第37讲 直线与方程(讲义版)

第37讲直线与方程

一、考情分析

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

二、知识梳理

1.直线的倾斜角

(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；

(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).

2.直线的斜率

(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.

(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1

x2－x1

(x1≠x2).若直线的

倾斜角为θ(θ≠π

2)，则k＝tan__θ.

3.直线方程的五种形式

[微点提醒]

1.直线的斜率k 和倾斜角α之间的函数关系：

2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.

3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.

三、 经典例题

考点一 直线的倾斜角与斜率

【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭

⎪⎫

α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3

C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2

D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π4，2π3 (2)(一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.

【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)

【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π6，π3，所以12≤cos α≤32，

因此k ＝2cos α∈[1，3].

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π4，π3，

即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π4，π3.

(2)法一 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).

当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]. 故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.

∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，

即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.

即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).

【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围.

【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.

∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，

即(3k －1)(k －3)≤0，解得1

3≤k ≤ 3.

即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

13，3.

【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.

【解析】 由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0， ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.

即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫3π4，π.

规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.

2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π

2时，直线斜率不存在.

考点二直线方程的求法

【例2】求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.

【解析】(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，

所以l的方程为y＝1

4x，即x－4y＝0.

若a≠0，则设l的方程为x

a＋

y

a＝1，

因为l过点(4，1)，所以4

a＋

1

a＝1，

所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.

因为tan α＝3，所以tan 2α＝

2tan α

1－tan2α

＝－

3

4.

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－3

4(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.

2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).

考点三直线方程的综合应用