点差法巧解圆锥曲线

点差法巧解圆锥曲线
高中部 周钢
点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程的一种特殊方法。

点差法在解决特定问题时，可以减少很多的运算，因此对于这种方法，我们应该予以重视。

例1：过点()1,4P 作抛物线x y 82
=的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 所在直线的方程.
解：法一、设AB 所在直线的方程为()()014≠+-=k x k y ，
由()⎩⎨
⎧=+-=x
y x k y 81
42
，消去x 并整理，得083282
=+--k y ky .
设()11,y x A ，()22,y x B ，由根与系数的关系，得k
y y 821=+， 又P 是AB 的中点，所以
1221=+y y . 所以428
=⇒=k k
， 所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x .
法二、设()11,y x A ，()22,y x B ，则有12
18x y =，22
28x y =，
两式相减，得()()()2121218x x y y y y -=+-， 又221=+y y ，则48
2
11212=+=--=
y y x x y y k ，
所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x .
通过例1可以看出：法一为传统解法，在联立求解过程中，可能出现计算失误导致最终结果的偏差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。

例1比较简单，传统方法亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。

例2：已知椭圆C 的两个焦点分别为()0,11-F ，()0,12F ，M 是此椭圆上的一点，且
21MF MF ⊥8=.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点B 是椭圆C 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，M 、N 是椭圆C 上不同于点B
的两点.若MBN ∆的重心是椭圆C 的右焦点，求直线MN 的方程.
解：（1）解答过程略，椭圆C 的方程为14
52
2=+y x （2）设()11,y x M ，()22,y x N ，由（1）知()2,0B ，
因为()0,12F 是MBN ∆的重心，故各点坐标满足
⎩⎨
⎧-=+=+⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=++2303213
21212121y y x x y y x x ，故M 、N 中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,23， M 、N 在椭圆上应满足1452121=+
y x ，14
52
2
22=+y x ，两式相减得 ()()()()
04
5
21212121=-++
-+y y y y x x x x ⇒()()5
6
5421212121=++-=--=
y y x x x x y y k ，
所以直线MN 的方程为()⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
--23561x y ，即01456=--y x . 例2第二问的重点在于对重心的理解以及重心坐标公式的应用，利用重心求出弦MN 的中点坐标，再利用点差法即可求出直线方程，简化了大量的计算。

如果不懂得使用点差法，当我们苦思冥想重心用法之后，难免在常规计算中失误犯错。

例3：已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设()11,y x A ，()22,y x B 为椭圆上关于直线对称的两点，()y x P ,为弦AB 的中点，
则
1342121=+y x ，13
422
22=+y x ，两式相减得0342
2212221=-+-y y x x ， 即
()()()()
03
4
21212121=+-+
+-y y y y x x x x ，
由题意可知x x x 221=+，y y y 221=+，
4
1
2121-=--x x y y ，
带入上式可得P 点满足方程x y 3=，且P 点在椭圆内部，
联立⎩
⎨
⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+==m y m x m x y x y 343，即()m m P 3,--满足()()13342
2<-+-m m 所以13
4
2
<
m ，解得1313213132<<-m 例3利用点差法，巧妙的解决了弦中点的轨迹问题以及点对称的问题，体现了点差法的灵活性以及多样性。

总的来说，点差法常见题型有：求中点弦方程、求弦中点轨迹、求垂直平分线、求定值问题。

点差法虽然好用，但也只是一种特殊方法，只能解决一些特殊问题。

因此，要想熟练掌握各类解析几何题目，还是要从练好基本题型、掌握基本方法入手，适当的结合一些特殊方法如点差法，便能更好的解决各类解析几何问题，为高考做好准备。