解：数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，设公比为q，可得0＜|q|＜1，且＝﹣2，则q＝1+，由0＜|1+|＜1，解得﹣4＜a1＜﹣2或﹣2＜a1＜0，故答案为：（﹣4，﹣2）∪（﹣2，0）．【点评】本题考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（3分）设数列{a n}是公比为q的等比数列，则＝0．【分析】利用三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式直接求解．【解答】解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，∴＝a1a5a9+a4a8a3+a2a6a7﹣a7a5a3﹣a8a6a1﹣a4a2a9＝++﹣﹣﹣＝0．故答案为：0．【点评】本题考查三阶行列式的值的求法，考查三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（3分）已知向量＝（5，5），＝（λ，1），若+与﹣的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为（﹣7，1）∪（1，7）．【分析】可先求出，根据题意即可得出，然后解出λ的值即可．【解答】解：，∵与的夹角是锐角，∴，且与不共线，∴，解得﹣7＜λ＜7且λ≠1，∴实数λ的取值范围为（﹣7，1）∪（1，7）．故答案为：（﹣7，1）∪（1，7）．【点评】本题考查了向量坐标的加法和减法运算，向量数量积的计算公式，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．11．（3分）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则＝﹣．【分析】建立坐标系，设O（m，n），C（a，b），根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算的值．【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设O（m，n），B（a，0），D（0，b），则C（a，b），∵OA＝2，OC＝4，AC＝5，∴，整理可得：am+bn＝．又＝（a﹣m，﹣n），＝（﹣m，b﹣n），∴＝m（m﹣a）+n（n﹣b）＝m2+n2﹣（am+bn）＝4﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12．（3分）已知平面直角坐标系内定点A（1，1），动点B满足||＝2，动点C满足||＝3，则点C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为24π．【分析】本题先将B固定，得到C的轨迹，C的轨迹随着B的动点而运动从而形成一个圆环，即C在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】解：因为动点B满足||＝2，所以B点的轨迹是以A为圆心，2为半径的一个圆，又因为动点C满足||＝3，所以C点轨迹是以B为圆心，3为半径的一个圆，当B点在圆上运动时，C点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为．【点评】本题考查根据曲线的轨迹方程求面积，考查学生的直观想象能力和作图能力，易错点是把覆盖的面积看成一整个圆，属于中档题．二、选择题13．（3分）要得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由于函数y＝3sin（2x+）＝3sin2（x+），故只要将函数y＝3sin2x的图象相左平移个单位即可实现目标．【解答】解：由于函数y＝3sin（2x+）＝3sin2（x+），故只要将函数y＝3sin2x的图象相左平移个单位，即可得到函数y＝3sin（2x+）的图象．故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．14．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到＝λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．15．（3分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199＝0，设b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据等差数列的性质，可推得a100＝0，进而可得数列{a n}为递增数列，a99＜0，a101＞0，根据题意，b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当n≤97时，b n＜0；当n＝98，n＝99，n ＝100时，b n＝0；当n≥101时，b n＞0．所以{b n}的前n项和S n最小时，n＝97或n＝98或n＝99或n＝100，共4个．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列∴a1+a199＝a2+a198＝…＝a99+a101＝2a100，又∵a1+a2+a3+…+a199＝0，即199a100＝0，∴a100＝0．又∵a1＜0，∴数列{a n}为递增数列，∴a99＜0，a101＞0，∵b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），∴{b n}的前n项和S n＝a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2，当n≤97时，b n＜0，当n＝98，n＝99，n＝100时，b n＝0，当n≥101时，b n＞0，∴{b n}的前n项和S n最小时，n＝97或n＝98或n＝99或n＝100，共4个．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查数列的前n项和的最值，考查学生运算和推理的能力，属于中档题．16．（3分）设O为△ABC所在平面内一点，满足2﹣7﹣3＝，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）A．6B．C．D．4【分析】先设设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则＝k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案．【解答】解：不妨设，如图所示，根据题意则，即点O是△A1B1C1的重心，所以有＝k，又因为，，，那么，，，，故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了向量的数乘运算，重心的性质，三角形的面积公式，考查了转化与化归的数学思想，属于难题．三.解答题：17．解关于x、y的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．【分析】（1）若＝＝（a﹣2≠0），解得a，可得方程组有无数个解．（2）若＝≠（a﹣2≠0），解得a，可得方程组无解．（3）若a＝2时，方程组化为：，解出即可判断出结论．．若a﹣2≠0，≠，解出可得方程组有唯一解．【解答】解：（1）若＝＝（a﹣2≠0），则a＝3，此时两条直线重合，方程组有无数个解．（2）若＝≠（a﹣2≠0），则a＝﹣1，此时两条直线平行，方程组无解．（3）若a＝2时，方程组化为：，解得．若a﹣2≠0，≠，则a≠3，﹣1，2，此时两条直线相交，方程组有唯一解．【点评】本题考查了方程组的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知x∈R，设＝（cos x，sin x﹣cos x），＝（2sin x，sin x+cos x），记函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小值，并求出函数f（x）取最小值时x的值；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，c＝2，求△ABC的面积S的最大值．【分析】结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）根据正弦函数的图象可知，当2x﹣＝+2kπ时，f（x）可取得最小值．（2）易知C＝，由余弦定理得，cos C＝，再利用基本不等式的性质可求出ab的最大值，然后根据S△ABC＝ab sin C即可得解．【解答】解：f（x）＝＝2sin x cos x+（sin x﹣cos x）（sin x+cos x）＝sin2x﹣cos2x ＝2sin（2x﹣）．（1）∵x∈R，∴2x﹣∈R，当2x﹣＝+2kπ，即x＝+kπ，k∈Z时，f（x）min＝2×（﹣1）＝﹣2．故f（x）的最小值为﹣2，此时x＝+kπ，k∈Z．（2）∵f（C）＝2，∴2sin（2C﹣）＝2，∴2C﹣＝+2π，k∈Z，即C＝+kπ，k∈Z．∵C∈（0，π），∴C＝．由余弦定理知，cos C＝，即＝≥，当且仅当a＝b时，取等号．∴ab≤12，∴S△ABC＝ab sin C≤＝．故△ABC的面积S的最大值为．【点评】本题考查平面向量与解三角形的综合运用，包含平面向量数量积的运算、二倍角公式、余弦定理以及基本不等式的性质等基础考点，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．已知△ABC内接于⊙O，AB＝c，BC＝a，CA＝b，⊙O的半径为r．（1）若+2+＝，试求∠BOC的大小；（2）若A为动点，∠BAC＝60°，＝，试求λ+μ的最大值．【分析】（1）根据+2+＝，得∴﹣＝2+，等式两边同时平方，即可求得cos∠BOC＝﹣，进而求得∠BOC＝．（2）因为⊙O中，∠BAC＝60°，所以∠BOC＝120°，＝，等式两边同时平方，可得λ2+μ2＝λμ+1，根据均值不等式，即可求得λ+μ≤2．【解答】解：（1）∵+2+＝，∴＝2+，∴2＝（2+）2，∵AO＝OB＝OC＝r，∴r2＝4r2+2•2•r2•cos∠BOC+3r2，计算得cos∠BOC＝﹣，由题，∠BOC∈（0，π），∴∠BOC＝．（2）由题，⊙O中，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，＝，∴2＝（）2，∴r2＝λ2r2+2•λ•μr2•cos120°+μ2r2，∴λ2+μ2＝λμ+1，根据题意，可知λ＞0，μ＞0，∴（λ+μ）2＝3λμ+1≤3•+1，（当且仅当λ＝μ时等式成立），∴（λ+μ）2≤4∴λ+μ≤2．∴λ+μ的最大值为2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用及基本不等式的应用．考查学生转化的思想，属于中档题．20．（4分）已知平方和公式：12+22+…+n2＝，其中n∈N*．（1）记f（n）＝（﹣3n+1）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（3n﹣2）2，其中n∈N*，求f（20）的值；（2）已知＝，求自然数n的值；（3）抛物线y＝kx2、x轴及直线AB：x＝a围成了如图（1）的阴影部分，AB与x轴交于点A，把线段OA分成n等份，作以为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S，等于这些内接矩形面积之和．×k×（）2×k×（）2×k×（）2+…+×k×（a）2，当n→+∞时的极限值S＝[k•（）2+k•（）2+k•（）2+…+k•（）2]2•＝•ak＝•ak＝ak．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2＝x．抛物线y＝、x轴及直线AB：x＝4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）【分析】（1）直接利用关系式的应用求出函数的值．（2）利用合比性质的应用求出n的值．（2）首先求出被积函数原函数，进一步求出定积分的值．【解答】解：（1）f（20）＝（﹣59）2+（﹣56）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（58）2，＝12+22+32+...+592﹣[32+62+92+ (572)＝12+22+32+…+592﹣[（3×1）2+（3×2）2+（3×3）2+…+（3×19）2]＝12+22+32+…+592﹣[9×（12+22+32+…+192）]＝﹣9×＝47980；（2）＝，由合比性质可知＝，所以＝，解得n＝72，所以自然数n的值为72．（3）S＝＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的求和，合比性质，定积分，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．21．设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n＝a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将n换为n﹣1，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；（2）a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3中的n换为n﹣1，乘以，相减可得所求通项公式；（3）求得c n＝a n b n＝，讨论单调性，假设存在三项c s，c p，c r成等差数列，其中s，p，r∈N*，运用等差数列中项性质和不等式的性质，推理运算，即可得到所求结论．【解答】解：（1）由2S n+a n＝3，①得2S n﹣1+a n﹣1＝3，（n≥2），②由①﹣②得2a n+a n﹣a n﹣1＝0，即a n＝a n﹣1（n≥2）．对①取n＝1得，a1＝1≠0，所以a n≠0，所以{a n}为等比数列，首项为1，公比为，即a n＝（）n﹣1，n∈N*．（2）由a n＝（）n﹣1，可得对于任意n∈N*．有b n+b n﹣1+（）2b n﹣2+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+3n﹣3，③则b n﹣1+b n﹣2+（）2b n﹣3+…+（）n﹣2b1＝（）n﹣2+3n﹣6，n≥2，④则b n﹣1+（）2b n﹣2+（）3b n﹣3+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+n﹣2，n≥2，⑤由③﹣⑤得b n＝2n﹣1（n≥2），对③取n＝1得，b1＝1也适合上式，因此b n＝2n﹣1，n∈N*．（3）由（1）（2）可知c n＝a n b n＝，则c n+1﹣c n＝﹣＝，所以当n＝1时，c n+1＝c n，即c1＝c2，当n≥2时，c n+1＜c n，即{c n}在n≥2且n∈N*上单调递减，故c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，假设存在三项c s，c p，c r成等差数列，其中s，p，r∈N*，由于c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，可不妨设s＜p＜r，则2c p＝c s+c r（*），即＝+，因为s，p，r∈N*，且s＜p＜r，则s≤p﹣1且p≥2，由数列{c n}的单调性可知，c s≥c p﹣1，即≥，因为c r＝+，＞0，所以＝+＞，即以＞，化简得p＜，又p≥2且p∈N*，所以p＝2或p＝3，当p＝2时，s＝1，即c1＝c2＝1，由r≥3时，c r＜c2＝1，此时c1，c2，c r不构成等差数列，不合题意．当p＝3时，由题意s＝1或s＝2，即c s＝1，又c p＝c3＝，代入（*）式得c r＝．因为数列{c n}在n≥2且n∈N*上单调递减，且c5＝，r≥4，所以r＝5．综上所述，数列{c n}中存在三项c1，c3，c5或c2，c3，c5构成等差数列．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列中项性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2023届上海市交大附中嘉定分校数学高一上期末学业水平测试试题含解析

【详解】由题意，令，得，
令 ,由，得或，
作出函数的图象，如图所示，
结合函数的图象可知，有个解，有个解，故的零点个数为，故选B.
【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中令 ,由，得到或，作出函数的图象，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题
（3）显然当时，函数取得最小值为0，则函数在的最大值为2，
结合（2）可知，，
所以，解得或
22、（1）；（2）答案见解析.
【解析】(1)先将分式不等式转化成一元二次不等式，再根据解集与根的关系，即得结果；
(2)先将分式不等式转化成一元二次不等式，再结合根的大小对a进行分类讨论求解集即可.
∴ 在上单调递增，
∴当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，
∴当时，
故 .
20、（1）
（2）
【解析】（1）由解方程可得解；
（2）令，解方程可得解.
【小问1详解】
由题意可知，
，其中，
所以，
解得
小问2详解】
设刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感，
由题意可知，，
向量是可以平移的，则若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合，A说法错误；
向量相等向量模相等，且方向相同，B说法错误；
若和都是单位向量,但是两向量方向不一致，则不满足，C说法错误；
两个相等向量的模一定相等，D说法正确.
本题选择D选项.
5、C
【解析】由题意可得，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，于是把钢球的球心连接，则可得到一个棱长为2的小正四面体，该小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心是重合的，所以小正四面体的中心到底面的距离是，正四面体的中心到底面的距离是，所以可知正四面体的高的最小值为，故选择C

2022-2023学年上海交大附中高一上学期期末数学试卷及答案

第1页共7页交大附中2022学年第一学期高一年级数学期期末2023.1一、填空题(共75分,其中1-5每题4分,6-10每题5分,11-15每题6分)1、已知集合{}{}1,3,5,6,7,2,4,5,6,8A B ==,则A B ⋂=____________2、函数223y x x =--的零点是___________3、已知则函数y kxa =的图像过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭,则k a +=___________4、某公司一年购买某种货物600吨,分若干次购买,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是___________5、已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin2x =___________6、已知()()4tan 114tan 17A B +-=,则()tan A B -=___________7、已知()()1e ,0,{4,0x x f x f x x +≤=->,则()2023f =___________8、命题“存在()()22,4210x R a x a x ∈-++-≥”为假命题,则实数a 的取值范围为___________9、如图,以0x 为始边作钝角a ,角a 的终边与单位圆交于点(1P x ,1y ),将角α的终边顺时针旋转3π得到角β.角β的终边与单位圆相交于点()22,Q x y ,则21x x -的取值范围为___________10、设()()21lg 11f x x x=+-+,则使()()232f x f x <-成立的x 取值范围是___________.(结果用不等式表示)11、已知12a b ≤≤≤,记3b a+的最大值为M ,最小值为m ,则22M m -=___________12、已知()[]11,y x x x a b =-+∈的值域为[]0,8,则a b +的取值范围是___________第2页共7页13、已知函数()y f x =是定义在R 上的周期为2的偶函数,[]()20,1,122x xx f x ∈=++,则函数()y f x =的图象与函数133x y =+的图象交点个数为____________14、已知()y f x =为定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,有()()1f x f x +=-,且当[)0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+.给出下列命题,其中正确的命题的个数为____________(1)()()202220230f f -+=;(2)函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数(3)直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点;(4)函数()f x 的值域为()1,1-15、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,他是数学史上第一位重视概念的人,并且有意识地“以概念代替直觉”,以其名命名的函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数为狄利克雷函数,现定义一个与狄利克雷函数类似的函数(),0,x x L x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数“L 函数”,则关于狄利克雷函数和L 函数有以下四个结论:(1)()()0D D x =;(2)函数()D x 是偶函数;(3)L 函数图象上存在四个点A B C D 、、、,使得四边形ABCD 为矩形;(4)L 函数图象上存在三个点A B C 、、,使得ABC ∆为等边三角形.其中所有正确结论的序号是____________二、选择题（共75分,其中16-20每题4分,21-25每题5分,26-30每题6分)16、设全集U 与集合,M N 的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合是（）A.M N ⋂B.M N ⋃C.M N⋃ D.M N⋂第3页共7页17、函数23y x =+-的定义域是（）A.()2,4 B.()3,4 C.()(]2,33,4⋃ D.[)()2,33,4⋃18、若0,0,x y n >>为正整数,则下列各式中,恒等的是()A.lg lg lg lg x y x y ⋅=+B.()22lg lg x x =C.1ln ln nx x n=D.ln ln x xn n=19、已知,R αβ∈.则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin2sin2αβ=”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件20、函数231x y x-=的图象可能是()21、函数()y f x =在(),-∞+∞为严格减函数,且为奇函数.若()11f =-,则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是()A.[]2,2- B.[]1,1- C.[]0,4 D.[]1,322、已知()22log f x x x=-,则不等式()0f x >的解集是()A.()0,1 B.(),2-∞ C.()2,+∞ D.()0,223、若对任意x A ∈,均有1A x∈,就称集合A 是伙伴关系集合.设集合第4页共7页111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,则M 的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为()A.15B.16C.32D.12824、小张、小李、小王、小赵四名同学,仅有一人做了数学老师布置的一道题目.当他们被问到谁做了该题目时,小张说:“小王或小赵做了”;小李说:“小王做了”;小王说:“小张和小赵都没做”;小赵说:“小李做了”。

上海市上海交通大学附属中学嘉定分校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷【含答案】

高一数学期末考试试卷（本试卷共4页，满分150分，90分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1.平面直角坐标系中，以()2,1-为圆心，且经过原点的圆的方程为___________.【答案】()()22215x y ++-=【解析】【分析】依题意设圆的方程为()()22221x y r ++-=，代入原点坐标求出2r ，即可得解.【详解】设圆的半径为()0r r >，则圆的方程为()()22221x y r ++-=，又圆过点()0,0，所以()()22202015r =++-=，所以圆的方程为()()22215x y ++-=.故答案为：()()22215x y ++-=2.在复数范围内方程2230x x -+=的解为________.【答案】11x =，21x =【解析】【分析】配方可得()()221x -=，解得即可.【详解】方程2230x x -+=，即()()2212x -=-=，解得11x =+，21x =.故答案为：11x =，21x =3.若等差数列{}n a 的前三项依次为1，1a +，3a +，则实数a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据等差中项的性质计算可得.【详解】因为1，1a +，3a +为等差数列{}n a 的前三项，所以()1321a a ++=+，解得2a =.故答案为：24.若数列{}n a 的前n 项和()3N,1n S n n n n =-∈≥，则10a =_____.【答案】270【解析】【分析】根据题意，由n a 与n S 之间的关系，代入计算，即可求解.【详解】由题意可得，()()3310109101099270a S S =-=---=.故答案为：2705.已知2a b ==，2a b ×=，则,a b <>= __________.【答案】π3##60︒【解析】【分析】根据题意，由平面向量夹角公式代入计算，即可求解.【详解】因为2a b ==，2a b ×=，则21cos ,222a b a b a b ⋅<>===⨯⋅，又[],0,πa b <>∈r r，所以π,3a b <>= .故答案为：π36.已知()1,1a =-，()2,0b = ，则b 在a 方向上的投影的坐标为____.【答案】()1,1-【解析】【分析】首先求出a ，b a ⋅，再根据投影的定义计算可得.【详解】因为()1,1a =-，()2,0b = ，所以a ==，2b a ⋅=，所以b 在a方向上的投影的坐标为()()2221,1b a a a a a⋅⋅===-.故答案为：()1,1-7.直线1:21l y x =-与21:23l y x =+的夹角为_____________.【答案】4π【解析】【分析】设直线1:21l y x =-的倾斜角为α，直线21:23l y x =+的倾斜角为β，则两直线的夹角为αβ-，1tan 2,tan ,3αβ==由两角差的正切公式可求出两直线的夹角.【详解】设直线1:21l y x =-的倾斜角为α，直线21:23l y x =+的倾斜角为β，则1tan 2,tan ,3αβ==所以则两直线的夹角为αβ-，()12tan tan 3tan 111tan tan 123αβαβαβ---===++⨯.因为直线夹角的取值范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以4αβ-=π.故答案为：4π8.将无限循环小数化为分数：0.31= ______.【答案】3199【解析】【分析】将0.31设为x ，考虑31.31 即为100x ，两式相减构造方程即可求解出x 的值，即可得到0.31 对应的最简分数.【详解】设0.31x = ，则31.31100x = ，由.0.31313131-= ，可知10031x x -=，解得3199x =.故答案为：3199.9.已知ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2AB AC AO += ，AB AO =，则CA CB ⋅= _______.【答案】3【解析】【分析】依题意可得O 为BC 的中点，从而得到ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，再由AB AO =求出ACB ∠，最后根据数量积的定义计算可得.【详解】如图所示：因为2AB AC AO +=，所以O 为BC 的中点，又O 为ABC 的外接圆的圆心，所以ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，又因为AB AO = ，所以π3ABC ∠=，π6ACB ∠=，又ABC 外接圆的半径为1，所以2BC =，则AC =，所以cos 232CA CB CA CB ACB ⋅=⋅∠==.故答案为：310.计算：19791πcos180k k ==∑_____________.【答案】0【解析】【分析】首先分析余弦型函数πcos 180y x =的周期性与对称性，结合函数的周期性、对称性计算可得.【详解】因为函数πcos 180y x =的最小正周期2π360π180T ==，令πππ,Z 1802x k k =+∈，解得90180,Z x k k =+∈，所以函数关于()90180,0,Z k k +∈对称，即π179πcos cos 0180180+=，2π178πcos cos 0180180+=，L ，89π91πcos cos 0180180+=，90π270πcos cos 0180180==，181π359πcos cos 0180180+=，L ，269π271πcos cos 0180180+=，180πcos 1180=-，360πcos 1180=，所以3601πcos 0180k k ==∑，又19795360179=⨯+，所以1979360179111πππcos 5cos cos 0180180180k k k k k k ====+=∑∑∑.故答案为：011.当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形EFGH ，其中宽度 1.2EH =米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度EF 为_________米（结果精确到0.1米）.【答案】2.6【解析】【分析】延长EF 与直角过道的边相交于M 、N ，由EF MN ME NF =--表示出EF ，设πsin cos 4t βββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭进行换元，利用单调性即可求解.【详解】依题意设PHG β∠=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，延长EF 与直角过道的边相交于M 、N ，则OMH NGF β∠=∠=，所以 1.8 1.8+sin cos MN OM ON =+=ββ， 1.2tan EM β=， 1.2tan FN β=，又EF MN ME NF =--，则 1.8 1.81 1.8(sin cos ) 1.21.2(tan )sin cos tan sin cos EF ββββββββ+-=+-+=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．设πsin cos 4t βββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以(t ∈，则()221.8 1.263215112t t EF t t --==⨯--，再令32m t =-，(2m ⎤∈⎦，则(26541,25552413m EF m m m m ⎤=⨯=⨯∈-⎦+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，因为54y m m=-+在(2⎤-⎦上单调递增，且540y m m =-+>，又1y x=在()0,∞+上单调递减，所以541554y m m=⋅-+在(2⎤-⎦上单调递减，故当2m =-，即t =，π4β=时，EF取得最小值12 2.695≈，由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的家具的高度的最大值为2.6米．故答案为：2.612.已知n 是大于3的正整数，平面直角坐标系xOy 中，正n 边形12n PP P 内接于单位圆.若集合{|,1,2,,}i S P PO PP i n =≤= ，则集合S 表示的平面区域的面积为_____________.（结果用n 表示）【答案】πtan 4n n【解析】【分析】根据给定信息，确定集合S 表示的平面区域，再结合三角形面积求解即得.【详解】由1||||PO PP ≤，得点P 在线段1OP 的垂直平分线分平面含点O 一侧的区域，线段1OP 的垂直平分线与线段2OP 的垂直平分线交于点12P ，线段2OP 的垂直平分线与线段3OP 的垂直平分线交于点23P ，照此进行，线段n OP 的垂直平分线与线段1OP 的垂直平分线交于点1n P ，集合S 表示的平面区域是正n 边形1223341n P P P P 及内部，其内切圆半径为111||22OP =，显然12232πP OP n ∠=，122321ππ||2||tan tan 2P P OP n n=⨯=，12231223111π||tan 224OP P S P P n=⨯⨯= ，所以集合S 表示的平面区域的面积为πtan 4n n.故答案为：πtan4n n【点睛】关键点点睛：由题设信息，确定集合S 表示的平面区域对应的图形是求解本题的关键.二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13.已知复数z 满足11z -=，z 的取值范围为（）A.[]0,2 B.()0,2 C.[]0,4 D.()0,4【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解.【详解】因为11z -=，所以z 在复平面对应的轨迹是以()1,0A 为圆心，1r =为半径的圆，且z 表示圆上的点到原点()0,0O 的距离，则max 112z AO r =+=+=，min 110z AO r =-=-=，所以z 的取值范围为[]0,2.故选：A14.在同一平面直角坐标系内，将所有可以用两点式方程表示的直线组成的集合记为A ；将所有可以用点斜式方程表示的直线组成的集合记为B ；将所有可以用点法式方程表示的直线组成的集合记为C .则下列结论中正确的是（）A.A B C ==B.C B A ⊂⊂C.A B C ⊂⊂D.B C A⊂⊂【答案】C 【解析】【分析】根据在不同表现形式直线方程的限制条件，找到集合间的关系.【详解】直线的两点式方程不包括垂直于坐标轴的直线；直线的点斜式方程不包括垂直于x 轴的直线；直线的点法式方程可以表示平面内的所有直线，所以A B C ⊂⊂.故选：C.15.已知向量a b c ,,满足0a b c ++= ，且222a b c <<，则a b ⋅ 、b c ⋅ 、a c ⋅ 中最小的值是（）A.a b ⋅B.b c⋅C.a c⋅D.不能确定的【答案】B 【解析】【分析】可在0a b c ++= 的两边分别乘a ，b ，c 可得出2a a b a c =-⋅-⋅ ，2b a b b c =-⋅-⋅ ，2c a c b c=-⋅-⋅ ，再根据222a b c <<，即可判断.【详解】解：∵0a b c ++=，∴20a a b a c +⋅+⋅=，20a b b b c ⋅++⋅=，20a c b c c ⋅+⋅+=.∴2a ab ac =-⋅-⋅ ，2b a b b c =-⋅-⋅ ，2c a c b c =-⋅-⋅ .∵222a b c <<，∴a b a c a b b c -⋅-⋅<-⋅-⋅ ，a b b c a c b c -⋅-⋅<-⋅-⋅.∴a c b c ⋅>⋅ ，a b a c⋅>⋅ ∴a b a c b c ⋅>⋅>⋅．故选：B ．16.若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当N n ∈，2n ≥时，{}1121max ,,,n n n a a a a a ---= （其中{}121m x ,a ,,n a a a - 表示1a ，2a ，L ，1n a -中的最大项），有以下结论：①若数列{}n a 是常数列，则()0N,1n a n n =∈≥；②若数列{}n a 是等差数列，则公差0d <；③若数列{}n a 是等比数列，则公比1q >；④若存在正整数T ，对任意N n ∈，1n ≥，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项.则其中的正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【解析】【分析】根据所给定义得到{}1121max 0,,,n n n a a a a a ---== ，即可判断①；结合等差数列的定义推导出n a 有最大值，则n a 不可能递增，即可判断②；求出公比q ，即可判断③；结合周期数列及所给定义判断④.【详解】对于①：若数列{}n a 是常数列，则{}1121max 0,,,n n n a a a a a ---== ，所以0n a =（*N n ∈），故①正确；②若数列{}n a 是等差数列，则{}1121,,ma ,x n n n a a a a a d ---== ，所以n a 有最大值，因此n a 不可能递增，所以0d ≤，故②错误；③若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则10a >，且21111a a a q a -==-，所以11q -=，所以2q =或0q =，又因为0q ≠，所以2q =，所以1q >，故③正确；④若存在正整数T ，对任意N n ∈，1n ≥，都有n T n a a +=，假设在12,T a a a ⋯中k a 最大，则12,n a a a ⋯中都是k a 最大，则211a a a -=且21T T k a a a ++-=，即21k a a a -=，所以1k a a =，所以1a 是数列{}n a 的最大项，故④正确.所以正确的有①③④，共3个.故选：C【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，再结合等差、等比数列的通项公式一一判断.三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.17.已知直线1:0l x ay a +-=和直线()2:2320l ax a y a --+-=.（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）若12l l ∥，求实数a 的值.【答案】（1）0或2（2）3-【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的公式12120A A B B +=，即可求解；（2）根据两直线平行，1221A B A B =，求解a ，再代回直线验证.【小问1详解】若12l l ⊥，则()1230a a a ⎡⎤⨯+⨯--=⎣⎦，解得0a =或2；【小问2详解】若12l l ∥，则223a a ∴=-+，解得3a =-或1.3a =-时，12:330,:3950l x y l x y -+=-+=，满足12l l ∥，1a =时，12:10,:10l x y l x y +-=+-=，此时1l 与2l 重合，所以3a =-.18.已知等差数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S，且是3与71S -的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）若n T 是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T 的最小值.【答案】（1）21n a n =-（2）13【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d，由等比中项的性质即可得(()2731S =⨯-，再由等差数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可求出d ，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由裂项相消法求和即可得n T ，根据数列单调性可求得答案.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d，由题意(()2731S =⨯-，即()76161437112d d ⨯⎛⎫+=⨯+- ⎪⎝⎭，解得2d =，所以()11221n a n n =+-⋅=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.【小问2详解】由()()()111111*********n n a a n n n n +==--+-+，12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++ 1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11111221242n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭.因为()()11111402422424242n n T T n n n n -⎛⎫-=---=> ⎪+-+-⎝⎭，即1n n T T ->，所以{}n T 为严格增数列，所以1n =时，n T 有最小值13.19.从空间一点O 出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系O xyz -.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设Ox Oy Oz ､､是空间中相互成60 角的三条坐标轴，其中,i j k ,分别是x 轴､y 轴､z 轴正方向的单位向量.（1）计算i j j k i k ⋅+⋅+⋅的值，（2）若向量n xi yj zk =++ ，则把有序数对[],,x y z 叫做向量n 在该斜坐标系中的坐标.已知[][]0,2,1,2,1,0OA OB == ①求OA OB ⋅的值；②求AOB 的面积：【答案】（1）32（2）①112【解析】【分析】（1）直接根据数量积的定义求解；（2）①根据数量积定义求()()22OA OB j k i j ⋅=+⋅+ 的值；②求出AOB 各边长，再求其面积.【小问1详解】111cos60,2i j ⋅=⨯⨯= 同理12j k i k ⋅=⋅= ，所以32i j j k i k ⋅+⋅+⋅= .【小问2详解】①[]0,2,12OA j k ==+ ，[]2,1,02OB i j ==+ ，所以()()222422OA OB j k i j j i j k i k j ⋅=+⋅+=⋅++⋅+⋅ 11111422.2222=⨯++⨯+=②2OA j k =+===同理2OB i j =+=== 2AB OB OA i j k =-=-- ，2AB i j k =--===等腰三角形AOB 中，可计算得AB 52=，所以AOB 的面积为1522=.四、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤）20.已知复数()()22i z a a =-++，其中i 为虚数单位，Ra ∈（1）若16z z ⋅=，求实数a 的值；（2）求2z -的最小值，并指出2z -取到最小值时实数a 的值.【答案】（1）2a =±（2）2z -，此时1a =-【解析】【分析】（1）化简得到28216z z a ⋅=+=，求出2a =±；（2）2z -=1a =-时，2z -.【小问1详解】()()22i z a a =--+，()()222228216z z a a a ⋅=-++=+=，解得2a =±，经检验，2a =±满足要求；【小问2详解】()22i z a a -++-====当1a =-时，2z -，故2z -，此时1a =-.21.已知函数()y f x =，其中()()sin f x x ωϕ=+，（0ω>，02πϕ≤<）（1）若1ω=，0ϕ=，在用“五点法”作出函数()y f x =，[]0,2πx ∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x 0()f x 0（2）若2ω=，π3ϕ=，写出函数()y f x =的最小正周期和单调增区间（3）若()y f x =的频率为1π，且()π2f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，求函数()y f x =的解析式.【答案】（1）答案见详解（2）π；5πππ,kπ1212k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （3）()cos 2f x x=-【解析】【分析】（1）根据题意，可得()sin f x x =，[]0,2πx ∈完成五点法列表；（2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出()f x 的单调递增区间；（3）根据题意可得πT =，求得2ω=，又()π2f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，可得π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得ϕ，得解.【小问1详解】若1ω=，0ϕ=，则()sin f x x =，[]0,2πx ∈，五点法列表如下：x 0π2π3π22π()f x 0101-0【小问2详解】若2ω=，π3ϕ=，则()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 最小正周期2ππ2T ==，由sin y x =的单调性可知，πππ2π22π232k x k -≤+≤+，即5ππππ1212k x k -≤≤+，所以()y f x =的单调增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【小问3详解】由题意可得()y f x =的周期πT =，则2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又()π2f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即πsin 212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 1ϕ=-，又0πϕ≤<2，所以3π2ϕ=，所以()3πsin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.22.如图，某地有三家工厂分别位于矩形ABCD 的两个顶点A B 、及CD 的中点P 处.30km AB =，10km BC =.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（不含边界）且与A B 、等距离的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道OA OB OP 、、.记排污管道的总长度为km y .（1）设BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数并求其定义域；（2）确定污水处理厂的位置，使排污管道的总长度y 最短，并求出此时y 的值.【答案】（1）3015sin +10cos y -θ=θ，定义域为2(0,arctan )3（2）点O 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB 边处.()10km +.【解析】【分析】（1）在直角三角形AOE 中,利用15AE =,可以求得,OA OE ,从而可得OP PE OE =-,然后可得y OA OB PO =++,并求出定义域.（2）结合两点斜率公式，利用数形结合方法可求得函数的最值.【小问1详解】如图所示，过P 作PO 的延长线交AB 于点E ,根据题意,10,,15,OA OB PE PE AB AE ==⊥=当点,O E 重合时，0θ=最小；当点,O P 重合时，PAE θ=∠最大，在PAE △中，1022tan ,arctan 1533PE PAE PAE AE ∠===∠=；当点,O P ，,O E 不重合时，在OAE △中15cos =,tan =,==,tan =15tan cos cos AE OE AE OA OB OE AE OA AE θθ∴==θ⋅θθθ 所以1515303015sin ++1015tan +1015tan +10cos cos cos cos y OA OB PO -θ=++=-θ=-θ=θθθθ函数的定义域为2(0,arctan 3θ∈【小问2详解】法一：3015sin 15(2sin )+10=+10cos cos y -θ-θ=θθ因为2sin cos u -θ=θ可看作点(0,2)和点(cos ,sin )-θθ的连线的斜率，由单位圆知，当2(0,arctan 3θ∈2<，所以1040x +≤<.此时点O 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB 边处.所以三条排污管管道总长最短为()10km +.。

上海市交大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

上海市交大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 若α∈R ，则“α=0”是“sinα<cosα”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 若θ是△ABC 的一个内角，且sinθ⋅cosθ=−18，则sinθ−cosθ的值为( )A. 54B. ±√52C. √52D. −√523. 已知函数f(x)=3x2−ax+1在区间[12,1]上为减函数，则a 的取值范围为( )A. [2,+∞)B. (−∞,1]C. (−∞,2]D. [1,+∞)4. 已知函数f(x)=ax 3−3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则实数a 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (−∞,−1)D. (−∞,−2)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 460∘的终边在第__________象限．6. 已知幂函数f (x )=k ·x α的图象过点(12,√22)，则f (x )=_______．7. 已知tanα=3，则4sinα−2cosα7cosα+3sinα=_____，sinα(sinα+cosα)=_________． 8. 若sin (x −3π4)cos (x −π4)=−14，则cos 4x =________． 9. 已知：5a =3，log 54=b ，用a ，b 表示log 12536=________． 10. 已知α∈(−π2,0)，sin(π−2α)=−12，则sinα−cosα=______ 11. 已知函数f(x)={(3−2a)x +3a,x <12x ,x ≥1的值域为，则实数a 的取值范围是_______．12. 已知tan (π4+θ)=3，则sin2θ−2cos 2θ=_______．13. 已知sin (π4+α)⋅sin (π4−α)=16，α∈(π2,π)，则sin4α的值为________． 14. 若sinβ=3sin(2α−β)，则2tan(α−β)+tanα的值为________． 15. 已知tanα=2，tanβ=3，α，β∈(0,π2)，则α+β的值为______ ．16. 若函数f(x)有反函数，且对任意实数x ∈R ，都有f(f(x)+ln(x +1))=e −2(e 为自然对数的底数)，则f(e 2−1)=___________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知sinα=4√37，cos(β−α)=1314，且0<α<β<π2．(1)求tan2α值； (2)求cosβ值．18. 函数f (x )=log 4(1+x )+log 4(1−x )．(1)判断函数f (x )的奇偶性，并证明； (2)求f (√22)的值．19. 某学校为迎接国庆70周年，需制一扇形框架结构OAB ，如图所示.已知扇形框架结构OAB 的圆心角弧度，半径OA =r 米，两半径部分的装饰费用为60元/米，弧线AB部分的装饰费用为90元/米，装饰总费用为1200元，记花坛的面积为f(r)．(1)将θ用r表示，并求出r的取值范围；(2)当r为多少时，f(r)最大并求出最大值．20.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x．(1)当x∈[−4,−2]时，求f(x)的解析式；(2)当x∈[−4,−2]时，f(x)≥118(3t−t)恒成立，求实数t的取值范围．21.设函数f(x)=log a x(0<a<1)．(1)若f(x2−x)>f(2)，求x的取值范围；(2)记f(x)的反函数为g(x)，若a+k·g(x−1)≥0在[2,+∞)上恒成立，求实数k的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查充要条件的判定方法，是基础题．解：∵“α=0”可以得到“sinα<cosα”，等，当“sinα<cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=π3∴“α=0”是“sinα<cosα”的充分不必要条件，故选A．2.答案：C解析：本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于较易题．先由条件判断sinθ>0，cosθ<0，得到sinθ−cosθ=√(sinθ−cosθ)2=√1−2sinθcosθ，把已知条件代入运算，可得答案．，解：∵θ是△ABC的一个内角，且sinθcosθ=−18∴sinθ>0，cosθ<0，∴sinθ−cosθ>0，．故选C．3.答案：A解析：本题考查复合函数单调性，属于基础题．设t=x2−ax+1，由复合函数的单调性可得t=x2−ax+1在[12,1]上单调递减，结合二次函数的性质可得结论．解：设t=x2−ax+1，因为函数y=3t在R上为增函数，若函数f(x)=3x2−ax+1在区间[12,1]上单调递减，则t=x2−ax+1在区间[12,1]上单调递减，则a2≥1，解得a≥2，故选A．4.答案：D解析：解：∵f(x)=ax3−3x2+1，∴f′(x)=3ax2−6x=3x(ax−2)，f(0)=1；①当a=0时，f(x)=−3x2+1有两个零点，不成立；②当a>0时，f(x)=ax3−3x2+1在(−∞,0)上有零点，故不成立；③当a<0时，f(x)=ax3−3x2+1在(0,+∞)上有且只有一个零点；故f(x)=ax3−3x2+1在(−∞,0)上没有零点；而当x=2a时，f(x)=ax3−3x2+1在(−∞,0)上取得最小值；故f(2a )=8a2−3⋅4a2+1>0；故a<−2；综上所述，实数a的取值范围是(−∞,−2)；故选：D．由题意可得f′(x)=3ax2−6x=3x(ax−2)，f(0)=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．5.答案：二解析：∵460∘=360∘+100∘，由于角100∘的终边落在第二象限，故角460∘的终边也落在第二象限．6.答案：√x解析：本题考查求幂函数的解析式，属于基础题，由幂函数f (x )=k ·x α的图象过点(12,√22)求出k ，α即可．解：∵幂函数f (x )=k ·x α的图象过点(12,√22)，∴k =1，且(12)α=√22，解得，k =1，且α=12，∴f (x )=x 12=√x ．故答案为√x ．7.答案：58；65解析：本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．解：由tanα=3，得4sinα−2cosα7cosα+3sinα=4tanα−23tanα+7=4×3−23×3+7=58，sinα(sinα+cosα)=sin 2α+sinαcosα==tan 2α+tanαtan 2α+1=32+332+1=65，故答案为58；65．8.答案：12解析：本题考查诱导公式的应用及二倍角公式，属基础题．解：∵sin(x−3π4)=−cos(π2+x−3π4)=−cos(x−π4)，∴cos2(x−π4)=14，，∴cos(2x−π2)=−12，即sin2x=−12，∴cos4x=1−2sin22x=12．故答案为12．9.答案：2a+b3解析：本题考查对数的运算以及对数的换底公式，属于基础题．把所求对数换成以5为底，再由对数运算法则转化．解：由题log12536=log536log5125=log59+log543，又5a=3，log54=b，所以log12536=2a+b3．故答案为2a+b3．10.答案：−√62解析：本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用诱导公式化简可得sin2α=−12，进而根据同角三角函数基本关系和二倍角公式即可化简求解．解：∵α∈(−π2,0)，sin(π−2α)=sin2α=−12， ∴sinα<0，cosα>0，∴sinα−cosα=−√(sinα−cosα)2=−√1−sin2α=−√1−(−12)=−√62．故答案为：−√62．11.答案：[−1,32)解析：本题考查分段函数的值域问题，属于基础题．利用函数的值域是R ，当x ≥1时，y =2x ≥2，当x <1时，y =(3−2a)x +3a 的值域为(−∞,A)，A ≥2，通过一次函数的性质求解即可．解：因为f(x)的值域是R ，当x ≥1时，y =2x ≥2，故当x <1时，y =(3−2a)x +3a 的值域为(−∞,A)，A ≥2，∴{3−2a >03−2a +3a ≥2，解得：−1≤a <32．即实数a 的取值范围是：[−1,32)．故答案为：[−1,32)．12.答案：−45解析：本题主要考查三角函数的化简，属于基础题解：sin2θ−2cos 2θ=2sinθcosθ−2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tanθ−2tan 2θ+1，，∴tanθ=12∴原式=−45 故答案为−45．13.答案：−4√29解析：【分析】本题考查了二倍角公式与诱导公式，根据诱导公式与二倍角公式可知cos2α=13，然后由二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式求解即可．解：因为sin (π4+α)⋅sin (π4−α)=sin (π4+α)⋅cos (π4+α)=16，所以sin (π2+2α)=13，即cos2α=13，又α∈(π2,π)，则2α∈(π,2π)，所以sin2α=−√1−cos 22α=−√1−(13)2=−2√23，故sin4α=2sin2α⋅cos2α=2×13×(−2√23)=−4√29．14.答案：0解析：由已知可得sin[α−(α−β)]=3sin[(α−β)+α]，利用两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得−2tan(α−β)=tanα，由此化简所求即可得结果．解：∵sinβ=3sin(2α−β)，∴sin[α−(α−β)]=3sin[(α−β)+α]， ∴sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)=3sin(α−β)cosα+3cos(α−β) sinα， ∴−2sinαcos(α−β)=4cosαsin(α−β)，即tanα=−2tan(α−β)， ∴2tan(α−β)+tanα=0，故答案为：0．15.答案：3π4解析：【分析】由题意可得α+β∈(0,π)，且tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，从而求得α+β的值．本题主要考查两角和的正弦公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．【解答】解：由tanα=2，tanβ=3，α，β∈(0,π2)，可得α+β∈(0,π)，且tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2+31−2×3=−1，故α+β=3π4，故答案为：3π4． 16.答案：e −3解析：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题.先利用单调性求出函数解析式，再代入即可求解解：因为函数f(x)有反函数，所以f(x)是单调函数，令f(x)+ln(x +1)=t ，则f(x)=t −ln(x +1)，由f(f(x)+ln(x +1))=e −2得f(t)=e −2，所以f(t)=t −ln(t +1)=e −2，所以t =e −1，所以f(x)=e −1−ln(x +1)，所以f(e 2−1)=e −3．故答案为：e −3．17.答案：解：(1)∵0<α<β<π2，∴0<β−α<π2，∵sinα=4√37，cos(β−α)=1314， ∴cosα=17，sin(β−α)=3√314， ∴tanα=4√3，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=8√31−48=−8√347．(2)由(1)可知cosα=17，sin(β−α)=3√314， cosβ=cos(α+β−α)=cosαcos(β−α)−sinαsin(β−α)=17×1314−4√37×3√314=−2398．解析：本题主要考查了两角和与差的正切函数，同角三角函数基本关系的应用．考查了学生对基础公式的熟练应用．(1)根据题意求得tanα的值，进而利用正切的二倍角公式求得答案．(2)求得cosα和sin(β−α)的值，进而利用两角和与差的余弦函数公式求得答案．18.答案：解：(1)由题意可得x 应当满足{1+x >01−x >0， ∴−1<x <1，∴定义域关于原点对称，又f(−x)=log 4(1−x )+log 4(1+x )=f(x)，∴f(x)为偶函数；(2)f(√22)=log 4(1+√22)+log 4(1−√22) =log 4((1+√22)×(1−√22)) =log 4(1−(√22)2)=log 412=−12．解析：本题主要考查函数的奇偶性及对数运算．(1)先求函数的定义域，再验证f(x)与f(−x)的关系，从而判断函数的奇偶性；(2)f(√22)=log 4(1+√22)+log 4(1−√22)计算为log 4((1+√22)×(1−√22))，化简可求值．19.答案：解：(1)扇环的圆心角为θ，则，所以，又0<θ<2，则4<r<10，．(2)f(r)=12θ⋅r2=2r(10−r)3，4<r<10，f(r)=−2r23+20r3，当r=−2032×(−23)=5米时，f(r)max=f(5)=503平方米．解析：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的弧长公式，扇形的面积公式，属于基础题．(1)利用扇形的弧长公式，结合装饰总费用为1200元，可求θ关于r的函数关系式，再由θ的取值范围，可求r的取值范围；(2)根据扇形的面积公式，可列出f(r)的解析式，再由二次函数的性质，可得f(r)的最大值，以及r 的值．20.答案：解：(1)设x∈[−4,−2]，则x+4∈[0,2]，∵当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，∴f(x+4)=(x+4)2−2(x+4)=x2+6x+8，又∵f(x+2)=3f(x)，∴f(x+4)=3f(x+2)=9f(x)=x2+6x+8，∴f(x)=19(x2+6x+8)，(2)∵x∈[−4,−2]时，f(x)=19(x2+6x+8)=19(x+3)2−19，当x=−3时，f(x)min=f(−3)=−19，则由f(x)≥118(3t−t)恒成立，可得−19≥3t−t18，整理可得，(t−3)(t+1)t≥0，∴−1≤t<0或t≥3．解析：本题主要考查了利用已知抽象函数的关系求解函数的解系式，解题的关键是由已知推出f(x+ 4)=9f(x)，而函数的恒成立问题往往转化为函数的最值的求解，属于中档试题．(1)先设x∈[−4,−2]，则x+4∈[0,2]，结合已知当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x可求f(x+4)，由f(x+ 4)=3f(x+2)=9f(x)，代入可求f(x);(2)由x∈[−4,−2]时，f(x)=19(x2+6x+8)=19(x+3)2−19，结合而成函数的性质可求f(x)的最小值，而由f(x)≥118(3t−t)恒成立，可得f(x)min≥3t−t18，解不等式可求t的范围．21.答案：解：(1)由f(x2−x)>f(2)及0<a<1，得0<x2−x<2，解得−1<x<0或1<x<2，所以x的取值范围是(−1,0)∪(1,2)．(2)因为g(x)为f(x)的反函数，所以g(x)=a x．由a+k·a x−1≥0在区间[2,+∞)上恒成立及a x−1>0，得k⩾−(1a)x−2在区间[2,+∞)上恒成立．因为x≥2，所以x−2≥0.因为0<a<1，所以1a >1，所以−(1a)x−2⩽−1，所以k≥−1，即实数k的最小值为−1．解析：本题考查反函数的求解，对数函数及其性质，不等式的恒成立问题，属于中档题．(1)根据对数函数的单调性将原不等式转化为0<x2−x<2，并注意真数大于零即可求解；(2)由题意，知g(x)=a x，原不等式可转化为k⩾−(1a )x−2，故原问题可转化为k⩾−(1a)x−2在区间[2,+∞]上恒成立求解．。

上海交大附中0910高一数学上学期期末试卷沪教版新课标【会员独享】

上海交大附中09-10高一上学期期终试卷高一数学（满分100分，90分钟完成。

答案一律写在答题纸上）一．填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）1、设p ：|x-1|<1，q ：0122<--x x ，则p 是q 的_________条件(充分必要性)。

2、若一个数集中任何一个元素的倒数仍在该集合中，则称该集合是“可倒”的数集，请你写出一个“可倒”的数集_____________。

3、在与角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是__________。

4、若方程x 2-5x+m=0与x 2-nx+15=0的解集分别为A 、B ，且A ⋂B={3}，则m+n=_________。

5、设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--0012x xx x ，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是___________。

6、若函数y=f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)=x+lg|x|，则f(10)=___________。

7、函数y=ln(4+3x-x 2)的单调减区间为____________。

8、已知函数f(x)=12+++bx x a x 在[-1，c]上为奇函数，则f(21)•c 的值为_________。

9、不等式26x x --0的解集为___________。

10、已知函数f(x)=1---a x xa 的反函数f -1(x)的图像的对称中心是(b ，3)，则实数a+b 为____。

11、定义：区间[x 1，x 2]( x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y= |log 0.5x| 的定义域为[a ，b]，值域为[0，2]，则区间[a ，b]的长度的最大值为_________。

12、设函数f(x)的定义域为D ，若对于任意的x 1∈D ，存在唯一x 2∈D 的使2)()(21x f x f +=C(C 为常数)，则称函数f(x)在D 上的均值为C 。

上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

交大附中高一期末数学试题2022.01一,填空题（第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分）1. 函数1sin 22y x =地最小正周期T =__________。

【结果】π【思路】【详解】思路：直接利用三角函数地周期公式,求出函数地周期即可详解：由三角函数地周期公式可知：函数122y sin x =地最小正周期22T ππ==故结果为π点睛：本题主要考查了三角函数地周期性及其求法,属于基础题．2. 已知函数()22f x ax x =+是奇函数,则实数a =______．【结果】0【思路】【思路】由奇函数定义入手得到相关变量地恒等式后,比较系数可得所求结果．【详解】∵函数()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即2222ax x ax x -=--,整理得20ax =在R 上恒成立,∴0a =．故结果为0．【点睛】本题考查奇函数定义,解题时依据奇函数地定义得到恒等式是解题地关键．另外,取特殊值求解也是解决此类问题地良好方式,属于基础题．3. 若集合{}2A x x =<,101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭,则A B = ______．【结果】{}12x x -<<## ()1,2-【思路】【思路】求解绝对值不等式解得集合A ,求解分式不等式求得集合B ,再求交集即可.【详解】因为{}2A x x =<{|22}x x =-<<,101B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭{}1x x =-,故可得A B = {|12}x x -<<.故结果：{}12x x -<<.4. 方程()lg 21lg 1x x ++=地解为______.【结果】2.【思路】【思路】由对数地运算性质可转化款件为()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩,即可得解.【详解】方程()lg 21lg 1x x ++=等价于()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩,所以()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩,解得2x =.故结果为：2.【点睛】本题考查了对数方程地求解,考查了运算求解能力,属于基础题.5. 设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩,那么1(10)f -=_____【结果】3【思路】【思路】欲求1(10)f -,依据原函数地反函数为1()f x -知,只要求满足于()10f x =地值即可,故只解方程()10f x =即得.【详解】解答：令()10f t =,则1(10)t f -=,当0t <有2105t t =⇒=不合,当0t ≥有21103t t +=⇒=±,3t =-（舍去）那么1(10)3f -=故结果为3【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数()()y f x x A =∈地值域是C ,依据这个函数中,x y 地关系,用y 把x 表示出,得到()x f y =.6. 若集合{}3cos23,xA x x x R ==∈,{}21,B y y y R ==∈,则A B ⋂=_______．为【结果】{}1【思路】【思路】易知{}1,1B =-,分别验证1,1-和集合A 地关系即可得结果.【详解】因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-,13cos 23π=,()13cos 23π--≠,即1A ∈,1A -∉,所以{}1A B ⋂=,故结果为：{}1.7. 幂函数y x α=,当α取不同地正数时,在区间[0,1]上它们地图像是一族美丽地曲线（如图）．设点(1,0)(0,1)A B ，,连接AB ,线段AB 恰好被其中地两个幂函数12y x y x αα==，地图像三等分,即有BM MN NA ==．那么12αα=_______．【结果】1【思路】【思路】求出,M N 地坐标,不妨设1y x =α,2y x =α,分别过12(,)33M ,21(,)33N ,分别代入点地坐标,变形可解得结果.【详解】因为(1,0)A ,(0,1)B ,BM MN NA ==,所以12(,)33M ,21(,33N ,不妨设1y x =α,2y x =α,分别过12(,33M ,21(,)33N ,则12133⎛⎫= ⎪⎝⎭α,21233⎛⎫= ⎪⎝⎭α,则112212333⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1223⎛⎫= ⎪⎝⎭αα,所以121=αα．故结果为：18. 已知函数()()1201x f x a a a +=->≠,,地图象不经过第四象限,则a 地取值范围为__________．【结果】[2,)+∞.【思路】【思路】依据01a <<和1a >两种情况讨论,令()0f x ≥,得出不等式,即可求解.【详解】当01a <<时,令()0f x ≥,可得20a -≥,此时不等式地解集为空集,（舍去）。

上海交大附中年高一数学下学期年末考试试卷解析

上海交大附中年高一数学下学期年末考试试卷解析高中是每位家长和小孩人一辈子的转折，为了关心考生更好的备战高考，查字典数学网为你整理高一数学下学期期末考试试卷答案的相关内容。

高一数学下学期期末考试试卷答案一、填空题(本大题共12题，每题3分，满分36分)1.数列的一个通项公式为.【答案】试题分析：因为数列可看做因此该数列一个通项公式为.2.若三个数成等比数列，则m=________.3.数列为等差数列，为等比数列，，则.试题分析：设公差为，由已知，，解得，因此，.4.设是等差数列的前项和，已知，则等于.49【解析】在等差数列中，.5.数列的前n项和为，若，，则___________【解析】因为an+1=3Sn，因此an=3Sn-1(n2)，两式相减得：an+1-an=3 an，即=4(n2)，因此数列a2，a3，a4，构成以a2=3S1=3a1=3为首项，公比为4的等比数列，因此a6=a244=3446. __________(用反三角函数符号表示).【答案】7.方程= 的实数解的个数是______________40298.函数的值域是.试题分析：且,因此,依照正切函数的图像可知值域为或.9.函数f(x)=-2sin(3x+ )表示振动时，请写出在内的初相________.f(x)=-2sin(3x+ )=2sin(3x+ )，因此在内的初相为。

10.观看下列等式，若类似上面各式方法将分拆得到的等式右边最后一个数是，则正整数等于____.试题分析：依题意可得分拆得到的等式右边最后一个数5,11,19,29，.因此第n项的通项为.因此.因此.11.已知数列满足：(m为正整数)，若，则m所有可能的取值为__ ________。

【答案】4 5 3212.设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列.若，，且，则数列{bn}的公比为.方法二：由题意可知，则.若，易知，舍去;若，则且，则，因此，则，又，且，因此.二、选择题(本大题共4题，每题4分，满分16分)13.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是( )A. B.C. D.试题分析：将的图象上所有点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)，可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即故选C.考点：函数y=Asin(x+)的图象变换.14.函数f(x)= ( )A.在、上递增，在、上递减B.在、上递增，在、上递减C.在、上递增，在、上递减D.在、上递增，在、上递减试题分析：，在、上递增，在、上，递减，故选A15.数列满足表示前n项之积，则的值为( )A. -3B.C. 3D.【解析】由得，因此，，，因此是以3为周期的周期数列，且，又，因此，选A.16.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为( )A. B. C. D. 不存在因此，当且仅当即取等号，现在，因此时取最小值，因此最小值为，选A.三、解答题(本大题共4题，满分48分8+12 +12+16=48)17.已知，求的最大值【解】由已知条件有且(结合)得，而= =令则原式=依照二次函数配方得：当即时，原式取得最大值。

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交大附中高一期末数学试卷
2016.06
一. 填空题
1. 无限循环小数0.036化成最简分数为
2.
函数y =的定义域是
3. 若{}n a 是等比数列，18a =，41a =，则2468a a a a +++=
4. 函数()tan cot f x x x =+的最小正周期为
5. 已知,a b R ∈且2lim(
)31
n an bn
n n →∞+-=+，则22a b += 6. 用数学归纳法证明“111
12321
n n +++⋅⋅⋅+<-*(,1)n N n ∈>”时，由n k =(1)k >不
等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数共项
7. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、
C 的对边分别为a 、b 、c ，
若a =2c =，120A ︒=，则ABC S ∆=
8. 函数()arcsin(cos )f x x =，5[,]46
x ππ
∈的值域为
9. 数列{}n a 满足
12225222
n n
a a a n ++⋅⋅⋅+=+，*
n N ∈，则n a = 10. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[sin1][sin 2][sin3][sin10]+++⋅⋅⋅+= 11. 已知2
25sin
sin 240αα+-=，α为第二象限角，则cos
2
α
=
12. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是
13. 数列{}n a 满足：,21(0.5),2n
n n
q n k a n k
⎧=-⎪=⎨=⎪⎩，*
k N ∈， {}n a 的前n 项和记为n S ，若lim 1n n S →∞
≤，则实数q 的
取值范围是
14. 已知数列{}n a 满足：1a m =*
()m N ∈，10.531n
n n
a a a +⎧=⎨+⎩ n n a a 当为偶数时当为奇数时，若61a =，
写出m 所有可能的取值
二. 选择题
15. 设a 、b 、c 是三个实数，则“2
b a
c =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 16. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>>≤
局部图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为（） A. 3sin(2)26y x π=+ B. 3sin(2)26y x π
=- C. 3sin(2)23y x π=
+ D. 3sin(2)23
y x π=- 17. 若数列{}n a 对任意2n ≥()n N ∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面给出关于数列{}n a 的四个命题：① {}n a 可以是等差数列；② {}n a 可以是等比数列；③ {}n a 可以既是等差又是等比数列；④ {}n a 可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
18. 若数列{}n a 前12项的值各异，且12n n a a +=对任意的*
n N ∈都成立，则下列数列中可
取遍{}n a 前12项值的数列为（）
A. 31{}k a +
B. 41{}k a +
C. 51{}k a +
D. 61{}k a +
三. 解答题
19. 已知函数()cos 2sin 22f x a x x a b =-++(0)a ≠，[0,]2
x π
∈，值域为[5,1]-，
求常数a 、b 的值；
20. 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了他们的工资标准：A 公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B 公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资分别是多少；（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？
21. 如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，
1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥，点P 在
边AB 上，设MOD θ∠=；
（1）若30θ︒
=，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的三角形铁皮PMN 面积的最大值；
22. 在xOy 平面上有一点列111(,)P a b 、222(,)P a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n P a b 、⋅⋅⋅，对每个正整数n ，点n P 位于函数1000()6
x
a
y =(06)a <<的图像上，且点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以n P 为顶角顶点的等腰三角形；（1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式；
（2）若对每个自然数n ，以n b 、1n b +、2n b +为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；（3）设12n n B b b b =⋅⋅⋅*
()n N ∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{}n B 的最大项的项数是多少？试说明理由；
23. 设递增数列{}n a 共有k 项，定义集合{|,1}k i j A x x a a i j k ==+≤<≤，将集合k A 中的数按从小到大排列得到数列{}n b ；
（1）若数列{}n a 共有4项，分别为11a =，23a =，34a =，46a =，写出数列{}n b 的各项的值；
（2）设{}n a 是公比为2的等比数列，且10.52a <<，若数列{}n b 的所有项的和为4088，求1a 和k 的值；
（3）若5k =，求证：{}n a 为等差数列的充要条件是数列{}n b 恰有7项；
参考答案
一. 填空题 1.
255 2. [1,2] 3. 8516
4. π
5. 17
6. 2k
7. 8. [,]34ππ
- 9. 114,12,2
n n n +=⎧⎨≥⎩ 10. 4- 11. 35
12. 144 13. 1
(1,]2
- 14. 4、5、32
二. 选择题
15. B 16. D 17. C 18. C
三. 解答题
19. 2a =，5b =-；或2a =-，1b =；
20.（1）A 公司：7500500n +；B 公司：1
8000(15%)
n -+；
（2）A 公司十年月工资总和为1230000，B 公司十年月工资总和为1207476，选A 公司；
21.（1）
68+；（2）34
+；
22.（1）0.5
1000()6
n n a b +=；（2）36a -<<；（3）16B 最大，因为161b >，171b <；
23.（1）14b =，25b =，37b =，49b =，510b =；
（2）11a =，(21)(1)4088k
k --=，9k =；（3）略；。