初等数论题库
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浙江师范大学《初等数论》考试卷（A1卷）
一、填空（30分）
1、d （1000）= 。φ（1000）= 。(10174
)=______ 。
2、 ax+bY=c 有解的充要条件是
。
3、2002
2002
被3除后余数为 。
4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为
。
5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n
P ）=
。 6、高斯互反律是 。
7、两个素数的和为31，则这两个素数是 。 8、带余除法定理是 。 解同余方程组（12分）
A 、叙述威尔逊定理。
B ．证明若)(mod 01)!1(m m ≡+-，则m 为素数（10分）
四．解方程 474
++x x ≡0（mod ２７） （10分）
设2Ｐ+1为素数,试证
)12(m od 0)1()!(2+≡-+p p p （10分）
六、设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数12-=P
P M 不是素数。（10
分） 七、证3
3393z y x =+ 无正整数解。（8分） 八、设n 是大于2的整数，证明)(n ϕ为偶数（10分）
⎪⎩
⎪
⎨⎧≡≡-≡)15(mod 1)10(mod 6)
12(mod 2x x x
答案
1、16．2340，1
2、（a ，b ）|c
3、1
4、3，4，5，6，7，8，9，10，11
5、 n
p
6、 )
()1()(2
121q p p q
q p ---=，p ，q 为奇素数
7、2，29
8、a ，b 是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q ，r 使得 b r r bq a <≤+=0,
答案
解：因为（12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2） 所以同余式组有解
原方程等价于方程 ⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧)
5(mod 1)3(mod 1)5(mod 6)2(mod 6)3(mod 2)4(mod 2≡≡≡≡-≡-≡x x x x x x
即 ⎪
⎩⎪
⎨⎧)5(mod 1)3(mod 2)4(mod 2≡-≡-≡x x x
由孙子定理得
)60(mod 46≡x
答案
A ．(威尔逊定理)整数
是素数，则
证：若m 不是素数，则m=ab ， m b a 〈〈,1，则 1)!1(|,)!1(|+--m a m a ，则有 1|a
不可能，所以m 是素数。
答案
解：由 474
++x x ≡0（mod3）得 )3(mod 1≡x 得x=1+3t 代入
474++x x ≡0 （mod9）有 )3(mod 111-≡t 有 131t t +=代入x=1+3t 得 194t x += 代入 474
++x x ≡0 （mod27）有 )3(m od 21-≡-t 2132t t +=代入有
22722t x +=，
即 )27(mod 22≡x
答案
证：因n=2Ｐ+1为素数，由威尔逊定理 )(mod 01)!1(n n ≡+-即有
)
(mod 1)()2(2)1(1123)2)(1(1)!1(n p n p n n n n n +--⋅⋅-⋅≡⋅⋅--≡+-ΛΛ)12(m od 01)1()!(2+≡+-≡p p p 即证
答案
证：因q=8n+7，由性质2是q=8n+7的平方剩余， )
(mod 1)2
(q q ≡即
12|34-+n q
所以梅森数 12-=P
P M 不是素数。
答案
证：假设 33393z y x =+有解，设（x ，y ，z ）是一组正整数解，则有x 是3的倍数，设x =3x 1,又得到y 为3的倍数，设 13y y =,又有 13z z =， 3
1313193z y x =+则
有解 ),,(111z y x 且z>z 1
这样可以一直进行下去，z>z 1>z 2> z 3>z 4>…
但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾
答案
证：因为（-1，n ）=1，由欧拉定理有
)(m od 1)1()(n n ≡-ϕ，因为n 大于2，只有 )(n ϕ为偶数。
浙江师范大学《初等数论》考试卷（B1卷）
一、填空（30分）
1、d （37）= 。σ（37）= 。
2、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n
P ）=
。
3、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。
4、7在2004！中的最高幂指数是
。 5、（1501 ，300）=
。
6、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是 。
7、威尔逊定理是
。
8、写出6的一个绝对值最小的简化系
。
9、4342
1Λ43421Λ50506666688888⨯被7除后的余数为 。 二、解同余方程组（12分）
⎪⎩⎪
⎨⎧≡≡≡)7(mod 1)8(mod 3)5(mod 2x x x
三、证明当n 是奇数时，有
)
12(3+n .（10分）
四、如果整系数的二次三项式
1,0)(2
=++=x c bx x x p 当 时的值都是奇数，证明 0)(=x p 没有整数根（8分）
五、解方程)132(mod 2145≡x .（10分）
六、证明：用算术基本定理证明3是无理数。（10分） 七、证明：对任何正整数ｎ,若ｎ不能被4整除，则有
5|n
n n n 4321+++ （10分）
八、解不定方程 1054=+y x （10分）