导数与不等式构造法专题练习

导数不等式构造法

例1、（2013辽宁）设函数()()()()()2

2

2,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （ ） A ．有极大值,无极小值

B ．有极小值,无极大值

C ．既有极大值又有极小值

D ．既无极大值也无极小值

例2、定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，()0,x ∀∈+∞，()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则方程()()2f x f x '-=的解所在区间是（ ）

A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝

⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()1,2 D ．()2,3

例3、已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =（0

a >且1a ≠），

()()()()115112f f g g -+=-，若数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

例4、已知函数()f x 的导函数()2sin f x x '=+，且(0)1f =-，数列{}n a 是以

4π为公差的等差数列，若234()()()3f a f a f a π++=，则

20142

a a =（ ） A ．2016 B ．2015 C ．2014

D ．2013

例1、【答案】D 【解析】由已知，2[()]x

e x

f x x '=(1)。在已知2

()2()x

e x

f x xf x x '+=中令2x =， 并将2(2)8e f =代入，得(2)0f '=；因为2()2()x

e x

f x xf x x

'=-，两边乘以x 后令32()()2[()](2)x g x x f x e x f x '==-。 求导并将（1）式代入，2()2x x

x e x g x e e x x -'=-⋅=，显然(0,2)x ∈时，()0g x '<，()g x 减；(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 增；并且由（2）式知(2)0g =，所以(2)0g =为()g x 的最小值，即()0g x ≥，

所以3

()0x f x '≥，在0x >时得()0f x '≥，所以()f x 为增函数，故没有极大值也没有极小值。 例2、

例3、A

例4、D

例5、若函数()y f x =对任意)2,2(ππ-

∈x 满足()()cos sin 0,f x x f x x '+>则下列不等式成立的是 A ．)4()3(2ππ-<-f f B ．)4()3(2ππf f D ．)4(2)0(π

f f >

例6、()f x 是定义域为R 的偶函数，()f x '为()f x 的导函数，当0x ≤时，恒有()+()0f x xf x '＜，设()()g x xf x =，则满足(21)(3)g x g -＜的实数x 的取值范围是

A ．(2,)+∞

B ．(1,2)-

C ．(,2)(2,)-∞-+∞

D ．(,2)-∞

例7、已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立，若

()0.30.333a f =⋅， (),log 3log 3b f ππ=⋅3311,log log 99c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭

，则 , , a b c 大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a c b >>

例5、A

例6、A ；

例7、A

例8、已知函数在上非负且可导,满足，，则下列结论正

确的是（ ） A. B. C. D.

例9、已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当(0,)x ∈+∞时，恒有()()xf x f x '<-.若()()g x xf x =,则满足(1)(12)g g x >-的实数x 的取值范围是

A ．(0,1)

B ．(,0)

(1,)-∞+∞ C ．(0,)+∞ D ．(,0)-∞

例10、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ） A ． B ． C ． D ．

例11、已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，对任意正实数x 满足()()'2xf x f x >-，

若()()2

g x x f x =，则不等式()()13g x g x <-的解集是（ ）

A ．1,+4⎛⎫∞ ⎪⎝⎭

B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．1-,4⎛⎫∞ ⎪⎝

⎭ D ．11-,,+44⎛⎫⎛⎫∞⋃∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

例8、A

例9、B

例10、C

例11、【答案】C

例12、已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数()f x '满足

()2(),xf x f x ''>若24a <<则（ ）

A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<

B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<

C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<

D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<

例13、设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，

若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（ ）

A ． [3,3]-

B ． [3,)+∞

C ． [2,)+∞

D ．(,2][2,)-∞-+∞

例14、定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为()x f '，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式

()1

e x

f 的解集为（ )

A. ()0,∞-

B. ()+∞,0

C.()2,∞-

D.()+∞,2

例15、已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足4)1(=f ，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式