概率论与数理统计同步练习 2

(D) 1 2 ).
F0 , 1 x .
若 服从 [ 0, 1] 上的均匀分布 , (A) (B) (C) (D) 也服从 [ 0 , 1] 上的均匀分布 ; 也服从 [1, 3 ] 上的均匀分布 ; 也服从
1 , 0 上的均匀分布 ; 2
不服从任何区间上的均匀分布 . 0,
2 1 2
4 1 4
0 1 8
4 1 16
2 1 16
Y 0 p
2.
2 /2
1
.
设随机变量
的概率密度为 (x) 3 3 x , 2 4 0, 1 2
x
3 2 ,
2
3.
1 的概率密度
( y ) ___________ . 1 的分布密度 (y ) ________ .
设
服从正态分布 N (1, 4 ), 则
1 X , 试确定 k , 使得 P { Y
k } 0 . 25 .
14
复 习 题
一、选择题 1.
已知随机变量 的分布函数 F0,1 x 的值等于 ( (A) F0,1 x ;
2.
1 2
x
e
t2 2 dt , 则
F0,1 x
). (B) 1 F0,1 x ; (C) 2
F0, 1 x ;
1, 则 (
又 F ( x ) P{ 1 x (A) 1 e ; 2
(D)
1 x e . 2
5
5.
设随机变量 的密度函数 ( x ) 是连续的偶函数 ( 即 ( x) 而 F ( x ) 是 的分布函数则对任意实数 a 有 ( (A) F ( a ) F ( a ) ; (C) F ( a) 1 2
a
( x ) ),
2.
1 ; 1 ;
(B) b 1 (D) 1 1 b
且0 且b 0.
1;
1
1且
设离散型随机变量 的分布律为
P
则常数 A 应为 (
1
k
). (B) e
1 3
A , k 3k k !
0 , 1, 2 ,
(A)
3.
e3 ;
;
(C) e
3;
(D) e 3 .
设随机变量 服从 0 1 分布 , 又知 取 1的概率为它取 0 的概率的 一半 , 则 p { (A) 1 ; 3 1} 是 ( (B) 0; ). (C) 1 ; 2 (D) 1.
时,
对任意 a 0 , 有 1 1
x
a x (x)
e
a
.
习题三
随机变量的函数的分布
一、选择题 1. 设
服从 [0, 1 ] 上的均匀分布, 服从 [ 1, 1 ] 上的均匀分布 ; 服从 [0, 1 ] 上的均匀分布 ; 的密度函数
1 2 则(
).
(A) (B) (C) (D)
y
0, 1
1
y
1
;
1 在 0, 上服从均匀分布 . 2
k } _______.
4.
设电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布 , 则某 分钟完全没有呼唤的概率为 ________________ .
5.
事件 A 在一次试验中发生的概率为 p , 验中事件 A 发生的次数 , 则 P { 1}
表示在 n 次重复独立试 ______________.
4.
设离散型随机变量 X 的分布律为
k
P{ X
其中 (A) e
5.
k} c
( ).
k!
(k
1, 2 ,
),
0 为常数 , 则 c ; (B) e ;
(C)
1
e
1
;
(D)
1
e
1
.
设 X 是一个离散型随机变量 , 则 ( (A) p , p 2 ( p 为任意实数 ); (C) 2n :n n! 1, 2, ;
三、解答题 1. 一批零件中有 9 个正品与 3 个废品 , 安装机器时 , 从这批零件中任
取一个 , 如果每次取出的废品不再放回而再另取一个零件 , 直到 取得正品为止 , 求在取得正品以前已取出废品数 的分布律 .
2.
袋中装有 a 个白球 , b 个黑球 ( a 1, b 1) 每次有放回地从中任意 取一个, 直到取得白球为止 , 写出停止取球时已取出的黑球数 的 分布律 P
13
5.
在下列两种情形下 , 求方程 t 2 是随机变量 . 求 : (1) X 服从 1 , 2 , ,6 ;
Xt 1 0 有实根的概率 , 其中 X
(2) X 服从区间 [ 1, 6 ] 上的均匀分布 .
6.
设 X 是在 [ 0 , 1 ] 上取值的连续型随机变量， 且
P{ X
如果 Y
0 . 29 } 0 . 75 ,
4.
已知随机变量 X 的分布为
X pi
则Y
5.
2 1 5
1 1 5
0 1 5
1 1 10
2 3 10
X
2
1 的概率分布为 ____________.
设随机变量 X 的概率密度函数为
f ( x)
则 Y
三、解答题 1.
2 (1 x 2 )
, x
0,
ln X 的概率密度函数为 _______ .
设随机变量
20
/ 20 学年第 学期
习 《概率论与数理统计》同步练习 《概率论与数理统计》同步练
姓名 班级 学号 任课教师
第二章 随机变量及其分布
习题一 离散型随机变量
一、选择题 1. 离散型随机变量
的分布律为 P ).
k
b
k
, (k
1, 2 , …) ,
的充分必要条件是 ( (A) b 0 且 0 (C) b
) 可以作为 X 的概率 分布 .
(B) 0 . 1 , 0 . 2 , 0 . 3 , 0 . 5 ; (D) 2n e n!
2:
n 0 , 1, 2 ,
.
二、填空题
1
1.
若随机变量 只取值 1 , 2 , 3 , 且
P
2.
1
a, P
2
2a , P
3
0. 4 ,
则 a 的值应是 ____________.
).
a
(B) F ( a ) ( x ) dx ; (D) F ( a )
1
0
( x ) dx ;
F (a) .
0
二、填空题 1.
要使函数
x
Axe
0,
x
, x
0 0
, 是某个随机变量
的概率密度 ,
x
则 A 的值应是 __________.
2.
设连续型随机变量
的分布函数为 0, x 0 x2 2, ,0 x 2 1, x 2 ____________.
,
0 0
, 3 4 ;
x
(2) 计算 P
(3) 求 a , 使得 P
a
p
a} .
5.
设随机变量 X 的密度函数为
f ( x)
且 求常数 a 和 b .
ax b , 0 x 1
0, 其它 1 , 3
,
P X
1 3
P X
6.
投掷硬币五次 , 每次出现正面的概率等于 0.5 , 设随机变量 表 示出现正面的次数与投掷次数之比 , 求 的分布函数
0.1 , 当生产过
程中出现废品时立即进行调整 , X 代表在两次调整之间生产的
9.
设随机变量 X 的分布律为
k
P {X
0 为常数 , 求常数 a .
k} a
k!
(k
0, 1, 2 , ),
4
习题二
随机变量的分布函数和密度函数
一、选择题 1.
若定义分布函数 F x (A) 0 F x (B) 0 F x 1; 1, 且 F
10
2.
设随机变量 具有连续的分布密度
( x ), 则
a
的分布密度为 ( (A) (C)
3.
b ( a 0, b 是常数 )
). (B) (D) 1 a 1 a
1 a 1 a
y b ; a y b ; a
y b ; a y b . a
设随机变量 的分布律为
p
则下列分布律正确的是 ( ).
0.
(A)
3
6.
5 个同样的球 , 分别编为 1 至 5 号 , 从中任取三球 , 用
表示取出
的球中的最大编号数 , 写出 的分布律 .
7.
一袋中装有 3 个红球 5 个白球 , 从袋中一个一个无放回地取球 ,
共取了 4 次 , 用 表示取得红球的个数 , 求 的分布列 .
8.
设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p 合格品数 , 试求 : X 的概率分布 .
服从参数为 0)
的泊松分布 , 求随机变量
a
的分布律 . ( a
b
12ห้องสมุดไป่ตู้
2.
设随机变量
的分布律为 2 1 1 6 0 1 5 1 1 15 3 11 30
p
求随机变量
2
1 5 的分布律 .
3.
设随机变量
在 [ a , b ] 上服从均匀分布 , 求
e
的概率密度 .
( 其中 a
b,
0 ).
4.
对圆片直径进行测量 , 测量值 X 服从均匀分布 X U [ 5 , 6 ] , 求圆 面积 Y 的概率密度 .
F ( x)
则
3.
的概率密度
(x)
设
~ N ( 0 , 1 ), 且有 F 0.1 (2 ) 0.91725 , 则
P(
4.
2)
___________.
设随机变量
的分布密度为 (x)
Ax (1 x) 2 , x
0,
(0 , 1) (0 , 1)
,
x
则常数 A _______ .
5.
设随机变量的分布函数为 0,
2 x, 0 0,
x 1
其它
1 发生的次数 , 2
令 Y 表示对 X 的 3 次独立重复观测中事件 X 则 P{Y (A) 3 ; 64 2} ( ). (B) 5 ; 64 (C) 9 ; 64
(D)
55 . 64
11
二、填空题 1. 设离散随机变量 X 的分布列为
X p
则 Y cos X 的分布列为 :
x
2 3,
F ( x)
(x 2 ) 2 , 2 x 1,
x
3
则 P {2. 6
4} _______ .
三、解答题
6
1.
设随机变量
的分布函数为 0,
x
0
F x
x , 0 x 1 4 1 x 1 , 1 x 2 2 4 11 , 2 x 3 12 1, x 3
(2) P 1 2 3 . 2
求: (1) P
F x
P
x .
8
7.
设随机变量 在 [1, 2]
[3 , 4] 上服从均匀分布 , 求 的概率密度.
8.
设随机变量 概率 .
服从参数
1 指数分布 , 求事件“ 2 2
6 ”的
9.
设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3, A 发生不少于 3 次时, 指示灯发出信号 , 现进行了五次独立试验 , 求指示灯发出信号的 概率 .
某射手每次射击命中目标的概率是 0.8 , 现连续射击 30 次 , 命中 目标的次数为随机变量 , 则当 k 0, 1, 2 , … , 30 时 ,
P
3.
k
___________________.
重复独立地掷一枚均匀硬币 , 直到出现正面为止 , 设 出现正面的试验次数 , 则 的分布列 P{
表示首次
k
2
3.
从 0 , 1, 2 , 放回 . 用 布律 .
, 9 的十个数字中 , 每次随机地抽取一个数字 , 取后再
表示直到出现数字 5 或 0 前的抽取次数 , 写出
的分
4.
设离散型随机变量 的分布律是
p
试确定 A 的值 .
k
A , k k 1
k 1, 2 ,
, 10
5.
从一批有10 件合格品与 3 件次品的产品中, 一件一件地抽取产品, 设各种产品被抽到的可能性相同, 如果每次取出一件次品后总换 为一件合格品放回到该批产品中, 试求直到取出合格品为止所需 抽取次数 的分布列 .
10.
已知从某一批材料中任取一件时 , 取得的这件材料的强度 ( 200 , 16 2 ) , 求取得的这件材料的强度不低于 160 的 概率 . ( 已知 F0 .1 (2 . 5 ) 0. 9933 ).
N
9
四、证明题 1.
设
( x ) 为标准正态分布 N ( 0 , 1 ) 的分布函数 ， 试证当 x
p
;
(B)
p
;
(C)
4.
p
;
(D)
p
.
设连续型随机变量 的分布函数为 F ( x ) , 则 数为 ( ). (B)
1
1 2
的分布函
(A) F (2 2 y ) ; (C) 2 F ( 2 2 y ) ;
5.
1 F 1 2
y ; 2
(D) 1 F (2 2 y ) .
设随机变量 X 的概率密度
f ( x)
3.
1
arctg x
1 ( 2
x
),
3} ( 1 ; 6 (B)
). 5 ; 6 (C) 0; (D) 2 . 3 ).
设
( x ) 是某随机变量 的密度函数 , 则有 ( (x) 1; (x ) 1 ; (B)
(D)
(A) 0 (C) lim
x
( x ) 单调不减 ; ( x ) dx 1.
4.
设 的概率密度函数为 1 e x( x 2 x }, 则 x 0 时 , F ( x ) ( ). 1 x 1 x (B) 1 e ; (C) e ; 2 2 (x) ),
P
x , 则函数 F x 是某一随机变量
). 0, F ( ) 0, F ( ) 1; ) 1; ) 0,F ( ) 1.
的分布函数的充要条件是 (
(C) F x 单调不减 , 且 F (
(D) F x 单调不减 , 函数 F x 右连续 , 且 F (
2.
设连续型随机变量 的分布函数
F(x)
则 P{ (A)
k , k 1, 2 , 3 ;
2.
命题 “两个分布函数的和仍为分布函数” 是否正确? 并说明理由.
3.
设随机变量
的分布函数为 0,
x
x,
0 0
F ( x) A (1 x) e
试确定常数 A 并计算 p 1 .
,
x
7
4.
设随机变量 的分布函数为
F ( x)
(1) 计算 P 2 ;
0, 1 e
2x
x