平面的基本性质(1).1

平面的基本性质（1）

教学目标

（1）了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法；

（2）初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；

（3）了解平面的基本性质：公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题．

教学重点

平面的概念及其表示；三种语言相互之间的转化；平面的基本性质．

教学难点

平面的基本性质及其简单应用．

教学过程

一、问题情境

1．情境：广阔的草原、平静的湖面、长方体的底面、侧面都给我们以平面的形象。

2．问题：在数学世界中，平面到底是什么样的一个概念呢？

二、学生活动

将平面的概念与直线的概念加以对照，以加深对平面概念的理解。

三、建构数学

1．平面的概念：

平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。

思考：①一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成几部分？

②演示：将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上，试问硬纸板所在平面与桌面有多少个

公共点呢？为什么？

2．平面的画法及其表示方法：

①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍。

②一般用一个希腊字母α、β、γ----来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等。

3．图形语言、符号语言、文字语言的相互转化：

BC B

=

⊂平面AC

⊄平面AC

α B A

4．平面的基本性质：

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 推理模式：

A A

B B ααα∈⎫

⇒⊂⎬∈⎭

． 如图示： 应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内。模式：a A A a α

α⊂⎧⇒∈⎨∈⎩

．

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是

经过这个公共点的一条直线。

说明：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。

推理模式：P l P ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且P l ∈。 如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 如图示：

说明：过不共线三点,,A B C 的平面通常记作“平面ABC ”

。 推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪

∈⇒⎬⎪∈⎭

不共线与β重合。

应用：①确定平面；②证明两个平面重合。

四、数学运用 1．例题：

例1．将下列文字语言转化为符号语言，图形语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内；

（2）直线a 经过平面α外一点M ；

（3）直线l 在平面α内，又在平面β内。（即平面α和β相交于直线l ．） （解略）

1A

1B

1C

1D

A

B

C

D

M ∙

P

∙

l α

β

P ∙ A ∙ B ∙

C ∙

α

例2．将下列符号语言转化为图形语言： （1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；

（2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p =，c αβ=．（解略） 说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）．

例3．在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形。（如右图）

例4．点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，

若EH 与FG 交于P ， 求证：P 在直线BD 上。

证明：∵EH FG P =，∴P EH ∈，P FG ∈，

∵,E H 分别属于直线,AB AD ， ∴EH ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD ，

同理：P ∈平面CBD ，

又∵平面ABD 平面CBD BD =， 所以，P 在直线BD 上。

2．练习：课本第23页 练习 第1、2、3、4、5题．

五、回顾小结：

1．平面的概念及其表示方法；

2．平面的性质的三个公理及其简单应用．

B O C

β

α ∙ ∙

∙