含参量反常积分答案

§2 含参量反常积分

一 一致收敛性及其判别法

设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分

(,)c

f x y dy +∞

⎰

（1）

都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有

()(,),c

x f x y dy x I φ+∞

=∈⎰

， （2）

称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。

如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。

首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。

定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。都有

(,)()c

f x y dy x φε+∞

-<⎰，

即

(,)c

f x y dy ε+∞

<⎰

则称含参量反常积分（1）在I 上一致收敛于()x φ，或简单地说含参量积分（1）在I 上一致收敛。

定理19.7（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分（1）在I 撒谎能够一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在某一实数M c >，使得当1

2

,M A A

>时，对一切x I ∈，

都有

1

2

(,)A f x y dy A

ε<⎰. （3）

由定义1，我们还有以下含参量积分一致收敛的判别准则. 定理19.8 含参量积分

(,)c

f x y dy +∞

⎰

在I 上一致收敛的充分且必要条件是

lim ()0,A F A →+∞

=

其中()(,).A

x I F A SUP

f x y dy +∞∈=⎰

例1 证明含参量反常积分

sin c

xy

dy y

+∞

⎰

在[],δ+∞上一致收敛（其中0δ>），但在()0,+∞内不一致收敛。

证 作变量代换u xy =，得

sin sin ,x A

xy

u dy du y u

A +∞

+∞=⎰

⎰ 其中0A >.由于0

sin u du u

+∞

⎰

收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，使当'

A M >时，就有

'

sin .u

du u A ε+∞

<⎰

取A M δ>,则当M

A δ

>

时，对一切0x δ≥>，由（5）式有

sin A

xy

dy y

ε+∞

<⎰

， 因此lim ()0,A F x →+∞

=从而由定理19.8，（4）式在[),δ+∞上一致收敛，又因为

0sin sin lim ,0A

A u

u du du u u

++∞

+∞→=⎰

⎰

(0,)

(0,)sin sin sin ()sup

sup 2

x A

x x xy

u u F A dy du du y u

u A π

+∞

+∞+∞

∈+∞∈+∞==≥=⎰

⎰⎰

（其中

sin 2

u dy u π

+∞

=⎰

将在本节例6中证明），所以由定理19.8，（4）式在()0,+∞上不一致收敛。

若对任意[],a b I ⊂，含参量反常积分（1）在[],a b 上一致收敛，则称（1）在I 上内闭一致收敛，以上论述证明了含参量反常积分（4）在()0,+∞上内闭一致收敛。

关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理。

定理19.9 含参量反常积分（1）在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列

{}n

A （其中1

c A =）

，函数项级数 1

11

(,)()n n n n n A f x y dy x A u +∞

∞===∑∑⎰ （6）

在I 撒谎能够一致收敛。

证 [必要性] 由（1）在I 上一致收敛，故对任给0ε>，必存在M c >，使当

'''

M A A >

>.由（7）对一切x I ∈,总有

11

()()(,)(,)m n m n n m A A x x f x y dy f x y dy A A u u ++++=

++⎰⎰

=

1

(,)m n A f x y dy A ε+<⎰

这就证明了级数（6）在I 上一致收敛。

【充分性】 用反证法。假若（1）在I 上不一致收敛，则存在某个正数0

ε

，使得对

于任何实数M c >，存在相应的

'''

M A A

>

>和'

I x ∈，使得

''

''0(,).A

f y dy A

x ε≥⎰

一般地，取

{}

1

2(1)max ,(2)n n n M

A -=≥，则有221n n n A A M ->>及n I x ∈，使得

2210(,).n

n n A f y dy A x ε-≥⎰ （8）

由上述所得到的数列

{}n

A 是递增数列，且lim n

x A

→∞

=+∞.现在考察级数

1

1

1

()(,)n n

n n n A x f x y dy A u +∞∞

===∑∑⎰

由（8）式知存在正数

ε

，对任何正整数N ，只要n N >，就有某个

n

I x

∈，使得

21

220()(,).n n

n

n

n A f y dy A

u x x ε+=≥⎰

这与级数（6）在I 上一致收敛的假设矛盾。故含参量反常积分（1）在I 上一致收敛。 下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法。由于它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿，故从略。

魏尔斯特拉斯M 判别法 设有函数()g y ，使得 [)(,)(),(,),.f x y g y x y I c ≤∈⨯+∞ 若

()c

g y dy +∞

⎰

收敛，则(,)c

f x y dy +∞

⎰

在I 上一致收敛。

狄利克雷判别法 设

（i ） 对一切实数N c >，含参量正常积分

(,)N

c

f x y dy ⎰

对参量x 在I 上一致有界，即存在正数M ，对一切N c >及一切x I ∈，都有

(,)N

c

f x y d y M ≤⎰

.

(ii)对每一个x I ∈,函数(,)g x y 为y 的单调函数，且当y →+∞时，对参量