简谐振动的运动方程
简谐振动最基本最重要的运动
当θ角很小时，有： M mgh —— 谐振
单摆：I mL2 h = L I
I
g
L
2 g
L
T 2 L
g
复摆：
2 mgh
I
T 2 I
mgh
振动周期均取决于系统本身。
七.谐振的能量
Ek
1 mv2 2
1 m 2 A2 sin 2 (
2
t
)
1 kA2 sin 2 (
2
t
)
Ep
1k 2
02 2 A、φ由初始条件决定。
若：
2＞
2 0
则为过阻尼振动，物体将缓慢逼近平衡位置。
2 02
称为临界阻尼，物体回到平衡位置，并静止。
应用：电表中的电磁阻尼。临界阻尼。 二. 受迫振动
1.受迫振动 ： 振动系统在周期性外力的持续作用 下发生的振动。此外力称驱动力。若强迫力按简谐 振动规律变化，则受迫振动也是谐振，周期为外力 的周期，振幅保持不变。
阻尼越小，振幅越大。
定量分析：
dA d (
f
)0
d p
d p
(
2 0
2 p
)2
4
2
2 p
得： 02 2
A Amax
f
Amax
2
02 2
阻力越小，ωp越接近ω0。同时 Aτ也越大。
β
0
ωτ
ω0
Amax
∞
§6. 谐振的合成
一.两个同方向 同频率的合成
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
A = A1－ A2 为最小 二.同方向不同频率的合成 拍
合振动的振幅、频率均随时间变化，不是简谐振动。
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】据x=Asin（ωt+ φ ）得到：A1=4a，A2=2a。 A1 / A2=4a/2a=2 又ω=4πb及ω=2πf得：f1=f2=2b
1
它们的相位差是： △φ = （4πbt+ 3π/4） － （4πbt+ π/2） =π
创新微课 现在开始
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
一、简谐运动弦函数y=Asin(ωx+φ)，简谐运动的位移随时间变化的规律 （振动方程）应为： x=Asin(ωt+φ)
简谐运动的表达式
创新微课
二、各物理量的意义
简谐运动的振动方程 x=Asin(ωt+φ)：
1、振幅：A是物体振动的振幅。
别为多少?
1
(2)求振子在5 s内通过的路程。
(3)根据振动图象写出该简谐运
动的表达式。
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】(1)由图象可知: 振幅:A=2 cm 周期:T=0.8 s 频率:f==1.25 Hz。 (2)在5 s内通过的路程:
s=×4A= ×4×2 c1m=50 cm。
(3)由图象可知:振子的初相为
0,ω=2πf=2.5π rad/s 表达式为:x=2sin 2.5πt cm。
【答案】(1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz
cm
(2)50 cm
(3) x=2sin 2.5πt
简谐运动的表达式
创新微课
【练习】两个简谐振动分别为:
x1=4asin（4πbt+ π/2） 和 x2=2asin（4πbt+ 3π/4）
1
简谐振动的概念
简谐振动的概念
简谐运动随时间按余弦（或正弦）规律的振动，或运动。
又称简谐振动。
简谐运动是最基本也最简单的机械振动。
当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。
它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。
（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。
故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。
扩展资料
简谐振动位移公式：x=Asinωt
简谐运动恢复力：F=-KX=-md^2x/dt^2=-mω^2x
ω^2=K/m
简谐运动周期公式：T=2π/ω=2π(m/k)^1/2
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率,ω=√(k/m)；
φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度(逆时针为正方向)，叫做简谐运动的初相位。
在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos(ωt+φ)，简谐运动的速度v=-ωRsin(ωt+φ)，简谐运动的加速度a=-(ω^2)Rcos(ωt+φ),这三个式子叫做简谐运动的方程。
简谐振动运动方程
简谐振动运动方程简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它在自然界和工程领域中都有广泛应用。
简谐振动的运动方程描述了振动物体在平衡位置附近的周期性运动规律，可以用于解释弹簧振子、摆钟、电路中的振荡电流等现象。
简谐振动的运动方程可以表示为x = A*cos(ωt+φ)，其中x表示振动物体距离平衡位置的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位差。
这个方程描述了振动物体随时间变化的位置情况。
简谐振动的周期是指振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
周期T与角频率ω之间有关系T = 2π/ω。
振动的频率则是指单位时间内完成的振动次数，可以表示为 f = 1/T = ω/2π。
振动的频率与角频率是相互关联的，它们描述了振动物体的快慢程度。
简谐振动的振幅是指振动物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，振动物体的运动范围就越大。
振动物体的能量也与振幅有关，振幅越大，能量越高。
振幅与振动物体的势能和动能之间也存在着一定的关系。
简谐振动的初相位差是指振动物体在某一时刻与参考点的位移差。
初相位差决定了振动物体的起始位置，它与振动物体的初始条件有关。
初相位差的不同会导致振动物体的运动规律发生变化。
简谐振动的运动方程可以通过牛顿定律和胡克定律推导得到。
牛顿定律指出，物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，胡克定律则描述了弹簧的弹性特性。
将这两个定律结合起来，可以得到简谐振动的运动方程。
简谐振动在自然界和工程中都有广泛的应用。
在自然界中，摆钟的摆动、弹簧振子的弹动、声波的传播等都是简谐振动。
在工程领域中，简谐振动的原理被应用于建筑物的抗震设计、机械振动的控制、电路中的振荡电流等。
简谐振动还有一些特殊的性质。
例如，简谐振动的位移、速度和加速度之间存在着一定的相位关系。
位移和速度的相位差是π/2，位移和加速度的相位差是π。
这些相位关系可以通过简谐振动的运动方程进行推导得到。
简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它可以用运动方程来描述振动物体的运动规律。
简谐振动的方程
m
O
x X
k mg / l
令向下有位移x, 则 f mg k (l x) kx
作谐振动
设振动方程为
x A cos(t 0 )
k m g l 9.8 10rad / s 0.098
由初条件得
A x0 (
2
v0
) 2 0.098m
0 是t =0时刻的位相—初位相
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
A
t
t t
t0
o
x
x
x A cos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1）
2） 3）
F kx
d2 x 2 x 2 dt
(平衡位置
x0 )
v0 0 arctg ( ) 0, x0
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
(2)按题意 t=0 时
m
O
x X
x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x t 图
x A cos t
x
A
t
v t 图
v A sin t
A cos(t
A
2 )
2
v
t
a t 图
a A 2 cos t
普通物理学 §10-1 简谐振动
是代数值，有正负。 注意: φ有二个解。
如φ=α是解
φ=π+α也是解.
2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2 A x0 ( v0 ) 2
由初始条件确定
(2)周期和频率 周期：物体作一次完整振动所经历的时间。
x A cos(t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ]
1 E kA2 2 1 2 Ep k A cos2 t 2
o
T
4
T
2
3T
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 E kA2 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
B
Ek
Ep
O
x
A
x
能量守恒
推导
简谐运动方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
第一次回到平衡位置所需时间：
△t = （ π/3 + π/2） /ω = (5π/6) /π = 5/6 秒 =0.83s
B’ O 0.06
●
ω
φ B C
x (m
A(t=0)
例2一谐振动的振动曲线如图所示。 φ 求：ω 、 以及振动方程。 x x A
A 2
A
A x0 = 2 t = 0时 { ...φ = π 3 v0 ＞0 A x1 = 0 2π ..Φ 1= π . t =1时 { dx 2 v1 = x dt ＜ 0 π =π ..ω = 5 π . Φ1 =ω t 1+ φ =ω × 1
M P
A
简谐振动方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )
一维简谐振动方程
一维简谐振动方程
(1)一维简谐振动：是指单位质量上单个物体沿着一条直线往复运动，它受到线性弹簧的弹力以及空气阻力的影响而有一定的规律。
(2) 一维简谐振动方程：它的运动方程用一阶欧拉方程表示：
d^2x/dt^2 + 2βdx/dt + ω_0^2x = 0，其中，X表示一维简谐振动的位移，ω_0为自振频率，β为阻尼系数。
(3)该方程用于描述一维简谐振动的动态行为，使用该方程可以求出
振动幅值和相位随时间变化的特征，以及在特定频率中振动的振幅大小。
此外，它还可以用来分析悬挂系统的振动行为、水力传输系统的液动传输、电路等系统的动态响应情况。
振动方程和波动方程
振动方程和波动方程振动方程和波动方程是物理学中非常重要的两个方程，它们分别描述了物体在振动和波动时的运动规律。
下面我们将详细介绍这两个方程。
一、振动方程振动是指物体围绕某个平衡位置做小幅度的周期性运动。
例如，弹簧振子、简谐振子等都是典型的振动系统。
振动方程就是用来描述这些系统运动规律的数学公式。
对于简谐振子而言，它的运动可以用如下公式表示：x = A sin(ωt + φ)其中，x表示位移，A表示最大位移（即振幅），ω表示角频率（2πf），t表示时间，φ表示初始相位。
而对于一般的线性简谐系统，其运动可以用如下形式的二阶微分方程来描述：m(d²x/dt²) + kx = 0其中，m为质量，k为弹性系数，x为位移。
这就是典型的简谐振动方程。
通过对这个方程进行求解，我们可以得到物体在不同时间点上的位移、速度和加速度等信息。
二、波动方程波浪是指媒介中沿某一方向传播的能量扰动。
例如，水波、声波、光波等都是典型的波动现象。
而波动方程则是用来描述这些现象的数学公式。
对于一维的机械波而言，它可以用如下形式的偏微分方程来描述：∂²y/∂t² = v²∂²y/∂x²其中，y表示位移，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
这就是典型的一维波动方程。
通过对这个方程进行求解，我们可以得到物体在不同时间点上的位移分布情况。
对于二维或三维空间中的波动问题，则需要使用更加复杂的偏微分方程进行描述。
例如光学中常见的亥姆霍兹方程：(∇² + k²)n(r) = 0其中，n(r)为介质折射率分布情况，k为波数。
通过对这个方程进行求解，我们可以得到光线在不同介质中传播时的路径和相位变化等信息。
总结：振动方程和波动方程是物理学中非常基础和重要的两个数学工具。
它们能够帮助我们深入理解物体在振动和波动时所表现出来的运动规律，并为我们研究和应用这些现象提供了强有力的数学工具。
一维简谐振动方程
一维简谐振动方程x = A cos(ωt + φ)其中，x表示质点的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
在这个方程中，振幅A表示质点离开平衡位置的最大位移量。
角频率ω表示单位时间内振动的次数，单位为弧度/秒。
初相位φ表示在t=0时刻的初始相位。
一维简谐振动的运动方程可以通过引入受力分析得到。
假设质点的质量为m，弹簧的劲度系数为k，那么质点在弹簧的作用下受到恢复力的作用。
根据胡克定律，恢复力与质点的位移成正比，方向与位移方向相反。
恢复力的大小可以表示为F = -kx。
根据牛顿第二定律，质点的加速度a与受力F成正比，且方向与受力方向相同。
根据定义，加速度a等于位移x对时间t的二阶导数。
所以，如果我们用F = -kx和F = ma结合，可以得到以下方程：m(d^2x/dt^2) = -kx这就是简谐振动的运动方程。
为了求解这个微分方程，我们可以假设解为x = Acos(ωt + φ)，然后将它代入方程中验证。
根据两边的积分运算得到：-mω^2Acos(ωt + φ) = -kAcos(ωt + φ)根据三角函数性质，如果两个角度相等，则它们的余弦值也相等。
所以，我们可以得到两个方程：-mω^2A=-kAω^2=k/m从第一个方程我们可以看出，质点振动的角频率与质点的质量和劲度系数成正比。
从第二个方程我们可以看出，角频率的平方等于弹簧劲度系数与质点的质量比值。
根据以上的分析，我们可以得到简谐振动的一维运动方程：x = Acos(ωt + φ)其中，振幅A和初始相位φ可以由初始条件确定。
角频率ω可以根据弹簧劲度系数k和质点质量m计算得到。
简谐振动方程的求解可以帮助我们理解振动的特性，如振动频率、振动周期等。
它也为我们的工程应用提供了理论基础，如在建筑结构设计中用于减震、在机械工程中用于设计自由摆、在电子工程中用于设计电路等等。
总之，一维简谐振动方程是一种重要的物理方程，在物理学和工程学中有着广泛的应用。
简谐运动表达式
简谐运动表达式
简谐运动是一种重要的物理现象，它描述了在恢复力作用下，质点沿着直线或曲线作谐振运动的过程。
简谐运动的数学表达式可以使用正弦或余弦函数来表示，通过以下公式进行描述：
$ x(t) = A \times \cos(\omega t + \phi) $
其中，$ x(t) $ 是质点在时间 $ t $ 时的位移，$ A $ 是振幅，$ \omega $ 是角频率，$ \phi $ 是初相位。
在这个表达式中，振幅 $ A $ 表示了简谐运动的最大位移，角频率 $ \omega $ 则代表了单位时间内变化的相位角度。
初相位 $ \phi $ 反映了质点在 $ t=0 $ 时刻的初始位置。
简谐运动的表达式还可以通过正弦函数表示，具体形式如下：
$ x(t) = A \times \sin(\omega t + \phi) $
与余弦函数表示法相比，正弦函数表示法在初始位移上有所不同，但本质是相同的。
简谐运动的表达式不仅适用于描述单摆、弹簧振子等机械振动系统，也能有效描绘声波、光波等波动现象。
通过这一简洁的数学表达式，我们能够更深入地理解和分析复杂的振动运动规律。
总的来说，简谐运动表达式是物理学中重要的数学工具，它通过简单的公式形式，展现了自然界中许多周期性运动现象的共性特征，为我们解释和预测自然现象提供了重要参考。
能量守恒推导简谐运动方程
能量守恒推导简谐运动方程
我们要从能量守恒的角度推导简谐运动的方程。
首先，我们需要理解简谐运动的基本性质和能量守恒的概念。
简谐运动是一个周期性的运动，其运动方程可以表示为：
x(t) = A × sin(ωt + φ)
其中，A 是振幅，ω是角频率，φ是初相。
在简谐运动中，系统的动能和势能是相互转化的。
动能 E_k = 1/2 × m × v^2 = 1/2 × m × (d/dt(x))^ 2
势能 E_p = k × x^2 / 2
由于简谐运动中动能和势能是相互转化的，所以他们的和是恒定的。
这意味着 d/dt(E_k + E_p) = 0
现在我们要来解这个方程，找出 x(t) 的表达式。
计算结果为：x(t) = A × sin(ωt + φ)
其中，A = sqrt(k/m)，ω = sqrt(k/m)，φ是初相。
所以，从能量守恒的角度，我们成功推导出了简谐运动的方程。
振动方程和运动方程
振动方程和运动方程
1. 振动方程：振动方程描述了物体在固定点周围振动的运动规律。
通常用一阶或二阶常微分方程表示，例如简谐振动的振动方程为：x'' + ω^2x = 0（其中x''表示加速度，ω表示角频率，x表示位移）。
2. 运动方程：运动方程描述了物体在空间中的运动规律。
它可以是一维、二维或三维的，通常用二阶或更高阶的微分方程表示，例如牛顿第二定律可以表示为F = ma（其中F表示力，m表示质量，a表示加速度）。
在绝对平稳的惯性参考系里，运动方程可以用欧拉-拉格朗日方程表示，它也是一个二阶微分方程。
需要注意的是，振动方程和运动方程虽然都可以用微分方程表示，但它们描述的物理运动现象是不同的。
振动方程通常描述固定点附近的周期性运动，而运动方程描述的是物体在空间中的各种非周期性运动。
简谐运动的运动方程
简谐运动的运动方程1. 简谐运动的概念简谐运动是指一个物体在恢复力作用下，在一个固定轴线上进行往复运动的运动形式。
在简谐运动中，物体的加速度与其位移成正比，且方向相反，符合以下的运动规律：1.加速度与位移成正比：a ∝ x2.加速度与位移的符号相反：a = -ω²x3.加速度与时间的关系：a = -ω²A sin(ωt)其中，a表示物体的加速度，x表示物体的位移，A表示运动的幅度（即最大位移），ω表示角频率，t表示时间。
简谐运动可以描述许多真实世界中的现象，如弹簧振子的运动、钟摆的摆动、音叉的振动等。
2. 简谐运动的运动方程简谐运动的运动方程描述了物体在简谐运动中的时间变化规律。
对于简谐运动，其运动方程一般可以表示为：x(t) = A sin(ωt + ϕ)其中，x(t)表示时间t时刻物体的位移，A表示运动的幅度（即最大位移），ω表示角频率，ϕ表示相位角。
•位移：位移x(t)表示物体从平衡位置开始的偏离程度。
•幅度：幅度A表示物体在简谐运动中的最大位移。
•角频率：角频率ω表示单位时间内物体通过一个完整振动周期的次数。
•相位角：相位角ϕ表示物体在t = 0时刻的位移相位。
3. 简谐运动的基本特点简谐运动具有以下的基本特点：3.1 周期性简谐运动是周期性的，物体的位移和速度随时间循环变化，周期T表示物体完成一个完整振动的所需时间。
3.2 能量守恒在简谐运动中，物体的动能和势能之和保持不变，即总机械能守恒。
3.3 相位关系简谐运动中，不同物体的位移之间存在相位差，相位差决定了物体之间的相对位置关系。
4. 简谐运动的重要应用简谐运动有许多重要的应用，下面介绍其中几个应用：4.1 时钟时钟中的摆锤进行来回振荡的运动就是简谐运动。
通过控制摆锤的长度，可以调整时钟的时间精准度。
4.2 天体运动天体运动中的一些周期性现象，如行星的公转运动、恒星的振动等，都可以使用简谐运动来描述。
4.3 电磁波电磁波是一种振动，可以用简谐运动来描述。
简谐振动的基本概念和公式
自由振动
定义：物体在无 外力作用下的振 动
特点：振动频率、 振幅和相位保持 不变
应用：研究物体 在自由状态下的 振动特性
与受迫振动的区 别：自由振动无 外力作用，受迫 振动有外力作用
受迫振动
定义：在外力作用下的振动
特点：振动频率与外力频率相 同
应用：机械振动、电磁振动等
公式：f=f0+f1，其中f0为固有 频率，f1为外力频率
2
振动周期公式
周期T与振幅A的关系： T=2π/ω，其中ω是圆频率
简谐振动的周期T与频率f的 关系：T=1/f
周期T与角速度ω的关系： T=2π/ω
周期T与初相位φ的关系： T=2π/ω，其中φ是初相位
角
振动幅度公式
简谐振动的位移公式：x(t) = A*cos(ωt + φ) 简谐振动的速度公式：v(t) = -A*ω*sin(ωt + φ) 简谐振动的加速度公式：a(t) = -A*ω^2*cos(ωt + φ) 简谐振动的周期公式：T = 2π/ω 简谐振动的频率公式：f = ω/2π
简谐振动的基本概 念和公式
汇报人：XX
目录
01 简 谐 振 动 的 定 义 02 简 谐 振 动 的 公 式 03 简 谐 振 动 的 应 用 04 简 谐 振 动 的 分 类
05 简 谐 振 动 的 能 量
简谐振动的定义
1
简谐振动的描述
简谐振动的频率和振幅是描述 其特性的两个重要参数。
简谐振动是一种周期性的运动， 其位移、速度和加速度都随时 间作周期性变化。
简谐振动的方程为x(t) = A*cos(ωt + φ)，其中A是振 幅，ω是角频率，φ是初相位。
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2xy Ax Ax
cos( x
y)
sin
2 (x
y)
为椭圆轨道方程（包括圆，直线段）----椭圆振动
7
特例1
x y 2k
xy Ax Ay
特例2
x y (2k 1)
特例3
x y (k 1/ 2)
x y
Ax
Ay
x2 Ax2
y2 Ay2
1
其它情况为斜椭圆
8
§7.1.5 方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成
非简谐振动分为周期性的和非周期性的 第一类可以用傅里叶（Fourier）展开 第二类可以作傅里叶（Fourier）变换 因而非简谐振动都可分解为简谐振动
设振动的周期为T，周期函2
T
称为基频率，简称基频
n n次谐频（n = 2为二次谐频，其它依此类推）
13
x(t)eit dt
2
A() 构成连续的傅里叶频谱
20
例8 δ函数
定义
(t)
0, ,
(t 0) (t 0)
性质
b a
(t)dt
10,,
(a,b 0或a, (a 0 b)
b
0)
另一种形式的δ函数
(t)
lim k
1
sin t
kt
A( ) 1 (t)eitdt 1
2
2
21
例如从零再变到零。
拍 1 2
拍 2 1
拍是一个重要的现象，有许多应用。
6
§7.1.4 方向互相垂直、同频率简谐振动的合成
如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向
x Ax cos(t x )
y
Ay
cos(t
y
)
这是以t为参量的轨道方程；消去t，可得显式的轨道方程
x2 Ax2
y2 Ay2
y
Ay
cos( y t
y)
x : y 1: 2 时，对应不同初相位差的李萨如图形
y
O
x
相邻的李萨如图形初相位差为12°
10
x :y 2:3
x :y 3: 4
相邻的李萨如图形初相位差为12°
11
x :y 3:5
x :y 5:8
相邻的李萨如图形初相位差为12°
12
§7.1.6 非简谐振动的简谐分解
x
周期 T 2
A
频率 1/ T
2
角频率
振幅 A
相位 t
初相位
t
3
§7.1.2 同方向同频率简谐振动的合成
一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动
x1 A1 cos(t 1), x2 A2 cos(t 2 ) 合振动 x A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
傅里叶级数： 1, cost, sint, cos2t, sin 2t, cosnt, sin nt,
它们都具有周期 T，且有正交性和完备性
正交性
T
0 sin nt cosmtdt 0
T 0
c os nt
c os mtdt
0(n m) T / 2(n
m)
T 0
sin
nt
sin
mtdt
0(n m) T / 2(n
(t) 1 eitd
2
22
§7.1.7 简谐振动的矢量表述和复数表述
A A1 A2
简谐振动的矢量图象法
简谐振动用旋转矢量表示
A2
x Acos(t ) A
x Ai
x x1 x2 ( A1 A2 ) i
A1
2 1
23
简谐振动的复数表示
x(t
)
4
s in
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
17
例7 锯齿波
x(t) 1 2 t, nT t (n 1)T T
x
A0
2 T
T
x(t)dt 0
0
1
O
T
t
An
2 T
T
x(t) cos ntdt 0
0
2
Bn T
T
x(t) sin ntdt
2
0
n
18
x(t)
2
sin
t
1 2
sin
2t
1 3
sin
3t
19
非周期性振动的傅里叶分解
非周期性的振动，可理解成T →ω的周期振动，基频ω→0， 分解出的简谐振动频率间距ω→0 ，对应的振动频谱是连续谱。
简谐振动的复数表示法 A cos(t ) Aei(t )
傅里叶变换
x(t)
A()
1
2
1
A( )eit d
振动与波无所不在
振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式。
尽管在各学科里振动与波的具体内容不同， 但在形式上却有很大的相似性。
1
§7.1 简谐振动的运动学描述
§7.1.1 运动方程
振动：物体在平衡位置附近的往返运动 简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动
x
t
2
简谐振动的运动方程 x Acos(t )
Acos(t )
合振动的振幅与相位差有关 A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1) tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
4
§7.1.3 同方向不同频率简谐振动的合成
考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动
xx21
Acos(1t ) Acos(2t )
合振动
x
x1
x2
2 Acos 2
1
2
t cos
2
1
2
t
包含一个随 t变化较慢的余弦因子和一个随 t变化较快的余弦因子
当两个振动的频率非常接近时
2
1
1
2
2
1或2
5
合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动 振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。 拍频---只与振幅的大小有关，
15
例6 方波
1, nT t nT T / 2 x(t) 1, nT T / 2 t (n 1)T
A0
2 T
T
x(t)dt 0
0
2
An T
T
x(t) cos ntdt 0
0
x 1
O
T
t
Bn
2 T
T
x(t) sin ntdt
4
,
0
(2m 1)
n 2m 1, m为正整数
16
当两个互相垂直的简谐振动频率不同时， 合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系， 图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。
当两者的频率之比是有理数时 合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段
这种图形称为李萨如图形（Lissajous figure）
9
x、y两垂直方向的简谐振动
x Ax cos(xt x )
m)
14
一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开
x(t)
A0 2
An
n1
cosnt
Bn
sin nt
A0
2 T
T
x(t)dt
0
An
2 T
T
x(t) cos ntdt
0
Bn
2 T
T
x(t) sin ntdt
0
x(t) 被分解为（除常数项A0/2之 外）频率为 nω的一系列简谐振动 ω，2ω，3ω，…构成离散的傅里叶频谱 An，Bn为相应简谐振动的振幅