《运筹学》线性规划精编版
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因为，10米长的钢筋截为3米或4米长，共有三种截法： 截法Ⅰ：3 3 3 1 米 截法Ⅱ：3 3 4 0 米 截法Ⅲ：4 4 0 2 米 假设按截法Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ各截取10米长的钢筋分别为x1, x2, x3 根
则可以获得3米长的短钢筋的根数是3x1+2x2 4米长短钢筋的根数是x2+2x3 按问题要求它们应该不小于100根。
5
8
7
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2
Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10
0.2x1 +0.3x2 ≥5
s.t.
0.3x1 +0.4x2 ≥8
0.2x2 ≥7
x1 , x2≥0
2.3 线性规划的图解法
对只包含两个决策变量的线性规划问题，可以用图解法 来求解。图解法顾名思义就是通过作图来求解的方法，它简 单直观、并有助于说明一般线性规划问题求解的基本原理。
3、约束条件右端常数为负数 只需将这一约束条件两端同 乘“-1”就可化为一个等价的约束条件，其右端常数满足标 准形式的要求。
4、决策变量不满足非负约束
（a） x1 0
x1 x1 则x1 0
（b） 如x3无约束，则令 x3 x3 x3
例如，将例1中的线性规划模型化为标准形式就是：
有关概念
可行解：
我们将满足线性规划问题的所有约束条件的变量x1和x2 的一组取值称为线性规划问题的一个可行解。通常用X表示。
可行域：
我们将可行解的集合称为可行域。
最优解：
因此我们求解线性规划问题，就是要求使得目标函数 取最优值（对例1，就是取最大值）的可行解，这样的可行解 就称为线性规划问题的最优解。 通常用X*表示。
x1 2x2 3x3 x4 2 x1 2x2 2x2 3x3 x4 2
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量 x5 使它化为等式： 2x1 3x2 2x3 x5 2 也就是
2x1 3x2 3x2 2x3 x5 2
(或
，或
)b
X
0
其中
用矩阵的记号可以将线性规划模型一般形式写成：
max( 或 min) z CX
AX (或 ，或 )b
s.t.
X
0
其中 X , C, b 同上，而矩阵 A 是由各约束条件的系数（技术
系数）构成的 m n 矩阵：
a11 a12
A
x1, x2 0
等值线向右上方移动，函数值变
大。在其即将离开可行域时达到
B（3/2,1）点。所以最优解为：
x1 3 2, x2 1
此时最优值为：
z*
3x1
2 x2
6
1 2
x1
2.2.2 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解 2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
min z 3x1 2x2 x3
x1 2x2 3x3 2
2x1 3x2 2x3 2
x1
0,
x2 无约束,
x3
0
为标准形式。
(1 )变量 x1
代替，其中
是非正的，所以要将模型中的所有 x1 x1 0
x1
都用 x1
(2) 变量 x2 无约束，因此取两个变量 x2 0, x2 0 使得 x2 x2 x2 。在模型中，所有的 x2 都用 x2 x2 代替。
总共用料是x1 + x2 + x3 要达到最省料的目的，就必须使总用料最小。
例2的模型就是
min w x1 x2 x3
s.t.
3xx2 12xx23
100 100
x1, x2 , x3 0
例2 中的问题常称为下料问题。
线性规划的三个要素： ➢决策变量 ➢目标函数 ➢约束条件
从而得到模型的标准形式为
max z 3x1 2x2 2x2 x3 x1 2x2 2x2 3x3 x4 2 2x1 3x2 3x2 2x3 x5 2 x1, x2 , x2, x3 , x4 , x5 0
最优值：
即最优的目标函数值, 通常用z*表示
图解法步骤: ➢建立平面直角坐标系 ➢图示约束条件,求可行域 ➢图示目标函数 ➢求最优解
建立直角坐标系
x2
图示约束条件，求可行域
2x1 x2 4
max z 3x1 2x2
x1 2x2 5
s.t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9
n
max( 或 min) z c j x j j1
s.t.
n j1
aij x j
(或
，或
)bi ,
i
1,
2,..., m
x
j
0,
j
1,
2,..., n
利用向量，可以将一般形式表示为：
max( 或 min) z CX
s.t.
n j 1
Pj x j
a21
a22
am1 am2
a1n
a2
n
amn
在今后的讨论，常将矩阵 A 称为线性规划问题的（约束条件）
系数矩阵。明显地系数矩阵 A
A P1 P2
与矩阵
Pn
Pj
之间存在关系：
2.2.2 线性规划的标准形式
max z c1x1 c2 x2 cn xn
。
课堂练习
某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取
所需的A、B、C、D四种养分。有关数据如下表，现 饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选择，试决 定总花费最小的购买方案。（列出模型）
饲料 养分 A B C D 价格
M 0.5 0.2 0.3 0 300
N 0.1 0.3 0.4 0.2 200
其次线性规划模型必须满足如下两个要求： ① 目标函数必须是决策变量的线性函数； ② 约束条件必须是含决策变量的线性等式或不等式。
运筹学建模步骤: 识别问题 定义决策变量
建立约束条件 建立目标函数
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下：
这里一共包含有n个决策变量，m个约束条件； 对目标函数既可以求最大的也可以求最小； 约束条件有, , =型； 决策变量通常非负，但也可以有其它情况； cj: 称为价值系数； bi: 资源常数（右端常数） aij称为技术系数、工艺系数
在今后的讨论中，为方便起见，还将用到线性规划模型一般 形式的各种简写的形式。 利用和号“ ”，线性规划模型的一般形式可写为：
max( 或 min) z c1x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12x2 a1n xn (或 ，或 )b1
s.t.a21x1 a22x2 a2n xn (或 ，或 )b2 am x1 am2 x2 amnxn (或 ，或 )bm x1, x2,..., xn 0
2.2.3 将线性规划的模型化为标准形式
1、目标函数求最小值的情形 取原目标函数的相反数为新的目标函数，对原目标函数
求最小值的问题就等价于对这一新的目标函数求最大值的问题。
例如： 等价于
min z 2x1 3x2 x3
max z' 2x1 3x2 x3
2、约束条件为不等式
(3)目标函数是求最小值的，因此令z z，即
z (3x1 2x2 x3) 3x1 2x2 x3 3x 2x2 2x2 x3
(4)约束条件1是“ ”型的，并且右端的常数小于零。
因此先将其左边减取一个剩余变量 x4 化为等式，即 然后在两端乘以-1得 x1 2x2 3x3 x4 2 也就是
x2
max z 4x1 3x2
x1 2x2 5
s.t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9
x1, x2 0
2x1+x2=4
D C
x1+2x2=5 B
4x1+3x2=9
O
A
x1
绿色线段上的所有点 都是最优解,即有无穷多 最优解。Zman=34.2
x1 + 1.9 x2 = 11.4
x1 2x2 5
s.t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9
x1, x2 0
其中s.t.是英文词组subject to的缩写，表示“受限制于”的意 思，有时也约去不写出来。
该问题常称为生产计划问题或产品组合（product mix）问题。
例2 设有一批规格为10米长的圆钢筋，将它截成分别为3米， 4米长的预制构件的短钢筋各100根，问怎样截取最省料？
每头 日需
10
5
8
7
课堂练习
某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取所需的A、B、C、D四 种养分。有关数据如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选 择，试决定总花费最小的购买方案。（列出模型）
养分
饲料
A
B
C
M
0.5
0.2
0.3
D
价格
0
300
N
0.1
0.3
0.4
0.2
200
每头日需 10
a11x1 a12x2 a1n xn b1 s.t.a21x1 a22x2 a2n xn b2
am x1 am2 x2 amnxn bm x1, x2,..., xn 0
它具有如下四个特征： ① 目标函数求max； ② 约束条件两端用“=”连结 ； ③ bi非负； ④ 所有决策变量xj非负。
max Z
(3.8,0)
min Z o
源自文库
x1 + 1.9 x2= 3.8
x1
0=3 x1 +5.7 x2
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
x2 -3x1+2x2=1
max z 2x1 3x2
3x1 2x2 1 x1 2x2 1 x1, x2 0
x2
（3.8,4）
x1 - 1.9 x2 = -3.8
(0,2)
D可行域
max z =3x1 + 5.7x2 s.t. x1 + 1.9x2 ≥ 3.8
x1 - 1.9x2≤ 3.8 x1 + 1.9x2 ≤11.4 x1 - 1.9x2 ≥ -3.8
x1 ，x2 ≥ 0
（7.6,2）
x1 - 1.9 x2 = 3.8 34.2 = 3 x1 +5.7 x2
(a) 2x1 3x2 x3 2
转化为
2x1 3x2 x3 xs 2
xs表示决策中尚未使用的那部分资源，因此称这一变量为松弛变量。
（b） 3x1 2x2 4x3 3
转化为：
3x1 2x2 4x3 xs 3
它表示决策结果超过了实际需要的部分，因此常称它为剩余变量。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价值，因此它们在 目标函数中的系数都应该为零。在后面的讨论中，有时也将松弛变量和 剩余变量统称为松弛变量。
第2章 线性规划
例1 穗羊公司的例子
I
A（千克）
1
B（吨）
2
C（百工时）
4
单位产品利润（万元）
3
II
每周可使用量
2
5
1
4
3
9
2
问该公司每周应生产产品I与产品II各多少单位，才能使每周的获利达 到最大？
假设产品I、II每周的产量分别是x1和x2，得到如下的数学模型
max z 3x1 2x2
max z 3x1 2x2
x1 2x2 x3
5
2x1 x2 x4 4
4x1 3x2
x5 9
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
其中 x3, x4 , x5 就是分别对第一、第二、第三个约束条件中
添加的松弛变量。
例3 化如下的线性规划问题模型
x1, x2 0
x1 2x2 5
x1
4x1 3x2 9
图示目标函数 求最优解
x2
2x1 x2 4
最优解
x1 2x2 5
4x1 3x2 9
max z 3x1 2x2
x1 2x2 5
s.t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9
则可以获得3米长的短钢筋的根数是3x1+2x2 4米长短钢筋的根数是x2+2x3 按问题要求它们应该不小于100根。
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答案：设购买M饲料x1，N饲料x2
Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10
0.2x1 +0.3x2 ≥5
s.t.
0.3x1 +0.4x2 ≥8
0.2x2 ≥7
x1 , x2≥0
2.3 线性规划的图解法
对只包含两个决策变量的线性规划问题，可以用图解法 来求解。图解法顾名思义就是通过作图来求解的方法，它简 单直观、并有助于说明一般线性规划问题求解的基本原理。
3、约束条件右端常数为负数 只需将这一约束条件两端同 乘“-1”就可化为一个等价的约束条件，其右端常数满足标 准形式的要求。
4、决策变量不满足非负约束
（a） x1 0
x1 x1 则x1 0
（b） 如x3无约束，则令 x3 x3 x3
例如，将例1中的线性规划模型化为标准形式就是：
有关概念
可行解：
我们将满足线性规划问题的所有约束条件的变量x1和x2 的一组取值称为线性规划问题的一个可行解。通常用X表示。
可行域：
我们将可行解的集合称为可行域。
最优解：
因此我们求解线性规划问题，就是要求使得目标函数 取最优值（对例1，就是取最大值）的可行解，这样的可行解 就称为线性规划问题的最优解。 通常用X*表示。
x1 2x2 3x3 x4 2 x1 2x2 2x2 3x3 x4 2
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量 x5 使它化为等式： 2x1 3x2 2x3 x5 2 也就是
2x1 3x2 3x2 2x3 x5 2
(或
，或
)b
X
0
其中
用矩阵的记号可以将线性规划模型一般形式写成：
max( 或 min) z CX
AX (或 ，或 )b
s.t.
X
0
其中 X , C, b 同上，而矩阵 A 是由各约束条件的系数（技术
系数）构成的 m n 矩阵：
a11 a12
A
x1, x2 0
等值线向右上方移动，函数值变
大。在其即将离开可行域时达到
B（3/2,1）点。所以最优解为：
x1 3 2, x2 1
此时最优值为：
z*
3x1
2 x2
6
1 2
x1
2.2.2 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解 2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
min z 3x1 2x2 x3
x1 2x2 3x3 2
2x1 3x2 2x3 2
x1
0,
x2 无约束,
x3
0
为标准形式。
(1 )变量 x1
代替，其中
是非正的，所以要将模型中的所有 x1 x1 0
x1
都用 x1
(2) 变量 x2 无约束，因此取两个变量 x2 0, x2 0 使得 x2 x2 x2 。在模型中，所有的 x2 都用 x2 x2 代替。
总共用料是x1 + x2 + x3 要达到最省料的目的，就必须使总用料最小。
例2的模型就是
min w x1 x2 x3
s.t.
3xx2 12xx23
100 100
x1, x2 , x3 0
例2 中的问题常称为下料问题。
线性规划的三个要素： ➢决策变量 ➢目标函数 ➢约束条件
从而得到模型的标准形式为
max z 3x1 2x2 2x2 x3 x1 2x2 2x2 3x3 x4 2 2x1 3x2 3x2 2x3 x5 2 x1, x2 , x2, x3 , x4 , x5 0
最优值：
即最优的目标函数值, 通常用z*表示
图解法步骤: ➢建立平面直角坐标系 ➢图示约束条件,求可行域 ➢图示目标函数 ➢求最优解
建立直角坐标系
x2
图示约束条件，求可行域
2x1 x2 4
max z 3x1 2x2
x1 2x2 5
s.t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9
n
max( 或 min) z c j x j j1
s.t.
n j1
aij x j
(或
，或
)bi ,
i
1,
2,..., m
x
j
0,
j
1,
2,..., n
利用向量，可以将一般形式表示为：
max( 或 min) z CX
s.t.
n j 1
Pj x j
a21
a22
am1 am2
a1n
a2
n
amn
在今后的讨论，常将矩阵 A 称为线性规划问题的（约束条件）
系数矩阵。明显地系数矩阵 A
A P1 P2
与矩阵
Pn
Pj
之间存在关系：
2.2.2 线性规划的标准形式
max z c1x1 c2 x2 cn xn
。
课堂练习
某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取
所需的A、B、C、D四种养分。有关数据如下表，现 饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选择，试决 定总花费最小的购买方案。（列出模型）
饲料 养分 A B C D 价格
M 0.5 0.2 0.3 0 300
N 0.1 0.3 0.4 0.2 200
其次线性规划模型必须满足如下两个要求： ① 目标函数必须是决策变量的线性函数； ② 约束条件必须是含决策变量的线性等式或不等式。
运筹学建模步骤: 识别问题 定义决策变量
建立约束条件 建立目标函数
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下：
这里一共包含有n个决策变量，m个约束条件； 对目标函数既可以求最大的也可以求最小； 约束条件有, , =型； 决策变量通常非负，但也可以有其它情况； cj: 称为价值系数； bi: 资源常数（右端常数） aij称为技术系数、工艺系数
在今后的讨论中，为方便起见，还将用到线性规划模型一般 形式的各种简写的形式。 利用和号“ ”，线性规划模型的一般形式可写为：
max( 或 min) z c1x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12x2 a1n xn (或 ，或 )b1
s.t.a21x1 a22x2 a2n xn (或 ，或 )b2 am x1 am2 x2 amnxn (或 ，或 )bm x1, x2,..., xn 0
2.2.3 将线性规划的模型化为标准形式
1、目标函数求最小值的情形 取原目标函数的相反数为新的目标函数，对原目标函数
求最小值的问题就等价于对这一新的目标函数求最大值的问题。
例如： 等价于
min z 2x1 3x2 x3
max z' 2x1 3x2 x3
2、约束条件为不等式
(3)目标函数是求最小值的，因此令z z，即
z (3x1 2x2 x3) 3x1 2x2 x3 3x 2x2 2x2 x3
(4)约束条件1是“ ”型的，并且右端的常数小于零。
因此先将其左边减取一个剩余变量 x4 化为等式，即 然后在两端乘以-1得 x1 2x2 3x3 x4 2 也就是
x2
max z 4x1 3x2
x1 2x2 5
s.t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9
x1, x2 0
2x1+x2=4
D C
x1+2x2=5 B
4x1+3x2=9
O
A
x1
绿色线段上的所有点 都是最优解,即有无穷多 最优解。Zman=34.2
x1 + 1.9 x2 = 11.4
x1 2x2 5
s.t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9
x1, x2 0
其中s.t.是英文词组subject to的缩写，表示“受限制于”的意 思，有时也约去不写出来。
该问题常称为生产计划问题或产品组合（product mix）问题。
例2 设有一批规格为10米长的圆钢筋，将它截成分别为3米， 4米长的预制构件的短钢筋各100根，问怎样截取最省料？
每头 日需
10
5
8
7
课堂练习
某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取所需的A、B、C、D四 种养分。有关数据如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选 择，试决定总花费最小的购买方案。（列出模型）
养分
饲料
A
B
C
M
0.5
0.2
0.3
D
价格
0
300
N
0.1
0.3
0.4
0.2
200
每头日需 10
a11x1 a12x2 a1n xn b1 s.t.a21x1 a22x2 a2n xn b2
am x1 am2 x2 amnxn bm x1, x2,..., xn 0
它具有如下四个特征： ① 目标函数求max； ② 约束条件两端用“=”连结 ； ③ bi非负； ④ 所有决策变量xj非负。
max Z
(3.8,0)
min Z o
源自文库
x1 + 1.9 x2= 3.8
x1
0=3 x1 +5.7 x2
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
x2 -3x1+2x2=1
max z 2x1 3x2
3x1 2x2 1 x1 2x2 1 x1, x2 0
x2
（3.8,4）
x1 - 1.9 x2 = -3.8
(0,2)
D可行域
max z =3x1 + 5.7x2 s.t. x1 + 1.9x2 ≥ 3.8
x1 - 1.9x2≤ 3.8 x1 + 1.9x2 ≤11.4 x1 - 1.9x2 ≥ -3.8
x1 ，x2 ≥ 0
（7.6,2）
x1 - 1.9 x2 = 3.8 34.2 = 3 x1 +5.7 x2
(a) 2x1 3x2 x3 2
转化为
2x1 3x2 x3 xs 2
xs表示决策中尚未使用的那部分资源，因此称这一变量为松弛变量。
（b） 3x1 2x2 4x3 3
转化为：
3x1 2x2 4x3 xs 3
它表示决策结果超过了实际需要的部分，因此常称它为剩余变量。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价值，因此它们在 目标函数中的系数都应该为零。在后面的讨论中，有时也将松弛变量和 剩余变量统称为松弛变量。
第2章 线性规划
例1 穗羊公司的例子
I
A（千克）
1
B（吨）
2
C（百工时）
4
单位产品利润（万元）
3
II
每周可使用量
2
5
1
4
3
9
2
问该公司每周应生产产品I与产品II各多少单位，才能使每周的获利达 到最大？
假设产品I、II每周的产量分别是x1和x2，得到如下的数学模型
max z 3x1 2x2
max z 3x1 2x2
x1 2x2 x3
5
2x1 x2 x4 4
4x1 3x2
x5 9
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
其中 x3, x4 , x5 就是分别对第一、第二、第三个约束条件中
添加的松弛变量。
例3 化如下的线性规划问题模型
x1, x2 0
x1 2x2 5
x1
4x1 3x2 9
图示目标函数 求最优解
x2
2x1 x2 4
最优解
x1 2x2 5
4x1 3x2 9
max z 3x1 2x2
x1 2x2 5
s.t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9