一题多解(1)--曲线的公切线

一题多解（1）--曲线的公切线

例：（2016全国2卷16）若直线=+y kx b 是曲线 ln 2=+y x 的切线，也是曲线ln(1)=+y x 的切线，则=b ______.

【分析】考查了导数的几何意义、曲线公切线方程的求解，是基础中档题，难点是整体法消元解方程组。 【解析】方法一、常规解法：

设=+y kx b 与ln 2=+y x 和ln(1)=+y x 分别切于点11(,)x y 、22(,)x y . 则曲线ln 2=+y x 的切线方程为：11

1

ln 1=

++y x x x . 曲线ln(1)=+y x 的切线方程为：22221

ln(1)+1+1

=

++-x y x x x x . ∴ 12

21221

1+1

ln 1ln(1)+1⎧=⎪⎪⎨⎪+=+-⎪⎩x x x x x x ，即122122

ln ln(1ln 1ln(1)+1

=+⎧⎪⎨

+=+-⎪⎩x x x x x x ），解得112=x ，212

=-x

∴1ln 11ln 2=+=-b x .

方法二、参数法：

设=+y kx b 与ln 2=+y x 和ln(1)=+y x 分别切于点11(,)x y 、22(,)x y . 则11=

k x 、21+1=k x ，即11=x k 、211=-x k

.

∴1122ln 22ln ln(1)ln =+=-⎧⎨=+=-⎩y x k y x k ，而112211=+=+⎧⎨=+=-+⎩y kx b b y kx b k b ，故2ln 1ln 1-=+⎧⎨-=-+⎩

k b

k k b

两式相减得：2=k ，所以1ln 2=-b .

方法三、数形结合法（平移）：

设=+y kx b 与ln 2=+y x 和ln(1)=+y x 分别切于点11(,)x y 、22(,)x y .

函数ln 2=+y x 和ln(1)=+y x 都是由ln =y x 平移而来，一个向上平移2单位，一个向左平移1单位，故切线的斜率2=k .（只有是同一个函数平移成两函数，才能应用）

由ln 2=+y x 得2=k 11=

x ，即11

2

=x ，故11ln 22ln 2=+=-y x 将切点1

(,2ln 2)2

- 代入2=+y x b ，可得1ln 2=-b . 深化应用： 1．若曲线2

12y x e

=

与曲线ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数a 的值为( )

A ．2-

B ．1

2

C ．1

D ．2

C 【解析】曲线2

12y x e

=

的导数为：'1y x e =，在(,)P s t 处的斜率为：s k e =；

曲线ln y a x =的导数为：'a y x =，在(,)P s t 处的斜率为：a k s =．曲线2

1

2y x e

=与曲线ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，可得s a

e s

=，并

且2

12t s e =，ln t a s =，即21

ln 2s a e s s a s

e

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1

ln 2

s =，解得2s e = ．可

得1a =．

2．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x

C y e =存在公共切线，则a 的取值范

围为（ ）

A ．2[,)8e +∞

B ．2(0,]8e

C ．2[,)4e +∞

D ．2

(0,]4

e

C 【解析】21:(0)C y ax a =>，'2y ax = ；2:x

C y e =，'x y e =．设公切线与

21:(0)C y ax a =>切于点211(,)x ax ，与2:x

C y e =切于2

2(,)x x e ，则

2

22

1

121

2x x e ax

ax e x x -==

-，可得2122x x =+，所以1121

2x e a x +=；记112

1

()2x e f x x

+= ，则112

'2

1(2)()(2)x e

x f x x +-=

，知在(0,2)x ∈时，'()0f x <，即()f x 在(0,2)x ∈上单调递减，(2,)x ∈+∞时，'

()0f x >，即()f x 在(2,)x ∈+∞上单调递增，2

min

()4

e f x =，

故2

[,)4

e a ∈+∞.

3．已知函数()20

ln 0x x a x f x x

x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图象在点A 、B 处的

切线重合，则a 的取值范围是( )

A ．(1,)-+∞

B ．(ln 2,)-+∞

C ．(2,1)--

D ．()1,2 A 【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y 为此函数上两点，且12x x <，观察函数图像可知120x x <<，则函数()f x 在11(,)A x y 处切线方程为

21111()(21)()y x x a x x x -++=+-，即211(21)y x x x a =+-+；函数()f x 在22(,)B x y 处

切线方程为2221ln ()y x x x x -=

-，即22

1

ln 1y x x x =+-；依题意两切线重合，知1

2212

121ln 1x x x a x ⎧

+=⎪⎨

⎪-+=-⎩，由

12

0x x <<知

2

1

01x <

<。所以

221222

11

ln 1(1)ln 14a x x x x =+-=

-+-，令2

1

(01)t t x =

<<，设函数

21()(1)ln 1(01)4g t t t t =---<<，则'11(1)(2)()(1)022t t g t t t t

+-=--=<，所以()

g t 在01t <<上是单调递减函数，则()(1)1g t g >=-，又当0t →时，()g t →+∞，所以a 的取值范围是(1,)-+∞．

【点拨】从切线重合（即同一条切线）得到两切点的关系，转化所求变量a 与其中一个切点变量的函数关系，考查化归转化与函数的思想，