高等数学(完整版)详细(课堂PPT)

数,
且
lim n
n
un
,
则
n1
(1)当 1时,级数收敛 ;
(2)当 1时, 级数发散 .
(3) 1 时 , 级数可能收敛也可能发散 .
32
例如
,
p
–
级数
1 n1 n p
:
un
1 np
,
n un
1 nn
p
1
(n )
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
33
例6.
证明级数
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
25
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un , vn 满足 lim
un l, 则有
n1 n1
n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 且 vn 收敛时, un 也收敛 ;
n1
n1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
1 n
n
1 1
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
例3. 解:
判别级数
n2
ln
1
1 n2
的敛散性 .
ln
1
1 n2
ln
n2 1 n2
ln(n 1) ln(n 1) 2ln n
Sn
k
n
ln
2
1
1 k2
[ln 3 ln1 2 ln 2] [ln 4 ln 2 2 ln 3] [ln 5
n1
乘以常数 c 所得级数 c un 也收敛 , 其和为 c S .
n
n1
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
c
lim
n
S
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但 1111 发散.
例4.判断级数的敛散性:
111111
21 21 31 31 41 41 解: 考虑加括号后的级数
( 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )
21 21
31 31
41 41
an
1 n 1
1 2 n 1 n 1
1 n (n 1)n
34
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数 u1 u2 u3 (1)n1un
称为交错级数 .
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2, );
2) lim un 0,
,
对正项级数
un ,
可得如下结论
:
p 1, 0l
un 发散
lim
n
n pun
l
p 1, 0l
un 收敛
27
例3. 判别级数
sin
n1
1 n
的敛散性 .
解: lim n sin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例4.
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数 uk n
n1
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
由于n 时, n 与Sk n 极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
若存在N Z , 对一切 n N ,
(1)
un
1, n
则un 发散 ;
n1
(2)
un
1 np
( p 1), 则un 收敛 .
n1
24
例2. 证明级数
n1
证: 因为
1 n (n 1) 发散 .
1 n (n 1)
1 (n 1)2
1 n 1
(n 1, 2,
)
而级数
1 n1 n 1
k 2
由自由落体运动方程
s
1 2
g
t
2知
t
2s g
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
T t1 2t2 2t3
2 g
1
2
1 2
(
1 2)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 1 2 2 1 2.63 ( s )
g
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un ,
次相加, 简记为 un , 即
但
p 1, 级数发散 .
30
例5. 讨论级数 n xn1 ( x 0 ) 的敛散性 .
n1
解:
lim un1 lim (n 1) xn x
n un
n n xn1
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ;
当x 1时, 级数 n 发散.
n1
31
定理5. 根值审敛法 ( CAUCHY判别法)设 un 为正项级
lim (S2n Sn ) 0
n
但
S2n
Sn
1 n 1
1 n2
1 n3
矛盾! 所以假设不真 .
1 n 1 2n 2n 2
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
20
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
n2
an
2
n1
1 n
发散 , 从而原级数发散 .
三、级数收敛的必要条件
设收敛级数 S
un ,
则必有 lim
n
un
0.
n1
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 (1)n1 n
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
28
定理4 . 比值审敛法 ( D’ALEMBERT 判别法)
设 un 为正项级数, 且 lim n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
a
q n 1
aa qn 1q
当q
1时，由于 lim qn
n
0,
从而 lim
n
Sn
a 1q
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
当q
1时,
由于 lim
n
qn
,
从而
lim
n
Sn
,
因此级数发散 .
2). 若 q 1 ,则
当 q 1时, Sn n a ,因此级数发散 ;
当q 1时, 级数成为 a a a a (1)n1a
S un, vn
n1
n1
则级数 ( un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n (uk vk ) Sn n S ( n )
k 1
这说明级数 ( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
1
1 2
1 2
13
1 3
1 4
1 1 1 ( n ） n 1
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
(u1 u2 ) (u3 u4 u5)
则新级数的部分和序列 m (m 1,2, )为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
lim m lim Sn S
m
n
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
ln 3 2 ln 4] [ln(n 1) ln(n 1) 2ln n]
ln
2
ln(n
1)
ln
n
ln(1
1 n
)
ln
2
lim Sn ln 2, 故原级数收敛 , 其和为 ln 2.
n
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 un 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
(3) 当 l =∞ 且 vn 发散时, un 也发散 .
n1
n1
26
un
, vn
是两个正项级数,
lim
n
un vn
l,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时, un 也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时, un 也发散 .
特别取
vn
1 np
un1 un
,
则
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
29
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
例如,
n un
p – 级数
1 n1 n p
:
lim un1 n un
1
lim (n1) p
n
1 np
1
p 1, 级数收敛 ;
n1 n1
且 un vn (n=1,2,3…)
则有 (1) 若级数
(2) 若级数
vn收敛 , 则级数
n1
un 发散 , 则级数
n1
un 也收敛 ;
n1
vn 也发散 .
n1
22
例1.
讨论
P
级数
1
1 2p
1 3p
的敛散性.
1 np
(常数 p > 0)
23
调和级数与 P 级数是两个常用的比较级数.
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
)边形, 设 a0 表示
3 2n 边形面积为
a0 a1 a2 an
n 时, 这个和逼近于圆的面积 A .
即
A a0 a1 a2 an
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减
少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 , ( un vn ) 不一定发散.
n1
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
而 un vn 0
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
n1
1 nn
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n un
n
1 nn
1 n
0
(n )
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S Sn , 则所求误差为
0
rn
(n
1 1)n1
(n
1 2)n2
(n
1 1)n1
(n
1 1)n2
(n
1 1)n1
1
1
1 n1
n1
若
lim
n
Sn
不存在 ,
则称无穷级数发散
.
当级数收敛时, 称差值
rn S Sn un1 un2
为级数的余项. 显然
lim
n
rn
0
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
(a 0)
n0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q 1 , 则部分和 Sn a a q a q2
2345
n 1
un
(1)n1
n n 1
, 其一般项为
当n 时, un不趋于0, 因此这个级数发散.
注意: lim un 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数
1 1 1 1
n1 n
23
1 n
虽然
lim un
n
lim
n
1 n
0，但此级数发散
.
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 3 2n ( n 0, 1, 2,
将各项依
n1
un u1 u2 u3
n1
un
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
S un
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足
n1
rn un1 .
35
用LEIBNITZ 判别法判别下列级数的敛散性:
n1
定理 1. 正项级数 un 收敛
部分和序列 Sn
n1
(n 1, 2, ) 有界 .
证: “ ” 若 un 收敛 , 则 Sn收敛 , 故有界.
n1
“
” un 0 ,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn 有界, 故 Sn 收敛 , 从而 un 也收敛.
n1
21
定理2 (比较审敛法) 设 un , vn 是两个正项级数,
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3